Numicorn logosuNumicornÖğren, çöz, ilerle

12. Sınıf Matematik

12. Sınıf Matematik İntegral Testleri

İntegral konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

İntegrali alan, birikim ve türev ilişkisiyle kavra

İntegral, değişimin birikimini ve eğri altında kalan alanı anlamamızı sağlayan temel bir matematik aracıdır. Belirsiz integral türevin ters işlemiyle, belirli integral ise sınırlar arasındaki toplam değişimle ilişkilidir.

Bu çalışma; temel integral kurallarını, belirli integral hesaplamalarını, alan problemlerini ve integral-türev arasındaki bağlantıyı grafik ve fonksiyonlar üzerinden yorumlamana yardımcı olur.

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

  • Temel fonksiyonların integrallerini alır.
  • Belirsiz ve belirli integrali birbirinden ayırır.
  • Belirli integral ile alan ve birikim arasındaki ilişkiyi açıklar.
  • Türev-integral bağlantısını Temel Teorem üzerinden yorumlar.

Sık karıştırılan noktalar

Belirli integrali yalnızca pozitif alan olarak görmek yanlıştır. Eğrinin eksenin altında kaldığı bölgeler işaretli alan verir; geometrik alan isteniyorsa mutlak değer veya bölgesel ayrım gerekebilir.

Verimli çalışma yolu

Önce grafiği ve sınırları incele. Ardından fonksiyonun işaretini belirleyerek integrali hesapla; alan sorularında işaretli alan ile geometrik alanı ayır. Yanlış yaptığın sorularda doğru cevabı işaretlemekle yetinme; hangi bilgi veya işlem adımında zorlandığını belirle.

Test seç

6 Test
1. Test2. Test3. Test4. Test5. Test6. Test

6. Test

12. Sınıf Matematik İntegral Testleri

İntegral konusu 6. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru
0/10 Soru0 %
Doğru 0
Yanlış 0
Boş 10
1. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki integralin değerini bulunuz.

∫01ln(1+x)xdx

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Önce doğru şıkkı kontrol edelim. İntegral aşağıdaki gibidir: ∫ 0 1 ln ( 1 + x ) x d x Seri açılımını kullanalım: ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ( - 1 ) n + 1 x n n İntegrand için seriyi yerine yazalım: ln ( 1 + x ) x = ∑ n = 1 ( - 1 ) n + 1 x n - 1 n Şimdi integrali terim terim alalım: ∫ 0 1 ln ( 1 + x ) x d x = ∑ n = 1 ( - 1 ) n + 1 n ∫ 0 1 x n - 1 d x İçteki integrali hesaplayalım: ∫ 0 1 x n - 1 d x = 1 n Böylece toplam şu hale gelir: ∫ 0 1 ln ( 1 + x ) x d x = ∑ n = 1 ( - 1 ) n + 1 n 2 Bu seri alternatif zeta toplamıdır: ∑ n = 1 ( - 1 ) n + 1 n 2 = ( 1 - 2 1 - 2 ) ζ ( 2 ) Burada değerleri kullanalım: ζ ( 2 ) = π 2 6 Yerine koyarsak: ( 1 - 2 1 - 2 ) ζ ( 2 ) = ( 1 - 1 2 ) π 2 6 = 1 2 π 2 6 = π 2 12 Sonuç: ∫ 0 1 ln ( 1 + x ) x d x = π 2 12 Bu değer şıklar içinde A ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap C792’dır.

  1. Çözüm: Önce doğru şıkkı kontrol edelim. İntegral aşağıdaki gibidir: ∫ 0 1 ln ( 1 + x ) x d x Seri açılımını kullanalım: ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ( - 1 ) n + 1 x n n İntegrand için seriyi yerine yazalım: ln ( 1 + x ) x = ∑ n = 1 ( - 1 ) n + 1 x n - 1 n Şimdi integrali terim terim alalım: ∫ 0 1 ln ( 1 + x ) x d x = ∑ n = 1 ( - 1 ) n + 1 n ∫ 0 1 x n - 1 d x İçteki integrali hesaplayalım: ∫ 0 1 x n - 1 d x = 1 n Böylece toplam şu hale gelir: ∫ 0 1 ln ( 1 + x ) x d x = ∑ n = 1 ( - 1 ) n + 1 n 2 Bu seri alternatif zeta toplamıdır: ∑ n = 1 ( - 1 ) n + 1 n 2 = ( 1 - 2 1 - 2 ) ζ ( 2 ) Burada değerleri kullanalım: ζ ( 2 ) = π 2 6 Yerine koyarsak: ( 1 - 2 1 - 2 ) ζ ( 2 ) = ( 1 - 1 2 ) π 2 6 = 1 2 π 2 6 = π 2 12 Sonuç: ∫ 0 1 ln ( 1 + x ) x d x = π 2 12 Bu değer şıklar içinde A ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap C792’dır.

