10. Sınıf Matematik

10. Sınıf Matematik Olasılık Testleri

Olasılık konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

Olasılığı örnek uzay ve durum sayısıyla öğren

Olasılık, bir olayın gerçekleşme ihtimalini matematiksel olarak ifade eder. Sonuçların ve istenen durumların doğru sayılması temel beceridir.

Bu çalışma; örnek uzayı, olayları, eş olasılıklı durumları, tümleyen olasılığı ve basit olasılık hesaplarını günlük örneklerle pekiştirir.

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

Örnek uzay ve olay kavramlarını ayırt eder.
Basit olasılıkları uygun oranla hesaplar.
Tümleyen olasılığı kullanır.
Sonuçların eş olasılıklı olup olmadığını değerlendirir.

Sık karıştırılan noktalar

Olasılıkta pay istenen durumları, payda ise tüm mümkün durumları gösterir. Sayımların aynı koşullar içinde yapılması gerekir.

Verimli çalışma yolu

Önce tüm sonuçları listele, sonra istenen olayları belirle ve oranı sadeleştir.

Test seç

8 Test

1. Test 2. Test 3. Test 4. Test 5. Test 6. Test 7. Test 8. Test

8. Test

10. Sınıf Matematik Olasılık Testleri

Olasılık konusu 8. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru

0/10 Soru0 %

Doğru 0

Yanlış 0

Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

$12$ soruluk, her sorusu $4$ şıklı bir testte bir öğrenci $5$ soruyu kesin doğru yapıyor; kalan $7$ soruyu ise rastgele işaretliyor.
Öğrencinin toplamda en az $9$ doğru yapma olasılığı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Önce şıkları kontrol edelim: Öğrencinin kesin doğru yaptığı soru sayısı sabit, kalan sorular rastgele işaretleniyor. Kesin doğru sayısı: 5 Rastgele işaretlenen soru sayısı: 7 Her soruda 4 şık olduğundan rastgele işaretlenen bir sorunun doğru olma olasılığı: 1 4 Rastgele işaretlenen sorulardan doğru sayısını X ile gösterelim. O hâlde: X ~ Bin ( 7, 1 4 ) Toplam doğru sayısı en az 9 olsun isteniyor. Toplam doğru: 5 + X Koşul: 5 + X ≥ 9 Buradan: X ≥ 4 İstenen olasılık: P ( X ≥ 4 ) = ∑ k = 4 ( P ( X = k ) ) k = 7 Binom dağılımı ile: P ( X = k ) = C ( 7, k ) ⋅ 1 4 k ⋅ 3 4 7 - k Paydaları eşitlemek için: P ( X ≥ 4 ) = ∑ k = 4 C ( 7, k ) ⋅ 3 7 - k 4 7 Şimdi terimleri tek tek hesaplayalım: k = 4 için: C ( 7, 4 ) ⋅ 3 7 - 4 = 35 ⋅ 3 3 = 35 ⋅ 27 = 945 k = 5 için: C ( 7, 5 ) ⋅ 3 7 - 5 = 21 ⋅ 3 2 = 21 ⋅ 9 = 189 k = 6 için: C ( 7, 6 ) ⋅ 3 7 - 6 = 7 ⋅ 3 1 = 7 ⋅ 3 = 21 k = 7 için: C ( 7, 7 ) ⋅ 3 7 - 7 = 1 ⋅ 3 0 = 1 Paydaki toplam: 945 + 189 + 21 + 1 = 1156 Payda: 4 7 = 16384 Olasılık: P ( X ≥ 4 ) = 1156 16384 Sadeleştirelim: 1156 16384 = 289 4096 Sonuç olarak doğru olasılık: 289 4096 Şık kontrolü: şıkkıD1245 (ve A şıkkı) şu değeri veriyor: 789 4096 Bu değer, bulduğumuz değerle aynı değildir. Dolayısıyla C doğru değil.

Çözüm: Önce şıkları kontrol edelim: Öğrencinin kesin doğru yaptığı soru sayısı sabit, kalan sorular rastgele işaretleniyor. Kesin doğru sayısı: 5 Rastgele işaretlenen soru sayısı: 7 Her soruda 4 şık olduğundan rastgele işaretlenen bir sorunun doğru olma olasılığı: 1 4 Rastgele işaretlenen sorulardan doğru sayısını X ile gösterelim. O hâlde: X ~ Bin ( 7, 1 4 ) Toplam doğru sayısı en az 9 olsun isteniyor. Toplam doğru: 5 + X Koşul: 5 + X ≥ 9 Buradan: X ≥ 4 İstenen olasılık: P ( X ≥ 4 ) = ∑ k = 4 ( P ( X = k ) ) k = 7 Binom dağılımı ile: P ( X = k ) = C ( 7, k ) ⋅ 1 4 k ⋅ 3 4 7 - k Paydaları eşitlemek için: P ( X ≥ 4 ) = ∑ k = 4 C ( 7, k ) ⋅ 3 7 - k 4 7 Şimdi terimleri tek tek hesaplayalım: k = 4 için: C ( 7, 4 ) ⋅ 3 7 - 4 = 35 ⋅ 3 3 = 35 ⋅ 27 = 945 k = 5 için: C ( 7, 5 ) ⋅ 3 7 - 5 = 21 ⋅ 3 2 = 21 ⋅ 9 = 189 k = 6 için: C ( 7, 6 ) ⋅ 3 7 - 6 = 7 ⋅ 3 1 = 7 ⋅ 3 = 21 k = 7 için: C ( 7, 7 ) ⋅ 3 7 - 7 = 1 ⋅ 3 0 = 1 Paydaki toplam: 945 + 189 + 21 + 1 = 1156 Payda: 4 7 = 16384 Olasılık: P ( X ≥ 4 ) = 1156 16384 Sadeleştirelim: 1156 16384 = 289 4096 Sonuç olarak doğru olasılık: 289 4096 Şık kontrolü: şıkkıD1245 (ve A şıkkı) şu değeri veriyor: 789 4096 Bu değer, bulduğumuz değerle aynı değildir. Dolayısıyla C doğru değil.

Önce şıkları kontrol edelim: Öğrencinin kesin doğru yaptığı soru sayısı sabit, kalan sorular rastgele işaretleniyor.

