11. Sınıf Matematik 2 Dereceden Eşitsizlikler Testleri

Doğru cevap: B

Verilen eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 < 0 İkinci dereceden ifadeyi çarpanlara ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) Eşitsizlik bu hâle gelir: ( x - 2 ) ( x - 3 ) < 0 Kritik noktalar (kökler) çarpanları sıfır yapan değerlerdir: x - 2 = 0  ⇒  x = 2 x - 3 = 0  ⇒  x = 3 Parabolün baş katsayısı pozitif olduğu için ifade köklerin dışında pozitif, köklerin arasında negatiftir. Biz negatif olduğu aralığı istiyoruz: 2 < x < 3 Dolayısıyla çözüm kümesi: ( 2, 3 ) Bu aralık seçeneklerde şıkkıB517dır. Doğru cevap: B529.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 < 0 İkinci dereceden ifadeyi çarpanlara ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) Eşitsizlik bu hâle gelir: ( x - 2 ) ( x - 3 ) < 0 Kritik noktalar (kökler) çarpanları sıfır yapan değerlerdir: x - 2 = 0  ⇒  x = 2 x - 3 = 0  ⇒  x = 3 Parabolün baş katsayısı pozitif olduğu için ifade köklerin dışında pozitif, köklerin arasında negatiftir. Biz negatif olduğu aralığı istiyoruz: 2 < x < 3 Dolayısıyla çözüm kümesi: ( 2, 3 ) Bu aralık seçeneklerde şıkkıB517dır. Doğru cevap: B529.

Doğru cevap: C

1) Verilen eşitsizlik: x 2 − 5 x + 4 ≤ 0 2) İkinci dereceden ifadeyi çarpanlara ayıralım: x 2 − 5 x + 4 = ( x − 1 ) ( x − 4 ) 3) Eşitsizliği bu şekilde yazalım: ( x − 1 ) ( x − 4 ) ≤ 0 4) Kritik noktalar (kökler) çarpanları sıfır yapan değerlerdir: x = 1 ve x = 4 5) Katsayı pozitif olduğundan parabol yukarı açılır; ifade kökler arasında negatif, köklerin dışında pozitiftir. Eşitlik de kabul edildiği için uçlar dahildir: x ∈ [ 1, 4 ] 6) Şıklara göre çözüm kümesi şıkkıC466dır. Yani “A doğru mu?” kontrolü: Evet, A doğrudur.

1. Çözüm: 1) Verilen eşitsizlik: x 2 − 5 x + 4 ≤ 0 2) İkinci dereceden ifadeyi çarpanlara ayıralım: x 2 − 5 x + 4 = ( x − 1 ) ( x − 4 ) 3) Eşitsizliği bu şekilde yazalım: ( x − 1 ) ( x − 4 ) ≤ 0 4) Kritik noktalar (kökler) çarpanları sıfır yapan değerlerdir: x = 1 ve x = 4 5) Katsayı pozitif olduğundan parabol yukarı açılır; ifade kökler arasında negatif, köklerin dışında pozitiftir. Eşitlik de kabul edildiği için uçlar dahildir: x ∈ [ 1, 4 ] 6) Şıklara göre çözüm kümesi şıkkıC466dır. Yani “A doğru mu?” kontrolü: Evet, A doğrudur.

