11. Sınıf Matematik 2 Dereceden Eşitsizlikler Test Çöz

1. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesi nedir?
$x^{2} - 5 x + 6 \leq 0$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Önce eşitsizliği yazalım: x 2 − 5 x + 6 ≤ 0 İkinci dereceden ifadeyi çarpanlara ayıralım: x 2 − 5 x + 6 = ( x − 2 ) ( x − 3 ) Eşitsizlik şu hale gelir: ( x − 2 ) ( x − 3 ) ≤ 0 Kökler: x = 2, x = 3 Parabolden veya işaret tablosundan: katsayı pozitif olduğu için ifade kökler arasında negatiftir; ayrıca eşitlik de dahil olduğu için uç noktalar da alınır. Çözüm kümesi: { x ∣ 2 ≤ x ≤ 3 } Bu, şıklardan A ile aynıdır. Doğru cevap: D492.

Çözüm: Önce eşitsizliği yazalım: x 2 − 5 x + 6 ≤ 0 İkinci dereceden ifadeyi çarpanlara ayıralım: x 2 − 5 x + 6 = ( x − 2 ) ( x − 3 ) Eşitsizlik şu hale gelir: ( x − 2 ) ( x − 3 ) ≤ 0 Kökler: x = 2, x = 3 Parabolden veya işaret tablosundan: katsayı pozitif olduğu için ifade kökler arasında negatiftir; ayrıca eşitlik de dahil olduğu için uç noktalar da alınır. Çözüm kümesi: { x ∣ 2 ≤ x ≤ 3 } Bu, şıklardan A ile aynıdır. Doğru cevap: D492.

Önce eşitsizliği yazalım:

x^{2} - 5 x + 6 \leq 0

İkinci dereceden ifadeyi çarpanlara ayıralım:

x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3)

Eşitsizlik şu hale gelir:

(x - 2) (x - 3) \leq 0

Kökler:

x = 2, x = 3

Parabolden veya işaret tablosundan: katsayı pozitif olduğu için ifade kökler arasında negatiftir; ayrıca eşitlik de dahil olduğu için uç noktalar da alınır.

Çözüm kümesi:

{x ∣ 2 \leq x \leq 3}

Bu, şıklardan A ile aynıdır. Doğru cevap: A.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.
$x^{2} - 5 x + 6 \leq 0$

Lütfen önce bir cevap seç.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz:
$\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} - 9} < 0$

Lütfen önce bir cevap seç.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki $x^{2} - 5 x + 6 \leq 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

Lütfen önce bir cevap seç.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
$\{\begin{matrix} x^{2} - 6 x + 5 \geq 0 \\ x^{2} - 2 x - 3 < 0 \end{matrix}$

Lütfen önce bir cevap seç.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan gerçek sayıların kümesini bulun.
$x^{2} - 5 x + 6 < 0$

Lütfen önce bir cevap seç.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesi hangisidir?
$x^{2} - 5 x + 6 < 0$

Lütfen önce bir cevap seç.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesi hangisidir?
$x^{2} - 4 x + 3 \geq 2 | x - 2 |$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Önce verilen eşitsizliği yazalım: x 2 - 4 x + 3 ≥ 2 | x - 2 | Sol tarafı, kare tamamlama ile düzenleyelim: x 2 - 4 x + 3 = ( x - 2 ) 2 - 1 Bunu eşitsizliğe yerleştirelim: ( x - 2 ) 2 - 1 ≥ 2 | x - 2 | Değişken dönüşümü yapalım: t = x - 2 Eşitsizlik şu hale gelir: t 2 - 1 ≥ 2 | t | Şimdi mutlak değeri tek değişkenle ifade edelim: u = | t |, u ≥ 0 Bu durumda eşitsizlik: u 2 - 1 ≥ 2 u Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: u 2 - 2 u - 1 ≥ 0 Kare tamamlayalım: ( u - 1 ) 2 - 2 ≥ 0 Buradan: ( u - 1 ) 2 ≥ 2 Karekök alarak iki durum elde ederiz: u - 1 ≥ 2 ∨ u - 1 ≤ - 2 Ancak u mutlak değer olduğu için negatif olamaz. Bu nedenle ikinci durum mümkün değildir ve: u ≥ 1 + 2 Tekrar u = |t| yazarsak: | t | ≥ 1 + 2 ve t = x − 2 olduğundan: | x - 2 | ≥ 1 + 2 Mutlak değer eşitsizliğini iki parçaya ayıralım: x - 2 ≥ 1 + 2 ∨ x - 2 ≤ - ( 1 + 2 ) Her birini çözelim: x ≥ 3 + 2 ∨ x ≤ 1 - 2 Çözüm kümesini aralık biçiminde yazalım: ( - ∞, 1 - 2 ] ∪ [ 3 + 2, ∞ ) Bu ifade C şıkkı ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap C ’dir.

