10. Sınıf Matematik

10. Sınıf Matematik Olasılık Testleri

Olasılık konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

Olasılığı örnek uzay ve durum sayısıyla öğren

Olasılık, bir olayın gerçekleşme ihtimalini matematiksel olarak ifade eder. Sonuçların ve istenen durumların doğru sayılması temel beceridir.

Bu çalışma; örnek uzayı, olayları, eş olasılıklı durumları, tümleyen olasılığı ve basit olasılık hesaplarını günlük örneklerle pekiştirir.

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

Örnek uzay ve olay kavramlarını ayırt eder.
Basit olasılıkları uygun oranla hesaplar.
Tümleyen olasılığı kullanır.
Sonuçların eş olasılıklı olup olmadığını değerlendirir.

Sık karıştırılan noktalar

Olasılıkta pay istenen durumları, payda ise tüm mümkün durumları gösterir. Sayımların aynı koşullar içinde yapılması gerekir.

Verimli çalışma yolu

Önce tüm sonuçları listele, sonra istenen olayları belirle ve oranı sadeleştir.

Test seç

8 Test

1. Test 2. Test 3. Test 4. Test 5. Test 6. Test 7. Test 8. Test

6. Test

10. Sınıf Matematik Olasılık Testleri

Olasılık konusu 6. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru

0/10 Soru0 %

Doğru 0

Yanlış 0

Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

Bir torbada beş kırmızı, dört mavi ve üç yeşil top vardır. Geri koymadan rastgele dört top çekiliyor.
Çekilen topların tam olarak iki farklı renkten oluşma olasılığı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Üç farklı para vardır ve bu paraların seçilme olasılıkları sırasıyla $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ , $\frac{1}{6}$ olsun.
Seçilen paranın yazı gelme olasılıkları sırasıyla $\frac{1}{2}$ , $\frac{2}{3}$ , $\frac{3}{4}$ olarak veriliyor.
Rastgele bir para seçilip dört kez atılıyor ve tam olarak üç kez yazı geldiği gözleniyor; seçilen paranın üçüncü para olma olasılığı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

1) Doğru şık kontrolü: Hesap sonunda üçüncü paranın olasılığı aşağıdaki değere çıkıyor; bu da şıkkıC94dır. Ön bilgiler (seçilme olasılıkları): P ( K 1 ) = 1 2 P ( K 2 ) = 1 3 P ( K 3 ) = 1 6 Yazı gelme olasılıkları: P ( Y | K 1 ) = 1 2 P ( Y | K 2 ) = 2 3 P ( Y | K 3 ) = 3 4 Gözlem: Seçilen para dört kez atılıyor ve tam üç kez yazı geliyor. Bu olaya E diyelim. Binom dağılımıyla (tam üç yazı): P ( E | K i ) = 4 · p i 3 · ( 1 - p i ) Birinci para için: P ( E | K 1 ) = 4 · 1 2 3 · ( 1 - 1 2 ) = 4 · 1 8 · 1 2 = 1 4 İkinci para için: P ( E | K 2 ) = 4 · 2 3 3 · ( 1 - 2 3 ) = 4 · 8 27 · 1 3 = 32 81 Üçüncü para için: P ( E | K 3 ) = 4 · 3 4 3 · ( 1 - 3 4 ) = 4 · 27 64 · 1 4 = 27 64 Bayes ile (paylar): w 1 = P ( K 1 ) · P ( E | K 1 ) = 1 2 · 1 4 = 1 8 w 2 = P ( K 2 ) · P ( E | K 2 ) = 1 3 · 32 81 = 32 243 w 3 = P ( K 3 ) · P ( E | K 3 ) = 1 6 · 27 64 = 9 128 Toplam pay: w 1 + w 2 + w 3 = 1 8 + 32 243 + 9 128 = 3888 31104 + 4096 31104 + 2187 31104 = 10171 31104 İstenen koşullu olasılık: P ( K 3 | E ) = w 3 w 1 + w 2 + w 3 = 2187 31104 10171 31104 = 2187 10171 Sonuç: Doğru cevap C1073 şıkkıdır.

Çözüm: 1) Doğru şık kontrolü: Hesap sonunda üçüncü paranın olasılığı aşağıdaki değere çıkıyor; bu da şıkkıC94dır. Ön bilgiler (seçilme olasılıkları): P ( K 1 ) = 1 2 P ( K 2 ) = 1 3 P ( K 3 ) = 1 6 Yazı gelme olasılıkları: P ( Y | K 1 ) = 1 2 P ( Y | K 2 ) = 2 3 P ( Y | K 3 ) = 3 4 Gözlem: Seçilen para dört kez atılıyor ve tam üç kez yazı geliyor. Bu olaya E diyelim. Binom dağılımıyla (tam üç yazı): P ( E | K i ) = 4 · p i 3 · ( 1 - p i ) Birinci para için: P ( E | K 1 ) = 4 · 1 2 3 · ( 1 - 1 2 ) = 4 · 1 8 · 1 2 = 1 4 İkinci para için: P ( E | K 2 ) = 4 · 2 3 3 · ( 1 - 2 3 ) = 4 · 8 27 · 1 3 = 32 81 Üçüncü para için: P ( E | K 3 ) = 4 · 3 4 3 · ( 1 - 3 4 ) = 4 · 27 64 · 1 4 = 27 64 Bayes ile (paylar): w 1 = P ( K 1 ) · P ( E | K 1 ) = 1 2 · 1 4 = 1 8 w 2 = P ( K 2 ) · P ( E | K 2 ) = 1 3 · 32 81 = 32 243 w 3 = P ( K 3 ) · P ( E | K 3 ) = 1 6 · 27 64 = 9 128 Toplam pay: w 1 + w 2 + w 3 = 1 8 + 32 243 + 9 128 = 3888 31104 + 4096 31104 + 2187 31104 = 10171 31104 İstenen koşullu olasılık: P ( K 3 | E ) = w 3 w 1 + w 2 + w 3 = 2187 31104 10171 31104 = 2187 10171 Sonuç: Doğru cevap C1073 şıkkıdır.

