10. Sınıf Matematik Olasılık Testleri

Doğru cevap: D

Kutudaki top sayıları: Beyaz top sayısı 4 Siyah top sayısı 3 Toplam top sayısı 7 Geri koymadan art arda iki top çekiliyor. Tam olarak bir tanesinin beyaz olması için iki durum vardır: Durum bir: önce beyaz, sonra siyah 4 7 3 6 4 7 × 3 6 = 12 42 Durum iki: önce siyah, sonra beyaz 3 7 4 6 3 7 × 4 6 = 12 42 Bu iki durum birbirinden ayrık olduğundan olasılıklar toplanır: 12 42 + 12 42 = 24 42 = 4 7 Sonuç: 4 7 Doğru seçenek: D419. (Yani şıkkıD446 doğru.)

1. Çözüm: Kutudaki top sayıları: Beyaz top sayısı 4 Siyah top sayısı 3 Toplam top sayısı 7 Geri koymadan art arda iki top çekiliyor. Tam olarak bir tanesinin beyaz olması için iki durum vardır: Durum bir: önce beyaz, sonra siyah 4 7 3 6 4 7 × 3 6 = 12 42 Durum iki: önce siyah, sonra beyaz 3 7 4 6 3 7 × 4 6 = 12 42 Bu iki durum birbirinden ayrık olduğundan olasılıklar toplanır: 12 42 + 12 42 = 24 42 = 4 7 Sonuç: 4 7 Doğru seçenek: D419. (Yani şıkkıD446 doğru.)

Doğru cevap: A

1) Kontrol: İstenen olasılık, iki topun da aynı renk gelmesi olduğundan “iki kırmızı” ya da “iki mavi” gelme olasılıkları toplanır. 2) Toplam top sayısı: $3 + 2 = 5$ 3) Aynı renk olma olasılığı: P ( aynı renk ) = P ( iki kırmızı ) + P ( iki mavi ) 4) Geri koymadan iki kırmızı gelme olasılığı: P ( iki kırmızı ) = 3 5 · 2 $4 = 6$ $20 = 3$ 10 5) Geri koymadan iki mavi gelme olasılığı: P ( iki mavi ) = 2 5 · 1 $4 = 2$ $20 = 1$ 10 6) Toplayalım: P ( aynı renk ) = 3 10 + 1 $10 = 4$ $10 = 2$ 5 7) Sonuç: Bulunan olasılık şıkkıA505 ile aynıdır; yani doğru cevap A531’dir.

1. Çözüm: 1) Kontrol: İstenen olasılık, iki topun da aynı renk gelmesi olduğundan “iki kırmızı” ya da “iki mavi” gelme olasılıkları toplanır. 2) Toplam top sayısı: $3 + 2 = 5$ 3) Aynı renk olma olasılığı: P ( aynı renk ) = P ( iki kırmızı ) + P ( iki mavi ) 4) Geri koymadan iki kırmızı gelme olasılığı: P ( iki kırmızı ) = 3 5 · 2 $4 = 6$ $20 = 3$ 10 5) Geri koymadan iki mavi gelme olasılığı: P ( iki mavi ) = 2 5 · 1 $4 = 2$ $20 = 1$ 10 6) Toplayalım: P ( aynı renk ) = 3 10 + 1 $10 = 4$ $10 = 2$ 5 7) Sonuç: Bulunan olasılık şıkkıA505 ile aynıdır; yani doğru cevap A531’dir.

Doğru cevap: B

İki atışın da yazı gelmesi olayı için Bayes kuralını kullanacağız. Ön olasılıklar: P ( A ) = 1 2 P ( B ) = 1 3 P ( C ) = 1 6 Her atışta yazı gelme olasılıkları: P ( Y | A ) = 1 2 P ( Y | B ) = 2 3 P ( Y | C ) = 3 4 İki atışın da yazı gelmesi (YY) olayı için koşullu olasılıklar: P ( Y Y | A ) = 1 2 $2 = 1$ 4 P ( Y Y | B ) = 2 3 $2 = 4$ 9 P ( Y Y | C ) = 3 4 $2 = 9$ 16 Bayes kuralı: P ( C | Y Y ) = P ( C ) P ( Y Y | C ) P ( A ) P ( Y Y | A ) + P ( B ) P ( Y Y | B ) + P ( C ) P ( Y Y | C ) Pay ve paydada her bir çarpımı hesaplayalım: P ( A ) P ( Y Y | A ) = 1 2 ⋅ 1 $4 = 1$ 8 P ( B ) P ( Y Y | B ) = 1 3 ⋅ 4 $9 = 4$ 27 P ( C ) P ( Y Y | C ) = 1 6 ⋅ 9 $16 = 9$ $96 = 3$ 32 Payda toplamı: 1 8 + 4 27 + 3 32 Ortak payda olarak l c m ( 8, 27, 32 ) = 864 Yazalım: 1 $8 = 108$ 864 4 $27 = 128$ 864 3 $32 = 81$ 864 1 8 + 4 27 + 3 $32 = 108$ + 128 + 81 $864 = 317$ 864 Sonuç: P ( C | Y Y ) = 81 864 317 $864 = 81$ 317 Doğru seçenek: B908 Yani verilen şıklarda C doğrudur.