Çözüm: Önce verilen eşitsizliği yazalım: x 2 - 4 x + 3 ≥ 2 | x - 2 | Sol tarafı, kare tamamlama ile düzenleyelim: x 2 - 4 x + 3 = ( x - 2 ) 2 - 1 Bunu eşitsizliğe yerleştirelim: ( x - 2 ) 2 - 1 ≥ 2 | x - 2 | Değişken dönüşümü yapalım: t = x - 2 Eşitsizlik şu hale gelir: t 2 - 1 ≥ 2 | t | Şimdi mutlak değeri tek değişkenle ifade edelim: u = | t |, u ≥ 0 Bu durumda eşitsizlik: u 2 - 1 ≥ 2 u Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: u 2 - 2 u - 1 ≥ 0 Kare tamamlayalım: ( u - 1 ) 2 - 2 ≥ 0 Buradan: ( u - 1 ) 2 ≥ 2 Karekök alarak iki durum elde ederiz: u - 1 ≥ 2 ∨ u - 1 ≤ - 2 Ancak u mutlak değer olduğu için negatif olamaz. Bu nedenle ikinci durum mümkün değildir ve: u ≥ 1 + 2 Tekrar u = |t| yazarsak: | t | ≥ 1 + 2 ve t = x − 2 olduğundan: | x - 2 | ≥ 1 + 2 Mutlak değer eşitsizliğini iki parçaya ayıralım: x - 2 ≥ 1 + 2 ∨ x - 2 ≤ - ( 1 + 2 ) Her birini çözelim: x ≥ 3 + 2 ∨ x ≤ 1 - 2 Çözüm kümesini aralık biçiminde yazalım: ( - ∞, 1 - 2 ] ∪ [ 3 + 2, ∞ ) Bu ifade C şıkkı ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap C ’dir.

Önce verilen eşitsizliği yazalım:

x^{2} - 4 x + 3 \geq 2 | x - 2 |

Sol tarafı, kare tamamlama ile düzenleyelim:

x^{2} - 4 x + 3 = {(x - 2)}^{2} - 1

Bunu eşitsizliğe yerleştirelim:

{(x - 2)}^{2} - 1 \geq 2 | x - 2 |

Değişken dönüşümü yapalım:

t = x - 2

Eşitsizlik şu hale gelir:

t^{2} - 1 \geq 2 | t |

Şimdi mutlak değeri tek değişkenle ifade edelim:

u = | t |, u \geq 0

Bu durumda eşitsizlik:

u^{2} - 1 \geq 2 u

Tüm terimleri bir tarafa toplayalım:

u^{2} - 2 u - 1 \geq 0

Kare tamamlayalım:

{(u - 1)}^{2} - 2 \geq 0

Buradan:

{(u - 1)}^{2} \geq 2

Karekök alarak iki durum elde ederiz:

u - 1 \geq \sqrt{2} \lor u - 1 \leq - \sqrt{2}

Ancak u mutlak değer olduğu için negatif olamaz. Bu nedenle ikinci durum mümkün değildir ve:

u \geq 1 + \sqrt{2}

Tekrar u = |t| yazarsak:

| t | \geq 1 + \sqrt{2}

ve t = x − 2 olduğundan:

| x - 2 | \geq 1 + \sqrt{2}

Mutlak değer eşitsizliğini iki parçaya ayıralım:

x - 2 \geq 1 + \sqrt{2} \lor x - 2 \leq - (1 + \sqrt{2})

Her birini çözelim:

x \geq 3 + \sqrt{2} \lor x \leq 1 - \sqrt{2}

Çözüm kümesini aralık biçiminde yazalım:

(- \infty, 1 - \sqrt{2}] \cup [3 + \sqrt{2}, \infty)

Bu ifade C şıkkı ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap C’dir.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan $x$ değerleri aralığı hangisidir?
$(x - 2) (x + 3) \leq 0$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Verilen eşitsizlik: x − 2 ⁢ x + 3 ≤ 0 Çarpımın işaret değiştirebileceği kritik noktaları bulmak için her bir çarpanı sıfıra eşitleriz: x − 2 = 0 x = 2 x + 3 = 0 x = − 3 Kritik noktalara göre sayı doğrusu aralıkları: ( − ∞, − 3 ), ( − 3, 2 ), ( 2, ∞ ) Her aralıkta çarpanların işaretini inceleyelim: 1) İlk aralıkta her iki çarpan da negatiftir, çarpım pozitiftir. x − 2 < 0, x + 3 < 0 ⇒ x − 2 ⁢ x + 3 > 0 2) Orta aralıkta bir çarpan negatif, diğeri pozitiftir; çarpım negatiftir. x − 2 < 0, x + 3 > 0 ⇒ x − 2 ⁢ x + 3 < 0 3) Son aralıkta her iki çarpan da pozitiftir, çarpım pozitiftir. x − 2 > 0, x + 3 > 0 ⇒ x − 2 ⁢ x + 3 > 0 Bizden istenen çarpımın sıfırdan küçük veya sıfıra eşit olmasıdır; bu durum orta aralıkta sağlanır ve kökler de dahil edilir. − 3 ≤ x ≤ 2 Sonuç: Doğru cevap D992 şıkkıdır.

Çözüm: Verilen eşitsizlik: x − 2 ⁢ x + 3 ≤ 0 Çarpımın işaret değiştirebileceği kritik noktaları bulmak için her bir çarpanı sıfıra eşitleriz: x − 2 = 0 x = 2 x + 3 = 0 x = − 3 Kritik noktalara göre sayı doğrusu aralıkları: ( − ∞, − 3 ), ( − 3, 2 ), ( 2, ∞ ) Her aralıkta çarpanların işaretini inceleyelim: 1) İlk aralıkta her iki çarpan da negatiftir, çarpım pozitiftir. x − 2 < 0, x + 3 < 0 ⇒ x − 2 ⁢ x + 3 > 0 2) Orta aralıkta bir çarpan negatif, diğeri pozitiftir; çarpım negatiftir. x − 2 < 0, x + 3 > 0 ⇒ x − 2 ⁢ x + 3 < 0 3) Son aralıkta her iki çarpan da pozitiftir, çarpım pozitiftir. x − 2 > 0, x + 3 > 0 ⇒ x − 2 ⁢ x + 3 > 0 Bizden istenen çarpımın sıfırdan küçük veya sıfıra eşit olmasıdır; bu durum orta aralıkta sağlanır ve kökler de dahil edilir. − 3 ≤ x ≤ 2 Sonuç: Doğru cevap D992 şıkkıdır.

Verilen eşitsizlik:

(x - 2) (x + 3) \leq 0

Çarpımın işaret değiştirebileceği kritik noktaları bulmak için her bir çarpanı sıfıra eşitleriz:

x - 2 = 0

x = 2

x + 3 = 0

x = - 3

Kritik noktalara göre sayı doğrusu aralıkları:

(- \infty, - 3), (- 3, 2), (2, \infty)

Her aralıkta çarpanların işaretini inceleyelim:

1) İlk aralıkta her iki çarpan da negatiftir, çarpım pozitiftir.

(x - 2) < 0, (x + 3) < 0 \Rightarrow (x - 2) (x + 3) > 0

2) Orta aralıkta bir çarpan negatif, diğeri pozitiftir; çarpım negatiftir.

(x - 2) < 0, (x + 3) > 0 \Rightarrow (x - 2) (x + 3) < 0

3) Son aralıkta her iki çarpan da pozitiftir, çarpım pozitiftir.

(x - 2) > 0, (x + 3) > 0 \Rightarrow (x - 2) (x + 3) > 0

Bizden istenen çarpımın sıfırdan küçük veya sıfıra eşit olmasıdır; bu durum orta aralıkta sağlanır ve kökler de dahil edilir.

