9. Sınıf Matematik Kumeler Test Çöz

1. SoruÇoktan Seçmeli

Sonlu bir evrensel kümede $U$ için $| U | = 80$ olsun.
Aşağıdaki bilgiler veriliyor:
$| A^{c} \cup B | = 70$
$| A \cup B | = 60$
$| B^{c} \cup A | = 65$
Buna göre $| A \cap B |$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Verilenler: | U | = 80 | A c ∪ B | = 70 | A ∪ B | = 60 | B c ∪ A | = 65 1) Birinci bilgiden, tümleyeni kullanarak kesişimi bulalım: ( A c ∪ B ) c = A ∩ B c | A ∩ B c | = | U | − | A c ∪ B | = 80 − 70 = 10 2) Üçüncü bilgiden benzer şekilde: ( B c ∪ A ) c = B ∩ A c | B ∩ A c | = | U | − | B c ∪ A | = 80 − 65 = 15 3) Birleşim, ayrık üç bölgeden oluşur: A ∪ B = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B c ) ∪ ( A c ∩ B ) Bu üç bölge birbirinden ayrık olduğu için eleman sayıları toplanır: | A ∪ B | = | A ∩ B | + | A ∩ B c | + | A c ∩ B | 4) Sayıları yerine koyup kesişimi bulalım: 60 = | A ∩ B | + 10 + 15 | A ∩ B | = 60 − 25 = 35 Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır.

Çözüm: Verilenler: | U | = 80 | A c ∪ B | = 70 | A ∪ B | = 60 | B c ∪ A | = 65 1) Birinci bilgiden, tümleyeni kullanarak kesişimi bulalım: ( A c ∪ B ) c = A ∩ B c | A ∩ B c | = | U | − | A c ∪ B | = 80 − 70 = 10 2) Üçüncü bilgiden benzer şekilde: ( B c ∪ A ) c = B ∩ A c | B ∩ A c | = | U | − | B c ∪ A | = 80 − 65 = 15 3) Birleşim, ayrık üç bölgeden oluşur: A ∪ B = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B c ) ∪ ( A c ∩ B ) Bu üç bölge birbirinden ayrık olduğu için eleman sayıları toplanır: | A ∪ B | = | A ∩ B | + | A ∩ B c | + | A c ∩ B | 4) Sayıları yerine koyup kesişimi bulalım: 60 = | A ∩ B | + 10 + 15 | A ∩ B | = 60 − 25 = 35 Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır.

Verilenler:

| U | = 80

| A^{c} \cup B | = 70

| A \cup B | = 60

| B^{c} \cup A | = 65

1) Birinci bilgiden, tümleyeni kullanarak kesişimi bulalım:

{(A^{c} \cup B)}^{c} = A \cap B^{c}

| A \cap B^{c} | = | U | - | A^{c} \cup B | = 80 - 70 = 10

2) Üçüncü bilgiden benzer şekilde:

{(B^{c} \cup A)}^{c} = B \cap A^{c}

| B \cap A^{c} | = | U | - | B^{c} \cup A | = 80 - 65 = 15

3) Birleşim, ayrık üç bölgeden oluşur:

A \cup B = (A \cap B) \cup (A \cap B^{c}) \cup (A^{c} \cap B)

Bu üç bölge birbirinden ayrık olduğu için eleman sayıları toplanır:

| A \cup B | = | A \cap B | + | A \cap B^{c} | + | A^{c} \cap B |

4) Sayıları yerine koyup kesişimi bulalım:

60 = | A \cap B | + 10 + 15

| A \cap B | = 60 - 25 = 35

Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Sonlu bir evrensel kümede $A$ ve $B$ alt kümeleri için
$| A | = 7, | B | = 5, | A \cap B | = 3$
Aşağıdaki koşulları sağlayan $X$ kümelerinin sayısı kaçtır?
$A \cap B \subseteq X \subseteq A \cup B$
$X \cap (A ∖ B) \neq \emptyset$ ve $X \cap (B ∖ A) \neq \emptyset$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Verilenler: | A | = 7, | B | = 5, | A ∩ B | = 3 Önce kümeleri parçalara ayıralım. | A \ B | = | A | - | A ∩ B | = 7 - 3 = 4 | B \ A | = | B | - | A ∩ B | = 5 - 3 = 2 | A ∪ B | = | A | + | B | - | A ∩ B | = 7 + 5 - 3 = 9 Koşul: A ∩ B ⊆ X ⊆ A ∪ B Bu, X kümesinin mutlaka kesişimdeki tüm elemanları içerdiği; geri kalan elemanlar için seçim yapabileceğimiz anlamına gelir. Ayrıca: X ∩ ( A \ B ) ≠ ∅ X ∩ ( B \ A ) ≠ ∅ Yani X, hem A\B bölgesinden en az bir eleman, hem de B\A bölgesinden en az bir eleman seçmelidir. Sayım: 1) A\B bölgesinde eleman sayısı: | A \ B | = 4 Bu bölgeden seçilebilecek boş olmayan alt küme sayısı: 2 4 - 1 = 15 2) B\A bölgesinde eleman sayısı: | B \ A | = 2 Bu bölgeden seçilebilecek boş olmayan alt küme sayısı: 2 2 - 1 = 3 Bu iki seçim birbirinden bağımsızdır ve A∩B elemanları zaten zorunlu olarak X içinde olduğundan ekstra çarpan oluşturmaz. 15 · 3 = 45 Sonuç: Bulunan değer 45 olduğundan doğru cevap B şıkkıdır.

