10. Sınıf Matematik Olasılık Testleri

Doğru cevap: C

Cevabın C olup olmadığını Bayes teoremi ile kontrol edelim. Olay: seçilen kutudan geri koymadan iki top çekiliyor ve ikisi de beyaz geliyor. Ön bilgiler (kutuların seçilme olasılıkları): P ( K 1 ) = 1 3 P ( K 2 ) = 2 3 Birinci kutu seçilirse iki topun da beyaz gelme olasılığı: P ( B | K 1 ) = 2 5 × 1 4 = 1 10 İkinci kutu seçilirse iki topun da beyaz gelme olasılığı: P ( B | K 2 ) = 4 5 × 3 4 = 3 5 Bayes teoremi ile (iki beyaz geldiğine göre seçilen kutunun ikinci kutu olma olasılığı): P ( K 2 | B ) = P ( B | K 2 ) P ( K 2 ) P ( B | K 1 ) P ( K 1 ) + P ( B | K 2 ) P ( K 2 ) Değerleri yerine yazıp hesaplayalım: P ( K 2 | B ) = 3 5 × 2 3 1 10 × 1 3 + 3 5 × 2 3 Ara çarpımları sadeleştirelim: 3 5 × 2 3 = 2 5 1 10 × 1 3 = 1 30 Son adım: P ( K 2 | B ) = 2 5 1 30 + 2 5 = 2 5 13 30 = 12 13 Sonuç: Doğru seçenek C ’dir.

1. Çözüm: Cevabın C olup olmadığını Bayes teoremi ile kontrol edelim. Olay: seçilen kutudan geri koymadan iki top çekiliyor ve ikisi de beyaz geliyor. Ön bilgiler (kutuların seçilme olasılıkları): P ( K 1 ) = 1 3 P ( K 2 ) = 2 3 Birinci kutu seçilirse iki topun da beyaz gelme olasılığı: P ( B | K 1 ) = 2 5 × 1 4 = 1 10 İkinci kutu seçilirse iki topun da beyaz gelme olasılığı: P ( B | K 2 ) = 4 5 × 3 4 = 3 5 Bayes teoremi ile (iki beyaz geldiğine göre seçilen kutunun ikinci kutu olma olasılığı): P ( K 2 | B ) = P ( B | K 2 ) P ( K 2 ) P ( B | K 1 ) P ( K 1 ) + P ( B | K 2 ) P ( K 2 ) Değerleri yerine yazıp hesaplayalım: P ( K 2 | B ) = 3 5 × 2 3 1 10 × 1 3 + 3 5 × 2 3 Ara çarpımları sadeleştirelim: 3 5 × 2 3 = 2 5 1 10 × 1 3 = 1 30 Son adım: P ( K 2 | B ) = 2 5 1 30 + 2 5 = 2 5 13 30 = 12 13 Sonuç: Doğru seçenek C ’dir.

Doğru cevap: A

Aranan olasılık koşullu olasılıktır. Dört kart içinde gelen as sayısını olarak tanımlayalım. X: çekilen dört karttaki as sayısı P ( X = 2 | X ≥ 1 ) = P ( X = 2 ) P ( X ≥ 1 ) Toplam durum sayısı: 52 4 = 270725 Önce olasılığını bulalım (hiç as gelmemesi): P ( X = 0 ) = 4 0 48 4 52 4 48 4 = 194580 P ( X = 0 ) = 194580 270725 En az bir as gelmesi: P ( X ≥ 1 ) = 1 - P ( X = 0 ) P ( X ≥ 1 ) = 1 - 194580 270725 = 270725 270725 - 194580 270725 = 76145 270725 Tam olarak iki as gelmesi: P ( X = 2 ) = 4 2 48 2 52 4 4 2 = 6 48 2 = 1128 P ( X = 2 ) = 6 ⋅ 1128 270725 = 6768 270725 Koşullu olasılık: P ( X = 2 | X ≥ 1 ) = 6768 270725 76145 270725 = 6768 76145 Sonuç olduğundan doğru seçenek A ’dır; yani A şıkkı doğrudur. 6768 76145