1) Doğru şık kontrolü: Hesap sonunda üçüncü paranın olasılığı aşağıdaki değere çıkıyor; bu da şıkkıC155dır.

Ön bilgiler (seçilme olasılıkları):

P (K_{1}) = \frac{1}{2}

P (K_{2}) = \frac{1}{3}

P (K_{3}) = \frac{1}{6}

Yazı gelme olasılıkları:

P (Y | K_{1}) = \frac{1}{2}

P (Y | K_{2}) = \frac{2}{3}

P (Y | K_{3}) = \frac{3}{4}

Gözlem: Seçilen para dört kez atılıyor ve tam üç kez yazı geliyor. Bu olaya E diyelim.

Binom dağılımıyla (tam üç yazı):

P (E | K_{i}) = 4 \cdot {p_{i}}^{3} \cdot (1 - p_{i})

Birinci para için:

P (E | K_{1}) = 4 \cdot {\frac{1}{2}}^{3} \cdot (1 - \frac{1}{2}) = 4 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

İkinci para için:

P (E | K_{2}) = 4 \cdot {\frac{2}{3}}^{3} \cdot (1 - \frac{2}{3}) = 4 \cdot \frac{8}{27} \cdot \frac{1}{3} = \frac{32}{81}

Üçüncü para için:

P (E | K_{3}) = 4 \cdot {\frac{3}{4}}^{3} \cdot (1 - \frac{3}{4}) = 4 \cdot \frac{27}{64} \cdot \frac{1}{4} = \frac{27}{64}

Bayes ile (paylar):

w_{1} = P (K_{1}) \cdot P (E | K_{1}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}

w_{2} = P (K_{2}) \cdot P (E | K_{2}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{32}{81} = \frac{32}{243}

w_{3} = P (K_{3}) \cdot P (E | K_{3}) = \frac{1}{6} \cdot \frac{27}{64} = \frac{9}{128}

Toplam pay:

w_{1} + w_{2} + w_{3} = \frac{1}{8} + \frac{32}{243} + \frac{9}{128} = \frac{3888}{31104} + \frac{4096}{31104} + \frac{2187}{31104} = \frac{10171}{31104}

İstenen koşullu olasılık:

P (K_{3} | E) = \frac{w_{3}}{w_{1} + w_{2} + w_{3}} = \frac{\frac{2187}{31104}}{\frac{10171}{31104}} = \frac{2187}{10171}

Sonuç: Doğru cevap C6231 şıkkıdır.

3. SoruÇoktan Seçmeli

$Bir torbada 5 beyaz ve 5 siyah top vardır. Geri koymadan art arda 4 top çekiliyor. A : çekilen beyaz top sayısı çifttir, B : ilk çekilen top beyazdır. P (A | B) kaçtır?$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Önce doğru şıkkı kontrol edelim: Şartlı olasılık hesabı sonucunda cevap B çıkacaktır. 1) Koşulu (B) uygulayalım İlk çekilen top beyaz olduğuna göre, ilk çekilişten sonra torbada kalan toplar: 4 beyaz 5 siyah Toplam üç çekiliş daha yapılacaktır. 2) A olayını, B koşulu altında yeniden yorumlayalım A: dört çekilişte gelen beyaz sayısı çifttir. B koşulunda ilk top beyaz olduğundan, dört çekilişteki beyaz sayısı şu biçimdedir: Toplam beyaz sayısı = 1 + (son üç çekilişteki beyaz sayısı) Toplamın çift olması için, son üç çekilişteki beyaz sayısının tek olması gerekir. Yani olası durumlar: Son üç çekilişte beyaz sayısı ∈ { 1, 3 } 3) Örnek uzayı sayalım Artık problem, dört beyaz ve beş siyah içeren toplam dokuz toptan, geri koymadan üç top seçerken (çekiş sırası dikkate alınmadan) kaç olasılık olduğudur: Toplam durum = C ( 9, 3 ) = 9 · 8 · 7 3 · 2 · 1 = 84 4) Uygun durumları sayalım Durum 1: Son üç çekilişte bir beyaz gelmesi C ( 4, 1 ) · C ( 5, 2 ) = 4 · 10 = 40 Durum 2: Son üç çekilişte üç beyaz gelmesi C ( 4, 3 ) · C ( 5, 0 ) = 4 · 1 = 4 Toplam uygun durum sayısı: 40 + 4 = 44 5) Şartlı olasılığı bulalım P ( A | B ) = uygun durum toplam durum = 44 84 = 11 21 Sonuç: P ( A | B ) = 11 21 Doğru seçenek D1256 ’dir.

Çözüm: Önce doğru şıkkı kontrol edelim: Şartlı olasılık hesabı sonucunda cevap B çıkacaktır. 1) Koşulu (B) uygulayalım İlk çekilen top beyaz olduğuna göre, ilk çekilişten sonra torbada kalan toplar: 4 beyaz 5 siyah Toplam üç çekiliş daha yapılacaktır. 2) A olayını, B koşulu altında yeniden yorumlayalım A: dört çekilişte gelen beyaz sayısı çifttir. B koşulunda ilk top beyaz olduğundan, dört çekilişteki beyaz sayısı şu biçimdedir: Toplam beyaz sayısı = 1 + (son üç çekilişteki beyaz sayısı) Toplamın çift olması için, son üç çekilişteki beyaz sayısının tek olması gerekir. Yani olası durumlar: Son üç çekilişte beyaz sayısı ∈ { 1, 3 } 3) Örnek uzayı sayalım Artık problem, dört beyaz ve beş siyah içeren toplam dokuz toptan, geri koymadan üç top seçerken (çekiş sırası dikkate alınmadan) kaç olasılık olduğudur: Toplam durum = C ( 9, 3 ) = 9 · 8 · 7 3 · 2 · 1 = 84 4) Uygun durumları sayalım Durum 1: Son üç çekilişte bir beyaz gelmesi C ( 4, 1 ) · C ( 5, 2 ) = 4 · 10 = 40 Durum 2: Son üç çekilişte üç beyaz gelmesi C ( 4, 3 ) · C ( 5, 0 ) = 4 · 1 = 4 Toplam uygun durum sayısı: 40 + 4 = 44 5) Şartlı olasılığı bulalım P ( A | B ) = uygun durum toplam durum = 44 84 = 11 21 Sonuç: P ( A | B ) = 11 21 Doğru seçenek D1256 ’dir.