Çözüm: Verilenler: | A | = 7, | B | = 5, | A ∩ B | = 3 Önce kümeleri parçalara ayıralım. | A \ B | = | A | - | A ∩ B | = 7 - 3 = 4 | B \ A | = | B | - | A ∩ B | = 5 - 3 = 2 | A ∪ B | = | A | + | B | - | A ∩ B | = 7 + 5 - 3 = 9 Koşul: A ∩ B ⊆ X ⊆ A ∪ B Bu, X kümesinin mutlaka kesişimdeki tüm elemanları içerdiği; geri kalan elemanlar için seçim yapabileceğimiz anlamına gelir. Ayrıca: X ∩ ( A \ B ) ≠ ∅ X ∩ ( B \ A ) ≠ ∅ Yani X, hem A\B bölgesinden en az bir eleman, hem de B\A bölgesinden en az bir eleman seçmelidir. Sayım: 1) A\B bölgesinde eleman sayısı: | A \ B | = 4 Bu bölgeden seçilebilecek boş olmayan alt küme sayısı: 2 4 - 1 = 15 2) B\A bölgesinde eleman sayısı: | B \ A | = 2 Bu bölgeden seçilebilecek boş olmayan alt küme sayısı: 2 2 - 1 = 3 Bu iki seçim birbirinden bağımsızdır ve A∩B elemanları zaten zorunlu olarak X içinde olduğundan ekstra çarpan oluşturmaz. 15 · 3 = 45 Sonuç: Bulunan değer 45 olduğundan doğru cevap B şıkkıdır.

Verilenler:

| A | = 7, | B | = 5, | A \cap B | = 3

Önce kümeleri parçalara ayıralım.

| A \ B | = | A | - | A \cap B | = 7 - 3 = 4

| B \ A | = | B | - | A \cap B | = 5 - 3 = 2

| A \cup B | = | A | + | B | - | A \cap B | = 7 + 5 - 3 = 9

Koşul:

A \cap B \subseteq X \subseteq A \cup B

Bu, X kümesinin mutlaka kesişimdeki tüm elemanları içerdiği; geri kalan elemanlar için seçim yapabileceğimiz anlamına gelir.

Ayrıca:

X \cap (A \ B) \neq \emptyset

X \cap (B \ A) \neq \emptyset

Yani X, hem A\B bölgesinden en az bir eleman, hem de B\A bölgesinden en az bir eleman seçmelidir.

Sayım:

1) A\B bölgesinde eleman sayısı:

| A \ B | = 4

Bu bölgeden seçilebilecek boş olmayan alt küme sayısı:

2^{4} - 1 = 15

2) B\A bölgesinde eleman sayısı:

| B \ A | = 2

Bu bölgeden seçilebilecek boş olmayan alt küme sayısı:

2^{2} - 1 = 3

Bu iki seçim birbirinden bağımsızdır ve A∩B elemanları zaten zorunlu olarak X içinde olduğundan ekstra çarpan oluşturmaz.

15 \cdot 3 = 45

Sonuç: Bulunan değer 45 olduğundan doğru cevap B şıkkıdır.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıda $U = {1, 2, \dots, 20}$ evrensel kümesi üzerinde tanımlı
$A = {x \in U : (2 ∣ x) \lor (3 ∣ x)}$
$B = {x \in U : 5 ∣ x}$
kümeleri veriliyor. Buna göre
$n ((A \cap B^{c}) \cup (A^{c} \cap B))$
kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Evrensel küme: U = { 1, 2, …, 20 } Kümelerin tanımı: A = { x ∈ U: ( 2 ∣ x ) ∨ ( 3 ∣ x ) } B = { x ∈ U: 5 ∣ x } A kümesinin eleman sayısı (ikiye bölünenler veya üçe bölünenler): İkiye bölünenler: { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 } Üçe bölünenler: { 3, 6, 9, 12, 15, 18 } Ortak olanlar (altıya bölünenler): { 6, 12, 18 } Bu nedenle: n ( A ) = 10 + 6 - 3 = 13 B kümesinin eleman sayısı (beşe bölünenler): B = { 5, 10, 15, 20 } n ( B ) = 4 Kesişim: A ∩ B = { 10, 15, 20 } n ( A ∩ B ) = 3 İstenen ifade: n ( ( A ∩ B c ) ∪ ( A c ∩ B ) ) Bu birleşim, A ile B kümelerinin simetrik farkıdır (yalnızca birinde olanlar). Dolayısıyla eleman sayısı: n ( A \ B ) + n ( B \ A ) Hesaplayalım: n ( A \ B ) = n ( A ) - n ( A ∩ B ) = 13 - 3 = 10 n ( B \ A ) = n ( B ) - n ( A ∩ B ) = 4 - 3 = 1 Toplam: n ( ( A ∩ B c ) ∪ ( A c ∩ B ) ) = 10 + 1 = 11 Sonuç: Doğru cevap C şıkkıdır.