1. Çözüm: Aranan olasılık koşullu olasılıktır. Dört kart içinde gelen as sayısını olarak tanımlayalım. X: çekilen dört karttaki as sayısı P ( X = 2 | X ≥ 1 ) = P ( X = 2 ) P ( X ≥ 1 ) Toplam durum sayısı: 52 4 = 270725 Önce olasılığını bulalım (hiç as gelmemesi): P ( X = 0 ) = 4 0 48 4 52 4 48 4 = 194580 P ( X = 0 ) = 194580 270725 En az bir as gelmesi: P ( X ≥ 1 ) = 1 - P ( X = 0 ) P ( X ≥ 1 ) = 1 - 194580 270725 = 270725 270725 - 194580 270725 = 76145 270725 Tam olarak iki as gelmesi: P ( X = 2 ) = 4 2 48 2 52 4 4 2 = 6 48 2 = 1128 P ( X = 2 ) = 6 ⋅ 1128 270725 = 6768 270725 Koşullu olasılık: P ( X = 2 | X ≥ 1 ) = 6768 270725 76145 270725 = 6768 76145 Sonuç olduğundan doğru seçenek A ’dır; yani A şıkkı doğrudur. 6768 76145

Doğru cevap: B

Verilen koşul: Çarpımın çift olması olayı E olsun. İstenen: Toplamın 3 ile tam bölünmesi olayı T için koşullu olasılık P(T|E). Örnek uzay (iki zar): | Ω | = 6 × 6 = 36 Önce P(E) hesaplayalım. Çarpımın tek olması için her iki zarın da tek gelmesi gerekir: P ( E c ) = 3 6 × 3 6 = 9 36 = 1 4 Buradan çarpımın çift olma olasılığı: P ( E ) = 1 - P ( E c ) = 1 - 1 4 = 3 4 Şimdi T: toplamın 3 ile bölünebilmesi. Olası toplamlar: 3, 6, 9, 12 Bu toplamların her birinin kaç farklı şekilde geldiğini sayalım: | S = 3 | = 2, | S = 6 | = 5, | S = 9 | = 4, | S = 12 | = 1 Toplam: | T | = 2 + 5 + 4 + 1 = 12 Ancak koşul gereği çarpımın çift olması lazım. T içindeki ve çarpımı tek olan (yani iki zarın da tek olduğu) durumları çıkaralım. Bu, toplamı 6 olan tek-tek durumlarıdır: ( 1, 5 ), ( 3, 3 ), ( 5, 1 ) Bu yüzden kesişimdeki uygun durum sayısı: | T ∩ E | = | T | - 3 = 12 - 3 = 9 Koşullu olasılık: P ( T | E ) = P ( T ∩ E ) P ( E ) Olasılıkları sayımla yazalım: P ( T ∩ E ) = 9 36, P ( E ) = 27 36 Sonuç: P ( T | E ) = 9 36 27 36 = 9 27 = 1 3 Dolayısıyla doğru cevap B şıkkıdır.