Doğru cevap: D

Soru: Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulalım. ( x 2 - 6 x + 5 ) ( x 2 - 2 x - 3 ) < 0 1) Çarpanlara ayıralım. x 2 - 6 x + 5 = ( x - 1 ) ( x - 5 ) x 2 - 2 x - 3 = ( x - 3 ) ( x + 1 ) 2) Eşitsizliği çarpanlarına ayrılmış hâliyle yazalım. ( x - 1 ) ( x - 5 ) ( x - 3 ) ( x + 1 ) < 0 3) Kritik noktalar (kökler) şunlardır: x = - 1, 1, 3, 5 Bu noktalar sayı doğrusunu 5 aralığa böler; her aralıkta ifadenin işareti sabittir. 4) En sağdan başlayarak işaret inceleyelim: En büyük dereceli terim çarpımı pozitif olduğundan, sağ uçta (büyük değerlerde) ifade pozitiftir. Her kökten geçerken işaret değişir (tüm kökler tek katlıdır). Buna göre aralıkların işaretleri: • Pozitif: ( 5, ∞ ) • Negatif: ( 3, 5 ) • Pozitif: ( 1, 3 ) • Negatif: ( - 1, 1 ) • Pozitif: ( - ∞, - 1 ) 5) Bizden istenen ifade negatif olduğu aralıklar olduğuna göre çözüm kümesi: ( - 1, 1 ) ∪ ( 3, 5 ) Dolayısıyla doğru seçenek D903 ’dır.

1. Çözüm: Soru: Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulalım. ( x 2 - 6 x + 5 ) ( x 2 - 2 x - 3 ) < 0 1) Çarpanlara ayıralım. x 2 - 6 x + 5 = ( x - 1 ) ( x - 5 ) x 2 - 2 x - 3 = ( x - 3 ) ( x + 1 ) 2) Eşitsizliği çarpanlarına ayrılmış hâliyle yazalım. ( x - 1 ) ( x - 5 ) ( x - 3 ) ( x + 1 ) < 0 3) Kritik noktalar (kökler) şunlardır: x = - 1, 1, 3, 5 Bu noktalar sayı doğrusunu 5 aralığa böler; her aralıkta ifadenin işareti sabittir. 4) En sağdan başlayarak işaret inceleyelim: En büyük dereceli terim çarpımı pozitif olduğundan, sağ uçta (büyük değerlerde) ifade pozitiftir. Her kökten geçerken işaret değişir (tüm kökler tek katlıdır). Buna göre aralıkların işaretleri: • Pozitif: ( 5, ∞ ) • Negatif: ( 3, 5 ) • Pozitif: ( 1, 3 ) • Negatif: ( - 1, 1 ) • Pozitif: ( - ∞, - 1 ) 5) Bizden istenen ifade negatif olduğu aralıklar olduğuna göre çözüm kümesi: ( - 1, 1 ) ∪ ( 3, 5 ) Dolayısıyla doğru seçenek D903 ’dır.

Doğru cevap: A

Verilen eşitsizlik: ( x - 1 ) ( x + 3 ) ≤ 0 Çarpımın sıfır olduğu değerleri bulalım (kritik noktalar): ( x - 1 ) ( x + 3 ) = 0 Her bir çarpanı sıfıra eşitleyelim: x - 1 = 0 ⇒ x = 1 x + 3 = 0 ⇒ x = - 3 Kritik noktalar sayı doğrusunu şu aralıklara ayırır: ( - ∞, - 3 ), ( - 3, 1 ), ( 1, ∞ ) İşaret analizi: Kökler arasında çarpım negatif, köklerin dışında pozitiftir; köklerde ise çarpım sıfırdır. Aralık Çarpımın işareti ( - ∞, - 3 ) + ( - 3, 1 ) - ( 1, ∞ ) + x = - 3 0 x = 1 0 İstenen: ( x - 1 ) ( x + 3 ) ≤ 0 Bu nedenle negatif olduğu aralık ve sıfır olduğu uç noktalar birlikte alınır: x ∈ [ - 3, 1 ] Sonuç: Doğru cevap şıklar içinde A seçeneğidir.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: ( x - 1 ) ( x + 3 ) ≤ 0 Çarpımın sıfır olduğu değerleri bulalım (kritik noktalar): ( x - 1 ) ( x + 3 ) = 0 Her bir çarpanı sıfıra eşitleyelim: x - 1 = 0 ⇒ x = 1 x + 3 = 0 ⇒ x = - 3 Kritik noktalar sayı doğrusunu şu aralıklara ayırır: ( - ∞, - 3 ), ( - 3, 1 ), ( 1, ∞ ) İşaret analizi: Kökler arasında çarpım negatif, köklerin dışında pozitiftir; köklerde ise çarpım sıfırdır. Aralık Çarpımın işareti ( - ∞, - 3 ) + ( - 3, 1 ) - ( 1, ∞ ) + x = - 3 0 x = 1 0 İstenen: ( x - 1 ) ( x + 3 ) ≤ 0 Bu nedenle negatif olduğu aralık ve sıfır olduğu uç noktalar birlikte alınır: x ∈ [ - 3, 1 ] Sonuç: Doğru cevap şıklar içinde A seçeneğidir.