Önce doğru şıkkı kontrol edelim. İntegral aşağıdaki gibidir:

∫01ln(1+x)xdx

Seri açılımını kullanalım:

ln(1+x)=∑n=1(-1)n+1xnn

İntegrandiçinseriyiyerineyazalım:

ln(1+x)x=∑n=1(-1)n+1xn-1n

Şimdiintegraliterimterimalalım:

∫01ln(1+x)xdx=∑n=1(-1)n+1n∫01xn-1dx

İçtekiintegralihesaplayalım:

∫01xn-1dx=1n

Böylecetoplamşuhalegelir:

∫01ln(1+x)xdx=∑n=1(-1)n+1n2

Buserialternatifzetatoplamıdır:

∑n=1(-1)n+1n2=(1-21-2)ζ(2)

Buradadeğerlerikullanalım:

ζ(2)=π26

Yerinekoyarsak:

(1-21-2)ζ(2)=(1-12)π26=12π26=π212

Sonuç:

∫01ln(1+x)xdx=π212

Bu değer şıklar içinde A ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap C4930’dır.

2. SoruÇoktan Seçmeli

İntegrali hesaplayınız:

∫0π4ln(1+tan(x))dx

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

İntegrali ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan ( x ) ) d x hesaplayalım. İntegrale I = ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan ( x ) ) d x diyelim. Dönüşüm yapalım: x = π 4 − t Bu durumda sınırlar değişmez (0 ile π 4 arası yine 0 ile π 4 olur) ve d x = − d t Trigonometrik özdeşlik: tan ( π 4 − t ) = 1 − tan ( t ) 1 + tan ( t ) Buna göre parantez içini düzenleyelim: 1 + tan ( π 4 − t ) = 1 + 1 − tan ( t ) 1 + tan ( t ) = 2 1 + tan ( t ) Logaritma alınca: ln ( 1 + tan ( π 4 − t ) ) = ln 2 − ln ( 1 + tan ( t ) ) Dönüşümü integrale uygulayalım: I = ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan ( x ) ) d x = ∫ 0 π 4 ( ln 2 − ln ( 1 + tan ( t ) ) ) d t Sağ tarafı parçalayalım: I = ∫ 0 π 4 ln 2 d t − ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan ( t ) ) d t İkinci integral yine I olur. Birinci integral: ∫ 0 π 4 ln 2 d t = ln 2 ⋅ π 4 Dolayısıyla: I = π 4 ⋅ ln 2 − I Buradan: 2 I = π 4 ⋅ ln 2 ve sonuç: I = π 8 ⋅ ln 2 Bu değer şıklardan π 8 ⋅ ln 2 olduğundan doğru cevap D1164’dır.

  1. Çözüm: İntegrali ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan ( x ) ) d x hesaplayalım. İntegrale I = ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan ( x ) ) d x diyelim. Dönüşüm yapalım: x = π 4 − t Bu durumda sınırlar değişmez (0 ile π 4 arası yine 0 ile π 4 olur) ve d x = − d t Trigonometrik özdeşlik: tan ( π 4 − t ) = 1 − tan ( t ) 1 + tan ( t ) Buna göre parantez içini düzenleyelim: 1 + tan ( π 4 − t ) = 1 + 1 − tan ( t ) 1 + tan ( t ) = 2 1 + tan ( t ) Logaritma alınca: ln ( 1 + tan ( π 4 − t ) ) = ln 2 − ln ( 1 + tan ( t ) ) Dönüşümü integrale uygulayalım: I = ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan ( x ) ) d x = ∫ 0 π 4 ( ln 2 − ln ( 1 + tan ( t ) ) ) d t Sağ tarafı parçalayalım: I = ∫ 0 π 4 ln 2 d t − ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan ( t ) ) d t İkinci integral yine I olur. Birinci integral: ∫ 0 π 4 ln 2 d t = ln 2 ⋅ π 4 Dolayısıyla: I = π 4 ⋅ ln 2 − I Buradan: 2 I = π 4 ⋅ ln 2 ve sonuç: I = π 8 ⋅ ln 2 Bu değer şıklardan π 8 ⋅ ln 2 olduğundan doğru cevap D1164’dır.

İntegrali

∫0π4ln(1+tan(x))dx

hesaplayalım.

İntegrale

I=∫0π4ln(1+tan(x))dx

diyelim.