1. Çözüm: Verilen koşul: Çarpımın çift olması olayı E olsun. İstenen: Toplamın 3 ile tam bölünmesi olayı T için koşullu olasılık P(T|E). Örnek uzay (iki zar): | Ω | = 6 × 6 = 36 Önce P(E) hesaplayalım. Çarpımın tek olması için her iki zarın da tek gelmesi gerekir: P ( E c ) = 3 6 × 3 6 = 9 36 = 1 4 Buradan çarpımın çift olma olasılığı: P ( E ) = 1 - P ( E c ) = 1 - 1 4 = 3 4 Şimdi T: toplamın 3 ile bölünebilmesi. Olası toplamlar: 3, 6, 9, 12 Bu toplamların her birinin kaç farklı şekilde geldiğini sayalım: | S = 3 | = 2, | S = 6 | = 5, | S = 9 | = 4, | S = 12 | = 1 Toplam: | T | = 2 + 5 + 4 + 1 = 12 Ancak koşul gereği çarpımın çift olması lazım. T içindeki ve çarpımı tek olan (yani iki zarın da tek olduğu) durumları çıkaralım. Bu, toplamı 6 olan tek-tek durumlarıdır: ( 1, 5 ), ( 3, 3 ), ( 5, 1 ) Bu yüzden kesişimdeki uygun durum sayısı: | T ∩ E | = | T | - 3 = 12 - 3 = 9 Koşullu olasılık: P ( T | E ) = P ( T ∩ E ) P ( E ) Olasılıkları sayımla yazalım: P ( T ∩ E ) = 9 36, P ( E ) = 27 36 Sonuç: P ( T | E ) = 9 36 27 36 = 9 27 = 1 3 Dolayısıyla doğru cevap B şıkkıdır.

Doğru cevap: B

Önce örnek uzayı ve verilen şartı netleştirelim. | S | = 6 × 6 = 36 Çarpımın üçe tam bölünmesi demek, zarların en az birinin üçün katı gelmesi demektir. Bunun sayısını tümden çıkarma ile bulalım. Üçün katı olmayan yüzler: { 1, 2, 4, 5 } Her iki zar da bu kümeden gelirse çarpım üçe bölünmez. N ( çarpım üçe bölünmez ) = 4 × 4 = 16 O hâlde çarpımın üçe bölündüğü durum sayısı: N ( çarpım üçe bölünür ) = 36 - 16 = 20 Şimdi toplamın sekiz olduğu sıralı ikilileri yazalım: ( 2, 6 ), ( 3, 5 ), ( 4, 4 ), ( 5, 3 ), ( 6, 2 ) Bu ikililerden hangilerinde çarpım üçe bölünür bakalım: 2 × 6, 3 × 5, 5 × 3, 6 × 2 N ( toplam sekiz ve çarpım üçe bölünür ) = 4 İstenen koşullu olasılık: P ( toplam sekiz | çarpım üçe bölünür ) = 4 20 = 1 5 Sonuç: Doğru seçenek B ’dir. 1 5

1. Çözüm: Önce örnek uzayı ve verilen şartı netleştirelim. | S | = 6 × 6 = 36 Çarpımın üçe tam bölünmesi demek, zarların en az birinin üçün katı gelmesi demektir. Bunun sayısını tümden çıkarma ile bulalım. Üçün katı olmayan yüzler: { 1, 2, 4, 5 } Her iki zar da bu kümeden gelirse çarpım üçe bölünmez. N ( çarpım üçe bölünmez ) = 4 × 4 = 16 O hâlde çarpımın üçe bölündüğü durum sayısı: N ( çarpım üçe bölünür ) = 36 - 16 = 20 Şimdi toplamın sekiz olduğu sıralı ikilileri yazalım: ( 2, 6 ), ( 3, 5 ), ( 4, 4 ), ( 5, 3 ), ( 6, 2 ) Bu ikililerden hangilerinde çarpım üçe bölünür bakalım: 2 × 6, 3 × 5, 5 × 3, 6 × 2 N ( toplam sekiz ve çarpım üçe bölünür ) = 4 İstenen koşullu olasılık: P ( toplam sekiz | çarpım üçe bölünür ) = 4 20 = 1 5 Sonuç: Doğru seçenek B ’dir. 1 5