Kesin doğru sayısı:

5

Rastgele işaretlenen soru sayısı:

7

Her soruda 4 şık olduğundan rastgele işaretlenen bir sorunun doğru olma olasılığı:

\frac{1}{4}

Rastgele işaretlenen sorulardan doğru sayısını X ile gösterelim. O hâlde:

X ~ Bin (7, \frac{1}{4})

Toplam doğru sayısı en az 9 olsun isteniyor. Toplam doğru:

5 + X

Koşul:

5 + X \geq 9

Buradan:

X \geq 4

İstenen olasılık:

P (X \geq 4) = \sum_{k = 4} {(P (X = k))}^{k = 7}

Binom dağılımı ile:

P (X = k) = C (7, k) \cdot {\frac{1}{4}}^{k} \cdot {\frac{3}{4}}^{7 - k}

Paydaları eşitlemek için:

P (X \geq 4) = \frac{\sum_{k = 4} C (7, k) \cdot 3^{7 - k}}{4^{7}}

Şimdi terimleri tek tek hesaplayalım:

k = 4 için:

C (7, 4) \cdot 3^{7 - 4} = 35 \cdot 3^{3} = 35 \cdot 27 = 945

k = 5 için:

C (7, 5) \cdot 3^{7 - 5} = 21 \cdot 3^{2} = 21 \cdot 9 = 189

k = 6 için:

C (7, 6) \cdot 3^{7 - 6} = 7 \cdot 3^{1} = 7 \cdot 3 = 21

k = 7 için:

C (7, 7) \cdot 3^{7 - 7} = 1 \cdot 3^{0} = 1

Paydaki toplam:

945 + 189 + 21 + 1 = 1156

Payda:

4^{7} = 16384

Olasılık:

P (X \geq 4) = \frac{1156}{16384}

Sadeleştirelim:

\frac{1156}{16384} = \frac{289}{4096}

Sonuç olarak doğru olasılık:

\frac{289}{4096}

Şık kontrolü: şıkkıD5120 (ve A şıkkı) şu değeri veriyor:

\frac{789}{4096}

Bu değer, bulduğumuz değerle aynı değildir. Dolayısıyla C doğru değil.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Bir torbada $6$ beyaz ve $4$ siyah bilye vardır. Geri koymadan ardışık $3$ bilye çekiliyor.
Çekilen $3$ bilyeden tam olarak $2$ tanesinin beyaz olduğu biliniyor. Buna göre ilk çekilen bilyenin siyah olma olasılığı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Verilen: Torbada 6 beyaz (W) ve 4 siyah (B) bilye var. Geri koymadan 3 bilye çekiliyor. Bilinen koşul: Çekilen 3 bilyeden tam olarak 2 tanesi beyaz (yani 2W ve 1B). İstenen olasılığı olaylarla yazalım: A: “İlk çekilen bilye siyahtır.” E: “3 çekilişte tam olarak 2 beyaz vardır.” Aradığımız: $P(A\mid E)$ (bunu aşağıda MathML ile hesaplayacağız). Koşullu olasılık tanımı: P ( A ∣ E ) = P ( A ∩ E ) P ( E ) Önce $P(E)$ hesaplayalım. E olayı: 3 bilyeden 2’si beyaz ve 1’i siyah gelmesi. Kombinasyonla: P ( E ) = ( 6 2 ) ( 4 1 ) ( 10 3 ) Şimdi bu değeri sadeleştirelim: P ( E ) = ( 6 2 ) ⋅ ( 4 1 ) ( 10 3 ) = 15 ⋅ 4 120 = 60 120 = 1 2 Şimdi $P(A \cap E)$ hesaplayalım. A∩E demek: “İlk bilye siyah, toplamda da tam 2 beyaz (yani kalan 2 çekiliş beyaz)”. Sıralı olasılık: P ( A ∩ E ) = 4 10 ⋅ 6 9 ⋅ 5 8 Bunu sadeleştirelim: P ( A ∩ E ) = 4 ⋅ 6 ⋅ 5 10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 120 720 = 1 6 Artık koşullu olasılığı bulalım: P ( A ∣ E ) = P ( A ∩ E ) P ( E ) = 1 6 1 2 = 1 6 ⋅ 2 1 = 1 3 Sonuç: İlk çekilen bilyenin siyah olma olasılığı 1 3 Bu değer şıklar içinde B ’dir. Yani “doğru cevap A1165 mi?” kontrolü: Evet, B doğrudur.

Çözüm: Verilen: Torbada 6 beyaz (W) ve 4 siyah (B) bilye var. Geri koymadan 3 bilye çekiliyor. Bilinen koşul: Çekilen 3 bilyeden tam olarak 2 tanesi beyaz (yani 2W ve 1B). İstenen olasılığı olaylarla yazalım: A: “İlk çekilen bilye siyahtır.” E: “3 çekilişte tam olarak 2 beyaz vardır.” Aradığımız: $P(A\mid E)$ (bunu aşağıda MathML ile hesaplayacağız). Koşullu olasılık tanımı: P ( A ∣ E ) = P ( A ∩ E ) P ( E ) Önce $P(E)$ hesaplayalım. E olayı: 3 bilyeden 2’si beyaz ve 1’i siyah gelmesi. Kombinasyonla: P ( E ) = ( 6 2 ) ( 4 1 ) ( 10 3 ) Şimdi bu değeri sadeleştirelim: P ( E ) = ( 6 2 ) ⋅ ( 4 1 ) ( 10 3 ) = 15 ⋅ 4 120 = 60 120 = 1 2 Şimdi $P(A \cap E)$ hesaplayalım. A∩E demek: “İlk bilye siyah, toplamda da tam 2 beyaz (yani kalan 2 çekiliş beyaz)”. Sıralı olasılık: P ( A ∩ E ) = 4 10 ⋅ 6 9 ⋅ 5 8 Bunu sadeleştirelim: P ( A ∩ E ) = 4 ⋅ 6 ⋅ 5 10 ⋅ 9 ⋅ 8 = 120 720 = 1 6 Artık koşullu olasılığı bulalım: P ( A ∣ E ) = P ( A ∩ E ) P ( E ) = 1 6 1 2 = 1 6 ⋅ 2 1 = 1 3 Sonuç: İlk çekilen bilyenin siyah olma olasılığı 1 3 Bu değer şıklar içinde B ’dir. Yani “doğru cevap A1165 mi?” kontrolü: Evet, B doğrudur.

Verilen: Torbada 6 beyaz (W) ve 4 siyah (B) bilye var. Geri koymadan 3 bilye çekiliyor. Bilinen koşul: Çekilen 3 bilyeden tam olarak 2 tanesi beyaz (yani 2W ve 1B).

İstenen olasılığı olaylarla yazalım:
A: “İlk çekilen bilye siyahtır.”
E: “3 çekilişte tam olarak 2 beyaz vardır.”
Aradığımız:

P(A\mid E)

(bunu aşağıda MathML ile hesaplayacağız).