Önce doğru şıkkı kontrol edelim: Şartlı olasılık hesabı sonucunda cevap B çıkacaktır.

1) Koşulu (B) uygulayalım

İlk çekilen top beyaz olduğuna göre, ilk çekilişten sonra torbada kalan toplar:

4 beyaz 5 siyah

Toplam üç çekiliş daha yapılacaktır.

2) A olayını, B koşulu altında yeniden yorumlayalım

A: dört çekilişte gelen beyaz sayısı çifttir.

B koşulunda ilk top beyaz olduğundan, dört çekilişteki beyaz sayısı şu biçimdedir:

Toplam beyaz sayısı = 1 + (son üç çekilişteki beyaz sayısı)

Toplamın çift olması için, son üç çekilişteki beyaz sayısının tek olması gerekir. Yani olası durumlar:

Son üç çekilişte beyaz sayısı \in {1, 3}

3) Örnek uzayı sayalım

Artık problem, dört beyaz ve beş siyah içeren toplam dokuz toptan, geri koymadan üç top seçerken (çekiş sırası dikkate alınmadan) kaç olasılık olduğudur:

Toplam durum = C (9, 3) = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84

4) Uygun durumları sayalım

Durum 1: Son üç çekilişte bir beyaz gelmesi

C (4, 1) \cdot C (5, 2) = 4 \cdot 10 = 40

Durum 2: Son üç çekilişte üç beyaz gelmesi

C (4, 3) \cdot C (5, 0) = 4 \cdot 1 = 4

Toplam uygun durum sayısı:

40 + 4 = 44

5) Şartlı olasılığı bulalım

P (A | B) = \frac{uygun durum}{toplam durum} = \frac{44}{84} = \frac{11}{21}

Sonuç:

P (A | B) = \frac{11}{21}

Doğru seçenek B’dir.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Bir fabrikada A hattı ürünlerin $\frac{1}{2}$ ’sini üretmekte ve bu hatta üretilen ürünlerin kusurlu olma olasılığı $\frac{1}{20}$ ’dir. B hattı ürünlerin $\frac{3}{10}$ ’unu üretmekte ve kusurlu olma olasılığı $\frac{1}{10}$ ’dur. C hattı kalanını üretmekte ve kusurlu olma olasılığı $\frac{1}{5}$ ’tir.
Kusurlu olduğu bilinen rastgele seçilmiş bir ürünün C hattından gelmiş olma olasılığı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Önce hatların üretim paylarını tanımlayalım. C hattı “kalanını” ürettiği için payını bulacağız. P ( C ) = 1 − P ( A ) − P ( B ) P ( C ) = 1 − 1 2 − 3 10 = 1 5 Kusurlu olma olayını D ile gösterelim. Her hattın kusurlu ürün üretme olasılığını (birleşik olasılık) hesaplayalım. P ( A ∩ D ) = P ( A ) · P ( D | A ) = 1 2 · 1 20 = 1 40 P ( B ∩ D ) = P ( B ) · P ( D | B ) = 3 10 · 1 10 = 3 100 P ( C ∩ D ) = P ( C ) · P ( D | C ) = 1 5 · 1 5 = 1 25 Toplam kusurlu olma olasılığı, hatlara göre kusurlu olma olasılıklarının toplamıdır. P ( D ) = P ( A ∩ D ) + P ( B ∩ D ) + P ( C ∩ D ) P ( D ) = 1 40 + 3 100 + 1 25 P ( D ) = 5 200 + 6 200 + 8 200 = 19 200 İstenen olasılık, kusurlu olduğu bilinen bir ürünün C hattından gelme olasılığıdır. Koşullu olasılık kullanacağız. P ( C | D ) = P ( C ∩ D ) P ( D ) P ( C | D ) = 1 25 19 200 = 8 200 19 200 = 8 19 Bulunan sonuç şıklardaki seçeneğiA872 ile aynıdır; yani doğru cevap A901 ’dir.

Çözüm: Önce hatların üretim paylarını tanımlayalım. C hattı “kalanını” ürettiği için payını bulacağız. P ( C ) = 1 − P ( A ) − P ( B ) P ( C ) = 1 − 1 2 − 3 10 = 1 5 Kusurlu olma olayını D ile gösterelim. Her hattın kusurlu ürün üretme olasılığını (birleşik olasılık) hesaplayalım. P ( A ∩ D ) = P ( A ) · P ( D | A ) = 1 2 · 1 20 = 1 40 P ( B ∩ D ) = P ( B ) · P ( D | B ) = 3 10 · 1 10 = 3 100 P ( C ∩ D ) = P ( C ) · P ( D | C ) = 1 5 · 1 5 = 1 25 Toplam kusurlu olma olasılığı, hatlara göre kusurlu olma olasılıklarının toplamıdır. P ( D ) = P ( A ∩ D ) + P ( B ∩ D ) + P ( C ∩ D ) P ( D ) = 1 40 + 3 100 + 1 25 P ( D ) = 5 200 + 6 200 + 8 200 = 19 200 İstenen olasılık, kusurlu olduğu bilinen bir ürünün C hattından gelme olasılığıdır. Koşullu olasılık kullanacağız. P ( C | D ) = P ( C ∩ D ) P ( D ) P ( C | D ) = 1 25 19 200 = 8 200 19 200 = 8 19 Bulunan sonuç şıklardaki seçeneğiA872 ile aynıdır; yani doğru cevap A901 ’dir.

Önce hatların üretim paylarını tanımlayalım. C hattı “kalanını” ürettiği için payını bulacağız.

P (C) = 1 - P (A) - P (B)

P (C) = 1 - \frac{1}{2} - \frac{3}{10} = \frac{1}{5}

Kusurlu olma olayını D ile gösterelim. Her hattın kusurlu ürün üretme olasılığını (birleşik olasılık) hesaplayalım.