Doğru cevap: C

1) Doğru şık kontrolü Hesap sonunda olasılık 29 44 çıktığı için doğru cevap C’dir. 2) Toplam durum sayısı Toptan toplam sayı: 4 + 5 + 3 = 12 Geri koymadan 3 top seçme sayısı: ( 12 3 ) = 220 3) İstenen olay: “tam olarak iki farklı renk” Bu, seçilen 3 topun: - ne tek renk (3’ü aynı renk) olması - ne de üç farklı renk (her renkten 1) olması demektir. Yani dağılım mutlaka 2 + 1 şeklinde olmalıdır. 4) Kırmızı–Mavi çiftiyle (sadece bu iki renkten) seçimler Kırmızı+mavi toplam top sayısı: 4 + 5 = 9 Bu 9 toptan 3 seçim: ( 9 3 ) = 84 Buradan tek renk olanları çıkaralım: ( 4 3 ) = 4 ( 5 3 ) = 10 O hâlde kırmızı–mavi ile tam iki renkli seçim sayısı: 84 - 4 - 10 = 70 5) Kırmızı–Yeşil çifti Kırmızı+yeşil toplam top: 4 + 3 = 7 Bu 7 toptan 3 seçim: ( 7 3 ) = 35 Tek renk olanları çıkaralım: ( 4 3 ) = 4 ( 3 3 ) = 1 O hâlde kırmızı–yeşil ile tam iki renkli seçim sayısı: 35 - 4 - 1 = 30 6) Mavi–Yeşil çifti Mavi+yeşil toplam top: 5 + 3 = 8 Bu 8 toptan 3 seçim: ( 8 3 ) = 56 Tek renk olanları çıkaralım: ( 5 3 ) = 10 ( 3 3 ) = 1 O hâlde mavi–yeşil ile tam iki renkli seçim sayısı: 56 - 10 - 1 = 45 7) İstenen durumların toplamı ve olasılık Uygun durum sayısı: 70 + 30 + 45 = 145 Olasılık: 145 220 = 29 44 Sonuç: Doğru cevap C şıkkıdır.

1. Çözüm: 1) Doğru şık kontrolü Hesap sonunda olasılık 29 44 çıktığı için doğru cevap C’dir. 2) Toplam durum sayısı Toptan toplam sayı: 4 + 5 + 3 = 12 Geri koymadan 3 top seçme sayısı: ( 12 3 ) = 220 3) İstenen olay: “tam olarak iki farklı renk” Bu, seçilen 3 topun: - ne tek renk (3’ü aynı renk) olması - ne de üç farklı renk (her renkten 1) olması demektir. Yani dağılım mutlaka 2 + 1 şeklinde olmalıdır. 4) Kırmızı–Mavi çiftiyle (sadece bu iki renkten) seçimler Kırmızı+mavi toplam top sayısı: 4 + 5 = 9 Bu 9 toptan 3 seçim: ( 9 3 ) = 84 Buradan tek renk olanları çıkaralım: ( 4 3 ) = 4 ( 5 3 ) = 10 O hâlde kırmızı–mavi ile tam iki renkli seçim sayısı: 84 - 4 - 10 = 70 5) Kırmızı–Yeşil çifti Kırmızı+yeşil toplam top: 4 + 3 = 7 Bu 7 toptan 3 seçim: ( 7 3 ) = 35 Tek renk olanları çıkaralım: ( 4 3 ) = 4 ( 3 3 ) = 1 O hâlde kırmızı–yeşil ile tam iki renkli seçim sayısı: 35 - 4 - 1 = 30 6) Mavi–Yeşil çifti Mavi+yeşil toplam top: 5 + 3 = 8 Bu 8 toptan 3 seçim: ( 8 3 ) = 56 Tek renk olanları çıkaralım: ( 5 3 ) = 10 ( 3 3 ) = 1 O hâlde mavi–yeşil ile tam iki renkli seçim sayısı: 56 - 10 - 1 = 45 7) İstenen durumların toplamı ve olasılık Uygun durum sayısı: 70 + 30 + 45 = 145 Olasılık: 145 220 = 29 44 Sonuç: Doğru cevap C şıkkıdır.