Çözüm: Evrensel küme: U = { 1, 2, …, 20 } Kümelerin tanımı: A = { x ∈ U: ( 2 ∣ x ) ∨ ( 3 ∣ x ) } B = { x ∈ U: 5 ∣ x } A kümesinin eleman sayısı (ikiye bölünenler veya üçe bölünenler): İkiye bölünenler: { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 } Üçe bölünenler: { 3, 6, 9, 12, 15, 18 } Ortak olanlar (altıya bölünenler): { 6, 12, 18 } Bu nedenle: n ( A ) = 10 + 6 - 3 = 13 B kümesinin eleman sayısı (beşe bölünenler): B = { 5, 10, 15, 20 } n ( B ) = 4 Kesişim: A ∩ B = { 10, 15, 20 } n ( A ∩ B ) = 3 İstenen ifade: n ( ( A ∩ B c ) ∪ ( A c ∩ B ) ) Bu birleşim, A ile B kümelerinin simetrik farkıdır (yalnızca birinde olanlar). Dolayısıyla eleman sayısı: n ( A \ B ) + n ( B \ A ) Hesaplayalım: n ( A \ B ) = n ( A ) - n ( A ∩ B ) = 13 - 3 = 10 n ( B \ A ) = n ( B ) - n ( A ∩ B ) = 4 - 3 = 1 Toplam: n ( ( A ∩ B c ) ∪ ( A c ∩ B ) ) = 10 + 1 = 11 Sonuç: Doğru cevap C şıkkıdır.

Evrensel küme:

U = {1, 2, \dots, 20}

Kümelerin tanımı:

A = {x \in U : (2 ∣ x) \lor (3 ∣ x)}

B = {x \in U : 5 ∣ x}

A kümesinin eleman sayısı (ikiye bölünenler veya üçe bölünenler):

İkiye bölünenler:

{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}

Üçe bölünenler:

{3, 6, 9, 12, 15, 18}

Ortak olanlar (altıya bölünenler):

{6, 12, 18}

Bu nedenle:

n (A) = 10 + 6 - 3 = 13

B kümesinin eleman sayısı (beşe bölünenler):

B = {5, 10, 15, 20}

n (B) = 4

Kesişim:

A \cap B = {10, 15, 20}

n (A \cap B) = 3

İstenen ifade:

n ((A \cap B^{c}) \cup (A^{c} \cap B))

Bu birleşim, A ile B kümelerinin simetrik farkıdır (yalnızca birinde olanlar).

Dolayısıyla eleman sayısı:

n (A \ B) + n (B \ A)

Hesaplayalım:

n (A \ B) = n (A) - n (A \cap B) = 13 - 3 = 10

n (B \ A) = n (B) - n (A \cap B) = 4 - 3 = 1

Toplam:

n ((A \cap B^{c}) \cup (A^{c} \cap B)) = 10 + 1 = 11

Sonuç: Doğru cevap C şıkkıdır.

4. SoruÇoktan Seçmeli

$| U | = 50$ olan evrensel kümede $| A | = 28$ , $| B | = 30$ ve $| A \cap B | = 12$ veriliyor.
$| {(A ∆ B)}^{c} |$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Evrensel küme $U$ içinde $A$ , $B$ , $C$ kümeleri için aşağıdakiler veriliyor:
$| A | = 40, | B | = 35, | C | = 30$
$| A \cap B | = 15, | A \cap C | = 12, | B \cap C | = 10$
$| A \cap B \cap C | = 5$
Yalnızca bir tanesine ait olan eleman sayısı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

İstenen: Sadece bir tanesine ait olan (tam olarak bir kümede bulunan) eleman sayısı. Önce yalnız A kümesinde olanların sayısını bulalım: | A ∖ ( B ∪ C ) | = | A | − | A ∩ B | − | A ∩ C | + | A ∩ B ∩ C | Verilen değerleri yerine yazalım: | A ∖ ( B ∪ C ) | = 40 − 15 − 12 + 5 Hesaplayalım: | A ∖ ( B ∪ C ) | = 18 Aynı şekilde sadece B kümesinde olanların sayısı: | B ∖ ( A ∪ C ) | = | B | − | A ∩ B | − | B ∩ C | + | A ∩ B ∩ C | Değerleri yerine yazıp hesaplayalım: | B ∖ ( A ∪ C ) | = 35 − 15 − 10 + 5 = 15 Sadece C kümesinde olanların sayısı: | C ∖ ( A ∪ B ) | = | C | − | A ∩ C | − | B ∩ C | + | A ∩ B ∩ C | Değerleri yerine yazıp hesaplayalım: | C ∖ ( A ∪ B ) | = 30 − 12 − 10 + 5 = 13 Şimdi tam olarak bir kümede bulunanların toplamı: 18 + 15 + 13 = 46 Sonuç olarak doğru cevap A şıkkıdır. 46

Çözüm: İstenen: Sadece bir tanesine ait olan (tam olarak bir kümede bulunan) eleman sayısı. Önce yalnız A kümesinde olanların sayısını bulalım: | A ∖ ( B ∪ C ) | = | A | − | A ∩ B | − | A ∩ C | + | A ∩ B ∩ C | Verilen değerleri yerine yazalım: | A ∖ ( B ∪ C ) | = 40 − 15 − 12 + 5 Hesaplayalım: | A ∖ ( B ∪ C ) | = 18 Aynı şekilde sadece B kümesinde olanların sayısı: | B ∖ ( A ∪ C ) | = | B | − | A ∩ B | − | B ∩ C | + | A ∩ B ∩ C | Değerleri yerine yazıp hesaplayalım: | B ∖ ( A ∪ C ) | = 35 − 15 − 10 + 5 = 15 Sadece C kümesinde olanların sayısı: | C ∖ ( A ∪ B ) | = | C | − | A ∩ C | − | B ∩ C | + | A ∩ B ∩ C | Değerleri yerine yazıp hesaplayalım: | C ∖ ( A ∪ B ) | = 30 − 12 − 10 + 5 = 13 Şimdi tam olarak bir kümede bulunanların toplamı: 18 + 15 + 13 = 46 Sonuç olarak doğru cevap A şıkkıdır. 46

İstenen: Sadece bir tanesine ait olan (tam olarak bir kümede bulunan) eleman sayısı.

