12. Sınıf Matematik

12. Sınıf Matematik İntegral Testleri

İntegral konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

İntegrali alan, birikim ve türev ilişkisiyle kavra

İntegral, değişimin birikimini ve eğri altında kalan alanı anlamamızı sağlayan temel bir matematik aracıdır. Belirsiz integral türevin ters işlemiyle, belirli integral ise sınırlar arasındaki toplam değişimle ilişkilidir.

Bu çalışma; temel integral kurallarını, belirli integral hesaplamalarını, alan problemlerini ve integral-türev arasındaki bağlantıyı grafik ve fonksiyonlar üzerinden yorumlamana yardımcı olur.

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

Temel fonksiyonların integrallerini alır.
Belirsiz ve belirli integrali birbirinden ayırır.
Belirli integral ile alan ve birikim arasındaki ilişkiyi açıklar.
Türev-integral bağlantısını Temel Teorem üzerinden yorumlar.

Sık karıştırılan noktalar

Belirli integrali yalnızca pozitif alan olarak görmek yanlıştır. Eğrinin eksenin altında kaldığı bölgeler işaretli alan verir; geometrik alan isteniyorsa mutlak değer veya bölgesel ayrım gerekebilir.

Verimli çalışma yolu

Önce grafiği ve sınırları incele. Ardından fonksiyonun işaretini belirleyerek integrali hesapla; alan sorularında işaretli alan ile geometrik alanı ayır. Yanlış yaptığın sorularda doğru cevabı işaretlemekle yetinme; hangi bilgi veya işlem adımında zorlandığını belirle.

Test seç

6 Test

1. Test 2. Test 3. Test 4. Test 5. Test 6. Test

5. Test

12. Sınıf Matematik İntegral Testleri

İntegral konusu 5. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru

0/10 Soru0 %

Doğru 0

Yanlış 0

Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki integrali bulunuz.
$\int_{0}^{\frac{π}{4}} ln (1 + tan x) d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

İntegrali ∫ 0 π 4 ln 1 + tan x d x şeklinde tanımlayalım. Değişken dönüşümü yapalım: x = π 4 - t Bu durumda sınırlar değişmez (çünkü 0 ile π/4 aralığı yine aynı aralığa gider) ve integral I = ∫ 0 π 4 ln 1 + tan π 4 - t d t olur. Şimdi trigonometrik özdeşliği kullanalım: tan π 4 - t = 1 - tan t 1 + tan t Buna göre integrand içindeki ifade: 1 + tan π 4 - t = 1 + 1 - tan t 1 + tan t = 2 1 + tan t Logaritma özelliği ile: ln 1 + tan π 4 - t = ln 2 1 + tan t = ln 2 - ln 1 + tan t Bunu integralde yerine yazalım: I = ∫ 0 π 4 ln 2 - ln 1 + tan t d t İntegrali ayıralım: I = ∫ 0 π 4 ln 2 d t - ∫ 0 π 4 ln 1 + tan t d t İkinci integral tanım gereği yine I olur. Birinci integral ise sabit integralidir: ∫ 0 π 4 ln 2 d t = ln 2 ⋅ π 4 Dolayısıyla: I = π 4 ln 2 - I Buradan: 2 I = π 4 ln 2 ve sonuç: I = π 8 ln 2 Sonuç şıklarla karşılaştırılırsa doğru cevap B999 şıkkıdır. π 8 ln 2

Çözüm: İntegrali ∫ 0 π 4 ln 1 + tan x d x şeklinde tanımlayalım. Değişken dönüşümü yapalım: x = π 4 - t Bu durumda sınırlar değişmez (çünkü 0 ile π/4 aralığı yine aynı aralığa gider) ve integral I = ∫ 0 π 4 ln 1 + tan π 4 - t d t olur. Şimdi trigonometrik özdeşliği kullanalım: tan π 4 - t = 1 - tan t 1 + tan t Buna göre integrand içindeki ifade: 1 + tan π 4 - t = 1 + 1 - tan t 1 + tan t = 2 1 + tan t Logaritma özelliği ile: ln 1 + tan π 4 - t = ln 2 1 + tan t = ln 2 - ln 1 + tan t Bunu integralde yerine yazalım: I = ∫ 0 π 4 ln 2 - ln 1 + tan t d t İntegrali ayıralım: I = ∫ 0 π 4 ln 2 d t - ∫ 0 π 4 ln 1 + tan t d t İkinci integral tanım gereği yine I olur. Birinci integral ise sabit integralidir: ∫ 0 π 4 ln 2 d t = ln 2 ⋅ π 4 Dolayısıyla: I = π 4 ln 2 - I Buradan: 2 I = π 4 ln 2 ve sonuç: I = π 8 ln 2 Sonuç şıklarla karşılaştırılırsa doğru cevap B999 şıkkıdır. π 8 ln 2