Doğru cevap: A

1) Olayları tanımlayalım A: “Tam olarak 2 kırmızı, 1 mavi, 1 yeşil gelmesi” B: “En az 1 yeşil gelmesi” İstenen: P ( A | B ) 2) Koşullu olasılık formülü P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) A olayı zaten 1 yeşil içerdiği için: A ⊆ B ⇒ P ( A ∩ B ) = P ( A ) Dolayısıyla: P ( A | B ) = P ( A ) P ( B ) 3) Toplam durum sayısı Toplam top sayısı: 5 + 4 + 3 = 12 Geri koymadan 4 top seçme sayısı: ( 12, 4 ) = 495 4) A olayının sayısı (2K, 1M, 1Y) Kırmızıdan 2, maviden 1, yeşilden 1 seçelim: ( 5, 2 ) · ( 4, 1 ) · ( 3, 1 ) = 10 · 4 · 3 = 120 Buna göre: P ( A ) = 120 495 = 8 33 5) B olayının olasılığı (en az 1 yeşil) Önce “hiç yeşil gelmemesi”ni bulalım. Yeşil olmayan top sayısı: 5 + 4 = 9 Hiç yeşil gelmeme durumu: P ( B ¯ ) = ( 9, 4 ) ( 12, 4 ) = 126 495 O hâlde: P ( B ) = 1 - P ( B ¯ ) = 1 - 126 495 = 369 495 6) Koşullu olasılığı hesaplayalım P ( A | B ) = P ( A ) P ( B ) = 120 495 369 495 = 120 369 = 40 123 7) Şık kontrolü Bulunan değer: 40 123 Bu değer A şıkkıdır. Doğru cevap A.

1. Çözüm: 1) Olayları tanımlayalım A: “Tam olarak 2 kırmızı, 1 mavi, 1 yeşil gelmesi” B: “En az 1 yeşil gelmesi” İstenen: P ( A | B ) 2) Koşullu olasılık formülü P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) P ( B ) A olayı zaten 1 yeşil içerdiği için: A ⊆ B ⇒ P ( A ∩ B ) = P ( A ) Dolayısıyla: P ( A | B ) = P ( A ) P ( B ) 3) Toplam durum sayısı Toplam top sayısı: 5 + 4 + 3 = 12 Geri koymadan 4 top seçme sayısı: ( 12, 4 ) = 495 4) A olayının sayısı (2K, 1M, 1Y) Kırmızıdan 2, maviden 1, yeşilden 1 seçelim: ( 5, 2 ) · ( 4, 1 ) · ( 3, 1 ) = 10 · 4 · 3 = 120 Buna göre: P ( A ) = 120 495 = 8 33 5) B olayının olasılığı (en az 1 yeşil) Önce “hiç yeşil gelmemesi”ni bulalım. Yeşil olmayan top sayısı: 5 + 4 = 9 Hiç yeşil gelmeme durumu: P ( B ¯ ) = ( 9, 4 ) ( 12, 4 ) = 126 495 O hâlde: P ( B ) = 1 - P ( B ¯ ) = 1 - 126 495 = 369 495 6) Koşullu olasılığı hesaplayalım P ( A | B ) = P ( A ) P ( B ) = 120 495 369 495 = 120 369 = 40 123 7) Şık kontrolü Bulunan değer: 40 123 Bu değer A şıkkıdır. Doğru cevap A.

