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Betragsgleichungen und Betragsungleichungen sicher lösen

Der Betrag beschreibt einen Abstand und ist niemals negativ. Bei Gleichungen und Ungleichungen mit Betrag musst du deshalb häufig zwei Fälle oder zwei Intervalle betrachten.

Auf dieser Seite übst du Beträge, Betragsgleichungen, Betragsungleichungen, Abstände auf der Zahlengeraden, Scheitel- und V-Graphen, Fallunterscheidungen und Toleranzaufgaben.

Die wichtigsten Regeln

  • |x| = a mit a > 0 führt zu x = a oder x = −a.
  • |x| < a beschreibt das Intervall −a < x < a.
  • |x| > a beschreibt die beiden Außenbereiche x < −a oder x > a.
  • Bei |x−m| wird der Abstand zur Zahl m beschrieben.
  • Ein Betrag ist immer mindestens 0.

So prüfst du die Lösung

  1. Forme den Betrag als Abstand oder Fallunterscheidung um.
  2. Beachte offene und geschlossene Randwerte.
  3. Setze gefundene Werte in die ursprüngliche Aufgabe ein.

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Betragsgleichungen und Betragsungleichungen online üben

Test 6 zu Betragsgleichungen und Betragsungleichungen mit 5 Aufgaben und verständlichen Lösungen.

Wähle pro Aufgabe eine Antwort aus. Öffne danach die Lösung, um Abstand, Fallunterscheidung und Lösungsmenge zu prüfen.

5 Fragen
0/5 Fragen0 %
Richtig 0
Falsch 0
Offen 5
1. FrageMultiple Choice

Was bedeutet |x − 3| auf der Zahlengeraden?

Bitte wähle zuerst eine Antwort aus.

Richtige Antwort: D

Die richtige Antwort ist: Den Abstand von x zur Zahl 3.

  1. Betrag einordnen: Bestimme Abstand, Gleichung, Ungleichung, Randwerte oder mögliche Fälle.
  2. Betragsregel anwenden: Der Ausdruck misst die Entfernung zwischen x und 3.
  3. Lösung prüfen: Das Ergebnis lautet Den Abstand von x zur Zahl 3.. Setze die Werte zurück ein und prüfe die Lösungsmenge.

Der Ausdruck misst die Entfernung zwischen x und 3.

2. FrageMultiple Choice

Welche Zahlen erfüllen |x − 2| ≤ 4?

Bitte wähle zuerst eine Antwort aus.

Richtige Antwort: C

Die richtige Antwort ist: −2 ≤ x ≤ 6.

  1. Betrag einordnen: Bestimme Abstand, Gleichung, Ungleichung, Randwerte oder mögliche Fälle.
  2. Betragsregel anwenden: Der Abstand von 2 ist höchstens 4; daher liegt x im Intervall [2−4, 2+4] = [−2,6].
  3. Lösung prüfen: Das Ergebnis lautet −2 ≤ x ≤ 6.. Setze die Werte zurück ein und prüfe die Lösungsmenge.

Der Abstand von 2 ist höchstens 4; daher liegt x im Intervall [2−4, 2+4] = [−2,6].

3. FrageMultiple Choice

Ein Punkt liegt höchstens 3 Einheiten von −1 entfernt. Welche Bedingung gilt?

Bitte wähle zuerst eine Antwort aus.

Richtige Antwort: B

Die richtige Antwort ist: |x + 1| ≤ 3.

  1. Betrag einordnen: Bestimme Abstand, Gleichung, Ungleichung, Randwerte oder mögliche Fälle.
  2. Betragsregel anwenden: Der Abstand von x zu −1 wird durch |x−(−1)|=|x+1| beschrieben.
  3. Lösung prüfen: Das Ergebnis lautet |x + 1| ≤ 3.. Setze die Werte zurück ein und prüfe die Lösungsmenge.

Der Abstand von x zu −1 wird durch |x−(−1)|=|x+1| beschrieben.

4. FrageMultiple Choice

Welche Gleichung beschreibt alle Punkte mit Abstand 5 von 2?

Bitte wähle zuerst eine Antwort aus.

Richtige Antwort: A

Die richtige Antwort ist: |x − 2| = 5.

  1. Betrag einordnen: Bestimme Abstand, Gleichung, Ungleichung, Randwerte oder mögliche Fälle.
  2. Betragsregel anwenden: Die Distanz zwischen x und 2 wird als |x−2| geschrieben.
  3. Lösung prüfen: Das Ergebnis lautet |x − 2| = 5.. Setze die Werte zurück ein und prüfe die Lösungsmenge.

Die Distanz zwischen x und 2 wird als |x−2| geschrieben.

5. FrageMultiple Choice

Wie viele Lösungen hat |x − 4| = 0?

Bitte wähle zuerst eine Antwort aus.

Richtige Antwort: D

Die richtige Antwort ist: Genau eine Lösung.

  1. Betrag einordnen: Bestimme Abstand, Gleichung, Ungleichung, Randwerte oder mögliche Fälle.
  2. Betragsregel anwenden: Nur x=4 hat Abstand 0 von 4.
  3. Lösung prüfen: Das Ergebnis lautet Genau eine Lösung.. Setze die Werte zurück ein und prüfe die Lösungsmenge.

Nur x=4 hat Abstand 0 von 4.

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Betragsgleichungen und Betragsungleichungen FAQ

Warum entstehen bei |x| = a oft zwei Lösungen?

Die Zahlen a und −a haben denselben Abstand von 0. Deshalb gilt bei a > 0: |x|=a führt zu x=a oder x=−a.

Was bedeutet |x−m|?

Der Ausdruck beschreibt den Abstand der Zahl x vom Mittelpunkt m auf der Zahlengeraden.

Wie löst man Betragsungleichungen?

Bei kleiner-Relationen entsteht meist ein inneres Intervall, bei größer-Relationen zwei Außenbereiche. Randwerte werden je nach Zeichen ein- oder ausgeschlossen.