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Betragsgleichungen und Betragsungleichungen sicher lösen

Der Betrag beschreibt einen Abstand und ist niemals negativ. Bei Gleichungen und Ungleichungen mit Betrag musst du deshalb häufig zwei Fälle oder zwei Intervalle betrachten.

Auf dieser Seite übst du Beträge, Betragsgleichungen, Betragsungleichungen, Abstände auf der Zahlengeraden, Scheitel- und V-Graphen, Fallunterscheidungen und Toleranzaufgaben.

Die wichtigsten Regeln

  • |x| = a mit a > 0 führt zu x = a oder x = −a.
  • |x| < a beschreibt das Intervall −a < x < a.
  • |x| > a beschreibt die beiden Außenbereiche x < −a oder x > a.
  • Bei |x−m| wird der Abstand zur Zahl m beschrieben.
  • Ein Betrag ist immer mindestens 0.

So prüfst du die Lösung

  1. Forme den Betrag als Abstand oder Fallunterscheidung um.
  2. Beachte offene und geschlossene Randwerte.
  3. Setze gefundene Werte in die ursprüngliche Aufgabe ein.

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Betragsgleichungen und Betragsungleichungen online üben

Test 9 zu Betragsgleichungen und Betragsungleichungen mit 5 Aufgaben und verständlichen Lösungen.

Wähle pro Aufgabe eine Antwort aus. Öffne danach die Lösung, um Abstand, Fallunterscheidung und Lösungsmenge zu prüfen.

5 Fragen
0/5 Fragen0 %
Richtig 0
Falsch 0
Offen 5
1. FrageMultiple Choice

Eine Messung darf höchstens 2 Einheiten von 50 abweichen. Welche Bedingung gilt?

Bitte wähle zuerst eine Antwort aus.

Richtige Antwort: A

Die richtige Antwort ist: |x − 50| ≤ 2.

  1. Betrag einordnen: Bestimme Abstand, Gleichung, Ungleichung, Randwerte oder mögliche Fälle.
  2. Betragsregel anwenden: Der Abstand vom Zielwert 50 ist höchstens 2.
  3. Lösung prüfen: Das Ergebnis lautet |x − 50| ≤ 2.. Setze die Werte zurück ein und prüfe die Lösungsmenge.

Der Abstand vom Zielwert 50 ist höchstens 2.

2. FrageMultiple Choice

Ein Thermometer darf höchstens 1 °C von 20 °C abweichen. Welcher Bereich ist erlaubt?

Bitte wähle zuerst eine Antwort aus.

Richtige Antwort: D

Die richtige Antwort ist: 19 °C ≤ T ≤ 21 °C.

  1. Betrag einordnen: Bestimme Abstand, Gleichung, Ungleichung, Randwerte oder mögliche Fälle.
  2. Betragsregel anwenden: |T−20|≤1 bedeutet 19≤T≤21.
  3. Lösung prüfen: Das Ergebnis lautet 19 °C ≤ T ≤ 21 °C.. Setze die Werte zurück ein und prüfe die Lösungsmenge.

|T−20|≤1 bedeutet 19≤T≤21.

3. FrageMultiple Choice

Ein Bauteil soll 10 cm lang sein und eine Abweichung von höchstens 0,2 cm haben. Welche Bedingung gilt?

Bitte wähle zuerst eine Antwort aus.

Richtige Antwort: C

Die richtige Antwort ist: |x − 10| ≤ 0,2.

  1. Betrag einordnen: Bestimme Abstand, Gleichung, Ungleichung, Randwerte oder mögliche Fälle.
  2. Betragsregel anwenden: Die absolute Abweichung vom Sollwert 10 ist höchstens 0,2.
  3. Lösung prüfen: Das Ergebnis lautet |x − 10| ≤ 0,2.. Setze die Werte zurück ein und prüfe die Lösungsmenge.

Die absolute Abweichung vom Sollwert 10 ist höchstens 0,2.

4. FrageMultiple Choice

Eine Strecke ist 100 m lang und darf höchstens 5 m vom Zielwert abweichen. In welchem Bereich liegt sie?

Bitte wähle zuerst eine Antwort aus.

Richtige Antwort: B

Die richtige Antwort ist: 95 m ≤ x ≤ 105 m.

  1. Betrag einordnen: Bestimme Abstand, Gleichung, Ungleichung, Randwerte oder mögliche Fälle.
  2. Betragsregel anwenden: |x−100|≤5 ergibt 95≤x≤105.
  3. Lösung prüfen: Das Ergebnis lautet 95 m ≤ x ≤ 105 m.. Setze die Werte zurück ein und prüfe die Lösungsmenge.

|x−100|≤5 ergibt 95≤x≤105.

5. FrageMultiple Choice

Ein Punkt soll höchstens 4 Einheiten vom Ursprung entfernt sein. Welche Bedingung gilt auf der Zahlengeraden?

Bitte wähle zuerst eine Antwort aus.

Richtige Antwort: A

Die richtige Antwort ist: |x| ≤ 4.

  1. Betrag einordnen: Bestimme Abstand, Gleichung, Ungleichung, Randwerte oder mögliche Fälle.
  2. Betragsregel anwenden: Der Abstand zum Ursprung ist |x| und soll höchstens 4 betragen.
  3. Lösung prüfen: Das Ergebnis lautet |x| ≤ 4.. Setze die Werte zurück ein und prüfe die Lösungsmenge.

Der Abstand zum Ursprung ist |x| und soll höchstens 4 betragen.

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Betragsgleichungen und Betragsungleichungen FAQ

Warum entstehen bei |x| = a oft zwei Lösungen?

Die Zahlen a und −a haben denselben Abstand von 0. Deshalb gilt bei a > 0: |x|=a führt zu x=a oder x=−a.

Was bedeutet |x−m|?

Der Ausdruck beschreibt den Abstand der Zahl x vom Mittelpunkt m auf der Zahlengeraden.

Wie löst man Betragsungleichungen?

Bei kleiner-Relationen entsteht meist ein inneres Intervall, bei größer-Relationen zwei Außenbereiche. Randwerte werden je nach Zeichen ein- oder ausgeschlossen.