1. Çözüm: İki atışın da yazı gelmesi olayı için Bayes kuralını kullanacağız. Ön olasılıklar: P ( A ) = 1 2 P ( B ) = 1 3 P ( C ) = 1 6 Her atışta yazı gelme olasılıkları: P ( Y | A ) = 1 2 P ( Y | B ) = 2 3 P ( Y | C ) = 3 4 İki atışın da yazı gelmesi (YY) olayı için koşullu olasılıklar: P ( Y Y | A ) = 1 2 $2 = 1$ 4 P ( Y Y | B ) = 2 3 $2 = 4$ 9 P ( Y Y | C ) = 3 4 $2 = 9$ 16 Bayes kuralı: P ( C | Y Y ) = P ( C ) P ( Y Y | C ) P ( A ) P ( Y Y | A ) + P ( B ) P ( Y Y | B ) + P ( C ) P ( Y Y | C ) Pay ve paydada her bir çarpımı hesaplayalım: P ( A ) P ( Y Y | A ) = 1 2 ⋅ 1 $4 = 1$ 8 P ( B ) P ( Y Y | B ) = 1 3 ⋅ 4 $9 = 4$ 27 P ( C ) P ( Y Y | C ) = 1 6 ⋅ 9 $16 = 9$ $96 = 3$ 32 Payda toplamı: 1 8 + 4 27 + 3 32 Ortak payda olarak l c m ( 8, 27, 32 ) = 864 Yazalım: 1 $8 = 108$ 864 4 $27 = 128$ 864 3 $32 = 81$ 864 1 8 + 4 27 + 3 $32 = 108$ + 128 + 81 $864 = 317$ 864 Sonuç: P ( C | Y Y ) = 81 864 317 $864 = 81$ 317 Doğru seçenek: B908 Yani verilen şıklarda C doğrudur.

Doğru cevap: C

Doğru şık kontrolü: Aynı renkte gelme olasılığı hesaplanınca sonuç aşağıdaki gibi şıkkıC82 çıkıyor. Toplam top sayısı: $4 + 3 = 7$ Aynı renkte gelmesi demek: ya iki beyaz ya da iki siyah gelmesidir. İki beyaz gelme olasılığı: P ( W W ) = 4 7 × 3 $6 = 12$ $42 = 2$ 7 İki siyah gelme olasılığı: P ( B B ) = 3 7 × 2 $6 = 6$ $42 = 1$ 7 Toplam (aynı renkte) olasılık: P ( aynı renk ) = P ( W W ) + P ( B B ) = 2 7 + 1 $7 = 3$ 7 Sonuç: 3 7 Bu değer şıkkıC444dır.

1. Çözüm: Doğru şık kontrolü: Aynı renkte gelme olasılığı hesaplanınca sonuç aşağıdaki gibi şıkkıC82 çıkıyor. Toplam top sayısı: $4 + 3 = 7$ Aynı renkte gelmesi demek: ya iki beyaz ya da iki siyah gelmesidir. İki beyaz gelme olasılığı: P ( W W ) = 4 7 × 3 $6 = 12$ $42 = 2$ 7 İki siyah gelme olasılığı: P ( B B ) = 3 7 × 2 $6 = 6$ $42 = 1$ 7 Toplam (aynı renkte) olasılık: P ( aynı renk ) = P ( W W ) + P ( B B ) = 2 7 + 1 $7 = 3$ 7 Sonuç: 3 7 Bu değer şıkkıC444dır.

