11. Sınıf Matematik 2 Dereceden Eşitsizlikler Testleri

Doğru cevap: A

Doğru seçenek: A Verilen eşitsizlik: ( x - 1 ) ( x + 3 ) ≤ 0 Önce çarpımın sıfır olduğu kritik noktaları bulalım: ( x - 1 ) = 0 ∨ ( x + 3 ) = 0 Buradan kökler: x = 1 x = - 3 Kökler sayı doğrusunu üç aralığa ayırır: ( - ∞, - 3 ), ( - 3, 1 ), ( 1, ∞ ) İşaret incelemesi (katsayılar pozitif olduğu için çarpım, kökler arasında negatif; dışında pozitiftir). Eşitlik de kabul edildiğinden kökler dahil edilir: [ - 3, 1 ] Şıklardan bu çözüm kümesini veren seçenek: [ - 3, 1 ]

1. Çözüm: Doğru seçenek: A Verilen eşitsizlik: ( x - 1 ) ( x + 3 ) ≤ 0 Önce çarpımın sıfır olduğu kritik noktaları bulalım: ( x - 1 ) = 0 ∨ ( x + 3 ) = 0 Buradan kökler: x = 1 x = - 3 Kökler sayı doğrusunu üç aralığa ayırır: ( - ∞, - 3 ), ( - 3, 1 ), ( 1, ∞ ) İşaret incelemesi (katsayılar pozitif olduğu için çarpım, kökler arasında negatif; dışında pozitiftir). Eşitlik de kabul edildiğinden kökler dahil edilir: [ - 3, 1 ] Şıklardan bu çözüm kümesini veren seçenek: [ - 3, 1 ]

Doğru cevap: B

Verilen eşitsizliğin çözüm kümesini bulacağız. Eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 ≤ 0 İkinci dereceden ifadeyi çarpanlara ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) Bunu eşitsizlikte kullanalım: ( x - 2 ) ( x - 3 ) ≤ 0 Kritik noktalar çarpanları sıfır yapan değerlerdir: x - 2 = 0 x = 2 x - 3 = 0 x = 3 Parabolün baş katsayısı pozitif olduğu için ifade köklerin dışında pozitif, köklerin arasında negatiftir. Eşitlik de kabul edildiğinden kökler dahil edilir. Çözüm kümesi: [ 2, 3 ] Bu nedenle doğru seçenek B502 şıkkıdır.

1. Çözüm: Verilen eşitsizliğin çözüm kümesini bulacağız. Eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 ≤ 0 İkinci dereceden ifadeyi çarpanlara ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) Bunu eşitsizlikte kullanalım: ( x - 2 ) ( x - 3 ) ≤ 0 Kritik noktalar çarpanları sıfır yapan değerlerdir: x - 2 = 0 x = 2 x - 3 = 0 x = 3 Parabolün baş katsayısı pozitif olduğu için ifade köklerin dışında pozitif, köklerin arasında negatiftir. Eşitlik de kabul edildiğinden kökler dahil edilir. Çözüm kümesi: [ 2, 3 ] Bu nedenle doğru seçenek B502 şıkkıdır.

Doğru cevap: C

Verilen eşitsizlik: ( x - 1 ) 2 + ( x - 4 ) 2 < 10 Kareleri açalım: ( x 2 - 2 x + 1 ) + ( x 2 - 8 x + 16 ) < 10 Benzer terimleri toplayalım: 2 x 2 - 10 x + 17 < 10 Tüm terimleri bir tarafa alalım: 2 x 2 - 10 x + 7 < 0 Kökleri bulmak için eşitliğin köklerini hesaplayalım: 2 x 2 - 10 x + 7 = 0 İkinci dereceden denklem formülüyle kökler: x = 10 ± 10 2 - 4 · 2 · 7 2 · 2 Karekök içini sadeleştirelim: x = 10 ± 100 - 56 4 = 10 ± 44 4 Kökleri son hâline getirelim: x = 10 ± 2 11 4 = 5 ± 11 2 Parabolün katsayısı pozitif olduğu için ifade, kökler arasında negatiftir. Eşitsizlik sıkı olduğu için uçlar alınmaz: 5 - 11 2 < x < 5 + 11 2 Çözüm kümesi: ( 5 - 11 2, 5 + 11 2 ) Dolayısıyla doğru seçenek C735 ’dır.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: ( x - 1 ) 2 + ( x - 4 ) 2 < 10 Kareleri açalım: ( x 2 - 2 x + 1 ) + ( x 2 - 8 x + 16 ) < 10 Benzer terimleri toplayalım: 2 x 2 - 10 x + 17 < 10 Tüm terimleri bir tarafa alalım: 2 x 2 - 10 x + 7 < 0 Kökleri bulmak için eşitliğin köklerini hesaplayalım: 2 x 2 - 10 x + 7 = 0 İkinci dereceden denklem formülüyle kökler: x = 10 ± 10 2 - 4 · 2 · 7 2 · 2 Karekök içini sadeleştirelim: x = 10 ± 100 - 56 4 = 10 ± 44 4 Kökleri son hâline getirelim: x = 10 ± 2 11 4 = 5 ± 11 2 Parabolün katsayısı pozitif olduğu için ifade, kökler arasında negatiftir. Eşitsizlik sıkı olduğu için uçlar alınmaz: 5 - 11 2 < x < 5 + 11 2 Çözüm kümesi: ( 5 - 11 2, 5 + 11 2 ) Dolayısıyla doğru seçenek C735 ’dır.

