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Binomialverteilung und Bernoulli-Ketten

Die Binomialverteilung beschreibt, wie oft ein Erfolg in einer festen Zahl unabhängiger Versuche auftritt. Entscheidend sind die Versuchszahl n, die Erfolgswahrscheinlichkeit p und die gesuchte Erfolgszahl k.

Die Übungen eignen sich vor allem für Klasse 10–12 und behandeln Bernoulli-Ketten, Binomialkoeffizienten, Einzelwahrscheinlichkeiten, kumulierte Wahrscheinlichkeiten, Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung.

Die wichtigsten Schritte

  1. Prüfe, ob ein Bernoulli-Modell vorliegt.
  2. Ordne n, p und k richtig zu.
  3. Setze P(X=k)=(n über k)·p^k·(1−p)^(n−k) ein.
  4. Nutze bei mindestens- oder höchstens-Aufgaben Summen oder die Gegenwahrscheinlichkeit.

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Binomialverteilung online üben

Test 7 zu Bernoulli-Ketten und Binomialverteilung mit 5 Aufgaben und verständlichen Lösungen.

Erkenne n, p und k, setze die Binomialformel ein und prüfe bei mindestens- oder höchstens-Aufgaben die passende Gegenwahrscheinlichkeit.

5 Fragen
0/5 Fragen0 %
Richtig 0
Falsch 0
Offen 5
1. FrageMultiple Choice

Wie groß ist die Varianz für n=10 und p=0,2?

Bitte wähle zuerst eine Antwort aus.

Richtige Antwort: C

Die richtige Antwort ist: Var(X)=1,6

  1. Modell erkennen: Prüfe, ob ein Bernoulli-Experiment mit fester Erfolgswahrscheinlichkeit und unabhängigen Versuchen vorliegt.
  2. Formel einsetzen: Var(X)=n·p·(1−p)=10·0,2·0,8=1,6.
  3. Ergebnis prüfen: Das Ergebnis lautet Var(X)=1,6. Kontrolliere, ob die Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 liegt und ob die gesuchte Anzahl der Erfolge passt.

Var(X)=n·p·(1−p)=10·0,2·0,8=1,6.

2. FrageMultiple Choice

Wie groß ist die Standardabweichung für n=25 und p=0,4?

Bitte wähle zuerst eine Antwort aus.

Richtige Antwort: B

Die richtige Antwort ist: σ=√6≈2,45

  1. Modell erkennen: Prüfe, ob ein Bernoulli-Experiment mit fester Erfolgswahrscheinlichkeit und unabhängigen Versuchen vorliegt.
  2. Formel einsetzen: Var(X)=25·0,4·0,6=6. Die Standardabweichung ist σ=√6≈2,45.
  3. Ergebnis prüfen: Das Ergebnis lautet σ=√6≈2,45. Kontrolliere, ob die Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 liegt und ob die gesuchte Anzahl der Erfolge passt.

Var(X)=25·0,4·0,6=6. Die Standardabweichung ist σ=√6≈2,45.

3. FrageMultiple Choice

Wie groß ist die Varianz für n=20 und p=0,5?

Bitte wähle zuerst eine Antwort aus.

Richtige Antwort: A

Die richtige Antwort ist: Var(X)=5

  1. Modell erkennen: Prüfe, ob ein Bernoulli-Experiment mit fester Erfolgswahrscheinlichkeit und unabhängigen Versuchen vorliegt.
  2. Formel einsetzen: Var(X)=20·0,5·0,5=5.
  3. Ergebnis prüfen: Das Ergebnis lautet Var(X)=5. Kontrolliere, ob die Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 liegt und ob die gesuchte Anzahl der Erfolge passt.

Var(X)=20·0,5·0,5=5.

4. FrageMultiple Choice

Für welchen Wert von p ist die Varianz bei festem n am größten?

Bitte wähle zuerst eine Antwort aus.

Richtige Antwort: D

Die richtige Antwort ist: p=0,5

  1. Modell erkennen: Prüfe, ob ein Bernoulli-Experiment mit fester Erfolgswahrscheinlichkeit und unabhängigen Versuchen vorliegt.
  2. Formel einsetzen: p·(1−p) ist bei p=0,5 maximal. Damit ist auch n·p·(1−p) maximal.
  3. Ergebnis prüfen: Das Ergebnis lautet p=0,5. Kontrolliere, ob die Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 liegt und ob die gesuchte Anzahl der Erfolge passt.

p·(1−p) ist bei p=0,5 maximal. Damit ist auch n·p·(1−p) maximal.

5. FrageMultiple Choice

Wie hängen Varianz und Standardabweichung zusammen?

Bitte wähle zuerst eine Antwort aus.

Richtige Antwort: C

Die richtige Antwort ist: σ=√Var(X)

  1. Modell erkennen: Prüfe, ob ein Bernoulli-Experiment mit fester Erfolgswahrscheinlichkeit und unabhängigen Versuchen vorliegt.
  2. Formel einsetzen: Die Standardabweichung ist die positive Quadratwurzel der Varianz.
  3. Ergebnis prüfen: Das Ergebnis lautet σ=√Var(X). Kontrolliere, ob die Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 liegt und ob die gesuchte Anzahl der Erfolge passt.

Die Standardabweichung ist die positive Quadratwurzel der Varianz.

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Binomialverteilung FAQ

Wann darf die Binomialverteilung verwendet werden?

Wenn jeder Versuch genau zwei Ergebnisse hat, die Versuche unabhängig sind und die Erfolgswahrscheinlichkeit p gleich bleibt.

Was bedeuten n, p und k?

n ist die Zahl der Versuche, p die Erfolgswahrscheinlichkeit eines Versuchs und k die betrachtete Anzahl der Erfolge.

Für welche Klassen sind die Übungen geeignet?

Die Aufgaben sind vor allem für Klasse 10–12 geeignet.