Doğru cevap: D

1) Toplam durum sayısı: Kutuda toplam top sayısı $4 + 3 + 3 = 10$ Geri koymadan 4 top çekmenin toplam yolu C ( 10, 4 ) = 210 2) İstenen olay: Çekilen 4 topun renkleri yalnızca 2 farklı renkten oluşsun. Bu, şu üç renk çifti üzerinden sayılır: ( K, M ), ( K, Y ), ( M, Y ) 3) (Kırmızı, Mavi): Kırmızı 4 adet, Mavi 3 adet. Sadece bu iki renkten 4 top seçilip her iki renkten de en az 1 tane gelmeli. dağılımlar: 3 K + 1 M, 2 K + 2 M, 1 K + 3 M C ( 4, 3 ) × C ( 3, 1 ) + C ( 4, 2 ) × C ( 3, 2 ) + C ( 4, 1 ) × C ( 3, 3 ) = $12 + 18 + 4 = 34$ 4) (Kırmızı, Yeşil): Kırmızı 4 adet, Yeşil 3 adet. Aynı mantıkla 34 5) (Mavi, Yeşil): Mavi 3 adet, Yeşil 3 adet. 4 top seçilip her ikisinden de en az 1 tane gelmeli. dağılımlar: 1 M + 3 Y, 2 M + 2 Y, 3 M + 1 Y C ( 3, 1 ) × C ( 3, 3 ) + C ( 3, 2 ) × C ( 3, 2 ) + C ( 3, 3 ) × C ( 3, 1 ) = $3 + 9 + 3 = 15$ 6) Uygun durum sayısı (tam 2 renk): $34 + 34 + 15 = 83$ 7) Olasılık: 83 210 8) Şık kontrolü: Bulunan olasılık 83 210 olduğundan doğru cevap D1005 şıkkıdır.

1. Çözüm: 1) Toplam durum sayısı: Kutuda toplam top sayısı $4 + 3 + 3 = 10$ Geri koymadan 4 top çekmenin toplam yolu C ( 10, 4 ) = 210 2) İstenen olay: Çekilen 4 topun renkleri yalnızca 2 farklı renkten oluşsun. Bu, şu üç renk çifti üzerinden sayılır: ( K, M ), ( K, Y ), ( M, Y ) 3) (Kırmızı, Mavi): Kırmızı 4 adet, Mavi 3 adet. Sadece bu iki renkten 4 top seçilip her iki renkten de en az 1 tane gelmeli. dağılımlar: 3 K + 1 M, 2 K + 2 M, 1 K + 3 M C ( 4, 3 ) × C ( 3, 1 ) + C ( 4, 2 ) × C ( 3, 2 ) + C ( 4, 1 ) × C ( 3, 3 ) = $12 + 18 + 4 = 34$ 4) (Kırmızı, Yeşil): Kırmızı 4 adet, Yeşil 3 adet. Aynı mantıkla 34 5) (Mavi, Yeşil): Mavi 3 adet, Yeşil 3 adet. 4 top seçilip her ikisinden de en az 1 tane gelmeli. dağılımlar: 1 M + 3 Y, 2 M + 2 Y, 3 M + 1 Y C ( 3, 1 ) × C ( 3, 3 ) + C ( 3, 2 ) × C ( 3, 2 ) + C ( 3, 3 ) × C ( 3, 1 ) = $3 + 9 + 3 = 15$ 6) Uygun durum sayısı (tam 2 renk): $34 + 34 + 15 = 83$ 7) Olasılık: 83 210 8) Şık kontrolü: Bulunan olasılık 83 210 olduğundan doğru cevap D1005 şıkkıdır.

Doğru cevap: A

Kutuda kırmızı bilye sayısı ve mavi bilye sayısı: $K = 3$$M = 2$Toplam bilye sayısı: $T = K + M$= $3 + 2 = 5$ Geri koymadan ardışık iki çekişte, ilk bilyenin kırmızı gelme olasılığı: P ( R 1 ) = 3 5 İlk çekiş kırmızı geldikten sonra kutuda kalan kırmızı ve toplam bilye sayıları: K → 2 T → 4 Bu durumda ikinci bilyenin de kırmızı gelme olasılığı: P ( R 2 | R 1 ) = 2 4 İki bilyenin de kırmızı olma olasılığı (çarpma kuralı): P ( R 1 ∩ R 2 ) = P ( R 1 ) ⋅ P ( R 2 | R 1 ) Yerine yazalım: $P = 3$5 ⋅ 2 $4 = 6$ $20 = 3$ 10 Bulunan olasılık şıklardan hangisiyle aynıdır? Şık B: 3 10 Sonuç: Doğru cevap şık A’dir.