Önce yalnızA kümesinde olanların sayısını bulalım:

| A ∖ (B \cup C) | = | A | - | A \cap B | - | A \cap C | + | A \cap B \cap C |

Verilen değerleri yerine yazalım:

| A ∖ (B \cup C) | = 40 - 15 - 12 + 5

Hesaplayalım:

| A ∖ (B \cup C) | = 18

Aynı şekilde sadece B kümesinde olanların sayısı:

| B ∖ (A \cup C) | = | B | - | A \cap B | - | B \cap C | + | A \cap B \cap C |

Değerleri yerine yazıp hesaplayalım:

| B ∖ (A \cup C) | = 35 - 15 - 10 + 5 = 15

Sadece C kümesinde olanların sayısı:

| C ∖ (A \cup B) | = | C | - | A \cap C | - | B \cap C | + | A \cap B \cap C |

Değerleri yerine yazıp hesaplayalım:

| C ∖ (A \cup B) | = 30 - 12 - 10 + 5 = 13

Şimdi tam olarak bir kümede bulunanların toplamı:

18 + 15 + 13 = 46

Sonuç olarak doğru cevap A şıkkıdır.

46

6. SoruÇoktan Seçmeli

Evrensel küme $U$ sonlu olup aşağıdakiler veriliyor:
$| A | = 12$
$| B | = 11$
$| C | = 10$
$| A \cap B | = 7$
$| A \cap C | = 6$
$| B \cap C | = 5$
$| A \cap B \cap C | = 3$
$| (A \cup B) ∖ C |$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Evrensel küme
$U = {1, 2, \dots, 120}$
olmak üzere
$A = {x \in U : 6 ∣ x \lor 15 ∣ x}$
ve
$B = {x \in U : 10 ∣ x \lor 12 ∣ x}$
tanımlanıyor. Aşağıdaki ifadenin eleman sayısı kaçtır?
$| A ∆ B |$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Evrensel küme ve kümeler şu şekilde: U = { 1, 2, …, 120 } A = { x ∈ U: 6 ∣ x ∨ 15 ∣ x } B = { x ∈ U: 10 ∣ x ∨ 12 ∣ x } Önce A kümesinin eleman sayısını kapsama-dışlama ile bulalım: | A | = | 6 ∣ x | + | 15 ∣ x | − | 6 ∣ x ∧ 15 ∣ x | | 6 ∣ x | = ⌊ 120 6 ⌋ = 20 | 15 ∣ x | = ⌊ 120 15 ⌋ = 8 lcm ( 6, 15 ) = 30 | 6 ∣ x ∧ 15 ∣ x | = | 30 ∣ x | = ⌊ 120 30 ⌋ = 4 | A | = 20 + 8 − 4 = 24 Şimdi B kümesinin eleman sayısını bulalım: | B | = | 10 ∣ x | + | 12 ∣ x | − | 10 ∣ x ∧ 12 ∣ x | | 10 ∣ x | = ⌊ 120 10 ⌋ = 12 | 12 ∣ x | = ⌊ 120 12 ⌋ = 10 lcm ( 10, 12 ) = 60 | 10 ∣ x ∧ 12 ∣ x | = | 60 ∣ x | = ⌊ 120 60 ⌋ = 2 | B | = 12 + 10 − 2 = 20 Şimdi kesişimi bulalım. A kümesi 6 veya 15 ile, B kümesi 10 veya 12 ile bölünebilenlerden oluşur. Bu yüzden A ∩ B için gerekli ortak katlar üzerinden gideriz: 6 ∣ x ∧ 12 ∣ x ⇒ 12 ∣ x 6 ∣ x ∧ 10 ∣ x ⇒ 30 ∣ x 15 ∣ x ∧ 12 ∣ x ⇒ 60 ∣ x 15 ∣ x ∧ 10 ∣ x ⇒ 30 ∣ x Buradan, kesişimdeki sayılar 12 veya 30 ile bölünebilen sayılardır (çünkü 60, her ikisinin de katıdır): A ∩ B = { x ∈ U: 12 ∣ x ∨ 30 ∣ x } | A ∩ B | = ⌊ 120 12 ⌋ + ⌊ 120 30 ⌋ − ⌊ 120 lcm ( 12, 30 ) ⌋ lcm ( 12, 30 ) = 60 | A ∩ B | = 10 + 4 − 2 = 12 Simetrik farkın eleman sayısı: | A ∆ B | = | A | + | B | − 2 ⋅ | A ∩ B | | A ∆ B | = 24 + 20 − 2 ⋅ 12 = 20 Sonuç olarak doğru cevap B şıkkıdır.