Doğru cevap: A

Soru: İki adil zar atılıyor, toplam 7 gelene kadar bağımsız denemeler sürüyor. İlk kez toplamın 7 geldiği deneme sayısının çift olma olasılığı soruluyor. 1) Bir denemede toplamın 7 gelme olasılığı (başarı olasılığı) p = 6 36 = 1 6 2) İlk başarının (7 gelmesinin) n. denemede gelme olasılığı Geometrik dağılım: İlk n−1 denemede başarısız, n. denemede başarılı olmalı. P ( N = n ) = ( 1 - p ) n - 1 p 3) N’in çift olma olasılığı Çift değerler: 2, 4, 6,... P ( N çift ) = P ( N = 2 ) + P ( N = 4 ) + P ( N = 6 ) + … = ( 1 - p ) 1 p + ( 1 - p ) 3 p + ( 1 - p ) 5 p + … 4) Ortak çarpan alıp geometrik seri olarak toplama P ( N çift ) = p ( 1 - p ) [ 1 + ( 1 - p ) 2 + ( 1 - p ) 4 + … ] Köşeli parantez içi ortak oranı (1−p) 2 olan geometrik seridir. 1 + ( 1 - p ) 2 + ( 1 - p ) 4 + … = 1 1 - ( 1 - p ) 2 5) Genel formülün sadeleştirilmesi P ( N çift ) = p ( 1 - p ) 1 1 - ( 1 - p ) 2 = p ( 1 - p ) 1 - 1 2 - 2 p + p 2 = p ( 1 - p ) 2 p - p 2 = p ( 1 - p ) p ( 2 - p ) = 1 - p 2 - p 6) p = 1/6 yerine yazma P ( N çift ) = 1 - 1 6 2 - 1 6 = 5 6 11 6 = 5 11 Sonuç ve şık kontrolü Bulunan olasılık 5/11 olduğundan doğru cevap A şıkkıdır.

1. Çözüm: Soru: İki adil zar atılıyor, toplam 7 gelene kadar bağımsız denemeler sürüyor. İlk kez toplamın 7 geldiği deneme sayısının çift olma olasılığı soruluyor. 1) Bir denemede toplamın 7 gelme olasılığı (başarı olasılığı) p = 6 36 = 1 6 2) İlk başarının (7 gelmesinin) n. denemede gelme olasılığı Geometrik dağılım: İlk n−1 denemede başarısız, n. denemede başarılı olmalı. P ( N = n ) = ( 1 - p ) n - 1 p 3) N’in çift olma olasılığı Çift değerler: 2, 4, 6,... P ( N çift ) = P ( N = 2 ) + P ( N = 4 ) + P ( N = 6 ) + … = ( 1 - p ) 1 p + ( 1 - p ) 3 p + ( 1 - p ) 5 p + … 4) Ortak çarpan alıp geometrik seri olarak toplama P ( N çift ) = p ( 1 - p ) [ 1 + ( 1 - p ) 2 + ( 1 - p ) 4 + … ] Köşeli parantez içi ortak oranı (1−p) 2 olan geometrik seridir. 1 + ( 1 - p ) 2 + ( 1 - p ) 4 + … = 1 1 - ( 1 - p ) 2 5) Genel formülün sadeleştirilmesi P ( N çift ) = p ( 1 - p ) 1 1 - ( 1 - p ) 2 = p ( 1 - p ) 1 - 1 2 - 2 p + p 2 = p ( 1 - p ) 2 p - p 2 = p ( 1 - p ) p ( 2 - p ) = 1 - p 2 - p 6) p = 1/6 yerine yazma P ( N çift ) = 1 - 1 6 2 - 1 6 = 5 6 11 6 = 5 11 Sonuç ve şık kontrolü Bulunan olasılık 5/11 olduğundan doğru cevap A şıkkıdır.

Doğru cevap: B

1) Kontrol: İstenen koşullu olasılık P ( B | A ) olup, doğru şıkkın B olup olmadığını bulacağız. 2) Temel gözlem: Olaylar A: en az bir kırmızı B: tam iki kırmızı şeklinde. Tam iki kırmızı çekmek, en az bir kırmızı çekmeyi zaten sağlar. B ⊆ A Bu yüzden P ( B | A ) = P ( B ∩ A ) P ( A ) = P ( B ) P ( A ) 3) Örnek uzay: Toplam bilye sayısı 3 + 4 + 5 = 12 Geri koymadan 4 bilye seçme sayısı C ( 12, 4 ) = 495 4) P (B) hesabı (tam iki kırmızı): 2 kırmızı seçme: C ( 3, 2 ) = 3 Kalan 2 bilye kırmızı olmayanlardan seçilir. Kırmızı olmayan sayısı 12 - 3 = 9 Bu 9 bilyeden 2 seçme: C ( 9, 2 ) = 36 Uygun durum sayısı: C ( 3, 2 ) · C ( 9, 2 ) = 3 · 36 = 108 Dolayısıyla P ( B ) = 108 495 = 12 55 5) P (A) hesabı (en az bir kırmızı): Önce tamamlayıcı olay: hiç kırmızı gelmemesi. Hiç kırmızı yoksa 4 bilye, 9 kırmızı olmayan bilyeden seçilir: C ( 9, 4 ) = 126 Bu yüzden P ( hiç kırmızı ) = 126 495 = 14 55 Dolayısıyla P ( A ) = 1 - 14 55 = 41 55 6) Koşullu olasılık: P ( B | A ) = 12 55 41 55 = 12 41 7) Sonuç ve şık kontrolü: P ( B | A ) = 12 41 Bu değer B şıkkıdır. Şık B doğru.