Doğru cevap: D

1) Verilen eşitsizlik: ( x − 1 ) ( x − 4 ) ≤ 0 2) Çarpımın sıfır olduğu noktaları bulalım: x − 1 = 0 x = 1 x − 4 = 0 x = 4 3) İşaret incelemesi (kökler arasında çarpımın işareti): Öncül: Katsayı pozitif olduğu için ifade köklerin dışında pozitif, köklerin arasında negatiftir. x < 1 ⇒ ( x − 1 ) < 0, ( x − 4 ) < 0 ⇒ ( x − 1 ) ( x − 4 ) > 0 1 < x < 4 ⇒ ( x − 1 ) > 0, ( x − 4 ) < 0 ⇒ ( x − 1 ) ( x − 4 ) < 0 x > 4 ⇒ ( x − 1 ) > 0, ( x − 4 ) > 0 ⇒ ( x − 1 ) ( x − 4 ) > 0 4) Eşitsizlik küçük eşit olduğu için, ifadenin negatif olduğu aralık ve kökler (sıfır yapan değerler) çözüme dahildir: 1 ≤ x ≤ 4 Çözüm kümesi = [ 1, 4 ] 5) Sonuç: Doğru cevap D633 şıkkıdır.

1. Çözüm: 1) Verilen eşitsizlik: ( x − 1 ) ( x − 4 ) ≤ 0 2) Çarpımın sıfır olduğu noktaları bulalım: x − 1 = 0 x = 1 x − 4 = 0 x = 4 3) İşaret incelemesi (kökler arasında çarpımın işareti): Öncül: Katsayı pozitif olduğu için ifade köklerin dışında pozitif, köklerin arasında negatiftir. x < 1 ⇒ ( x − 1 ) < 0, ( x − 4 ) < 0 ⇒ ( x − 1 ) ( x − 4 ) > 0 1 < x < 4 ⇒ ( x − 1 ) > 0, ( x − 4 ) < 0 ⇒ ( x − 1 ) ( x − 4 ) < 0 x > 4 ⇒ ( x − 1 ) > 0, ( x − 4 ) > 0 ⇒ ( x − 1 ) ( x − 4 ) > 0 4) Eşitsizlik küçük eşit olduğu için, ifadenin negatif olduğu aralık ve kökler (sıfır yapan değerler) çözüme dahildir: 1 ≤ x ≤ 4 Çözüm kümesi = [ 1, 4 ] 5) Sonuç: Doğru cevap D633 şıkkıdır.

Doğru cevap: A

Verilen eşitsizlik ikinci dereceden bir ifade olduğundan, çözüm kümesi (parabol yukarı baktığı için) kökler arasındaki açık aralıktır. x 2 - ( 2 k + 1 ) x + k 2 < 0 İkinci dereceden bir ifadenin kökleri arasındaki aralığın uzunluğu, kökler farkına eşittir. Katsayılar: a = 1, b = - ( 2 k + 1 ), c = k 2 Kökler arasındaki uzunluk formülü: r 2 - r 1 = Δ a Burada ayırt edici: Δ = b 2 - 4 a c Yerine yazalım: Δ = - ( 2 k + 1 ) 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ k 2 Kare alma işaretini sadeleştirip açalım: Δ = ( 2 k + 1 ) 2 - 4 k 2 Δ = ( 4 k 2 + 4 k + 1 ) - 4 k 2 = 4 k + 1 Çözüm kümesinin uzunluğu 1 olduğuna göre: r 2 - r 1 = Δ 1 = Δ = 1 Buradan: Δ = 1 Bulduğumuz Δ ifadesini eşitleyelim: 4 k + 1 = 1 4 k = 0 k = 0 Sonuç: Doğru cevap A763 (çünkü k değeri 0 çıktı).