Çözüm: Evrensel küme ve kümeler şu şekilde: U = { 1, 2, …, 120 } A = { x ∈ U: 6 ∣ x ∨ 15 ∣ x } B = { x ∈ U: 10 ∣ x ∨ 12 ∣ x } Önce A kümesinin eleman sayısını kapsama-dışlama ile bulalım: | A | = | 6 ∣ x | + | 15 ∣ x | − | 6 ∣ x ∧ 15 ∣ x | | 6 ∣ x | = ⌊ 120 6 ⌋ = 20 | 15 ∣ x | = ⌊ 120 15 ⌋ = 8 lcm ( 6, 15 ) = 30 | 6 ∣ x ∧ 15 ∣ x | = | 30 ∣ x | = ⌊ 120 30 ⌋ = 4 | A | = 20 + 8 − 4 = 24 Şimdi B kümesinin eleman sayısını bulalım: | B | = | 10 ∣ x | + | 12 ∣ x | − | 10 ∣ x ∧ 12 ∣ x | | 10 ∣ x | = ⌊ 120 10 ⌋ = 12 | 12 ∣ x | = ⌊ 120 12 ⌋ = 10 lcm ( 10, 12 ) = 60 | 10 ∣ x ∧ 12 ∣ x | = | 60 ∣ x | = ⌊ 120 60 ⌋ = 2 | B | = 12 + 10 − 2 = 20 Şimdi kesişimi bulalım. A kümesi 6 veya 15 ile, B kümesi 10 veya 12 ile bölünebilenlerden oluşur. Bu yüzden A ∩ B için gerekli ortak katlar üzerinden gideriz: 6 ∣ x ∧ 12 ∣ x ⇒ 12 ∣ x 6 ∣ x ∧ 10 ∣ x ⇒ 30 ∣ x 15 ∣ x ∧ 12 ∣ x ⇒ 60 ∣ x 15 ∣ x ∧ 10 ∣ x ⇒ 30 ∣ x Buradan, kesişimdeki sayılar 12 veya 30 ile bölünebilen sayılardır (çünkü 60, her ikisinin de katıdır): A ∩ B = { x ∈ U: 12 ∣ x ∨ 30 ∣ x } | A ∩ B | = ⌊ 120 12 ⌋ + ⌊ 120 30 ⌋ − ⌊ 120 lcm ( 12, 30 ) ⌋ lcm ( 12, 30 ) = 60 | A ∩ B | = 10 + 4 − 2 = 12 Simetrik farkın eleman sayısı: | A ∆ B | = | A | + | B | − 2 ⋅ | A ∩ B | | A ∆ B | = 24 + 20 − 2 ⋅ 12 = 20 Sonuç olarak doğru cevap B şıkkıdır.

Evrensel küme ve kümeler şu şekilde:

U = {1, 2, \dots, 120}

A = {x \in U : 6 ∣ x \lor 15 ∣ x}

B = {x \in U : 10 ∣ x \lor 12 ∣ x}

Önce A kümesinin eleman sayısını kapsama-dışlama ile bulalım:

| A | = | 6 ∣ x | + | 15 ∣ x | - | 6 ∣ x \land 15 ∣ x |

| 6 ∣ x | = ⌊ \frac{120}{6} ⌋ = 20

| 15 ∣ x | = ⌊ \frac{120}{15} ⌋ = 8

lcm (6, 15) = 30

| 6 ∣ x \land 15 ∣ x | = | 30 ∣ x | = ⌊ \frac{120}{30} ⌋ = 4

| A | = 20 + 8 - 4 = 24

Şimdi B kümesinin eleman sayısını bulalım:

| B | = | 10 ∣ x | + | 12 ∣ x | - | 10 ∣ x \land 12 ∣ x |

| 10 ∣ x | = ⌊ \frac{120}{10} ⌋ = 12

| 12 ∣ x | = ⌊ \frac{120}{12} ⌋ = 10

lcm (10, 12) = 60

| 10 ∣ x \land 12 ∣ x | = | 60 ∣ x | = ⌊ \frac{120}{60} ⌋ = 2

| B | = 12 + 10 - 2 = 20

Şimdi kesişimi bulalım. A kümesi 6 veya 15 ile, B kümesi 10 veya 12 ile bölünebilenlerden oluşur. Bu yüzden A ∩ B için gerekli ortak katlar üzerinden gideriz:

6 ∣ x \land 12 ∣ x \Rightarrow 12 ∣ x

6 ∣ x \land 10 ∣ x \Rightarrow 30 ∣ x

15 ∣ x \land 12 ∣ x \Rightarrow 60 ∣ x

15 ∣ x \land 10 ∣ x \Rightarrow 30 ∣ x

Buradan, kesişimdeki sayılar 12 veya 30 ile bölünebilen sayılardır (çünkü 60, her ikisinin de katıdır):

A \cap B = {x \in U : 12 ∣ x \lor 30 ∣ x}

| A \cap B | = ⌊ \frac{120}{12} ⌋ + ⌊ \frac{120}{30} ⌋ - ⌊ \frac{120}{lcm (12, 30)} ⌋

lcm (12, 30) = 60

| A \cap B | = 10 + 4 - 2 = 12

Simetrik farkın eleman sayısı:

| A ∆ B | = | A | + | B | - 2 \cdot | A \cap B |

| A ∆ B | = 24 + 20 - 2 \cdot 12 = 20

Sonuç olarak doğru cevap B şıkkıdır.