P (A \cap D) = P (A) \cdot P (D | A) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{20} = \frac{1}{40}

P (B \cap D) = P (B) \cdot P (D | B) = \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{10} = \frac{3}{100}

P (C \cap D) = P (C) \cdot P (D | C) = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{25}

Toplam kusurlu olma olasılığı, hatlara göre kusurlu olma olasılıklarının toplamıdır.

P (D) = P (A \cap D) + P (B \cap D) + P (C \cap D)

P (D) = \frac{1}{40} + \frac{3}{100} + \frac{1}{25}

P (D) = \frac{5}{200} + \frac{6}{200} + \frac{8}{200} = \frac{19}{200}

İstenen olasılık, kusurlu olduğu bilinen bir ürünün C hattından gelme olasılığıdır. Koşullu olasılık kullanacağız.

P (C | D) = \frac{P (C \cap D)}{P (D)}

P (C | D) = \frac{\frac{1}{25}}{\frac{19}{200}} = \frac{\frac{8}{200}}{\frac{19}{200}} = \frac{8}{19}

Bulunan sonuç şıklardaki C seçeneği ile aynıdır; yani doğru cevap C’dir.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Standart bir iskambil destesinden rastgele $3$ kart çekiliyor. Çekilen kartların en az birinin kupa olduğu bilindiğine göre, kartların tam olarak $2$ tanesinin kupa olma olasılığı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

1) Olayları tanımlayalım. A: Tam olarak 2 tane kupa gelmesi B: En az 1 tane kupa gelmesi 2) Koşullu olasılık formülü (ve bu soruda A ⊂ B olduğu için) şu şekilde kullanılır: P ( A | B ) = P ( A ) P ( B ) 3) Toplam durum sayısı (desteden 3 kart seçme): Toplam = ( ( 52! 3! ( 52 - 3 )! ) ) = ( ( 52! 3! 49! ) ) = 22100 4) P(A): Tam olarak 2 kupa seçmek için kupalardan 2, kupalı olmayanlardan 1 kart seçilir. P ( A ) = ( 13! 2! 11! ) · ( 39! 1! 38! ) 22100 P ( A ) = 3042 22100 5) P(B): En az 1 kupa = 1 eksi hiç kupa gelmeme olasılığı. P ( B ) = 1 - ( 39! 3! 36! ) 22100 ( 39! 3! 36! ) = 9139 P ( B ) = 1 - 9139 22100 = 22100 - 9139 22100 = 12961 22100 6) Koşullu olasılığı hesaplayalım: P ( A | B ) = 3042 22100 12961 22100 = 3042 12961 7) Bulduğumuz sonuç şıklardan B ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap B ’dir. Doğru seçenek = B

Çözüm: 1) Olayları tanımlayalım. A: Tam olarak 2 tane kupa gelmesi B: En az 1 tane kupa gelmesi 2) Koşullu olasılık formülü (ve bu soruda A ⊂ B olduğu için) şu şekilde kullanılır: P ( A | B ) = P ( A ) P ( B ) 3) Toplam durum sayısı (desteden 3 kart seçme): Toplam = ( ( 52! 3! ( 52 - 3 )! ) ) = ( ( 52! 3! 49! ) ) = 22100 4) P(A): Tam olarak 2 kupa seçmek için kupalardan 2, kupalı olmayanlardan 1 kart seçilir. P ( A ) = ( 13! 2! 11! ) · ( 39! 1! 38! ) 22100 P ( A ) = 3042 22100 5) P(B): En az 1 kupa = 1 eksi hiç kupa gelmeme olasılığı. P ( B ) = 1 - ( 39! 3! 36! ) 22100 ( 39! 3! 36! ) = 9139 P ( B ) = 1 - 9139 22100 = 22100 - 9139 22100 = 12961 22100 6) Koşullu olasılığı hesaplayalım: P ( A | B ) = 3042 22100 12961 22100 = 3042 12961 7) Bulduğumuz sonuç şıklardan B ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap B ’dir. Doğru seçenek = B

1) Olayları tanımlayalım.

A : Tam olarak 2 tane kupa gelmesi

B : En az 1 tane kupa gelmesi

2) Koşullu olasılık formülü (ve bu soruda A ⊂ B olduğu için) şu şekilde kullanılır:

P (A | B) = \frac{P (A)}{P (B)}

3) Toplam durum sayısı (desteden 3 kart seçme):

Toplam = ((\frac{52!}{3! (52 - 3)!})) = ((\frac{52!}{3! 49!})) = 22100

4) P(A): Tam olarak 2 kupa seçmek için kupalardan 2, kupalı olmayanlardan 1 kart seçilir.

P (A) = \frac{(\frac{13!}{2! 11!}) \cdot (\frac{39!}{1! 38!})}{22100}

P (A) = \frac{3042}{22100}

5) P(B): En az 1 kupa = 1 eksi hiç kupa gelmeme olasılığı.

P (B) = 1 - \frac{(\frac{39!}{3! 36!})}{22100}

(\frac{39!}{3! 36!}) = 9139

P (B) = 1 - \frac{9139}{22100} = \frac{22100 - 9139}{22100} = \frac{12961}{22100}

6) Koşullu olasılığı hesaplayalım:

P (A | B) = \frac{\frac{3042}{22100}}{\frac{12961}{22100}} = \frac{3042}{12961}

7) Bulduğumuz sonuç şıklardan B ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap B’dir.