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik ikinci dereceden bir ifade olduğundan, çözüm kümesi (parabol yukarı baktığı için) kökler arasındaki açık aralıktır. x 2 - ( 2 k + 1 ) x + k 2 < 0 İkinci dereceden bir ifadenin kökleri arasındaki aralığın uzunluğu, kökler farkına eşittir. Katsayılar: a = 1, b = - ( 2 k + 1 ), c = k 2 Kökler arasındaki uzunluk formülü: r 2 - r 1 = Δ a Burada ayırt edici: Δ = b 2 - 4 a c Yerine yazalım: Δ = - ( 2 k + 1 ) 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ k 2 Kare alma işaretini sadeleştirip açalım: Δ = ( 2 k + 1 ) 2 - 4 k 2 Δ = ( 4 k 2 + 4 k + 1 ) - 4 k 2 = 4 k + 1 Çözüm kümesinin uzunluğu 1 olduğuna göre: r 2 - r 1 = Δ 1 = Δ = 1 Buradan: Δ = 1 Bulduğumuz Δ ifadesini eşitleyelim: 4 k + 1 = 1 4 k = 0 k = 0 Sonuç: Doğru cevap A763 (çünkü k değeri 0 çıktı).

Doğru cevap: B

Verilen eşitsizlik: x 2 + 2 x - 3 ≤ 0 İkinci dereceden ifadeyi çarpanlara ayıralım: x 2 + 2 x - 3 = ( x + 3 ) ⋅ ( x - 1 ) Eşitsizlik bu hâle gelir: ( x + 3 ) ⋅ ( x - 1 ) ≤ 0 Çarpımın işaret değiştirdiği kritik noktalar köklerdir: x + 3 = 0 ⇒ x = - 3 x - 1 = 0 ⇒ x = 1 Parabolün katsayısı pozitiftir; bu nedenle ifade kökler arasında negatif, köklerin dışında pozitiftir. Bizden istenen ifade sıfırdan küçük veya eşit olduğu aralıktır: - 3 ≤ x ≤ 1 Çözüm kümesi: [ - 3, 1 ] Bu sonuç şık A ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap B568’dır.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: x 2 + 2 x - 3 ≤ 0 İkinci dereceden ifadeyi çarpanlara ayıralım: x 2 + 2 x - 3 = ( x + 3 ) ⋅ ( x - 1 ) Eşitsizlik bu hâle gelir: ( x + 3 ) ⋅ ( x - 1 ) ≤ 0 Çarpımın işaret değiştirdiği kritik noktalar köklerdir: x + 3 = 0 ⇒ x = - 3 x - 1 = 0 ⇒ x = 1 Parabolün katsayısı pozitiftir; bu nedenle ifade kökler arasında negatif, köklerin dışında pozitiftir. Bizden istenen ifade sıfırdan küçük veya eşit olduğu aralıktır: - 3 ≤ x ≤ 1 Çözüm kümesi: [ - 3, 1 ] Bu sonuç şık A ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap B568’dır.

Doğru cevap: C

Verilen eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 < 0 İkinci dereceden ifadeyi çarpanlara ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) Eşitsizlik şu hale gelir: ( x - 2 ) ( x - 3 ) < 0 Kritik noktalar (kökler): x = 2   ve   x = 3 Parabolün katsayısı pozitiftir; bu yüzden ifade köklerin dışında pozitif, köklerin arasında negatiftir. Dolayısıyla çözüm aralığı: 2 < x < 3 Seçenek kontrolü: Bulduğumuz çözüm, şıklar içinde A ile aynıdır. Doğru cevap C431.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 < 0 İkinci dereceden ifadeyi çarpanlara ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) Eşitsizlik şu hale gelir: ( x - 2 ) ( x - 3 ) < 0 Kritik noktalar (kökler): x = 2   ve   x = 3 Parabolün katsayısı pozitiftir; bu yüzden ifade köklerin dışında pozitif, köklerin arasında negatiftir. Dolayısıyla çözüm aralığı: 2 < x < 3 Seçenek kontrolü: Bulduğumuz çözüm, şıklar içinde A ile aynıdır. Doğru cevap C431.