8. SoruÇoktan Seçmeli

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$ evrensel kümesinde
$A = \{x \in U : 2 | x\}$ , $B = \{x \in U : 3 | x\}$ , $C = \{x \in U : 4 | x\}$ tanımlı olsun.
$| ((A Δ B) \cap C^{c}) |$ değeri kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki bilgiler veriliyor:
$| A | = 20$
$| B | = 18$
$| C | = 15$
$| A \cap B | = 8$
$| A \cap C | = 6$
$| B \cap C | = 5$
$| A \cap B \cap C | = 3$
Buna göre $| (A \cup B) ∖ C |$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

10. SoruÇoktan Seçmeli

$U = {1, 2, 3, \dots, 180}$ evrensel kümesinde
$A = {n \in U | 4 ∣ n}$ , $B = {n \in U | 6 ∣ n}$ , $C = {n \in U | 9 ∣ n}$ olarak tanımlanıyor.
$| (B ∖ A) \cap C^{c} |$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

İstenen küme: ( B ∖ A ) ∩ C c Yani: 6’nın katı olup 4’ün katı olmayan ve ayrıca 9’un katı olmayan elemanların sayısı. 1) Önce 6’nın katlarının sayısını bulalım: | B | = ⌊ 180 6 ⌋ = 30 2) Hem 6’nın hem 4’ün katı olanlar, EKOK ’un katıdır: EKOK ( 6, 4 ) = 12 Dolayısıyla: | A ∩ B | = ⌊ 180 12 ⌋ = 15 3) 6’nın katı olup 4’ün katı olmayanların sayısı: | B ∖ A | = | B | − | A ∩ B | = 30 − 15 = 15 4) Şimdi 9’un katı olanları (yani C içindekileri) çıkarmalıyız. Hem 6’nın hem 9’un katı olanlar: EKOK ( 6, 9 ) = 18 Önce 18’in katlarını sayalım: ⌊ 180 18 ⌋ = 10 Ama bizim kümemizde ayrıca 4’ün katı olmama şartı var. 18’in katlarından 4’ün de katı olanlar, EKOK (18,4)=36’nın katlarıdır: EKOK ( 18, 4 ) = 36 ⌊ 180 36 ⌋ = 5 Dolayısıyla (B∖A) içinde olup 9’a bölünen (yani çıkarılacak) eleman sayısı: | ( B ∖ A ) ∩ C | = 10 − 5 = 5 5) Son olarak C’nin tümleyeni ile kesişim, bu 5 elemanı çıkarmak demektir: | ( B ∖ A ) ∩ C c | = | B ∖ A | − | ( B ∖ A ) ∩ C | = 15 − 5 = 10 Sonuç: | ( B ∖ A ) ∩ C c | = 10 Doğru şık B ’dir.

Çözüm: İstenen küme: ( B ∖ A ) ∩ C c Yani: 6’nın katı olup 4’ün katı olmayan ve ayrıca 9’un katı olmayan elemanların sayısı. 1) Önce 6’nın katlarının sayısını bulalım: | B | = ⌊ 180 6 ⌋ = 30 2) Hem 6’nın hem 4’ün katı olanlar, EKOK ’un katıdır: EKOK ( 6, 4 ) = 12 Dolayısıyla: | A ∩ B | = ⌊ 180 12 ⌋ = 15 3) 6’nın katı olup 4’ün katı olmayanların sayısı: | B ∖ A | = | B | − | A ∩ B | = 30 − 15 = 15 4) Şimdi 9’un katı olanları (yani C içindekileri) çıkarmalıyız. Hem 6’nın hem 9’un katı olanlar: EKOK ( 6, 9 ) = 18 Önce 18’in katlarını sayalım: ⌊ 180 18 ⌋ = 10 Ama bizim kümemizde ayrıca 4’ün katı olmama şartı var. 18’in katlarından 4’ün de katı olanlar, EKOK (18,4)=36’nın katlarıdır: EKOK ( 18, 4 ) = 36 ⌊ 180 36 ⌋ = 5 Dolayısıyla (B∖A) içinde olup 9’a bölünen (yani çıkarılacak) eleman sayısı: | ( B ∖ A ) ∩ C | = 10 − 5 = 5 5) Son olarak C’nin tümleyeni ile kesişim, bu 5 elemanı çıkarmak demektir: | ( B ∖ A ) ∩ C c | = | B ∖ A | − | ( B ∖ A ) ∩ C | = 15 − 5 = 10 Sonuç: | ( B ∖ A ) ∩ C c | = 10 Doğru şık B ’dir.

İstenen küme:

(B ∖ A) \cap C^{c}

Yani: 6’nın katı olup 4’ün katı olmayan ve ayrıca 9’un katı olmayan elemanların sayısı.