1. Çözüm: 1) Kontrol: İstenen koşullu olasılık P ( B | A ) olup, doğru şıkkın B olup olmadığını bulacağız. 2) Temel gözlem: Olaylar A: en az bir kırmızı B: tam iki kırmızı şeklinde. Tam iki kırmızı çekmek, en az bir kırmızı çekmeyi zaten sağlar. B ⊆ A Bu yüzden P ( B | A ) = P ( B ∩ A ) P ( A ) = P ( B ) P ( A ) 3) Örnek uzay: Toplam bilye sayısı 3 + 4 + 5 = 12 Geri koymadan 4 bilye seçme sayısı C ( 12, 4 ) = 495 4) P (B) hesabı (tam iki kırmızı): 2 kırmızı seçme: C ( 3, 2 ) = 3 Kalan 2 bilye kırmızı olmayanlardan seçilir. Kırmızı olmayan sayısı 12 - 3 = 9 Bu 9 bilyeden 2 seçme: C ( 9, 2 ) = 36 Uygun durum sayısı: C ( 3, 2 ) · C ( 9, 2 ) = 3 · 36 = 108 Dolayısıyla P ( B ) = 108 495 = 12 55 5) P (A) hesabı (en az bir kırmızı): Önce tamamlayıcı olay: hiç kırmızı gelmemesi. Hiç kırmızı yoksa 4 bilye, 9 kırmızı olmayan bilyeden seçilir: C ( 9, 4 ) = 126 Bu yüzden P ( hiç kırmızı ) = 126 495 = 14 55 Dolayısıyla P ( A ) = 1 - 14 55 = 41 55 6) Koşullu olasılık: P ( B | A ) = 12 55 41 55 = 12 41 7) Sonuç ve şık kontrolü: P ( B | A ) = 12 41 Bu değer B şıkkıdır. Şık B doğru.

Doğru cevap: A

Verilen bilgiye göre çekilen topların kırmızı olanları zaten tam iki tanedir. Bu durumda kalan üç top, torbadaki kırmızı olmayan toplardan (mavi ve yeşil) geri koymadan seçilmiş olur. Kırmızı olmayan topların sayısı: 5 + 4 = 9 Bu grup içinde mavi top sayısı: 5 Yeşil top sayısı: 4 İstenen olasılık: Kalan üç topun en az birinin yeşil olmasıdır. Tümleyeni kullanırsak: En az bir yeşil olma olasılığı 1 - ( hiç yeşil olmaması ) Hiç yeşil olmaması demek, üç topun da mavi olması demektir. Üç topun da mavi gelme olasılığı (kombinasyonla): ( 5 3 ) ( 9 3 ) Kombinasyonları hesaplayalım: ( 5 3 ) = 10 ( 9 3 ) = 84 O hâlde üç topun da mavi gelme olasılığı: 10 84 İstenen olasılık (en az bir yeşil): 1 - 10 84 = 74 84 = 37 42 Sonuç: 37 42 Bu değer A şıkkıdır; yani doğru cevap A.