İntegrali

\int_{0}^{\frac{π}{4}} ln (1 + tan x) d x

şeklinde tanımlayalım.

Değişken dönüşümü yapalım:

x = \frac{π}{4} - t

Bu durumda sınırlar değişmez (çünkü 0 ile π/4 aralığı yine aynı aralığa gider) ve integral

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} ln (1 + tan (\frac{π}{4} - t)) d t

olur.

Şimdi trigonometrik özdeşliği kullanalım:

tan (\frac{π}{4} - t) = \frac{1 - tan t}{1 + tan t}

Buna göre integrand içindeki ifade:

1 + tan (\frac{π}{4} - t) = 1 + \frac{1 - tan t}{1 + tan t} = \frac{2}{1 + tan t}

Logaritma özelliği ile:

ln (1 + tan (\frac{π}{4} - t)) = ln (\frac{2}{1 + tan t}) = ln 2 - ln (1 + tan t)

Bunu integralde yerine yazalım:

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} (ln 2 - ln (1 + tan t)) d t

İntegrali ayıralım:

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} ln 2 d t - \int_{0}^{\frac{π}{4}} ln (1 + tan t) d t

İkinci integral tanım gereği yine I olur. Birinci integral ise sabit integralidir:

\int_{0}^{\frac{π}{4}} ln 2 d t = ln 2 \cdot \frac{π}{4}

Dolayısıyla:

I = \frac{π}{4} ln 2 - I

Buradan:

2 I = \frac{π}{4} ln 2

ve sonuç:

I = \frac{π}{8} ln 2

Sonuç şıklarla karşılaştırılırsa doğru cevap A şıkkıdır.

\frac{π}{8} ln 2

2. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki integrali hesaplayınız:
$\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^{4}} d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki integralin değeri kaçtır?
$\int_{0}^{1} \frac{\ln x}{1 + x} d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Sorudaki integralin değerini bulalım ve şıklarla karşılaştıralım. İntegrali I = ∫ 0 1 ln x 1 + x d x şeklinde adlandıralım. 1 1 + x ifadesini seri açılımıyla yazalım ( 0 ≤ x < 1 için): 1 1 + x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x n Bunu integrale yerleştirip terim terim integre edelim: I = ∫ 0 1 ln x ( ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x n ) d x I = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ∫ 0 1 x n ln x d x Şimdi ∫ 0 1 x n ln x d x integralini hesaplayalım (parçalı integral): u = ln x, d v = x n d x d u = 1 x d x, v = x n + 1 n + 1 ∫ 0 1 x n ln x d x = x n + 1 n + 1 ln x 0 1 - ∫ 0 1 x n + 1 n + 1 1 x d x ∫ 0 1 x n ln x d x = 0 - 1 n + 1 ∫ 0 1 x n d x ∫ 0 1 x n d x = 1 n + 1 ∫ 0 1 x n ln x d x = - 1 n + 1 2 Bunu toplamda yerine koyarsak: I = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( - 1 n + 1 2 ) I = - ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n n + 1 2 I = - ∑ k = 1 ∞ ( - 1 ) k - 1 k 2 Bilinen sonuç: ∑ k = 1 ∞ ( - 1 ) k - 1 k 2 = π 2 12 Dolayısıyla: I = - π 2 12 Sonuç şıklarda seçeneğiD901yle aynıdır. Doğru cevap: D924.