1) Önce 6’nın katlarının sayısını bulalım:

| B | = ⌊ \frac{180}{6} ⌋ = 30

2) Hem 6’nın hem 4’ün katı olanlar, EKOK’un katıdır:

EKOK (6, 4) = 12

Dolayısıyla:

| A \cap B | = ⌊ \frac{180}{12} ⌋ = 15

3) 6’nın katı olup 4’ün katı olmayanların sayısı:

| B ∖ A | = | B | - | A \cap B | = 30 - 15 = 15

4) Şimdi 9’un katı olanları (yani C içindekileri) çıkarmalıyız. Hem 6’nın hem 9’un katı olanlar:

EKOK (6, 9) = 18

Önce 18’in katlarını sayalım:

⌊ \frac{180}{18} ⌋ = 10

Ama bizim kümemizde ayrıca 4’ün katı olmama şartı var. 18’in katlarından 4’ün de katı olanlar, EKOK(18,4)=36’nın katlarıdır:

EKOK (18, 4) = 36

⌊ \frac{180}{36} ⌋ = 5

Dolayısıyla (B∖A) içinde olup 9’a bölünen (yani çıkarılacak) eleman sayısı:

| (B ∖ A) \cap C | = 10 - 5 = 5

5) Son olarak C’nin tümleyeni ile kesişim, bu 5 elemanı çıkarmak demektir:

| (B ∖ A) \cap C^{c} | = | B ∖ A | - | (B ∖ A) \cap C | = 15 - 5 = 10

Sonuç:

| (B ∖ A) \cap C^{c} | = 10

Doğru şık B’dir.

9. Sınıf Matematik Kumeler Testleri

9. Sınıf Kümeler Testleri

Küme İşlemleri

Alt Küme ve Eleman Sayısı

9. Sınıf Matematik Kumeler Testleri

Sonlu bir evrensel kümede $U$ için $| U | = 80$ olsun.
Aşağıdaki bilgiler veriliyor:
$| A^{c} \cup B | = 70$
$| A \cup B | = 60$
$| B^{c} \cup A | = 65$
Buna göre $| A \cap B |$ kaçtır?

Sonlu bir evrensel kümede $A$ ve $B$ alt kümeleri için
$| A | = 7, | B | = 5, | A \cap B | = 3$
Aşağıdaki koşulları sağlayan $X$ kümelerinin sayısı kaçtır?
$A \cap B \subseteq X \subseteq A \cup B$
$X \cap (A ∖ B) \neq \emptyset$ ve $X \cap (B ∖ A) \neq \emptyset$

Aşağıda $U = {1, 2, \dots, 20}$ evrensel kümesi üzerinde tanımlı
$A = {x \in U : (2 ∣ x) \lor (3 ∣ x)}$
$B = {x \in U : 5 ∣ x}$
kümeleri veriliyor. Buna göre
$n ((A \cap B^{c}) \cup (A^{c} \cap B))$
kaçtır?

$| U | = 50$ olan evrensel kümede $| A | = 28$ , $| B | = 30$ ve $| A \cap B | = 12$ veriliyor.
$| {(A ∆ B)}^{c} |$ kaçtır?

Evrensel küme $U$ içinde $A$ , $B$ , $C$ kümeleri için aşağıdakiler veriliyor:
$| A | = 40, | B | = 35, | C | = 30$
$| A \cap B | = 15, | A \cap C | = 12, | B \cap C | = 10$
$| A \cap B \cap C | = 5$
Yalnızca bir tanesine ait olan eleman sayısı kaçtır?

Evrensel küme $U$ sonlu olup aşağıdakiler veriliyor:
$| A | = 12$
$| B | = 11$
$| C | = 10$
$| A \cap B | = 7$
$| A \cap C | = 6$
$| B \cap C | = 5$
$| A \cap B \cap C | = 3$
$| (A \cup B) ∖ C |$ kaçtır?

Evrensel küme
$U = {1, 2, \dots, 120}$
olmak üzere
$A = {x \in U : 6 ∣ x \lor 15 ∣ x}$
ve
$B = {x \in U : 10 ∣ x \lor 12 ∣ x}$
tanımlanıyor. Aşağıdaki ifadenin eleman sayısı kaçtır?
$| A ∆ B |$

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$ evrensel kümesinde
$A = \{x \in U : 2 | x\}$ , $B = \{x \in U : 3 | x\}$ , $C = \{x \in U : 4 | x\}$ tanımlı olsun.
$| ((A Δ B) \cap C^{c}) |$ değeri kaçtır?

Aşağıdaki bilgiler veriliyor:
$| A | = 20$
$| B | = 18$
$| C | = 15$
$| A \cap B | = 8$
$| A \cap C | = 6$
$| B \cap C | = 5$
$| A \cap B \cap C | = 3$
Buna göre $| (A \cup B) ∖ C |$ kaçtır?

$U = {1, 2, 3, \dots, 180}$ evrensel kümesinde
$A = {n \in U | 4 ∣ n}$ , $B = {n \in U | 6 ∣ n}$ , $C = {n \in U | 9 ∣ n}$ olarak tanımlanıyor.
$| (B ∖ A) \cap C^{c} |$ kaçtır?

Kümeler Testleri Hakkında Sık Sorulanlar

9. Sınıf Matematik Kumeler Testleri

9. Sınıf Kümeler Testleri

Küme İşlemleri

Alt Küme ve Eleman Sayısı

9. Sınıf Matematik Kumeler Testleri

Sonlu bir evrensel kümede U için |U|=80 olsun.Aşağıdaki bilgiler veriliyor:|Ac∪B|=70|A∪B|=60|Bc∪A|=65Buna göre |A∩B| kaçtır?