Doğru cevap: B

Doğru cevap: B. Verilen eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 x 2 - 9 ≥ 0 Pay ve paydayı çarpanlarına ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) x 2 - 9 = ( x - 3 ) ( x + 3 ) Bu durumda ifade: ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 3 ) ( x + 3 ) ≥ 0 Tanım gereği paydayı sıfır yapan değerler yasaktır: x 2 - 9 ≠ 0 ( x - 3 ) ( x + 3 ) ≠ 0 x ≠ 3, x ≠ - 3 Ortak çarpan sadeleşse bile, tanım kümesinden çıkarılan değer geri gelemez. Sadeleşmiş ifade: ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 3 ) ( x + 3 ) ≥ 0 x - 2 x + 3 ≥ 0 ve x ≠ - 3, x ≠ 3 Kritik noktalar: payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan değerler: x = 2, x = - 3, x = 3 İşaret incelemesi (aralıklar): 1) x < - 3 x - 2 < 0, x + 3 < 0 ⇒ x - 2 x + 3 > 0 2) - 3 < x < 2 x - 2 < 0, x + 3 > 0 ⇒ x - 2 x + 3 < 0 3) x = 2 x - 2 x + 3 = 0 ⇒ x = 2 çözüme dahildir. 4) 2 < x < 3 x - 2 > 0, x + 3 > 0 ⇒ x - 2 x + 3 > 0 5) x = 3 x 2 - 9 = 0 ⇒ ifade tanımsız, bu yüzden x = 3 çözüme dahil değildir. 6) x > 3 x - 2 > 0, x + 3 > 0 ⇒ x - 2 x + 3 > 0 Bu bilgilere göre çözüm kümesi: ( - ∞, - 3 ) ∪ [ 2, 3 ) ∪ ( 3, ∞ ) Bu da şıklardan B ile aynıdır.

1. Çözüm: Doğru cevap: B. Verilen eşitsizlik: x 2 - 5 x + 6 x 2 - 9 ≥ 0 Pay ve paydayı çarpanlarına ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) x 2 - 9 = ( x - 3 ) ( x + 3 ) Bu durumda ifade: ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 3 ) ( x + 3 ) ≥ 0 Tanım gereği paydayı sıfır yapan değerler yasaktır: x 2 - 9 ≠ 0 ( x - 3 ) ( x + 3 ) ≠ 0 x ≠ 3, x ≠ - 3 Ortak çarpan sadeleşse bile, tanım kümesinden çıkarılan değer geri gelemez. Sadeleşmiş ifade: ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 3 ) ( x + 3 ) ≥ 0 x - 2 x + 3 ≥ 0 ve x ≠ - 3, x ≠ 3 Kritik noktalar: payı sıfır yapan ve paydayı sıfır yapan değerler: x = 2, x = - 3, x = 3 İşaret incelemesi (aralıklar): 1) x < - 3 x - 2 < 0, x + 3 < 0 ⇒ x - 2 x + 3 > 0 2) - 3 < x < 2 x - 2 < 0, x + 3 > 0 ⇒ x - 2 x + 3 < 0 3) x = 2 x - 2 x + 3 = 0 ⇒ x = 2 çözüme dahildir. 4) 2 < x < 3 x - 2 > 0, x + 3 > 0 ⇒ x - 2 x + 3 > 0 5) x = 3 x 2 - 9 = 0 ⇒ ifade tanımsız, bu yüzden x = 3 çözüme dahil değildir. 6) x > 3 x - 2 > 0, x + 3 > 0 ⇒ x - 2 x + 3 > 0 Bu bilgilere göre çözüm kümesi: ( - ∞, - 3 ) ∪ [ 2, 3 ) ∪ ( 3, ∞ ) Bu da şıklardan B ile aynıdır.