Doğru seçenek = B

6. SoruÇoktan Seçmeli

Bir torbada $5$ kırmızı, $4$ mavi ve $3$ yeşil top vardır. Torbadan rastgele $3$ top geri koymadan çekiliyor. Çekilen toplar arasında en az bir yeşil olduğu bilindiğine göre, tam olarak iki kırmızı çekilme olasılığı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

1) Şık kontrolü (A mı?): İstenen olasılığı hesaplayıp seçeneklerle karşılaştıracağız. 2) Örnek uzayı (toplam çekiliş sayısı): ( 12 3 ) = 12 · 11 · 10 3 · 2 · 1 = 220 3) Koşul: “en az bir yeşil” olayının sayısı: Önce “hiç yeşil yok” durumunu çıkaralım. 3a) Hiç yeşil yok: Yeşil olmayan top sayısı: 5 + 4 = 9 Bu durumda çekiliş sayısı: ( 9 3 ) = 9 · 8 · 7 3 · 2 · 1 = 84 3b) En az bir yeşil: 220 - 84 = 136 4) İstenen olay: “tam olarak iki kırmızı” ve (koşul gereği) “en az bir yeşil”. Toplam üç top çekildiğine göre, tam olarak iki kırmızı varsa üçüncü top ya mavi ya yeşildir. Ancak koşul “en az bir yeşil” dediği için üçüncü topun yeşil olması zorunludur. Yani istenen olay: 2 R + 1 G Bu olayın sayısı: ( 5 2 ) · ( 3 1 ) = 10 · 3 = 30 5) Koşullu olasılık: 30 136 = 15 68 6) Sonuç ve şık kontrolü: Bulunan değer seçeneklerde 15 68 olup şıkkıC836dır. Yani “doğru cevap C854 mı?” sorusunun cevabı: Evet.

Çözüm: 1) Şık kontrolü (A mı?): İstenen olasılığı hesaplayıp seçeneklerle karşılaştıracağız. 2) Örnek uzayı (toplam çekiliş sayısı): ( 12 3 ) = 12 · 11 · 10 3 · 2 · 1 = 220 3) Koşul: “en az bir yeşil” olayının sayısı: Önce “hiç yeşil yok” durumunu çıkaralım. 3a) Hiç yeşil yok: Yeşil olmayan top sayısı: 5 + 4 = 9 Bu durumda çekiliş sayısı: ( 9 3 ) = 9 · 8 · 7 3 · 2 · 1 = 84 3b) En az bir yeşil: 220 - 84 = 136 4) İstenen olay: “tam olarak iki kırmızı” ve (koşul gereği) “en az bir yeşil”. Toplam üç top çekildiğine göre, tam olarak iki kırmızı varsa üçüncü top ya mavi ya yeşildir. Ancak koşul “en az bir yeşil” dediği için üçüncü topun yeşil olması zorunludur. Yani istenen olay: 2 R + 1 G Bu olayın sayısı: ( 5 2 ) · ( 3 1 ) = 10 · 3 = 30 5) Koşullu olasılık: 30 136 = 15 68 6) Sonuç ve şık kontrolü: Bulunan değer seçeneklerde 15 68 olup şıkkıC836dır. Yani “doğru cevap C854 mı?” sorusunun cevabı: Evet.

1) Şık kontrolü (A mı?): İstenen olasılığı hesaplayıp seçeneklerle karşılaştıracağız.

2) Örnek uzayı (toplam çekiliş sayısı):

(\binom{12}{3}) = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 220

3) Koşul: “en az bir yeşil” olayının sayısı: Önce “hiç yeşil yok” durumunu çıkaralım.

3a) Hiç yeşil yok: Yeşil olmayan top sayısı:

5 + 4 = 9

Bu durumda çekiliş sayısı:

(\binom{9}{3}) = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84

3b) En az bir yeşil:

220 - 84 = 136

4) İstenen olay: “tam olarak iki kırmızı” ve (koşul gereği) “en az bir yeşil”.

Toplam üç top çekildiğine göre, tam olarak iki kırmızı varsa üçüncü top ya mavi ya yeşildir. Ancak koşul “en az bir yeşil” dediği için üçüncü topun yeşil olması zorunludur.

Yani istenen olay:

2 R + 1 G

Bu olayın sayısı:

(\binom{5}{2}) \cdot (\binom{3}{1}) = 10 \cdot 3 = 30

5) Koşullu olasılık:

\frac{30}{136} = \frac{15}{68}

6) Sonuç ve şık kontrolü:

Bulunan değer seçeneklerde

\frac{15}{68}

olup şıkkıC2930dır. Yani “doğru cevap C2952 mı?” sorusunun cevabı: Evet.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Bir standart iskambil destesinden rastgele $4$ kart seçiliyor. Deste $52$ karttan oluşur ve $4$ as içerir. Seçilen kartlar arasında as bulunduğu biliniyor. Bu koşul altında tam olarak $2$ as seçilmiş olma olasılığı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

8. SoruÇoktan Seçmeli

$4$ kadın ve $6$ erkekten oluşan $10$ kişilik gruptan rastgele $4$ kişi seçiliyor.
Seçilenlerde en az $1$ kadın olduğu bilindiğine göre, en az $2$ kadın seçilmiş olma olasılığı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Seçilen gruptaki kadın sayısını bir değişkenle gösterelim. W = seçilen kadın sayısı Önce tüm seçim sayısını bulalım. Toplam = 10 4 = 210 Koşul: en az bir kadın seçildiği biliniyor. Bunun için önce kadın seçilmeme durumunu bulalım. W = 0: 4 0 ⋅ 6 4 = 1 ⋅ 15 = 15 Koşulun sağladığı örnek uzay (en az bir kadın) sayısı: W ≥ 1: 210 - 15 = 195 İstenen: en az iki kadın seçilme olayıdır. Bunun sayısını bulalım. İki kadın seçilmesi: W = 2: 4 2 ⋅ 6 2 = 6 ⋅ 15 = 90 Üç kadın seçilmesi: W = 3: 4 3 ⋅ 6 1 = 4 ⋅ 6 = 24 Dört kadın seçilmesi: W = 4: 4 4 ⋅ 6 0 = 1 ⋅ 1 = 1 Buna göre en az iki kadın seçilmesi durum sayısı: W ≥ 2: 90 + 24 + 1 = 115 Koşullu olasılık: P W ≥ 2 | W ≥ 1 = 115 195 = 23 39 Sonuç: Bulunan değer şıklarla karşılaştırıldığında doğru cevap A şıkkıdır.