Sonlu bir evrensel kümede A ve B alt kümeleri için|A|=7, |B|=5, |A∩B|=3Aşağıdaki koşulları sağlayan X kümelerinin sayısı kaçtır?A∩B⊆X⊆A∪BX∩(A∖B)≠∅ ve X∩(B∖A)≠∅

Aşağıda U={1,2,…,20} evrensel kümesi üzerinde tanımlıA={x∈U:(2∣x)∨(3∣x)}B={x∈U:5∣x}kümeleri veriliyor. Buna gören((A∩Bc)∪(Ac∩B))kaçtır?

|U|=50 olan evrensel kümede |A|=28, |B|=30 ve |A∩B|=12 veriliyor.|(A∆B)c| kaçtır?

Evrensel küme U içinde A, B, C kümeleri için aşağıdakiler veriliyor:|A|=40,|B|=35,|C|=30|A∩B|=15,|A∩C|=12,|B∩C|=10|A∩B∩C|=5Yalnızca bir tanesine ait olan eleman sayısı kaçtır?

Evrensel küme U sonlu olup aşağıdakiler veriliyor:|A|=12|B|=11|C|=10|A∩B|=7|A∩C|=6|B∩C|=5|A∩B∩C|=3|(A∪B)∖C| kaçtır?

Evrensel kümeU={1,2,…,120}olmak üzereA={x∈U:6∣x∨15∣x}veB={x∈U:10∣x∨12∣x}tanımlanıyor. Aşağıdaki ifadenin eleman sayısı kaçtır?|A∆B|

U=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 evrensel kümesindeA=x∈U:2|x, B=x∈U:3|x, C=x∈U:4|x tanımlı olsun.|AΔB∩Cc| değeri kaçtır?

Aşağıdaki bilgiler veriliyor:|A|=20|B|=18|C|=15|A∩B|=8|A∩C|=6|B∩C|=5|A∩B∩C|=3Buna göre |(A∪B)∖C| kaçtır?

U={1,2,3,…,180} evrensel kümesindeA={n∈U|4∣n}, B={n∈U|6∣n}, C={n∈U|9∣n} olarak tanımlanıyor.|(B∖A)∩Cc| kaçtır?

Kümeler Testleri Hakkında Sık Sorulanlar

Sonlu bir evrensel kümede $U$ için $| U | = 80$ olsun.
Aşağıdaki bilgiler veriliyor:
$| A^{c} \cup B | = 70$
$| A \cup B | = 60$
$| B^{c} \cup A | = 65$
Buna göre $| A \cap B |$ kaçtır?

Sonlu bir evrensel kümede $A$ ve $B$ alt kümeleri için
$| A | = 7, | B | = 5, | A \cap B | = 3$
Aşağıdaki koşulları sağlayan $X$ kümelerinin sayısı kaçtır?
$A \cap B \subseteq X \subseteq A \cup B$
$X \cap (A ∖ B) \neq \emptyset$ ve $X \cap (B ∖ A) \neq \emptyset$

Aşağıda $U = {1, 2, \dots, 20}$ evrensel kümesi üzerinde tanımlı
$A = {x \in U : (2 ∣ x) \lor (3 ∣ x)}$
$B = {x \in U : 5 ∣ x}$
kümeleri veriliyor. Buna göre
$n ((A \cap B^{c}) \cup (A^{c} \cap B))$
kaçtır?

$| U | = 50$ olan evrensel kümede $| A | = 28$ , $| B | = 30$ ve $| A \cap B | = 12$ veriliyor.
$| {(A ∆ B)}^{c} |$ kaçtır?

Evrensel küme $U$ içinde $A$ , $B$ , $C$ kümeleri için aşağıdakiler veriliyor:
$| A | = 40, | B | = 35, | C | = 30$
$| A \cap B | = 15, | A \cap C | = 12, | B \cap C | = 10$
$| A \cap B \cap C | = 5$
Yalnızca bir tanesine ait olan eleman sayısı kaçtır?

Evrensel küme $U$ sonlu olup aşağıdakiler veriliyor:
$| A | = 12$
$| B | = 11$
$| C | = 10$
$| A \cap B | = 7$
$| A \cap C | = 6$
$| B \cap C | = 5$
$| A \cap B \cap C | = 3$
$| (A \cup B) ∖ C |$ kaçtır?

Evrensel küme
$U = {1, 2, \dots, 120}$
olmak üzere
$A = {x \in U : 6 ∣ x \lor 15 ∣ x}$
ve
$B = {x \in U : 10 ∣ x \lor 12 ∣ x}$
tanımlanıyor. Aşağıdaki ifadenin eleman sayısı kaçtır?
$| A ∆ B |$

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$ evrensel kümesinde
$A = \{x \in U : 2 | x\}$ , $B = \{x \in U : 3 | x\}$ , $C = \{x \in U : 4 | x\}$ tanımlı olsun.
$| ((A Δ B) \cap C^{c}) |$ değeri kaçtır?

Aşağıdaki bilgiler veriliyor:
$| A | = 20$
$| B | = 18$
$| C | = 15$
$| A \cap B | = 8$
$| A \cap C | = 6$
$| B \cap C | = 5$
$| A \cap B \cap C | = 3$
Buna göre $| (A \cup B) ∖ C |$ kaçtır?

$U = {1, 2, 3, \dots, 180}$ evrensel kümesinde
$A = {n \in U | 4 ∣ n}$ , $B = {n \in U | 6 ∣ n}$ , $C = {n \in U | 9 ∣ n}$ olarak tanımlanıyor.
$| (B ∖ A) \cap C^{c} |$ kaçtır?