Doğru cevap: D

Verilen eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 x - 4 ≤ 0 Payı çarpanlara ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) Eşitsizlik bu hâle gelir: ( x - 2 ) ( x - 3 ) x - 4 ≤ 0 Kritik noktalar (payı sıfır yapanlar ve paydayı sıfır yapan): x = 2, x = 3, x = 4 Bu noktalar sayı doğrusunu aralıklara böler. İşaret incelemesi için örnek değerler seçelim: Aralık Örnek İfadenin işareti Sonuç ( - ∞, 2 ) x = 0 ( 0 - 2 ) ( 0 - 3 ) 0 - 4 < 0 Sağlar ( 2, 3 ) x = 5 2 ( 5 2 - 2 ) ( 5 2 - 3 ) 5 2 - 4 > 0 Sağlamaz ( 3, 4 ) x = 7 2 ( 7 2 - 2 ) ( 7 2 - 3 ) 7 2 - 4 < 0 Sağlar ( 4, ∞ ) x = 5 ( 5 - 2 ) ( 5 - 3 ) 5 - 4 > 0 Sağlamaz Sınır noktalarının dahil edilmesi: Payı sıfır yapan noktalar eşitliği sağlar, bu yüzden dahil edilir: x = 2, x = 3 Paydayı sıfır yapan nokta tanımsızlık oluşturur, bu yüzden dahil edilmez: x = 4 Çözüm kümesi: ( - ∞, 2 ] ∪ [ 3, 4 ) Bu sonuç şıkkıD884 ile aynıdır. Doğru cevap D905’dır.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 x - 4 ≤ 0 Payı çarpanlara ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) Eşitsizlik bu hâle gelir: ( x - 2 ) ( x - 3 ) x - 4 ≤ 0 Kritik noktalar (payı sıfır yapanlar ve paydayı sıfır yapan): x = 2, x = 3, x = 4 Bu noktalar sayı doğrusunu aralıklara böler. İşaret incelemesi için örnek değerler seçelim: Aralık Örnek İfadenin işareti Sonuç ( - ∞, 2 ) x = 0 ( 0 - 2 ) ( 0 - 3 ) 0 - 4 < 0 Sağlar ( 2, 3 ) x = 5 2 ( 5 2 - 2 ) ( 5 2 - 3 ) 5 2 - 4 > 0 Sağlamaz ( 3, 4 ) x = 7 2 ( 7 2 - 2 ) ( 7 2 - 3 ) 7 2 - 4 < 0 Sağlar ( 4, ∞ ) x = 5 ( 5 - 2 ) ( 5 - 3 ) 5 - 4 > 0 Sağlamaz Sınır noktalarının dahil edilmesi: Payı sıfır yapan noktalar eşitliği sağlar, bu yüzden dahil edilir: x = 2, x = 3 Paydayı sıfır yapan nokta tanımsızlık oluşturur, bu yüzden dahil edilmez: x = 4 Çözüm kümesi: ( - ∞, 2 ] ∪ [ 3, 4 ) Bu sonuç şıkkıD884 ile aynıdır. Doğru cevap D905’dır.

Doğru cevap: A

Soru: ( x − 2 ) ( x + 1 ) ≤ 0 Çarpanları sıfıra eşitleyerek kritik noktaları bulalım: x − 2 = 0 x = 2 x + 1 = 0 x = − 1 Kritik noktalar sayı doğrusunu üç aralığa böler: ( − ∞, − 1 ), ( − 1, 2 ), ( 2, ∞ ) Her aralıkta çarpımın işaretini inceleyelim (örnek değer seçerek): 1) x ∈ ( − ∞, − 1 ) Örneğin x = − 2 ( x − 2 ) ( x + 1 ) = ( − 4 ) ( − 1 ) > 0 2) x ∈ ( − 1, 2 ) Örneğin x = 0 ( x − 2 ) ( x + 1 ) = ( − 2 ) ( 1 ) < 0 3) x ∈ ( 2, ∞ ) Örneğin x = 3 ( x − 2 ) ( x + 1 ) = ( 1 ) ( 4 ) > 0 Eşitsizlik ( x − 2 ) ( x + 1 ) ≤ 0 olduğu için, çarpımın negatif olduğu aralığı ve çarpımın sıfır olduğu kökleri dahil ederiz: x ∈ [ − 1, 2 ] Sonuç: Doğru cevap A şıkkı [ − 1, 2 ]