Çözüm: Sorudaki integralin değerini bulalım ve şıklarla karşılaştıralım. İntegrali I = ∫ 0 1 ln x 1 + x d x şeklinde adlandıralım. 1 1 + x ifadesini seri açılımıyla yazalım ( 0 ≤ x < 1 için): 1 1 + x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x n Bunu integrale yerleştirip terim terim integre edelim: I = ∫ 0 1 ln x ( ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x n ) d x I = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ∫ 0 1 x n ln x d x Şimdi ∫ 0 1 x n ln x d x integralini hesaplayalım (parçalı integral): u = ln x, d v = x n d x d u = 1 x d x, v = x n + 1 n + 1 ∫ 0 1 x n ln x d x = x n + 1 n + 1 ln x 0 1 - ∫ 0 1 x n + 1 n + 1 1 x d x ∫ 0 1 x n ln x d x = 0 - 1 n + 1 ∫ 0 1 x n d x ∫ 0 1 x n d x = 1 n + 1 ∫ 0 1 x n ln x d x = - 1 n + 1 2 Bunu toplamda yerine koyarsak: I = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n ( - 1 n + 1 2 ) I = - ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n n + 1 2 I = - ∑ k = 1 ∞ ( - 1 ) k - 1 k 2 Bilinen sonuç: ∑ k = 1 ∞ ( - 1 ) k - 1 k 2 = π 2 12 Dolayısıyla: I = - π 2 12 Sonuç şıklarda seçeneğiD901yle aynıdır. Doğru cevap: D924.

Sorudaki integralin değerini bulalım ve şıklarla karşılaştıralım.

İntegrali

I = \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{1 + x} d x

şeklinde adlandıralım.

$\frac{1}{1 + x}$ ifadesini seri açılımıyla yazalım ( $0 \leq x < 1$ için):

\frac{1}{1 + x} = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} x^{n}

Bunu integrale yerleştirip terim terim integre edelim:

I = \int_{0}^{1} \ln x (\sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} x^{n}) d x

I = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} \int_{0}^{1} x^{n} \ln x d x

Şimdi

\int_{0}^{1} x^{n} \ln x d x

integralini hesaplayalım (parçalı integral):

u = \ln x, d v = x^{n} d x

d u = \frac{1}{x} d x, v = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}

\int_{0}^{1} x^{n} \ln x d x = {\frac{x^{n + 1}}{n + 1} \ln x}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x^{n + 1}}{n + 1} \frac{1}{x} d x

\int_{0}^{1} x^{n} \ln x d x = 0 - \frac{1}{n + 1} \int_{0}^{1} x^{n} d x

\int_{0}^{1} x^{n} d x = \frac{1}{n + 1}

\int_{0}^{1} x^{n} \ln x d x = - \frac{1}{{n + 1}^{2}}

Bunu toplamda yerine koyarsak:

I = \sum_{n = 0}^{\infty} {(- 1)}^{n} (- \frac{1}{{n + 1}^{2}})

I = - \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{{n + 1}^{2}}

I = - \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k - 1}}{k^{2}}

Bilinen sonuç:

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k - 1}}{k^{2}} = \frac{π^{2}}{12}

Dolayısıyla:

I = - \frac{π^{2}}{12}

Sonuç şıklarda A seçeneğiyle aynıdır. Doğru cevap: A.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.
$I = \int_{0}^{1} \frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}} d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{1} \frac{\ln (1 + x)}{x} d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (1 + \tan x) d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

1) Doğru cevabı kontrol: I = ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan x ) d x 2) Dönüşüm: Değişken dönüşümü yapalım. x = π 4 − t d x = − d t Sınırlar: x = 0 ⇒ t = π 4, x = π 4 ⇒ t = 0 3) İntegrali yeni değişkene göre yazalım: I = ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan ( π 4 − t ) ) d t 4) Toplam formülü: Aşağıdaki özdeşliği kullanalım. tan ( π 4 − t ) = 1 − tan t 1 + tan t Bundan dolayı integrand şu şekilde sadeleşir: 1 + tan ( π 4 − t ) = 1 + 1 − tan t 1 + tan t = 2 1 + tan t Logaritma özelliği ile: ln ( 1 + tan ( π 4 − t ) ) = ln ( 2 ) − ln ( 1 + tan t ) 5) İntegralde yerine yazalım: I = ∫ 0 π 4 ln ( 2 ) − ln ( 1 + tan t ) d t Sağ tarafı iki integrale ayıralım. İkinci integral, tanım gereği yine aynı değerdeki integraldir. I = ln ( 2 ) ∫ 0 π 4 d t − ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan t ) d t I = ln ( 2 ) [ t ] 0 π 4 − I 6) Sınırları uygulayalım ve çözelim: I = ln ( 2 ) ( π 4 − 0 ) − I 2 I = π 4 ln ( 2 ) I = π 8 ln ( 2 ) Sonuç şıklardan A ile aynıdır. Doğru cevap: C915.