Koşullu olasılık tanımı:

P (A ∣ E) = \frac{P (A \cap E)}{P (E)}

Önce

P(E)

hesaplayalım. E olayı: 3 bilyeden 2’si beyaz ve 1’i siyah gelmesi. Kombinasyonla:

P (E) = \frac{(\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix})}

Şimdi bu değeri sadeleştirelim:

P (E) = \frac{(\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix})} = \frac{15 \cdot 4}{120} = \frac{60}{120} = \frac{1}{2}

Şimdi

P(A \cap E)

hesaplayalım. A∩E demek: “İlk bilye siyah, toplamda da tam 2 beyaz (yani kalan 2 çekiliş beyaz)”. Sıralı olasılık:

P (A \cap E) = \frac{4}{10} \cdot \frac{6}{9} \cdot \frac{5}{8}

Bunu sadeleştirelim:

P (A \cap E) = \frac{4 \cdot 6 \cdot 5}{10 \cdot 9 \cdot 8} = \frac{120}{720} = \frac{1}{6}

Artık koşullu olasılığı bulalım:

P (A ∣ E) = \frac{P (A \cap E)}{P (E)} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{6} \cdot \frac{2}{1} = \frac{1}{3}

Sonuç: İlk çekilen bilyenin siyah olma olasılığı

\frac{1}{3}

Bu değer şıklar içinde B’dir. Yani “doğru cevap A4369 mi?” kontrolü: Evet, B doğrudur.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Bir kutuda $5$ beyaz, $4$ siyah ve $3$ kırmızı top vardır. Geri koymadan rastgele $4$ top çekiliyor.
Çekilen toplar arasında en az bir kırmızı top olduğu bilindiğine göre, tam olarak iki beyaz, bir siyah ve bir kırmızı top gelme olasılığı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Olayları tanımlayalım: A: Tam olarak iki beyaz, bir siyah, bir kırmızı gelmesi B: En az bir kırmızı gelmesi İstenen olasılık: P ( A ∩ B ) P ( B ) A olayı zaten bir kırmızı içerdiği için: A ⊂ B Dolayısıyla: P ( A ∩ B ) = P ( A ) Bu yüzden: P ( A | B ) = P ( A ) P ( B ) Toplam top sayısı ve tüm seçim sayısı: 5 + 4 + 3 = 12 C ( 12, 4 ) = 495 1) P(A) hesabı (tam olarak iki beyaz, bir siyah, bir kırmızı): P ( A ) = C ( 5, 2 ) · C ( 4, 1 ) · C ( 3, 1 ) C ( 12, 4 ) P ( A ) = 10 · 4 · 3 495 P ( A ) = 120 495 2) P(B) hesabı (en az bir kırmızı): Önce tersini alalım: hiç kırmızı gelmemesi. Kırmızı olmayan top sayısı: 5 + 4 = 9 P ( hiç kırmızı yok ) = C ( 9, 4 ) C ( 12, 4 ) P ( hiç kırmızı yok ) = 126 495 O hâlde: P ( B ) = 1 - 126 495 P ( B ) = 369 495 3) Koşullu olasılık: P ( A | B ) = 120 495 369 495 P ( A | B ) = 120 369 P ( A | B ) = 40 123 Sonuç: Doğru cevap B853 şıkkıdır.

Çözüm: Olayları tanımlayalım: A: Tam olarak iki beyaz, bir siyah, bir kırmızı gelmesi B: En az bir kırmızı gelmesi İstenen olasılık: P ( A ∩ B ) P ( B ) A olayı zaten bir kırmızı içerdiği için: A ⊂ B Dolayısıyla: P ( A ∩ B ) = P ( A ) Bu yüzden: P ( A | B ) = P ( A ) P ( B ) Toplam top sayısı ve tüm seçim sayısı: 5 + 4 + 3 = 12 C ( 12, 4 ) = 495 1) P(A) hesabı (tam olarak iki beyaz, bir siyah, bir kırmızı): P ( A ) = C ( 5, 2 ) · C ( 4, 1 ) · C ( 3, 1 ) C ( 12, 4 ) P ( A ) = 10 · 4 · 3 495 P ( A ) = 120 495 2) P(B) hesabı (en az bir kırmızı): Önce tersini alalım: hiç kırmızı gelmemesi. Kırmızı olmayan top sayısı: 5 + 4 = 9 P ( hiç kırmızı yok ) = C ( 9, 4 ) C ( 12, 4 ) P ( hiç kırmızı yok ) = 126 495 O hâlde: P ( B ) = 1 - 126 495 P ( B ) = 369 495 3) Koşullu olasılık: P ( A | B ) = 120 495 369 495 P ( A | B ) = 120 369 P ( A | B ) = 40 123 Sonuç: Doğru cevap B853 şıkkıdır.

Olayları tanımlayalım:

A: Tam olarak iki beyaz, bir siyah, bir kırmızı gelmesi

B: En az bir kırmızı gelmesi

İstenen olasılık:

\frac{P (A \cap B)}{P (B)}

A olayı zaten bir kırmızı içerdiği için:

A \subset B

Dolayısıyla:

P (A \cap B) = P (A)

Bu yüzden:

P (A | B) = \frac{P (A)}{P (B)}

Toplam top sayısı ve tüm seçim sayısı:

5 + 4 + 3 = 12

C (12, 4) = 495

1) P(A) hesabı (tam olarak iki beyaz, bir siyah, bir kırmızı):

P (A) = \frac{C (5, 2) \cdot C (4, 1) \cdot C (3, 1)}{C (12, 4)}

P (A) = \frac{10 \cdot 4 \cdot 3}{495}

P (A) = \frac{120}{495}

2) P(B) hesabı (en az bir kırmızı):

Önce tersini alalım: hiç kırmızı gelmemesi. Kırmızı olmayan top sayısı:

5 + 4 = 9

P (hiç kırmızı yok) = \frac{C (9, 4)}{C (12, 4)}

P (hiç kırmızı yok) = \frac{126}{495}

O hâlde:

P (B) = 1 - \frac{126}{495}

P (B) = \frac{369}{495}

3) Koşullu olasılık:

P (A | B) = \frac{\frac{120}{495}}{\frac{369}{495}}

P (A | B) = \frac{120}{369}

P (A | B) = \frac{40}{123}

Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Bir kutuda $4$ kırmızı, $3$ mavi ve $2$ yeşil top vardır. Kutudan geri koymadan $3$ top çekiliyor.
Çekilen toplar arasında en az bir yeşil top olduğu bilindiğine göre, çekilen topların tam olarak $2$ tanesinin kırmızı olma olasılığı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

İstenen olasılık koşullu olasılıktır. Olayları tanımlayalım: A: “Çekilen topların tam olarak iki tanesi kırmızı” G: “Çekilen toplar arasında en az bir yeşil var” Aradığımız değer: P ( A | G ) = P ( A ∩ G ) P ( G ) Toplam top sayısı: 4 + 3 + 2 = 9 Deney uzayı (geri koymadan üç top seçme): ( 9 3 ) = 84 Koşul olayı: en az bir yeşil. Bunun tümleyeni “hiç yeşil gelmemesi”dir. Yeşil olmayan top sayısı: 4 + 3 = 7 Hiç yeşil gelmeme durum sayısı: ( 7 3 ) = 35 En az bir yeşil gelme durum sayısı: 84 - 35 = 49 Şimdi A ∩ G olayını bulalım: “tam olarak iki kırmızı” ve “en az bir yeşil”. Üç top çekildiği için iki kırmızı varsa üçüncü top ya mavi ya yeşildir; ancak en az bir yeşil şartından dolayı üçüncü top mutlaka yeşil olmalıdır. Yani olay tam olarak “iki kırmızı ve bir yeşil”dir. Bu olayın durum sayısı: ( 4 2 ) · ( 2 1 ) = 6 · 2 = 12 Koşullu olasılık: P ( A | G ) = 12 49 Bu değer şıklarla karşılaştırıldığında doğru seçenek C911 ’dir.