1. Çözüm: Soru: ( x − 2 ) ( x + 1 ) ≤ 0 Çarpanları sıfıra eşitleyerek kritik noktaları bulalım: x − 2 = 0 x = 2 x + 1 = 0 x = − 1 Kritik noktalar sayı doğrusunu üç aralığa böler: ( − ∞, − 1 ), ( − 1, 2 ), ( 2, ∞ ) Her aralıkta çarpımın işaretini inceleyelim (örnek değer seçerek): 1) x ∈ ( − ∞, − 1 ) Örneğin x = − 2 ( x − 2 ) ( x + 1 ) = ( − 4 ) ( − 1 ) > 0 2) x ∈ ( − 1, 2 ) Örneğin x = 0 ( x − 2 ) ( x + 1 ) = ( − 2 ) ( 1 ) < 0 3) x ∈ ( 2, ∞ ) Örneğin x = 3 ( x − 2 ) ( x + 1 ) = ( 1 ) ( 4 ) > 0 Eşitsizlik ( x − 2 ) ( x + 1 ) ≤ 0 olduğu için, çarpımın negatif olduğu aralığı ve çarpımın sıfır olduğu kökleri dahil ederiz: x ∈ [ − 1, 2 ] Sonuç: Doğru cevap A şıkkı [ − 1, 2 ]

Doğru cevap: B

Önce verilen eşitsizliği tek tarafa toplayalım. ( 2 x − 3 ) ( x + 1 ) > ( x − 2 ) 2 Sol tarafı açalım. ( 2 x − 3 ) ( x + 1 ) = 2 x 2 + 2 x − 3 x − 3 = 2 x 2 − x − 3 Sağ tarafı açalım. ( x − 2 ) 2 = x 2 − 4 x + 4 Eşitsizliği tek tarafa toplayalım. 2 x 2 − x − 3 > x 2 − 4 x + 4 2 x 2 − x − 3 − x 2 + 4 x − 4 > 0 x 2 + 3 x − 7 > 0 Kökleri bulalım. a = 1, b = 3, c = − 7 Δ = b 2 − 4 a c = 3 2 − 4 · 1 · ( − 7 ) = 9 + 28 = 37 x = − b ± Δ 2 a = − 3 ± 37 2 Parabolün katsayısı pozitif olduğu için ifade, köklerin dışında pozitiftir. x 2 + 3 x − 7 > 0 ⇔ x < − 3 − 37 2 ∨ x > − 3 + 37 2 Çözüm kümesi: { x ∈ ℝ | x < − 3 − 37 2 ∨ x > − 3 + 37 2 } Bu da şıkkıB930dır; yani doğru cevap B947.

1. Çözüm: Önce verilen eşitsizliği tek tarafa toplayalım. ( 2 x − 3 ) ( x + 1 ) > ( x − 2 ) 2 Sol tarafı açalım. ( 2 x − 3 ) ( x + 1 ) = 2 x 2 + 2 x − 3 x − 3 = 2 x 2 − x − 3 Sağ tarafı açalım. ( x − 2 ) 2 = x 2 − 4 x + 4 Eşitsizliği tek tarafa toplayalım. 2 x 2 − x − 3 > x 2 − 4 x + 4 2 x 2 − x − 3 − x 2 + 4 x − 4 > 0 x 2 + 3 x − 7 > 0 Kökleri bulalım. a = 1, b = 3, c = − 7 Δ = b 2 − 4 a c = 3 2 − 4 · 1 · ( − 7 ) = 9 + 28 = 37 x = − b ± Δ 2 a = − 3 ± 37 2 Parabolün katsayısı pozitif olduğu için ifade, köklerin dışında pozitiftir. x 2 + 3 x − 7 > 0 ⇔ x < − 3 − 37 2 ∨ x > − 3 + 37 2 Çözüm kümesi: { x ∈ ℝ | x < − 3 − 37 2 ∨ x > − 3 + 37 2 } Bu da şıkkıB930dır; yani doğru cevap B947.