Doğru cevap: C

Soru: Verilen eşitsizliği sağlayan değerler isteniyor. x 2 − 5 x + 6 ≤ 0 Önce ilgili ikinci dereceden ifadenin sıfır olduğu durumları bulalım. x 2 − 5 x + 6 = 0 Çarpanlara ayıralım. x 2 − 5 x + 6 = ( x − 2 ) ( x − 3 ) Buna göre kökler: x = 2 x = 3 Eşitsizlik, çarpımın sıfır veya negatif olduğu aralığı ister. ( x − 2 ) ( x − 3 ) ≤ 0 İkinci dereceden ifade, katsayısı pozitif olduğu için köklerin arasında (kökler dahil) negatif veya sıfır olur. x ∈ [ 2, 3 ] Sonuç: Doğru seçenek C517’dir. [ 2, 3 ]

1. Çözüm: Soru: Verilen eşitsizliği sağlayan değerler isteniyor. x 2 − 5 x + 6 ≤ 0 Önce ilgili ikinci dereceden ifadenin sıfır olduğu durumları bulalım. x 2 − 5 x + 6 = 0 Çarpanlara ayıralım. x 2 − 5 x + 6 = ( x − 2 ) ( x − 3 ) Buna göre kökler: x = 2 x = 3 Eşitsizlik, çarpımın sıfır veya negatif olduğu aralığı ister. ( x − 2 ) ( x − 3 ) ≤ 0 İkinci dereceden ifade, katsayısı pozitif olduğu için köklerin arasında (kökler dahil) negatif veya sıfır olur. x ∈ [ 2, 3 ] Sonuç: Doğru seçenek C517’dir. [ 2, 3 ]

Doğru cevap: D

Verilen eşitsizlik: x 2 − 5 x + 6 ≤ 0 İkinci dereceden ifadeyi çarpanlara ayıralım: x 2 − 5 x + 6 = ( x − 2 ) ( x − 3 ) Eşitsizlik şu hale gelir: ( x − 2 ) ( x − 3 ) ≤ 0 Kritik noktalar (çarpanları sıfır yapan değerler): x = 2,   x = 3 Parabolün katsayısı pozitif olduğu için ifade köklerin dışında pozitif, köklerin arasında (ve köklerde) negatiftir/sıfırdır. Bu nedenle çözüm aralığı: 2 ≤ x ≤ 3 Çözüm kümesi: { x ∣ 2 ≤ x ≤ 3 } Sonuç: Doğru cevap D534 şıkkıdır.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: x 2 − 5 x + 6 ≤ 0 İkinci dereceden ifadeyi çarpanlara ayıralım: x 2 − 5 x + 6 = ( x − 2 ) ( x − 3 ) Eşitsizlik şu hale gelir: ( x − 2 ) ( x − 3 ) ≤ 0 Kritik noktalar (çarpanları sıfır yapan değerler): x = 2,   x = 3 Parabolün katsayısı pozitif olduğu için ifade köklerin dışında pozitif, köklerin arasında (ve köklerde) negatiftir/sıfırdır. Bu nedenle çözüm aralığı: 2 ≤ x ≤ 3 Çözüm kümesi: { x ∣ 2 ≤ x ≤ 3 } Sonuç: Doğru cevap D534 şıkkıdır.