Çözüm: İstenen olasılık koşullu olasılıktır. Olayları tanımlayalım: A: “Çekilen topların tam olarak iki tanesi kırmızı” G: “Çekilen toplar arasında en az bir yeşil var” Aradığımız değer: P ( A | G ) = P ( A ∩ G ) P ( G ) Toplam top sayısı: 4 + 3 + 2 = 9 Deney uzayı (geri koymadan üç top seçme): ( 9 3 ) = 84 Koşul olayı: en az bir yeşil. Bunun tümleyeni “hiç yeşil gelmemesi”dir. Yeşil olmayan top sayısı: 4 + 3 = 7 Hiç yeşil gelmeme durum sayısı: ( 7 3 ) = 35 En az bir yeşil gelme durum sayısı: 84 - 35 = 49 Şimdi A ∩ G olayını bulalım: “tam olarak iki kırmızı” ve “en az bir yeşil”. Üç top çekildiği için iki kırmızı varsa üçüncü top ya mavi ya yeşildir; ancak en az bir yeşil şartından dolayı üçüncü top mutlaka yeşil olmalıdır. Yani olay tam olarak “iki kırmızı ve bir yeşil”dir. Bu olayın durum sayısı: ( 4 2 ) · ( 2 1 ) = 6 · 2 = 12 Koşullu olasılık: P ( A | G ) = 12 49 Bu değer şıklarla karşılaştırıldığında doğru seçenek C911 ’dir.

İstenen olasılık koşullu olasılıktır. Olayları tanımlayalım:

A: “Çekilen topların tam olarak iki tanesi kırmızı”

G: “Çekilen toplar arasında en az bir yeşil var”

Aradığımız değer:

P (A | G) = \frac{P (A \cap G)}{P (G)}

Toplam top sayısı:

4 + 3 + 2 = 9

Deney uzayı (geri koymadan üç top seçme):

(\binom{9}{3}) = 84

Koşul olayı: en az bir yeşil. Bunun tümleyeni “hiç yeşil gelmemesi”dir. Yeşil olmayan top sayısı:

4 + 3 = 7

Hiç yeşil gelmeme durum sayısı:

(\binom{7}{3}) = 35

En az bir yeşil gelme durum sayısı:

84 - 35 = 49

Şimdi A ∩ G olayını bulalım: “tam olarak iki kırmızı” ve “en az bir yeşil”. Üç top çekildiği için iki kırmızı varsa üçüncü top ya mavi ya yeşildir; ancak en az bir yeşil şartından dolayı üçüncü top mutlaka yeşil olmalıdır. Yani olay tam olarak “iki kırmızı ve bir yeşil”dir.

Bu olayın durum sayısı:

(\binom{4}{2}) \cdot (\binom{2}{1}) = 6 \cdot 2 = 12

Koşullu olasılık:

P (A | G) = \frac{12}{49}

Bu değer şıklarla karşılaştırıldığında doğru seçenek B’dir.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Bir kutuda $4$ beyaz, $3$ siyah ve $2$ kırmızı top vardır. Kutudan geri koymadan $3$ top çekiliyor.
Çekilen toplarda tam olarak iki farklı renk görüldüğü biliniyorsa, bu iki renkten birinin kırmızı olma olasılığı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Koşullu olasılık isteniyor: “çekilen toplarda tam olarak iki farklı renk görüldüğü” bilgisi altında, bu iki renkten birinin kırmızı olma olasılığı. Önce tüm olası seçim sayısını bulalım (toplam top sayısı: beyaz, siyah, kırmızı toplamı). ( 9 3 ) = 84 Verilen bilgi: “tam olarak iki farklı renk” (yani üç top, iki renkten oluşacak; dağılım mutlaka iki- bir şeklinde olur). Beyaz-siyah ikilisi ile iki renk görülme sayısı: ( 4 2 ) ( 3 1 ) + ( 4 1 ) ( 3 2 ) = 6 · 3 + 4 · 3 = 30 Beyaz-kırmızı ikilisi ile iki renk görülme sayısı: ( 4 2 ) ( 2 1 ) + ( 4 1 ) ( 2 2 ) = 6 · 2 + 4 · 1 = 16 Siyah-kırmızı ikilisi ile iki renk görülme sayısı: ( 3 2 ) ( 2 1 ) + ( 3 1 ) ( 2 2 ) = 3 · 2 + 3 · 1 = 9 Buna göre “tam olarak iki renk” olayının (E) sayısı: 30 + 16 + 9 = 55 Dolayısıyla: P ( E ) = 55 84 İstenen olay (A): “tam olarak iki renk görüldü ve bu iki renkten biri kırmızı”. Bu, kırmızı-beyaz veya kırmızı-siyah ikilileridir. 16 + 9 = 25 Dolayısıyla: P ( A ∩ E ) = 25 84 Koşullu olasılık: P ( A | E ) = P ( A ∩ E ) P ( E ) = 25 84 55 84 = 25 55 = 5 11 Sonuç: Doğru cevap D1050 şıkkıdır.

Çözüm: Koşullu olasılık isteniyor: “çekilen toplarda tam olarak iki farklı renk görüldüğü” bilgisi altında, bu iki renkten birinin kırmızı olma olasılığı. Önce tüm olası seçim sayısını bulalım (toplam top sayısı: beyaz, siyah, kırmızı toplamı). ( 9 3 ) = 84 Verilen bilgi: “tam olarak iki farklı renk” (yani üç top, iki renkten oluşacak; dağılım mutlaka iki- bir şeklinde olur). Beyaz-siyah ikilisi ile iki renk görülme sayısı: ( 4 2 ) ( 3 1 ) + ( 4 1 ) ( 3 2 ) = 6 · 3 + 4 · 3 = 30 Beyaz-kırmızı ikilisi ile iki renk görülme sayısı: ( 4 2 ) ( 2 1 ) + ( 4 1 ) ( 2 2 ) = 6 · 2 + 4 · 1 = 16 Siyah-kırmızı ikilisi ile iki renk görülme sayısı: ( 3 2 ) ( 2 1 ) + ( 3 1 ) ( 2 2 ) = 3 · 2 + 3 · 1 = 9 Buna göre “tam olarak iki renk” olayının (E) sayısı: 30 + 16 + 9 = 55 Dolayısıyla: P ( E ) = 55 84 İstenen olay (A): “tam olarak iki renk görüldü ve bu iki renkten biri kırmızı”. Bu, kırmızı-beyaz veya kırmızı-siyah ikilileridir. 16 + 9 = 25 Dolayısıyla: P ( A ∩ E ) = 25 84 Koşullu olasılık: P ( A | E ) = P ( A ∩ E ) P ( E ) = 25 84 55 84 = 25 55 = 5 11 Sonuç: Doğru cevap D1050 şıkkıdır.