Çözüm: 1) Doğru cevabı kontrol: I = ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan x ) d x 2) Dönüşüm: Değişken dönüşümü yapalım. x = π 4 − t d x = − d t Sınırlar: x = 0 ⇒ t = π 4, x = π 4 ⇒ t = 0 3) İntegrali yeni değişkene göre yazalım: I = ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan ( π 4 − t ) ) d t 4) Toplam formülü: Aşağıdaki özdeşliği kullanalım. tan ( π 4 − t ) = 1 − tan t 1 + tan t Bundan dolayı integrand şu şekilde sadeleşir: 1 + tan ( π 4 − t ) = 1 + 1 − tan t 1 + tan t = 2 1 + tan t Logaritma özelliği ile: ln ( 1 + tan ( π 4 − t ) ) = ln ( 2 ) − ln ( 1 + tan t ) 5) İntegralde yerine yazalım: I = ∫ 0 π 4 ln ( 2 ) − ln ( 1 + tan t ) d t Sağ tarafı iki integrale ayıralım. İkinci integral, tanım gereği yine aynı değerdeki integraldir. I = ln ( 2 ) ∫ 0 π 4 d t − ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan t ) d t I = ln ( 2 ) [ t ] 0 π 4 − I 6) Sınırları uygulayalım ve çözelim: I = ln ( 2 ) ( π 4 − 0 ) − I 2 I = π 4 ln ( 2 ) I = π 8 ln ( 2 ) Sonuç şıklardan A ile aynıdır. Doğru cevap: C915.

1) Doğru cevabı kontrol:

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (1 + \tan x) d x

2) Dönüşüm: Değişken dönüşümü yapalım.

x = \frac{π}{4} - t

d x = - d t

Sınırlar:

x = 0 \Rightarrow t = \frac{π}{4}, x = \frac{π}{4} \Rightarrow t = 0

3) İntegrali yeni değişkene göre yazalım:

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (1 + \tan (\frac{π}{4} - t)) d t

4) Toplam formülü: Aşağıdaki özdeşliği kullanalım.

\tan (\frac{π}{4} - t) = \frac{1 - \tan t}{1 + \tan t}

Bundan dolayı integrand şu şekilde sadeleşir:

1 + \tan (\frac{π}{4} - t) = 1 + \frac{1 - \tan t}{1 + \tan t} = \frac{2}{1 + \tan t}

Logaritma özelliği ile:

\ln (1 + \tan (\frac{π}{4} - t)) = \ln (2) - \ln (1 + \tan t)

5) İntegralde yerine yazalım:

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (2) - \ln (1 + \tan t) d t

Sağ tarafı iki integrale ayıralım. İkinci integral, tanım gereği yine aynı değerdeki integraldir.

I = \ln (2) \int_{0}^{\frac{π}{4}} d t - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (1 + \tan t) d t

I = \ln (2) [t]_{0}^{\frac{π}{4}} - I

6) Sınırları uygulayalım ve çözelim:

I = \ln (2) (\frac{π}{4} - 0) - I

2 I = \frac{π}{4} \ln (2)

I = \frac{π}{8} \ln (2)