Dönüşüm yapalım:

x=π4−t

Bu durumda sınırlar değişmez (0 ile

π4

arası yine 0 ile

π4

olur) ve

dx=−dt

Trigonometrik özdeşlik:

tan(π4−t)=1−tan(t)1+tan(t)

Buna göre parantez içini düzenleyelim:

1+tan(π4−t)=1+1−tan(t)1+tan(t)=21+tan(t)

Logaritma alınca:

ln(1+tan(π4−t))=ln2−ln(1+tan(t))

Dönüşümü integrale uygulayalım:

I=∫0π4ln(1+tan(x))dx=∫0π4(ln2−ln(1+tan(t)))dt

Sağ tarafı parçalayalım:

I=∫0π4ln2dt−∫0π4ln(1+tan(t))dt

İkinci integral yine

I

olur.

Birinci integral:

∫0π4ln2dt=ln2⋅π4

Dolayısıyla:

I=π4⋅ln2−I

Buradan:

2I=π4⋅ln2

ve sonuç:

I=π8⋅ln2

Bu değer şıklardan

π8⋅ln2

olduğundan doğru cevap D6314’dır.

3. SoruÇoktan Seçmeli

∫ 2x dx integralinin genel sonucu nedir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

x²’nin türevi 2x olduğundan integral x² + C’dir.

  1. Çözüm: x²’nin türevi 2x olduğundan integral x² + C’dir.

x²’nin türevi 2x olduğundan integral x² + C’dir.

4. SoruÇoktan Seçmeli

∫₀² 3x² dx integralinin değeri kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

3x²’nin integrali x³’tür; 0’dan 2’ye değer 8’dir.

  1. Çözüm: 3x²’nin integrali x³’tür; 0’dan 2’ye değer 8’dir.

3x²’nin integrali x³’tür; 0’dan 2’ye değer 8’dir.

5. SoruÇoktan Seçmeli

∫ cos x dx integralinin genel sonucu nedir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

sin x’in türevi cos x olduğu için integral sin x + C’dir.

  1. Çözüm: sin x’in türevi cos x olduğu için integral sin x + C’dir.

sin x’in türevi cos x olduğu için integral sin x + C’dir.

6. SoruÇoktan Seçmeli

∫₁ᵉ (1/x) dx integralinin değeri kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

1/x’in integrali ln x’tir; ln e - ln 1 = 1 - 0 = 1.

  1. Çözüm: 1/x’in integrali ln x’tir; ln e - ln 1 = 1 - 0 = 1.

1/x’in integrali ln x’tir; ln e - ln 1 = 1 - 0 = 1.

7. SoruÇoktan Seçmeli

∫ (6x - 4) dx integralinin genel sonucu nedir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Terim terim integral alınır: ∫6x dx=3x², ∫-4 dx=-4x.

  1. Çözüm: Terim terim integral alınır: ∫6x dx=3x², ∫-4 dx=-4x.

Terim terim integral alınır: ∫6x dx=3x², ∫-4 dx=-4x.

8. SoruÇoktan Seçmeli

∫₀^π sin x dx integralinin değeri kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

sin x’in integrali -cos x’tir; [-cos x]₀^π = 1 - (-1) = 2.

  1. Çözüm: sin x’in integrali -cos x’tir; [-cos x]₀^π = 1 - (-1) = 2.

sin x’in integrali -cos x’tir; [-cos x]₀^π = 1 - (-1) = 2.

9. SoruÇoktan Seçmeli

∫ eˣ dx integralinin genel sonucu nedir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

eˣ fonksiyonunun türevi yine eˣ olduğundan integrali eˣ + C’dir.

  1. Çözüm: eˣ fonksiyonunun türevi yine eˣ olduğundan integrali eˣ + C’dir.

eˣ fonksiyonunun türevi yine eˣ olduğundan integrali eˣ + C’dir.

10. SoruÇoktan Seçmeli

∫₀¹ (4x³ + 2) dx integralinin değeri kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

İntegral x⁴ + 2x olur; 0’dan 1’e değer 1+2=3’tür.

  1. Çözüm: İntegral x⁴ + 2x olur; 0’dan 1’e değer 1+2=3’tür.

İntegral x⁴ + 2x olur; 0’dan 1’e değer 1+2=3’tür.

İntegral Sık Sorulan Sorular

Belirsiz integral nedir?

Türevi verilen fonksiyona eşit olan tüm fonksiyon ailesini ifade eder ve sabit terim içerir.

Belirli integral neyi gösterir?

İki sınır arasındaki toplam değişimi veya işaretli alanı gösterir.

Türev ve integral arasındaki ilişki nedir?

İntegral türevin ters işlemi olarak çalışır; Temel Teorem bu iki işlemi birbirine bağlar.