Koşullu olasılık isteniyor: “çekilen toplarda tam olarak iki farklı renk görüldüğü” bilgisi altında, bu iki renkten birinin kırmızı olma olasılığı.

Önce tüm olası seçim sayısını bulalım (toplam top sayısı: beyaz, siyah, kırmızı toplamı).

(\begin{matrix} 9 \\ 3 \end{matrix}) = 84

Verilen bilgi: “tam olarak iki farklı renk” (yani üç top, iki renkten oluşacak; dağılım mutlaka iki- bir şeklinde olur).

Beyaz-siyah ikilisi ile iki renk görülme sayısı:

(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) = 6 \cdot 3 + 4 \cdot 3 = 30

Beyaz-kırmızı ikilisi ile iki renk görülme sayısı:

(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}) = 6 \cdot 2 + 4 \cdot 1 = 16

Siyah-kırmızı ikilisi ile iki renk görülme sayısı:

(\begin{matrix} 3 \\ 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 \\ 2 \end{matrix}) = 3 \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 9

Buna göre “tam olarak iki renk” olayının (E) sayısı:

30 + 16 + 9 = 55

Dolayısıyla:

P (E) = \frac{55}{84}

İstenen olay (A): “tam olarak iki renk görüldü ve bu iki renkten biri kırmızı”. Bu, kırmızı-beyaz veya kırmızı-siyah ikilileridir.

16 + 9 = 25

Dolayısıyla:

P (A \cap E) = \frac{25}{84}

Koşullu olasılık:

P (A | E) = \frac{P}{(} = \frac{\frac{25}{84}}{\frac{55}{84}} = \frac{25}{55} = \frac{5}{11}

Sonuç: Doğru cevap C şıkkıdır.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Bir kutuda $4$ kırmızı, $3$ mavi ve $2$ yeşil top vardır.
Rastgele $3$ top geri koymadan çekiliyor ve çekilen topların tam olarak $2$ farklı renkten oluştuğu biliniyor.
Bu koşul altında, tekrarlanan rengin kırmızı olma olasılığı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Koşul: Çekilen toplar tam olarak iki farklı renkten oluşuyor. Bu, çekilişte bir rengin iki kez, diğer rengin bir kez gelmesi demektir. İstenen: Bu koşul altında tekrarlanan (iki kez gelen) rengin kırmızı olma olasılığı. Önce “tekrarlanan renk kırmızı” durumlarını sayalım: Kırmızı iki tane, mavi bir tane: C ( 4, 2 ) ⋅ C ( 3, 1 ) = 6 ⋅ 3 = 18 Kırmızı iki tane, yeşil bir tane: C ( 4, 2 ) ⋅ C ( 2, 1 ) = 6 ⋅ 2 = 12 Toplam uygun durum sayısı: 18 + 12 = 30 Şimdi koşulu sağlayan (tam olarak iki renk içeren) tüm durumları sayalım. Olası düzenler: iki kırmızı bir mavi, iki kırmızı bir yeşil, iki mavi bir kırmızı, iki mavi bir yeşil, iki yeşil bir kırmızı, iki yeşil bir mavi. İki kırmızı bir mavi: C ( 4, 2 ) ⋅ C ( 3, 1 ) = 18 İki kırmızı bir yeşil: C ( 4, 2 ) ⋅ C ( 2, 1 ) = 12 İki mavi bir kırmızı: C ( 3, 2 ) ⋅ C ( 4, 1 ) = 12 İki mavi bir yeşil: C ( 3, 2 ) ⋅ C ( 2, 1 ) = 6 İki yeşil bir kırmızı: C ( 2, 2 ) ⋅ C ( 4, 1 ) = 4 İki yeşil bir mavi: C ( 2, 2 ) ⋅ C ( 3, 1 ) = 3 Koşulu sağlayan toplam durum sayısı: 18 + 12 + 12 + 6 + 4 + 3 = 55 Koşullu olasılık: P ( tekrarlanan renk kırmızı ∣ tam olarak iki renk ) = 30 55 = 6 11 Sonuç: Doğru cevap A1212 şıkkıdır.

Çözüm: Koşul: Çekilen toplar tam olarak iki farklı renkten oluşuyor. Bu, çekilişte bir rengin iki kez, diğer rengin bir kez gelmesi demektir. İstenen: Bu koşul altında tekrarlanan (iki kez gelen) rengin kırmızı olma olasılığı. Önce “tekrarlanan renk kırmızı” durumlarını sayalım: Kırmızı iki tane, mavi bir tane: C ( 4, 2 ) ⋅ C ( 3, 1 ) = 6 ⋅ 3 = 18 Kırmızı iki tane, yeşil bir tane: C ( 4, 2 ) ⋅ C ( 2, 1 ) = 6 ⋅ 2 = 12 Toplam uygun durum sayısı: 18 + 12 = 30 Şimdi koşulu sağlayan (tam olarak iki renk içeren) tüm durumları sayalım. Olası düzenler: iki kırmızı bir mavi, iki kırmızı bir yeşil, iki mavi bir kırmızı, iki mavi bir yeşil, iki yeşil bir kırmızı, iki yeşil bir mavi. İki kırmızı bir mavi: C ( 4, 2 ) ⋅ C ( 3, 1 ) = 18 İki kırmızı bir yeşil: C ( 4, 2 ) ⋅ C ( 2, 1 ) = 12 İki mavi bir kırmızı: C ( 3, 2 ) ⋅ C ( 4, 1 ) = 12 İki mavi bir yeşil: C ( 3, 2 ) ⋅ C ( 2, 1 ) = 6 İki yeşil bir kırmızı: C ( 2, 2 ) ⋅ C ( 4, 1 ) = 4 İki yeşil bir mavi: C ( 2, 2 ) ⋅ C ( 3, 1 ) = 3 Koşulu sağlayan toplam durum sayısı: 18 + 12 + 12 + 6 + 4 + 3 = 55 Koşullu olasılık: P ( tekrarlanan renk kırmızı ∣ tam olarak iki renk ) = 30 55 = 6 11 Sonuç: Doğru cevap A1212 şıkkıdır.

Koşul: Çekilen toplar tam olarak iki farklı renkten oluşuyor. Bu, çekilişte bir rengin iki kez, diğer rengin bir kez gelmesi demektir.

İstenen: Bu koşul altında tekrarlanan (iki kez gelen) rengin kırmızı olma olasılığı.

Önce “tekrarlanan renk kırmızı” durumlarını sayalım:

Kırmızı iki tane, mavi bir tane:

C (4, 2) \cdot C (3, 1) = 6 \cdot 3 = 18

Kırmızı iki tane, yeşil bir tane:

C (4, 2) \cdot C (2, 1) = 6 \cdot 2 = 12

Toplam uygun durum sayısı:

18 + 12 = 30

Şimdi koşulu sağlayan (tam olarak iki renk içeren) tüm durumları sayalım. Olası düzenler: iki kırmızı bir mavi, iki kırmızı bir yeşil, iki mavi bir kırmızı, iki mavi bir yeşil, iki yeşil bir kırmızı, iki yeşil bir mavi.