1. Çözüm: Kutuda kırmızı bilye sayısı ve mavi bilye sayısı: $K = 3$$M = 2$Toplam bilye sayısı: $T = K + M$= $3 + 2 = 5$ Geri koymadan ardışık iki çekişte, ilk bilyenin kırmızı gelme olasılığı: P ( R 1 ) = 3 5 İlk çekiş kırmızı geldikten sonra kutuda kalan kırmızı ve toplam bilye sayıları: K → 2 T → 4 Bu durumda ikinci bilyenin de kırmızı gelme olasılığı: P ( R 2 | R 1 ) = 2 4 İki bilyenin de kırmızı olma olasılığı (çarpma kuralı): P ( R 1 ∩ R 2 ) = P ( R 1 ) ⋅ P ( R 2 | R 1 ) Yerine yazalım: $P = 3$5 ⋅ 2 $4 = 6$ $20 = 3$ 10 Bulunan olasılık şıklardan hangisiyle aynıdır? Şık B: 3 10 Sonuç: Doğru cevap şık A’dir.

Doğru cevap: B

Doğru seçenek: B Kutuda toplam bilye sayısı: 3 + 2 = 5 1. çekilişte kırmızı gelme olasılığı: 3 5 1. çekilişte kırmızı geldikten sonra kutuda kalan bilyeler: 2   kırmızı,   2   mavi,   4   toplam 2. çekilişte kırmızı gelme olasılığı (geri koymadan): 2 4 Ardışık iki çekilişte ikisinin de kırmızı gelme olasılığı: 3 5 × 2 4 = 6 20 = 3 10 Sonuç: 3 10

1. Çözüm: Doğru seçenek: B Kutuda toplam bilye sayısı: 3 + 2 = 5 1. çekilişte kırmızı gelme olasılığı: 3 5 1. çekilişte kırmızı geldikten sonra kutuda kalan bilyeler: 2   kırmızı,   2   mavi,   4   toplam 2. çekilişte kırmızı gelme olasılığı (geri koymadan): 2 4 Ardışık iki çekilişte ikisinin de kırmızı gelme olasılığı: 3 5 × 2 4 = 6 20 = 3 10 Sonuç: 3 10

Doğru cevap: C

Önce toplam top sayısını bulalım: 5 + 3 + 2 = 10 Birinci çekilişte kırmızı gelme olasılığı: 5 10 Geri koymadan çekildiği için, bir kırmızı geldikten sonra torbada kalan toplam top sayısı ve kırmızı sayısı: 10 − 1 = 9 5 − 1 = 4 İkinci çekilişte (ilk top kırmızı iken) kırmızı gelme olasılığı: 4 9 İki topun da kırmızı olma olasılığı (çarpma kuralı): 5 10 × 4 9 = 20 90 = 2 9 Bulunan sonuç şıklardan A ile aynıdır; doğru cevap C434.

1. Çözüm: Önce toplam top sayısını bulalım: 5 + 3 + 2 = 10 Birinci çekilişte kırmızı gelme olasılığı: 5 10 Geri koymadan çekildiği için, bir kırmızı geldikten sonra torbada kalan toplam top sayısı ve kırmızı sayısı: 10 − 1 = 9 5 − 1 = 4 İkinci çekilişte (ilk top kırmızı iken) kırmızı gelme olasılığı: 4 9 İki topun da kırmızı olma olasılığı (çarpma kuralı): 5 10 × 4 9 = 20 90 = 2 9 Bulunan sonuç şıklardan A ile aynıdır; doğru cevap C434.