Çözüm: Seçilen gruptaki kadın sayısını bir değişkenle gösterelim. W = seçilen kadın sayısı Önce tüm seçim sayısını bulalım. Toplam = 10 4 = 210 Koşul: en az bir kadın seçildiği biliniyor. Bunun için önce kadın seçilmeme durumunu bulalım. W = 0: 4 0 ⋅ 6 4 = 1 ⋅ 15 = 15 Koşulun sağladığı örnek uzay (en az bir kadın) sayısı: W ≥ 1: 210 - 15 = 195 İstenen: en az iki kadın seçilme olayıdır. Bunun sayısını bulalım. İki kadın seçilmesi: W = 2: 4 2 ⋅ 6 2 = 6 ⋅ 15 = 90 Üç kadın seçilmesi: W = 3: 4 3 ⋅ 6 1 = 4 ⋅ 6 = 24 Dört kadın seçilmesi: W = 4: 4 4 ⋅ 6 0 = 1 ⋅ 1 = 1 Buna göre en az iki kadın seçilmesi durum sayısı: W ≥ 2: 90 + 24 + 1 = 115 Koşullu olasılık: P W ≥ 2 | W ≥ 1 = 115 195 = 23 39 Sonuç: Bulunan değer şıklarla karşılaştırıldığında doğru cevap A şıkkıdır.

Seçilen gruptaki kadın sayısını bir değişkenle gösterelim.

$W = seçilen kadın sayısı$

Önce tüm seçim sayısını bulalım.

$Toplam = (\begin{matrix} 10 \\ 4 \end{matrix}) = 210$

Koşul: en az bir kadın seçildiği biliniyor. Bunun için önce kadın seçilmeme durumunu bulalım.

$W = 0 : (\begin{matrix} 4 \\ 0 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) = 1 \cdot 15 = 15$

Koşulun sağladığı örnek uzay (en az bir kadın) sayısı:

$W \geq 1 : 210 - 15 = 195$

İstenen: en az iki kadın seçilme olayıdır. Bunun sayısını bulalım.

İki kadın seçilmesi:

$W = 2 : (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix}) = 6 \cdot 15 = 90$

Üç kadın seçilmesi:

$W = 3 : (\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix}) = 4 \cdot 6 = 24$

Dört kadın seçilmesi:

$W = 4 : (\begin{matrix} 4 \\ 4 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 0 \end{matrix}) = 1 \cdot 1 = 1$

Buna göre en az iki kadın seçilmesi durum sayısı:

$W \geq 2 : 90 + 24 + 1 = 115$

Koşullu olasılık:

$P (W \geq 2 | W \geq 1) = \frac{115}{195} = \frac{23}{39}$

Sonuç: Bulunan değer şıklarla karşılaştırıldığında doğru cevap A şıkkıdır.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Bir kutuda $3$ kırmızı, $2$ mavi ve $1$ yeşil top vardır.
Kutudan geri koymadan ardışık iki top çekiliyor.
Eğer ilk çekilen top kırmızı ise geri koymadan bir top daha çekiliyor; ilk çekilen top kırmızı değilse çekilen iki top kutuya geri konulup kutudan bir top daha çekiliyor.
Son çekilen topun yeşil olma olasılığı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Toplam top sayısını bulalım. 3 + 2 + 1 = 6 Birinci çekilen topun kırmızı olması olayına A diyelim. P ( A ) = 3 6 = 1 2 Birinci çekilen top kırmızı ise, ilk iki çekiliş geri konmadan yapılır ve son çekiliş (üçüncü çekiliş) kutuda kalan toplardan yapılır. Bu durumda son topun yeşil gelme olasılığını P(Yeşil | A) olarak hesaplayalım. Birinci top kırmızı çıktıktan sonra kutuda kalan top sayısı: 6 − 1 = 5 Bu aşamada yeşil top sayısı hâlâ birdir. İkinci çekilişte yeşil gelme olasılığı: P ( Y 2 | A ) = 1 5 İkinci çekilişte yeşil gelmezse (yani yeşil kutuda kalırsa), üçüncü çekiliş toplam dört toptan yapılılır ve bu dört topun içinde bir yeşil vardır. Dolayısıyla: P ( Y 3 | A, Y 2 ≠ Y ) = 1 4 İkinci çekilişte yeşil gelmeme olasılığı: P ( Y 2 ≠ Y | A ) = 4 5 Bu durumda koşullu olasılık: P ( Y 3 | A ) = 1 5 · 0 + 4 5 · 1 4 = 1 5 Birinci çekilen top kırmızı değilse olayına Ā diyelim. O zaman: P ( A ¯ ) = 1 − 1 2 = 1 2 Bu durumda ilk iki top geri konulup kutu başlangıç hâline döner; son çekiliş tek çekiliştir. Yeşil gelme olasılığı: P ( Y 3 | A ¯ ) = 1 6 Toplam olasılık ile son topun yeşil gelme olasılığı: P ( Y 3 ) = P ( A ) · P ( Y 3 | A ) + P ( A ¯ ) · P ( Y 3 | A ¯ ) P ( Y 3 ) = 1 2 · 1 5 + 1 2 · 1 6 = 1 10 + 1 12 = 11 60 Bulunan olasılık şıkkıB1252 ile aynıdır. 11 60

Çözüm: Toplam top sayısını bulalım. 3 + 2 + 1 = 6 Birinci çekilen topun kırmızı olması olayına A diyelim. P ( A ) = 3 6 = 1 2 Birinci çekilen top kırmızı ise, ilk iki çekiliş geri konmadan yapılır ve son çekiliş (üçüncü çekiliş) kutuda kalan toplardan yapılır. Bu durumda son topun yeşil gelme olasılığını P(Yeşil | A) olarak hesaplayalım. Birinci top kırmızı çıktıktan sonra kutuda kalan top sayısı: 6 − 1 = 5 Bu aşamada yeşil top sayısı hâlâ birdir. İkinci çekilişte yeşil gelme olasılığı: P ( Y 2 | A ) = 1 5 İkinci çekilişte yeşil gelmezse (yani yeşil kutuda kalırsa), üçüncü çekiliş toplam dört toptan yapılılır ve bu dört topun içinde bir yeşil vardır. Dolayısıyla: P ( Y 3 | A, Y 2 ≠ Y ) = 1 4 İkinci çekilişte yeşil gelmeme olasılığı: P ( Y 2 ≠ Y | A ) = 4 5 Bu durumda koşullu olasılık: P ( Y 3 | A ) = 1 5 · 0 + 4 5 · 1 4 = 1 5 Birinci çekilen top kırmızı değilse olayına Ā diyelim. O zaman: P ( A ¯ ) = 1 − 1 2 = 1 2 Bu durumda ilk iki top geri konulup kutu başlangıç hâline döner; son çekiliş tek çekiliştir. Yeşil gelme olasılığı: P ( Y 3 | A ¯ ) = 1 6 Toplam olasılık ile son topun yeşil gelme olasılığı: P ( Y 3 ) = P ( A ) · P ( Y 3 | A ) + P ( A ¯ ) · P ( Y 3 | A ¯ ) P ( Y 3 ) = 1 2 · 1 5 + 1 2 · 1 6 = 1 10 + 1 12 = 11 60 Bulunan olasılık şıkkıB1252 ile aynıdır. 11 60

Toplam top sayısını bulalım.