İki kırmızı bir mavi:

C (4, 2) \cdot C (3, 1) = 18

İki kırmızı bir yeşil:

C (4, 2) \cdot C (2, 1) = 12

İki mavi bir kırmızı:

C (3, 2) \cdot C (4, 1) = 12

İki mavi bir yeşil:

C (3, 2) \cdot C (2, 1) = 6

İki yeşil bir kırmızı:

C (2, 2) \cdot C (4, 1) = 4

İki yeşil bir mavi:

C (2, 2) \cdot C (3, 1) = 3

Koşulu sağlayan toplam durum sayısı:

18 + 12 + 12 + 6 + 4 + 3 = 55

Koşullu olasılık:

P (tekrarlanan renk kırmızı ∣ tam olarak iki renk) = \frac{30}{55} = \frac{6}{11}

Sonuç: Doğru cevap A4139 şıkkıdır.

7. SoruÇoktan Seçmeli

$3$ evli çift ve evli olmayan $2$ kişi (toplam $8$ kişi) yuvarlak bir masaya rastgele oturuyor. Hiçbir evli çift yan yana oturmuyorsa bu durumun olasılığı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Doğru cevabın şıkkıB14 olup olmadığını kontrol edeceğiz. Toplam oturma düzeni sayısı (yuvarlak masada dönmeler aynı kabul edilir): Toplam = ( 8 − 1 )! = 7! = 5040 Her evli çifti “yan yana” olma olayı olarak tanımlayalım. Üç çift için olaylar: E 1: 1. çift yan yana E 2: 2. çift yan yana E 3: 3. çift yan yana İstenen durum: hiçbir çift yan yana değil, yani İstenen = Toplam = Bunu içerme-dışlama ile sayacağız. Bir çift yan yana olsun (ör. E 1 ). Çifti bir “blok” kabul edersek masada toplam nesne sayısı: 7 nesne Yuvarlak diziliş sayısı: ( 7 − 1 )! = 6! Blok kendi içinde iki şekilde sıralanır: 2 kat Dolayısıyla: | E 1 | = 2 ⋅ 6! = 2 ⋅ 720 = 1440 Üç çift olduğu için: | E 1 | + | E 2 | + | E 3 | = 3 ⋅ 1440 = 4320 İki çift aynı anda yan yana olsun (ör. E 1 ∩ E 2 ). İki blok + kalan dört kişi ile toplam nesne sayısı: 6 nesne Yuvarlak diziliş sayısı: ( 6 − 1 )! = 5! Her blok kendi içinde iki şekilde, iki blok toplam: 2 2 = 4 Dolayısıyla: | E 1 ∩ E 2 | = 2 2 ⋅ 5! = 4 ⋅ 120 = 480 Böyle ikili seçim sayısı: ( 3 çift ) içinden 2 seçimi = ( 3! 2! ⋅ 1! ) = 3 Toplam ikili kesişim: 3 ⋅ 480 = 1440 Üç çiftin de aynı anda yan yana olduğu durum ( E 1 ∩ E 2 ∩ E 3 ): Üç blok + iki bekar kişi ile toplam nesne sayısı: 5 nesne Yuvarlak diziliş sayısı: ( 5 − 1 )! = 4! Üç blok kendi içinde: 2 3 = 8 Dolayısıyla: | E 1 ∩ E 2 ∩ E 3 | = 2 3 ⋅ 4! = 8 ⋅ 24 = 192 İçerme-dışlama ile istenen düzen sayısı: Uygun = 7! − 4320 + 1440 − 192 Uygun = 5040 − 4320 + 1440 − 192 = 1968 Olasılık: P = 1968 5040 Sadeleştirme: 1968 5040 = 1968 ÷ 24 5040 ÷ 24 = 82 210 = 41 105 Sonuç 41 105 olduğu için doğru cevap B1744 şıkkıdır.

Çözüm: Doğru cevabın şıkkıB14 olup olmadığını kontrol edeceğiz. Toplam oturma düzeni sayısı (yuvarlak masada dönmeler aynı kabul edilir): Toplam = ( 8 − 1 )! = 7! = 5040 Her evli çifti “yan yana” olma olayı olarak tanımlayalım. Üç çift için olaylar: E 1: 1. çift yan yana E 2: 2. çift yan yana E 3: 3. çift yan yana İstenen durum: hiçbir çift yan yana değil, yani İstenen = Toplam = Bunu içerme-dışlama ile sayacağız. Bir çift yan yana olsun (ör. E 1 ). Çifti bir “blok” kabul edersek masada toplam nesne sayısı: 7 nesne Yuvarlak diziliş sayısı: ( 7 − 1 )! = 6! Blok kendi içinde iki şekilde sıralanır: 2 kat Dolayısıyla: | E 1 | = 2 ⋅ 6! = 2 ⋅ 720 = 1440 Üç çift olduğu için: | E 1 | + | E 2 | + | E 3 | = 3 ⋅ 1440 = 4320 İki çift aynı anda yan yana olsun (ör. E 1 ∩ E 2 ). İki blok + kalan dört kişi ile toplam nesne sayısı: 6 nesne Yuvarlak diziliş sayısı: ( 6 − 1 )! = 5! Her blok kendi içinde iki şekilde, iki blok toplam: 2 2 = 4 Dolayısıyla: | E 1 ∩ E 2 | = 2 2 ⋅ 5! = 4 ⋅ 120 = 480 Böyle ikili seçim sayısı: ( 3 çift ) içinden 2 seçimi = ( 3! 2! ⋅ 1! ) = 3 Toplam ikili kesişim: 3 ⋅ 480 = 1440 Üç çiftin de aynı anda yan yana olduğu durum ( E 1 ∩ E 2 ∩ E 3 ): Üç blok + iki bekar kişi ile toplam nesne sayısı: 5 nesne Yuvarlak diziliş sayısı: ( 5 − 1 )! = 4! Üç blok kendi içinde: 2 3 = 8 Dolayısıyla: | E 1 ∩ E 2 ∩ E 3 | = 2 3 ⋅ 4! = 8 ⋅ 24 = 192 İçerme-dışlama ile istenen düzen sayısı: Uygun = 7! − 4320 + 1440 − 192 Uygun = 5040 − 4320 + 1440 − 192 = 1968 Olasılık: P = 1968 5040 Sadeleştirme: 1968 5040 = 1968 ÷ 24 5040 ÷ 24 = 82 210 = 41 105 Sonuç 41 105 olduğu için doğru cevap B1744 şıkkıdır.

Doğru cevabın şıkkıB112 olup olmadığını kontrol edeceğiz.

