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Binomialverteilung und Bernoulli-Ketten

Die Binomialverteilung beschreibt, wie oft ein Erfolg in einer festen Zahl unabhängiger Versuche auftritt. Entscheidend sind die Versuchszahl n, die Erfolgswahrscheinlichkeit p und die gesuchte Erfolgszahl k.

Die Übungen eignen sich vor allem für Klasse 10–12 und behandeln Bernoulli-Ketten, Binomialkoeffizienten, Einzelwahrscheinlichkeiten, kumulierte Wahrscheinlichkeiten, Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung.

Die wichtigsten Schritte

  1. Prüfe, ob ein Bernoulli-Modell vorliegt.
  2. Ordne n, p und k richtig zu.
  3. Setze P(X=k)=(n über k)·p^k·(1−p)^(n−k) ein.
  4. Nutze bei mindestens- oder höchstens-Aufgaben Summen oder die Gegenwahrscheinlichkeit.

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Binomialverteilung online üben

Test 9 zu Bernoulli-Ketten und Binomialverteilung mit 5 Aufgaben und verständlichen Lösungen.

Erkenne n, p und k, setze die Binomialformel ein und prüfe bei mindestens- oder höchstens-Aufgaben die passende Gegenwahrscheinlichkeit.

5 Fragen
0/5 Fragen0 %
Richtig 0
Falsch 0
Offen 5
1. FrageMultiple Choice

Berechne P(X=5) für n=10 und p=0,5.

Bitte wähle zuerst eine Antwort aus.

Richtige Antwort: A

Die richtige Antwort ist: 0,24609375

  1. Modell erkennen: Prüfe, ob ein Bernoulli-Experiment mit fester Erfolgswahrscheinlichkeit und unabhängigen Versuchen vorliegt.
  2. Formel einsetzen: P(X=5)=(10 über 5)·0,5¹⁰=252/1024=0,24609375.
  3. Ergebnis prüfen: Das Ergebnis lautet 0,24609375. Kontrolliere, ob die Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 liegt und ob die gesuchte Anzahl der Erfolge passt.

P(X=5)=(10 über 5)·0,5¹⁰=252/1024=0,24609375.

2. FrageMultiple Choice

Berechne P(4≤X≤6) für n=10 und p=0,5.

Bitte wähle zuerst eine Antwort aus.

Richtige Antwort: D

Die richtige Antwort ist: 0,65625

  1. Modell erkennen: Prüfe, ob ein Bernoulli-Experiment mit fester Erfolgswahrscheinlichkeit und unabhängigen Versuchen vorliegt.
  2. Formel einsetzen: P(4≤X≤6)=(210+252+210)/1024=672/1024=0,65625.
  3. Ergebnis prüfen: Das Ergebnis lautet 0,65625. Kontrolliere, ob die Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 liegt und ob die gesuchte Anzahl der Erfolge passt.

P(4≤X≤6)=(210+252+210)/1024=672/1024=0,65625.

3. FrageMultiple Choice

Berechne P(X≤2) für n=5 und p=0,4.

Bitte wähle zuerst eine Antwort aus.

Richtige Antwort: C

Die richtige Antwort ist: 0,68256

  1. Modell erkennen: Prüfe, ob ein Bernoulli-Experiment mit fester Erfolgswahrscheinlichkeit und unabhängigen Versuchen vorliegt.
  2. Formel einsetzen: P(X≤2)=0,07776+0,2592+0,3456=0,68256.
  3. Ergebnis prüfen: Das Ergebnis lautet 0,68256. Kontrolliere, ob die Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 liegt und ob die gesuchte Anzahl der Erfolge passt.

P(X≤2)=0,07776+0,2592+0,3456=0,68256.

4. FrageMultiple Choice

Berechne P(X≥4) für n=6 und p=0,3.

Bitte wähle zuerst eine Antwort aus.

Richtige Antwort: B

Die richtige Antwort ist: 0,054675

  1. Modell erkennen: Prüfe, ob ein Bernoulli-Experiment mit fester Erfolgswahrscheinlichkeit und unabhängigen Versuchen vorliegt.
  2. Formel einsetzen: P(X≥4)=P4+P5+P6=0,04374+0,010206+0,000729=0,054675.
  3. Ergebnis prüfen: Das Ergebnis lautet 0,054675. Kontrolliere, ob die Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 liegt und ob die gesuchte Anzahl der Erfolge passt.

P(X≥4)=P4+P5+P6=0,04374+0,010206+0,000729=0,054675.

5. FrageMultiple Choice

Berechne P(X≤1) für n=8 und p=0,25.

Bitte wähle zuerst eine Antwort aus.

Richtige Antwort: A

Die richtige Antwort ist: 0,3671

  1. Modell erkennen: Prüfe, ob ein Bernoulli-Experiment mit fester Erfolgswahrscheinlichkeit und unabhängigen Versuchen vorliegt.
  2. Formel einsetzen: P(X≤1)=0,75⁸+8·0,25·0,75⁷≈0,36708≈0,3671.
  3. Ergebnis prüfen: Das Ergebnis lautet 0,3671. Kontrolliere, ob die Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 liegt und ob die gesuchte Anzahl der Erfolge passt.

P(X≤1)=0,75⁸+8·0,25·0,75⁷≈0,36708≈0,3671.

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Binomialverteilung FAQ

Wann darf die Binomialverteilung verwendet werden?

Wenn jeder Versuch genau zwei Ergebnisse hat, die Versuche unabhängig sind und die Erfolgswahrscheinlichkeit p gleich bleibt.

Was bedeuten n, p und k?

n ist die Zahl der Versuche, p die Erfolgswahrscheinlichkeit eines Versuchs und k die betrachtete Anzahl der Erfolge.

Für welche Klassen sind die Übungen geeignet?

Die Aufgaben sind vor allem für Klasse 10–12 geeignet.