1. Çözüm: Verilen bilgiye göre çekilen topların kırmızı olanları zaten tam iki tanedir. Bu durumda kalan üç top, torbadaki kırmızı olmayan toplardan (mavi ve yeşil) geri koymadan seçilmiş olur. Kırmızı olmayan topların sayısı: 5 + 4 = 9 Bu grup içinde mavi top sayısı: 5 Yeşil top sayısı: 4 İstenen olasılık: Kalan üç topun en az birinin yeşil olmasıdır. Tümleyeni kullanırsak: En az bir yeşil olma olasılığı 1 - ( hiç yeşil olmaması ) Hiç yeşil olmaması demek, üç topun da mavi olması demektir. Üç topun da mavi gelme olasılığı (kombinasyonla): ( 5 3 ) ( 9 3 ) Kombinasyonları hesaplayalım: ( 5 3 ) = 10 ( 9 3 ) = 84 O hâlde üç topun da mavi gelme olasılığı: 10 84 İstenen olasılık (en az bir yeşil): 1 - 10 84 = 74 84 = 37 42 Sonuç: 37 42 Bu değer A şıkkıdır; yani doğru cevap A.

Doğru cevap: A

Önce tüm olası çekiliş sayılarını (örnek uzay) bulalım. Toplam top sayısı: 5 + 4 + 3 = 12 Geri koymadan 4 top çekildiği için sıra önemli değildir; toplam durum sayısı: 12 4 = 495 İstenen olay: Çekilen 4 topun tam olarak iki farklı renkten oluşması. Bu, şu üç ikiliden biri demektir: (Beyaz-Siyah) veya (Beyaz-Kırmızı) veya (Siyah-Kırmızı). 1) Beyaz-Siyah (beyaz 5 adet, siyah 4 adet). Dört top yalnız bu iki renkten gelecek ve her ikisinden de en az 1 tane olacak: 5 1 · 4 3 + 5 2 · 4 2 + 5 3 · 4 1 = 120 2) Beyaz-Kırmızı (beyaz 5 adet, kırmızı 3 adet). Yine her ikisinden de en az 1 tane olacak: 5 1 · 3 3 + 5 2 · 3 2 + 5 3 · 3 1 = 65 3) Siyah-Kırmızı (siyah 4 adet, kırmızı 3 adet). Yine her ikisinden de en az 1 tane olacak: 4 1 · 3 3 + 4 2 · 3 2 + 4 3 · 3 1 = 34 Uygun durumların toplamı: 120 + 65 + 34 = 219 Olasılık: 219 495 = 73 165 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

1. Çözüm: Önce tüm olası çekiliş sayılarını (örnek uzay) bulalım. Toplam top sayısı: 5 + 4 + 3 = 12 Geri koymadan 4 top çekildiği için sıra önemli değildir; toplam durum sayısı: 12 4 = 495 İstenen olay: Çekilen 4 topun tam olarak iki farklı renkten oluşması. Bu, şu üç ikiliden biri demektir: (Beyaz-Siyah) veya (Beyaz-Kırmızı) veya (Siyah-Kırmızı). 1) Beyaz-Siyah (beyaz 5 adet, siyah 4 adet). Dört top yalnız bu iki renkten gelecek ve her ikisinden de en az 1 tane olacak: 5 1 · 4 3 + 5 2 · 4 2 + 5 3 · 4 1 = 120 2) Beyaz-Kırmızı (beyaz 5 adet, kırmızı 3 adet). Yine her ikisinden de en az 1 tane olacak: 5 1 · 3 3 + 5 2 · 3 2 + 5 3 · 3 1 = 65 3) Siyah-Kırmızı (siyah 4 adet, kırmızı 3 adet). Yine her ikisinden de en az 1 tane olacak: 4 1 · 3 3 + 4 2 · 3 2 + 4 3 · 3 1 = 34 Uygun durumların toplamı: 120 + 65 + 34 = 219 Olasılık: 219 495 = 73 165 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.