Toplam oturma düzeni sayısı (yuvarlak masada dönmeler aynı kabul edilir):

Toplam = (8 - 1)! = 7! = 5040

Her evli çifti “yan yana” olma olayı olarak tanımlayalım. Üç çift için olaylar:

E_{1} : 1. çift yan yana

E_{2} : 2. çift yan yana

E_{3} : 3. çift yan yana

İstenen durum: hiçbir çift yan yana değil, yani

\overset{=}{İstenen} \overset{=}{Toplam}

Bunu içerme-dışlama ile sayacağız.

Bir çift yan yana olsun (ör. $E_{1}$ ).

Çifti bir “blok” kabul edersek masada toplam nesne sayısı:

7 nesne

Yuvarlak diziliş sayısı:

(7 - 1)! = 6!

Blok kendi içinde iki şekilde sıralanır:

2 kat

Dolayısıyla:

| E_{1} | = 2 \cdot 6! = 2 \cdot 720 = 1440

Üç çift olduğu için:

| E_{1} | + | E_{2} | + | E_{3} | = 3 \cdot 1440 = 4320

İki çift aynı anda yan yana olsun (ör. $E_{1} \cap E_{2}$ ).

İki blok + kalan dört kişi ile toplam nesne sayısı:

6 nesne

Yuvarlak diziliş sayısı:

(6 - 1)! = 5!

Her blok kendi içinde iki şekilde, iki blok toplam:

2^{2} = 4

Dolayısıyla:

| E_{1} \cap E_{2} | = 2^{2} \cdot 5! = 4 \cdot 120 = 480

Böyle ikili seçim sayısı:

(3 çift) içinden 2 seçimi = (\frac{3!}{2! \cdot 1!}) = 3

Toplam ikili kesişim:

3 \cdot 480 = 1440

Üç çiftin de aynı anda yan yana olduğu durum ( $E_{1} \cap E_{2} \cap E_{3}$ ):

Üç blok + iki bekar kişi ile toplam nesne sayısı:

5 nesne

Yuvarlak diziliş sayısı:

(5 - 1)! = 4!

Üç blok kendi içinde:

2^{3} = 8

Dolayısıyla:

| E_{1} \cap E_{2} \cap E_{3} | = 2^{3} \cdot 4! = 8 \cdot 24 = 192

İçerme-dışlama ile istenen düzen sayısı:

Uygun = 7! - 4320 + 1440 - 192

Uygun = 5040 - 4320 + 1440 - 192 = 1968

Olasılık:

P = \frac{1968}{5040}

Sadeleştirme:

\frac{1968}{5040} = \frac{1968 \div 24}{5040 \div 24} = \frac{82}{210} = \frac{41}{105}

Sonuç $\frac{41}{105}$ olduğu için doğru cevap B7444 şıkkıdır.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Bir iskambil destesinden rastgele beş kart çekiliyor ve elde tam olarak bir As bulunduğu biliniyor.
Bu koşul altında elde tam olarak iki Papaz bulunma olasılığı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Koşullu olasılık kullanacağız: P ( tam 2 Papaz | tam 1 As ) = P ( tam 2 Papaz ve tam 1 As ) P ( tam 1 As ) Önce “tam 1 As” koşulunu sağlayan tüm ellerin sayısını bulalım. Toplam el sayısı (tam 1 As): = ( 4 1 ) × ( 48 4 ) Burada 48, as olmayan kart sayısıdır (toplam 52 karttan 4 As çıkar). Şimdi “tam 1 As ve tam 2 Papaz” durumunu sayalım: Uygun el sayısı: = ( 4 1 ) × ( 4 2 ) × ( 44 2 ) Burada 44, ne As ne de Papaz olan kart sayısıdır (52 − 4 As − 4 Papaz). Koşullu olasılıkta ortak çarpan olan “1 As seçimi” sadeleşir: P ( tam 2 Papaz | tam 1 As ) = ( 4 2 ) × ( 44 2 ) ( 48 4 ) Şimdi kombinasyon değerlerini hesaplayalım: ( 4 2 ) = 6 ( 44 2 ) = 44 × 43 2 = 946 ( 48 4 ) = 48 × 47 × 46 × 45 24 = 194580 Yerine yazalım: P ( tam 2 Papaz | tam 1 As ) = 6 × 946 194580 = 5676 194580 Sadeleştirelim: 5676 194580 = 473 16215 Sonuç: Olasılık 473 16215 Bu değer şıklardan A ile aynıdır. Yani doğru cevap C949.

Çözüm: Koşullu olasılık kullanacağız: P ( tam 2 Papaz | tam 1 As ) = P ( tam 2 Papaz ve tam 1 As ) P ( tam 1 As ) Önce “tam 1 As” koşulunu sağlayan tüm ellerin sayısını bulalım. Toplam el sayısı (tam 1 As): = ( 4 1 ) × ( 48 4 ) Burada 48, as olmayan kart sayısıdır (toplam 52 karttan 4 As çıkar). Şimdi “tam 1 As ve tam 2 Papaz” durumunu sayalım: Uygun el sayısı: = ( 4 1 ) × ( 4 2 ) × ( 44 2 ) Burada 44, ne As ne de Papaz olan kart sayısıdır (52 − 4 As − 4 Papaz). Koşullu olasılıkta ortak çarpan olan “1 As seçimi” sadeleşir: P ( tam 2 Papaz | tam 1 As ) = ( 4 2 ) × ( 44 2 ) ( 48 4 ) Şimdi kombinasyon değerlerini hesaplayalım: ( 4 2 ) = 6 ( 44 2 ) = 44 × 43 2 = 946 ( 48 4 ) = 48 × 47 × 46 × 45 24 = 194580 Yerine yazalım: P ( tam 2 Papaz | tam 1 As ) = 6 × 946 194580 = 5676 194580 Sadeleştirelim: 5676 194580 = 473 16215 Sonuç: Olasılık 473 16215 Bu değer şıklardan A ile aynıdır. Yani doğru cevap C949.

Koşullu olasılık kullanacağız:

P (tam 2 Papaz | tam 1 As) = \frac{P (tam 2 Papaz ve tam 1 As)}{P (tam 1 As)}

Önce “tam 1 As” koşulunu sağlayan tüm ellerin sayısını bulalım.

Toplam el sayısı (tam 1 As): = (\frac{4}{1}) \times (\frac{48}{4})

Burada 48, as olmayan kart sayısıdır (toplam 52 karttan 4 As çıkar).

Şimdi “tam 1 As ve tam 2 Papaz” durumunu sayalım:

Uygun el sayısı: = (\frac{4}{1}) \times (\frac{4}{2}) \times (\frac{44}{2})

Burada 44, ne As ne de Papaz olan kart sayısıdır (52 − 4 As − 4 Papaz).