Doğru cevap: A

Verilen eşitsizlik: x 2 - 6 x + k < 0 Karekök/tepe noktasına göre düzenleyelim: x 2 - 6 x + k = ( x - 3 ) 2 + k - 9 Buna göre eşitsizlik: ( x - 3 ) 2 < 9 - k Sol taraf her zaman: ( x - 3 ) 2 ≥ 0 Bu yüzden çözüm olması için sağ tarafın pozitif olması gerekir: 9 - k > 0 k < 9 Kısaca: | x - 3 | < 9 - k Dolayısıyla reel çözüm aralığı: 3 - 9 - k < x < 3 + 9 - k Tam sayı çözüm sayısının 5 olması isteniyor. Merkez 3 olduğundan, 5 tam sayı çözüm ancak şu küme olduğunda olur: { 1, 2, 3, 4, 5 } Bunun olması için aralığın 1 ve 5 i kapsaması, ama 0 ve 6 yı kapsamaması gerekir: 3 - 9 - k < 1 5 < 3 + 9 - k 0 ≤ 3 - 9 - k 3 + 9 - k ≤ 6 Bu dört koşul, kök uzunluğu için şu aralığı verir: 2 < 9 - k ≤ 3 Karesini alalım (pozitif aralıkta olduğumuz için yön değişmez): 4 < 9 - k ≤ 9 Düzenleyelim: 0 ≤ k < 5 Tam sayı k değerleri: { 0, 1, 2, 3, 4 } Toplam: 5 Sonuç: Doğru seçenek A ’dır.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: x 2 - 6 x + k < 0 Karekök/tepe noktasına göre düzenleyelim: x 2 - 6 x + k = ( x - 3 ) 2 + k - 9 Buna göre eşitsizlik: ( x - 3 ) 2 < 9 - k Sol taraf her zaman: ( x - 3 ) 2 ≥ 0 Bu yüzden çözüm olması için sağ tarafın pozitif olması gerekir: 9 - k > 0 k < 9 Kısaca: | x - 3 | < 9 - k Dolayısıyla reel çözüm aralığı: 3 - 9 - k < x < 3 + 9 - k Tam sayı çözüm sayısının 5 olması isteniyor. Merkez 3 olduğundan, 5 tam sayı çözüm ancak şu küme olduğunda olur: { 1, 2, 3, 4, 5 } Bunun olması için aralığın 1 ve 5 i kapsaması, ama 0 ve 6 yı kapsamaması gerekir: 3 - 9 - k < 1 5 < 3 + 9 - k 0 ≤ 3 - 9 - k 3 + 9 - k ≤ 6 Bu dört koşul, kök uzunluğu için şu aralığı verir: 2 < 9 - k ≤ 3 Karesini alalım (pozitif aralıkta olduğumuz için yön değişmez): 4 < 9 - k ≤ 9 Düzenleyelim: 0 ≤ k < 5 Tam sayı k değerleri: { 0, 1, 2, 3, 4 } Toplam: 5 Sonuç: Doğru seçenek A ’dır.

Doğru cevap: B

Verilen eşitsizlik: | x 2 - 4 x + 1 | ≥ 3 Mutlak değerli eşitsizliği iki duruma ayırırız: x 2 - 4 x + 1 ≥ 3 x 2 - 4 x + 1 ≤ - 3 1. durum: x 2 - 4 x + 1 ≥ 3 Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: x 2 - 4 x - 2 ≥ 0 Kökleri bulalım: x 2 - 4 x - 2 = 0 x = 4 ± 4 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ ( - 2 ) 2 x = 4 ± 16 + 8 2 x = 4 ± 24 2 x = 4 ± 2 6 2 x = 2 ± 6 Parabol yukarı doğru olduğundan, ifade sıfırdan büyük-eşit olduğu bölgeler köklerin dışıdır: x ≤ 2 - 6 x ≥ 2 + 6 2. durum: x 2 - 4 x + 1 ≤ - 3 Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: x 2 - 4 x + 4 ≤ 0 Tam kare yazalım: ( x - 2 ) 2 ≤ 0 Bir karenin sıfırdan küçük-eşit olabilmesi için sıfır olması gerekir: ( x - 2 ) 2 = 0 x = 2 Çözüm kümelerini birleştiririz: ( - ∞, 2 - 6 ] ∪ { 2 } ∪ [ 2 + 6, ∞ ) Bu sonuç, verilen şıklardan seçeneğiB901 ile aynıdır.