3 + 2 + 1 = 6

Birinci çekilen topun kırmızı olması olayına A diyelim.

P (A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}

Birinci çekilen top kırmızı ise, ilk iki çekiliş geri konmadan yapılır ve son çekiliş (üçüncü çekiliş) kutuda kalan toplardan yapılır. Bu durumda son topun yeşil gelme olasılığını P(Yeşil | A) olarak hesaplayalım.

Birinci top kırmızı çıktıktan sonra kutuda kalan top sayısı:

6 - 1 = 5

Bu aşamada yeşil top sayısı hâlâ birdir. İkinci çekilişte yeşil gelme olasılığı:

P (Y_{2} | A) = \frac{1}{5}

İkinci çekilişte yeşil gelmezse (yani yeşil kutuda kalırsa), üçüncü çekiliş toplam dört toptan yapılılır ve bu dört topun içinde bir yeşil vardır. Dolayısıyla:

P (Y_{3} | A, Y_{2} \neq Y) = \frac{1}{4}

İkinci çekilişte yeşil gelmeme olasılığı:

P (Y_{2} \neq Y | A) = \frac{4}{5}

Bu durumda koşullu olasılık:

P (Y_{3} | A) = \frac{1}{5} \cdot 0 + \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{5}

Birinci çekilen top kırmızı değilse olayına Ā diyelim. O zaman:

P (\bar{A}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Bu durumda ilk iki top geri konulup kutu başlangıç hâline döner; son çekiliş tek çekiliştir. Yeşil gelme olasılığı:

P (Y_{3} | \bar{A}) = \frac{1}{6}

Toplam olasılık ile son topun yeşil gelme olasılığı:

P (Y_{3}) = P (A) \cdot P (Y_{3} | A) + P (\bar{A}) \cdot P (Y_{3} | \bar{A})

P (Y_{3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{10} + \frac{1}{12} = \frac{11}{60}

Bulunan olasılık A şıkkı ile aynıdır.

\frac{11}{60}

10. SoruÇoktan Seçmeli

Birinci torbada $5$ beyaz ve $3$ siyah bilye, ikinci torbada $4$ beyaz ve $6$ siyah bilye vardır.
Bir torba, sırasıyla $\frac{2}{5}$ ve $\frac{3}{5}$ olasılıklarıyla seçiliyor; seçilen torbadan geri koymadan ardışık $2$ bilye çekiliyor.
Çekilen iki bilyenin de beyaz olduğu bilindiğine göre, seçilen torbanın birinci torba olma olasılığı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Önce torbaların seçilme olasılıklarını ve iki beyaz bilye gelme olasılıklarını bulalım. Birinci torbanın seçilme olasılığı: P ( T 1 ) = 2 5 İkinci torbanın seçilme olasılığı: P ( T 2 ) = 3 5 Birinci torbadan geri koymadan ardışık iki beyaz gelme olasılığı: P ( W W | T 1 ) = 5 8 × 4 7 = 20 56 = 5 14 İkinci torbadan geri koymadan ardışık iki beyaz gelme olasılığı: P ( W W | T 2 ) = 4 10 × 3 9 = 12 90 = 2 15 Şimdi Bayes kuralı ile, iki bilyenin de beyaz geldiği bilindiğinde birinci torbanın seçilmiş olma olasılığını bulalım: P ( T 1 | W W ) = P ( T 1 ) P ( W W | T 1 ) P ( T 1 ) P ( W W | T 1 ) + P ( T 2 ) P ( W W | T 2 ) Yerine yazıp sadeleştirelim: P ( T 1 | W W ) = 2 5 × 5 14 2 5 × 5 14 + 3 5 × 2 15 Önce payı hesaplayalım: 2 5 × 5 14 = 2 14 = 1 7 Paydadaki ikinci çarpımı hesaplayalım: 3 5 × 2 15 = 6 75 = 2 25 Paydayı toplayalım (ortak payda): 1 7 + 2 25 = 25 175 + 14 175 = 39 175 Son olarak oran: P ( T 1 | W W ) = 1 7 39 175 = 25 39 Sonuç olarak doğru cevap C1008 şıkkıdır.

Çözüm: Önce torbaların seçilme olasılıklarını ve iki beyaz bilye gelme olasılıklarını bulalım. Birinci torbanın seçilme olasılığı: P ( T 1 ) = 2 5 İkinci torbanın seçilme olasılığı: P ( T 2 ) = 3 5 Birinci torbadan geri koymadan ardışık iki beyaz gelme olasılığı: P ( W W | T 1 ) = 5 8 × 4 7 = 20 56 = 5 14 İkinci torbadan geri koymadan ardışık iki beyaz gelme olasılığı: P ( W W | T 2 ) = 4 10 × 3 9 = 12 90 = 2 15 Şimdi Bayes kuralı ile, iki bilyenin de beyaz geldiği bilindiğinde birinci torbanın seçilmiş olma olasılığını bulalım: P ( T 1 | W W ) = P ( T 1 ) P ( W W | T 1 ) P ( T 1 ) P ( W W | T 1 ) + P ( T 2 ) P ( W W | T 2 ) Yerine yazıp sadeleştirelim: P ( T 1 | W W ) = 2 5 × 5 14 2 5 × 5 14 + 3 5 × 2 15 Önce payı hesaplayalım: 2 5 × 5 14 = 2 14 = 1 7 Paydadaki ikinci çarpımı hesaplayalım: 3 5 × 2 15 = 6 75 = 2 25 Paydayı toplayalım (ortak payda): 1 7 + 2 25 = 25 175 + 14 175 = 39 175 Son olarak oran: P ( T 1 | W W ) = 1 7 39 175 = 25 39 Sonuç olarak doğru cevap C1008 şıkkıdır.