Koşullu olasılıkta ortak çarpan olan “1 As seçimi” sadeleşir:

P (tam 2 Papaz | tam 1 As) = \frac{(\frac{4}{2}) \times (\frac{44}{2})}{(\frac{48}{4})}

Şimdi kombinasyon değerlerini hesaplayalım:

(\frac{4}{2}) = 6

(\frac{44}{2}) = \frac{44 \times 43}{2} = 946

(\frac{48}{4}) = \frac{48 \times 47 \times 46 \times 45}{24} = 194580

Yerine yazalım:

P (tam 2 Papaz | tam 1 As) = \frac{6 \times 946}{194580} = \frac{5676}{194580}

Sadeleştirelim:

\frac{5676}{194580} = \frac{473}{16215}

Sonuç: Olasılık

\frac{473}{16215}

Bu değer şıklardan A ile aynıdır. Yani doğru cevap A.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Bir torbada $5$ kırmızı, $4$ mavi ve $3$ yeşil top vardır. Torbadan geri koymadan dört top çekiliyor.
Çekilen topların $2$ tanesinin kırmızı ve en az $1$ tanesinin yeşil olma olasılığı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Bir zar atıldığında üst yüze çift sayı gelme olasılığı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Olasılık Sık Sorulan Sorular

Olasılık nedir?

Bir olayın gerçekleşme ihtimalini gösteren sayısal değerdir.

Olasılık değeri hangi aralıktadır?

0 ile 1 arasındadır; imkânsız olayın olasılığı 0, kesin olayın olasılığı 1’dir.

Tümleyen olay nedir?

Bir olayın gerçekleşmemesi durumudur ve olasılığı 1’den olayın olasılığı çıkarılarak bulunur.

10. Sınıf Matematik Olasılık Testleri

Olasılığı örnek uzay ve durum sayısıyla öğren

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

Sık karıştırılan noktalar

Verimli çalışma yolu

10. Sınıf Matematik Olasılık Testleri

12 soruluk, her sorusu 4 şıklı bir testte bir öğrenci 5 soruyu kesin doğru yapıyor; kalan 7 soruyu ise rastgele işaretliyor.Öğrencinin toplamda en az 9 doğru yapma olasılığı kaçtır?

Bir torbada 6 beyaz ve 4 siyah bilye vardır. Geri koymadan ardışık 3 bilye çekiliyor.Çekilen 3 bilyeden tam olarak 2 tanesinin beyaz olduğu biliniyor. Buna göre ilk çekilen bilyenin siyah olma olasılığı kaçtır?

Bir kutuda 5 beyaz, 4 siyah ve 3 kırmızı top vardır. Geri koymadan rastgele 4 top çekiliyor.Çekilen toplar arasında en az bir kırmızı top olduğu bilindiğine göre, tam olarak iki beyaz, bir siyah ve bir kırmızı top gelme olasılığı kaçtır?

Bir kutuda 4 kırmızı, 3 mavi ve 2 yeşil top vardır. Kutudan geri koymadan 3 top çekiliyor.Çekilen toplar arasında en az bir yeşil top olduğu bilindiğine göre, çekilen topların tam olarak 2 tanesinin kırmızı olma olasılığı kaçtır?

Bir kutuda 4 beyaz, 3 siyah ve 2 kırmızı top vardır. Kutudan geri koymadan 3 top çekiliyor.Çekilen toplarda tam olarak iki farklı renk görüldüğü biliniyorsa, bu iki renkten birinin kırmızı olma olasılığı kaçtır?

Bir kutuda 4 kırmızı, 3 mavi ve 2 yeşil top vardır.Rastgele 3 top geri koymadan çekiliyor ve çekilen topların tam olarak 2 farklı renkten oluştuğu biliniyor.Bu koşul altında, tekrarlanan rengin kırmızı olma olasılığı kaçtır?

3 evli çift ve evli olmayan 2 kişi (toplam 8 kişi) yuvarlak bir masaya rastgele oturuyor. Hiçbir evli çift yan yana oturmuyorsa bu durumun olasılığı kaçtır?

Bir iskambil destesinden rastgele beş kart çekiliyor ve elde tam olarak bir As bulunduğu biliniyor.Bu koşul altında elde tam olarak iki Papaz bulunma olasılığı kaçtır?

Bir torbada 5 kırmızı, 4 mavi ve 3 yeşil top vardır. Torbadan geri koymadan dört top çekiliyor.Çekilen topların 2 tanesinin kırmızı ve en az 1 tanesinin yeşil olma olasılığı kaçtır?

Bir zar atıldığında üst yüze çift sayı gelme olasılığı kaçtır?

Olasılık Sık Sorulan Sorular

$12$ soruluk, her sorusu $4$ şıklı bir testte bir öğrenci $5$ soruyu kesin doğru yapıyor; kalan $7$ soruyu ise rastgele işaretliyor.
Öğrencinin toplamda en az $9$ doğru yapma olasılığı kaçtır?

Bir torbada $6$ beyaz ve $4$ siyah bilye vardır. Geri koymadan ardışık $3$ bilye çekiliyor.
Çekilen $3$ bilyeden tam olarak $2$ tanesinin beyaz olduğu biliniyor. Buna göre ilk çekilen bilyenin siyah olma olasılığı kaçtır?

Bir kutuda $5$ beyaz, $4$ siyah ve $3$ kırmızı top vardır. Geri koymadan rastgele $4$ top çekiliyor.
Çekilen toplar arasında en az bir kırmızı top olduğu bilindiğine göre, tam olarak iki beyaz, bir siyah ve bir kırmızı top gelme olasılığı kaçtır?

Bir kutuda $4$ kırmızı, $3$ mavi ve $2$ yeşil top vardır. Kutudan geri koymadan $3$ top çekiliyor.
Çekilen toplar arasında en az bir yeşil top olduğu bilindiğine göre, çekilen topların tam olarak $2$ tanesinin kırmızı olma olasılığı kaçtır?

Bir kutuda $4$ beyaz, $3$ siyah ve $2$ kırmızı top vardır. Kutudan geri koymadan $3$ top çekiliyor.
Çekilen toplarda tam olarak iki farklı renk görüldüğü biliniyorsa, bu iki renkten birinin kırmızı olma olasılığı kaçtır?

Bir kutuda $4$ kırmızı, $3$ mavi ve $2$ yeşil top vardır.
Rastgele $3$ top geri koymadan çekiliyor ve çekilen topların tam olarak $2$ farklı renkten oluştuğu biliniyor.
Bu koşul altında, tekrarlanan rengin kırmızı olma olasılığı kaçtır?

$3$ evli çift ve evli olmayan $2$ kişi (toplam $8$ kişi) yuvarlak bir masaya rastgele oturuyor. Hiçbir evli çift yan yana oturmuyorsa bu durumun olasılığı kaçtır?

Bir iskambil destesinden rastgele beş kart çekiliyor ve elde tam olarak bir As bulunduğu biliniyor.
Bu koşul altında elde tam olarak iki Papaz bulunma olasılığı kaçtır?

Bir torbada $5$ kırmızı, $4$ mavi ve $3$ yeşil top vardır. Torbadan geri koymadan dört top çekiliyor.
Çekilen topların $2$ tanesinin kırmızı ve en az $1$ tanesinin yeşil olma olasılığı kaçtır?