Doğru cevap: D

Soru, koşullu olasılık sorusudur. İstenen olasılığı şu şekilde kurarız: P ( $R = 2$| G ≥ 1 ) = P ( $R = 2$∩ G ≥ 1 ) P ( G ≥ 1 ) Önce tüm seçim sayısını bulalım. Toplam top sayısı sekiz, çekilen top sayısı dört: Tüm $durumlar = C$( 8, 4 ) = 70 Şimdi en az bir yeşil gelmesi olayını sayalım. “En az bir yeşil” = “toplam” eksi “hiç yeşil yok”. Yeşil yoksa sadece kırmızı ve mavi toplardan (toplam altı top) dört tane seçilir: Yeşil $yok = C$( 6, 4 ) = 15 En az bir yeş$il = C$( 8, 4 ) - C ( 6, 4 ) = $70 - 15 = 55$ Şimdi kesişimi (iki kırmızı ve en az bir yeşil) sayalım. İki kırmızıyı üç kırmızıdan seçelim: İki kırmızı seç$imi = C$( 3, 2 ) = 3 Geriye iki top kalır; bunlar mavi-yeşil grubundan (üç mavi, iki yeşil; toplam beş top) seçilecektir. Bu iki topun içinde en az bir yeşil olmalı: Kalan iki top (mavi-yeşil) = C ( 5, 2 ) - C ( 3, 2 ) = $10 - 3 = 7$ Böylece kesişim durum sayısı: İstenen $durumlar = C$( 3, 2 ) × ( C ( 5, 2 ) - C ( 3, 2 ) ) = 3 × $7 = 21$ Koşullu olasılık: P ( $R = 2$| G ≥ 1 ) = 21 55 Sonuç şıkkıD1041 ile aynıdır; yani doğru cevap D1067’dır.

1. Çözüm: Soru, koşullu olasılık sorusudur. İstenen olasılığı şu şekilde kurarız: P ( $R = 2$| G ≥ 1 ) = P ( $R = 2$∩ G ≥ 1 ) P ( G ≥ 1 ) Önce tüm seçim sayısını bulalım. Toplam top sayısı sekiz, çekilen top sayısı dört: Tüm $durumlar = C$( 8, 4 ) = 70 Şimdi en az bir yeşil gelmesi olayını sayalım. “En az bir yeşil” = “toplam” eksi “hiç yeşil yok”. Yeşil yoksa sadece kırmızı ve mavi toplardan (toplam altı top) dört tane seçilir: Yeşil $yok = C$( 6, 4 ) = 15 En az bir yeş$il = C$( 8, 4 ) - C ( 6, 4 ) = $70 - 15 = 55$ Şimdi kesişimi (iki kırmızı ve en az bir yeşil) sayalım. İki kırmızıyı üç kırmızıdan seçelim: İki kırmızı seç$imi = C$( 3, 2 ) = 3 Geriye iki top kalır; bunlar mavi-yeşil grubundan (üç mavi, iki yeşil; toplam beş top) seçilecektir. Bu iki topun içinde en az bir yeşil olmalı: Kalan iki top (mavi-yeşil) = C ( 5, 2 ) - C ( 3, 2 ) = $10 - 3 = 7$ Böylece kesişim durum sayısı: İstenen $durumlar = C$( 3, 2 ) × ( C ( 5, 2 ) - C ( 3, 2 ) ) = 3 × $7 = 21$ Koşullu olasılık: P ( $R = 2$| G ≥ 1 ) = 21 55 Sonuç şıkkıD1041 ile aynıdır; yani doğru cevap D1067’dır.

Doğru cevap: A

Önce torbadaki toplam bilye sayısını yazalım. Toplam = 4 + 6 = 10 Birinci çekilişte kırmızı gelme olasılığı: 4 10 Geri koymadan bir kırmızı çekildikten sonra torbada kalan kırmızı sayısı ve toplam bilye sayısı: Kalan kırmızı = 3 Kalan toplam = 9 İkinci çekilişte (ilk kırmızı geldikten sonra) tekrar kırmızı gelme olasılığı: 3 9 İkisinin de kırmızı olma olasılığı (çarpım kuralı): 4 10 ⋅ 3 9 = 12 90 = 2 15 Bulduğumuz sonuç şıklardan B ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap A468 ’dir. Doğru olasılık = 2 15

1. Çözüm: Önce torbadaki toplam bilye sayısını yazalım. Toplam = 4 + 6 = 10 Birinci çekilişte kırmızı gelme olasılığı: 4 10 Geri koymadan bir kırmızı çekildikten sonra torbada kalan kırmızı sayısı ve toplam bilye sayısı: Kalan kırmızı = 3 Kalan toplam = 9 İkinci çekilişte (ilk kırmızı geldikten sonra) tekrar kırmızı gelme olasılığı: 3 9 İkisinin de kırmızı olma olasılığı (çarpım kuralı): 4 10 ⋅ 3 9 = 12 90 = 2 15 Bulduğumuz sonuç şıklardan B ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap A468 ’dir. Doğru olasılık = 2 15