Önce torbaların seçilme olasılıklarını ve iki beyaz bilye gelme olasılıklarını bulalım.

Birinci torbanın seçilme olasılığı:

P (T_{1}) = \frac{2}{5}

İkinci torbanın seçilme olasılığı:

P (T_{2}) = \frac{3}{5}

Birinci torbadan geri koymadan ardışık iki beyaz gelme olasılığı:

P (W W | T_{1}) = \frac{5}{8} \times \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}

İkinci torbadan geri koymadan ardışık iki beyaz gelme olasılığı:

P (W W | T_{2}) = \frac{4}{10} \times \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}

Şimdi Bayes kuralı ile, iki bilyenin de beyaz geldiği bilindiğinde birinci torbanın seçilmiş olma olasılığını bulalım:

P (T_{1} | W W) = \frac{P (T_{1}) P (W W | T_{1})}{P (T_{1}) P (W W | T_{1}) + P (T_{2}) P (W W | T_{2})}

Yerine yazıp sadeleştirelim:

P (T_{1} | W W) = \frac{\frac{2}{5} \times \frac{5}{14}}{\frac{2}{5} \times \frac{5}{14} + \frac{3}{5} \times \frac{2}{15}}

Önce payı hesaplayalım:

\frac{2}{5} \times \frac{5}{14} = \frac{2}{14} = \frac{1}{7}

Paydadaki ikinci çarpımı hesaplayalım:

\frac{3}{5} \times \frac{2}{15} = \frac{6}{75} = \frac{2}{25}

Paydayı toplayalım (ortak payda):

\frac{1}{7} + \frac{2}{25} = \frac{25}{175} + \frac{14}{175} = \frac{39}{175}

Son olarak oran:

P (T_{1} | W W) = \frac{\frac{1}{7}}{\frac{39}{175}} = \frac{25}{39}

Sonuç olarak doğru cevap A şıkkıdır.

Olasılık Sık Sorulan Sorular

Olasılık nedir?

Bir olayın gerçekleşme ihtimalini gösteren sayısal değerdir.

Olasılık değeri hangi aralıktadır?

0 ile 1 arasındadır; imkânsız olayın olasılığı 0, kesin olayın olasılığı 1’dir.

Tümleyen olay nedir?

Bir olayın gerçekleşmemesi durumudur ve olasılığı 1’den olayın olasılığı çıkarılarak bulunur.

10. Sınıf Matematik Olasılık Testleri

Olasılığı örnek uzay ve durum sayısıyla öğren

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

Sık karıştırılan noktalar

Verimli çalışma yolu

10. Sınıf Matematik Olasılık Testleri

Bir torbada beş kırmızı, dört mavi ve üç yeşil top vardır. Geri koymadan rastgele dört top çekiliyor.Çekilen topların tam olarak iki farklı renkten oluşma olasılığı kaçtır?

Bir torbada 5 beyaz ve 5 siyah top vardır. Geri koymadan art arda 4 top çekiliyor. A: çekilen beyaz top sayısı çifttir, B: ilk çekilen top beyazdır. P(A|B) kaçtır?

Standart bir iskambil destesinden rastgele 3 kart çekiliyor. Çekilen kartların en az birinin kupa olduğu bilindiğine göre, kartların tam olarak 2 tanesinin kupa olma olasılığı kaçtır?

Bir torbada 5 kırmızı, 4 mavi ve 3 yeşil top vardır. Torbadan rastgele 3 top geri koymadan çekiliyor. Çekilen toplar arasında en az bir yeşil olduğu bilindiğine göre, tam olarak iki kırmızı çekilme olasılığı kaçtır?

Bir standart iskambil destesinden rastgele 4 kart seçiliyor. Deste 52 karttan oluşur ve 4 as içerir. Seçilen kartlar arasında as bulunduğu biliniyor. Bu koşul altında tam olarak 2 as seçilmiş olma olasılığı kaçtır?

4 kadın ve 6 erkekten oluşan 10 kişilik gruptan rastgele 4 kişi seçiliyor.Seçilenlerde en az 1 kadın olduğu bilindiğine göre, en az 2 kadın seçilmiş olma olasılığı kaçtır?

Olasılık Sık Sorulan Sorular

Bir torbada beş kırmızı, dört mavi ve üç yeşil top vardır. Geri koymadan rastgele dört top çekiliyor.
Çekilen topların tam olarak iki farklı renkten oluşma olasılığı kaçtır?

$Bir torbada 5 beyaz ve 5 siyah top vardır. Geri koymadan art arda 4 top çekiliyor. A : çekilen beyaz top sayısı çifttir, B : ilk çekilen top beyazdır. P (A | B) kaçtır?$

Standart bir iskambil destesinden rastgele $3$ kart çekiliyor. Çekilen kartların en az birinin kupa olduğu bilindiğine göre, kartların tam olarak $2$ tanesinin kupa olma olasılığı kaçtır?

Bir torbada $5$ kırmızı, $4$ mavi ve $3$ yeşil top vardır. Torbadan rastgele $3$ top geri koymadan çekiliyor. Çekilen toplar arasında en az bir yeşil olduğu bilindiğine göre, tam olarak iki kırmızı çekilme olasılığı kaçtır?

Bir standart iskambil destesinden rastgele $4$ kart seçiliyor. Deste $52$ karttan oluşur ve $4$ as içerir. Seçilen kartlar arasında as bulunduğu biliniyor. Bu koşul altında tam olarak $2$ as seçilmiş olma olasılığı kaçtır?

$4$ kadın ve $6$ erkekten oluşan $10$ kişilik gruptan rastgele $4$ kişi seçiliyor.
Seçilenlerde en az $1$ kadın olduğu bilindiğine göre, en az $2$ kadın seçilmiş olma olasılığı kaçtır?