- 3 \leq x \leq 2

Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki eşitsizliğin tüm gerçek $x$ değerleri için doğru olması için $a$ hangi aralıkta olmalıdır?
$(a - 1) x^{2} + 2 x + 1 > 0$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

İfade bir ikinci dereceden fonksiyondur: f ( x ) = ( a - 1 ) x 2 + 2 x + 1 İstenen koşul: f ( x ) > 0 tüm gerçek değerler için sağlanmalıdır. Önce katsayının sıfır olduğu duruma bakalım: a = 1 Bu durumda ifade lineer olur: 2 x + 1 > 0 Bu eşitsizlik tüm gerçek değerler için doğru olamaz. Dolayısıyla a ≠ 1 İkinci dereceden bir ifadenin tüm gerçek değerler için her zaman pozitif olması için parabolün kolları yukarı bakmalı ve gerçek kökü olmamalıdır. Yani: 1) Baş katsayı pozitif olmalı: a - 1 > 0 Buradan: a > 1 2) Diskriminant negatif olmalı: Δ < 0 Burada Δ = b 2 - 4 a c olup, bu soruda A = a - 1, B = 2, C = 1 Dolayısıyla: Δ = 2 2 - 4 ( a - 1 ) ( 1 ) Sadeleştirelim: Δ = 4 - 4 ( a - 1 ) Δ = 4 - 4 a + 4 Δ = 8 - 4 a = 4 ( 2 - a ) Şart: 4 ( 2 - a ) < 0 Buradan: 2 - a < 0 a > 2 Sonuç olarak hem a > 1 hem de a > 2 sağlanmalı; ortak koşul: a > 2 Dolayısıyla doğru cevap A şıkkıdır. a > 2

Çözüm: İfade bir ikinci dereceden fonksiyondur: f ( x ) = ( a - 1 ) x 2 + 2 x + 1 İstenen koşul: f ( x ) > 0 tüm gerçek değerler için sağlanmalıdır. Önce katsayının sıfır olduğu duruma bakalım: a = 1 Bu durumda ifade lineer olur: 2 x + 1 > 0 Bu eşitsizlik tüm gerçek değerler için doğru olamaz. Dolayısıyla a ≠ 1 İkinci dereceden bir ifadenin tüm gerçek değerler için her zaman pozitif olması için parabolün kolları yukarı bakmalı ve gerçek kökü olmamalıdır. Yani: 1) Baş katsayı pozitif olmalı: a - 1 > 0 Buradan: a > 1 2) Diskriminant negatif olmalı: Δ < 0 Burada Δ = b 2 - 4 a c olup, bu soruda A = a - 1, B = 2, C = 1 Dolayısıyla: Δ = 2 2 - 4 ( a - 1 ) ( 1 ) Sadeleştirelim: Δ = 4 - 4 ( a - 1 ) Δ = 4 - 4 a + 4 Δ = 8 - 4 a = 4 ( 2 - a ) Şart: 4 ( 2 - a ) < 0 Buradan: 2 - a < 0 a > 2 Sonuç olarak hem a > 1 hem de a > 2 sağlanmalı; ortak koşul: a > 2 Dolayısıyla doğru cevap A şıkkıdır. a > 2

İfade bir ikinci dereceden fonksiyondur:

f (x) = (a - 1) x^{2} + 2 x + 1

İstenen koşul:

f (x) > 0

tüm gerçek değerler için sağlanmalıdır.

Önce katsayının sıfır olduğu duruma bakalım:

a = 1

Bu durumda ifade lineer olur:

2 x + 1 > 0

Bu eşitsizlik tüm gerçek değerler için doğru olamaz. Dolayısıyla

a \neq 1

İkinci dereceden bir ifadenin tüm gerçek değerler için her zaman pozitif olması için parabolün kolları yukarı bakmalı ve gerçek kökü olmamalıdır. Yani:

1) Baş katsayı pozitif olmalı:

a - 1 > 0

Buradan:

a > 1

2) Diskriminant negatif olmalı:

Δ < 0

Burada

Δ = b^{2} - 4 a c

olup, bu soruda

A = a - 1, B = 2, C = 1

Dolayısıyla:

Δ = 2^{2} - 4 (a - 1) (1)

Sadeleştirelim:

Δ = 4 - 4 (a - 1)

Δ = 4 - 4 a + 4

Δ = 8 - 4 a = 4 (2 - a)

Şart:

4 (2 - a) < 0

Buradan:

2 - a < 0

a > 2

Sonuç olarak hem

a > 1

hem de

a > 2

sağlanmalı; ortak koşul:

a > 2

Dolayısıyla doğru cevap A şıkkıdır.

a > 2

Aralık	Çarpımın işareti
$(- \infty, 2)$	$+$
$(2, 3)$	$-$
$(3, \infty)$	$+$

11. Sınıf Matematik 2 Dereceden Eşitsizlikler Testleri

2. dereceden eşitsizlik nedir?

Çözüm mantığı

Grafikle ilişki

11. Sınıf Matematik 2 Dereceden Eşitsizlikler Testleri

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesi nedir?
$x^{2} - 5 x + 6 \leq 0$

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.
$x^{2} - 5 x + 6 \leq 0$

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz:
$\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} - 9} < 0$

Aşağıdaki $x^{2} - 5 x + 6 \leq 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

Aşağıdaki eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
$\{\begin{matrix} x^{2} - 6 x + 5 \geq 0 \\ x^{2} - 2 x - 3 < 0 \end{matrix}$

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan gerçek sayıların kümesini bulun.
$x^{2} - 5 x + 6 < 0$

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesi hangisidir?
$x^{2} - 5 x + 6 < 0$

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesi hangisidir?
$x^{2} - 4 x + 3 \geq 2 | x - 2 |$

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan $x$ değerleri aralığı hangisidir?
$(x - 2) (x + 3) \leq 0$

Aşağıdaki eşitsizliğin tüm gerçek $x$ değerleri için doğru olması için $a$ hangi aralıkta olmalıdır?
$(a - 1) x^{2} + 2 x + 1 > 0$

2. dereceden eşitsizlikler hakkında sık sorulanlar

11. Sınıf Matematik 2 Dereceden Eşitsizlikler Testleri

2. dereceden eşitsizlik nedir?

Çözüm mantığı

Grafikle ilişki

11. Sınıf Matematik 2 Dereceden Eşitsizlikler Testleri

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesi nedir?x2−5x+6≤0

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.x2-5x+6≤0

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz:x2−5x+6x2−9<0

Aşağıdaki x2−5x+6≤0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

Aşağıdaki eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz.x2-6x+5≥0x2-2x-3<0

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan gerçek sayıların kümesini bulun.x2−5x+6<0

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesi hangisidir?x2-5x+6<0

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesi hangisidir?x2-4x+3≥2|x-2|

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan x değerleri aralığı hangisidir?x−2⁢x+3≤0

Aşağıdaki eşitsizliğin tüm gerçek x değerleri için doğru olması için a hangi aralıkta olmalıdır?(a-1)x2+2x+1>0

2. dereceden eşitsizlikler hakkında sık sorulanlar

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesi nedir?
$x^{2} - 5 x + 6 \leq 0$

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz.
$x^{2} - 5 x + 6 \leq 0$

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz:
$\frac{x^{2} - 5 x + 6}{x^{2} - 9} < 0$

Aşağıdaki $x^{2} - 5 x + 6 \leq 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

Aşağıdaki eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
$\{\begin{matrix} x^{2} - 6 x + 5 \geq 0 \\ x^{2} - 2 x - 3 < 0 \end{matrix}$

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan gerçek sayıların kümesini bulun.
$x^{2} - 5 x + 6 < 0$

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesi hangisidir?
$x^{2} - 5 x + 6 < 0$

Aşağıdaki eşitsizliğin çözüm kümesi hangisidir?
$x^{2} - 4 x + 3 \geq 2 | x - 2 |$

Aşağıdaki eşitsizliği sağlayan $x$ değerleri aralığı hangisidir?
$(x - 2) (x + 3) \leq 0$

Aşağıdaki eşitsizliğin tüm gerçek $x$ değerleri için doğru olması için $a$ hangi aralıkta olmalıdır?
$(a - 1) x^{2} + 2 x + 1 > 0$