1. Çözüm: Verilen eşitsizlik: | x 2 - 4 x + 1 | ≥ 3 Mutlak değerli eşitsizliği iki duruma ayırırız: x 2 - 4 x + 1 ≥ 3 x 2 - 4 x + 1 ≤ - 3 1. durum: x 2 - 4 x + 1 ≥ 3 Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: x 2 - 4 x - 2 ≥ 0 Kökleri bulalım: x 2 - 4 x - 2 = 0 x = 4 ± 4 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ ( - 2 ) 2 x = 4 ± 16 + 8 2 x = 4 ± 24 2 x = 4 ± 2 6 2 x = 2 ± 6 Parabol yukarı doğru olduğundan, ifade sıfırdan büyük-eşit olduğu bölgeler köklerin dışıdır: x ≤ 2 - 6 x ≥ 2 + 6 2. durum: x 2 - 4 x + 1 ≤ - 3 Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: x 2 - 4 x + 4 ≤ 0 Tam kare yazalım: ( x - 2 ) 2 ≤ 0 Bir karenin sıfırdan küçük-eşit olabilmesi için sıfır olması gerekir: ( x - 2 ) 2 = 0 x = 2 Çözüm kümelerini birleştiririz: ( - ∞, 2 - 6 ] ∪ { 2 } ∪ [ 2 + 6, ∞ ) Bu sonuç, verilen şıklardan seçeneğiB901 ile aynıdır.

Doğru cevap: C

İstenen eşitsizlik: ( x 2 - 5 x + 6 ) ( x 2 - 1 ) < 0 1) Çarpanlara ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) x 2 - 1 = ( x - 1 ) ( x + 1 ) Bu durumda eşitsizlik: ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 1 ) ( x + 1 ) < 0 2) Kritik noktalar (çarpanı sıfır yapan değerler): x = - 1, 1, 2, 3 3) İşaret incelemesi: Katsayı pozitif ve köklerin her biri tek katlı olduğu için işaret, her kökte aralık değiştirirken tersine döner. Sağdan başlayalım: Örnek nokta seçimi: x > 3 Örneğin x = 4 alınırsa dört çarpanın da pozitif olduğu görülür; bu aralıkta ifade pozitiftir. Buna göre aralıkların işaretleri: ( 3, ∞ ) işaret: + ( 2, 3 ) işaret: − ( 1, 2 ) işaret: + ( - 1, 1 ) işaret: − ( - ∞, - 1 ) işaret: + 4) İstenen < 0 olduğu için negatif olduğu aralıkları seçeriz. Köklerde eşitlik olmadığı için uçlar dahil değildir: ( - 1, 1 ) ∪ ( 2, 3 ) Sonuç: Doğru seçenek C853 ’dir.

1. Çözüm: İstenen eşitsizlik: ( x 2 - 5 x + 6 ) ( x 2 - 1 ) < 0 1) Çarpanlara ayıralım: x 2 - 5 x + 6 = ( x - 2 ) ( x - 3 ) x 2 - 1 = ( x - 1 ) ( x + 1 ) Bu durumda eşitsizlik: ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 1 ) ( x + 1 ) < 0 2) Kritik noktalar (çarpanı sıfır yapan değerler): x = - 1, 1, 2, 3 3) İşaret incelemesi: Katsayı pozitif ve köklerin her biri tek katlı olduğu için işaret, her kökte aralık değiştirirken tersine döner. Sağdan başlayalım: Örnek nokta seçimi: x > 3 Örneğin x = 4 alınırsa dört çarpanın da pozitif olduğu görülür; bu aralıkta ifade pozitiftir. Buna göre aralıkların işaretleri: ( 3, ∞ ) işaret: + ( 2, 3 ) işaret: − ( 1, 2 ) işaret: + ( - 1, 1 ) işaret: − ( - ∞, - 1 ) işaret: + 4) İstenen < 0 olduğu için negatif olduğu aralıkları seçeriz. Köklerde eşitlik olmadığı için uçlar dahil değildir: ( - 1, 1 ) ∪ ( 2, 3 ) Sonuç: Doğru seçenek C853 ’dir.