Sonuç şıklardan A ile aynıdır. Doğru cevap: A.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki integralin değerini bulunuz.
$\int_{0}^{\frac{π}{2}} ln (\sin x + \cos x) d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki belirli integralin değerini bulun.
$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin (x)) d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Doğru şıkkı kontrol edelim. Aşağıdaki integralin değeri klasik bir sonuçtur ve ∫ 0 π 2 ln ( sin ( x ) ) d x integrali - π 2 ln 2 çıkar. Bu da A şıkkıdır. Adım 1: İntegrale bir isim verelim. I = ∫ 0 π 2 ln ( sin ( x ) ) d x Adım 2: Değişken dönüşümü yapalım. x = π 2 - t Bu durumda d x = - d t ve sınırlar x = 0 → t = π 2, x = π 2 → t = 0 olur. İntegral: I = ∫ π 2 0 ln ( sin ( π 2 - t ) ) ( - d t ) Buradan yön değiştirirsek: I = ∫ 0 π 2 ln ( sin ( π 2 - t ) ) d t ve sin ( π 2 - t ) = cos ( t ) olduğundan: I = ∫ 0 π 2 ln ( cos ( t ) ) d t Adım 3: İki ifadeyi toplayalım (t yerine tekrar x yazabiliriz). I = ∫ 0 π 2 ln ( sin ( x ) ) d x I = ∫ 0 π 2 ln ( cos ( x ) ) d x Toplayınca: 2 I = ∫ 0 π 2 [ ln ( sin ( x ) ) + ln ( cos ( x ) ) ] d x Logaritma kuralı ile: 2 I = ∫ 0 π 2 ln ( sin ( x ) ⁢ cos ( x ) ) d x Adım 4: Çarpımı trigonometrik özdeşlikle düzenleyelim. sin ( x ) ⁢ cos ( x ) = 1 2 sin ( 2 x ) O hâlde: 2 I = ∫ 0 π 2 ln ( 1 2 sin ( 2 x ) ) d x Logaritmayı ayıralım: 2 I = ∫ 0 π 2 [ ln ( sin ( 2 x ) ) + ln ( 1 2 ) ] d x ve ln ( 1 2 ) = - ln 2 olduğundan: 2 I = ∫ 0 π 2 ln ( sin ( 2 x ) ) d x - ∫ 0 π 2 ln 2 d x Adım 5: Sabit integralini ve ilk integrali dönüştürelim. Sabit integral: ∫ 0 π 2 ln 2 d x = ln 2 ( π 2 - 0 ) = π 2 ln 2 Diğer integral için u = 2 x alalım. O zaman d u = 2 d x ⇒ d x = 1 2 d u ve sınırlar x = 0 → u = 0, x = π 2 → u = π olur: ∫ 0 π 2 ln ( sin ( 2 x ) ) d x = 1 2 ∫ 0 π ln ( sin ( u ) ) d u Adım 6: Simetri ile ∫ 0 π ln ( sin ( u ) ) d u integralini I cinsinden yazalım. Dönüşüm: u → π - u ile sin ( π - u ) = sin ( u ) olduğundan integral ∫ 0 π ln ( sin ( u ) ) d u = 2 ∫ 0 π 2 ln ( sin ( u ) ) d u yani ∫ 0 π ln ( sin ( u ) ) d u = 2 I olur. Dolayısıyla: 1 2 ∫ 0 π ln ( sin ( u ) ) d u = 1 2 ⋅ 2 I = I Adım 7: Hepsini yerine yazıp I’yi bulalım. Adım 4’te ulaştığımız ifade: 2 I = ∫ 0 π 2 ln ( sin ( 2 x ) ) d x - π 2 ln 2 Burada ∫ 0 π 2 ln ( sin ( 2 x ) ) d x = I bulmuştuk. O hâlde: 2 I = I - π 2 ln 2 Buradan I = - π 2 ln 2 sonucu çıkar. Sonuç: Doğru cevap - π 2 ln 2 olduğundan A şıkkı doğrudur.

Çözüm: Doğru şıkkı kontrol edelim. Aşağıdaki integralin değeri klasik bir sonuçtur ve ∫ 0 π 2 ln ( sin ( x ) ) d x integrali - π 2 ln 2 çıkar. Bu da A şıkkıdır. Adım 1: İntegrale bir isim verelim. I = ∫ 0 π 2 ln ( sin ( x ) ) d x Adım 2: Değişken dönüşümü yapalım. x = π 2 - t Bu durumda d x = - d t ve sınırlar x = 0 → t = π 2, x = π 2 → t = 0 olur. İntegral: I = ∫ π 2 0 ln ( sin ( π 2 - t ) ) ( - d t ) Buradan yön değiştirirsek: I = ∫ 0 π 2 ln ( sin ( π 2 - t ) ) d t ve sin ( π 2 - t ) = cos ( t ) olduğundan: I = ∫ 0 π 2 ln ( cos ( t ) ) d t Adım 3: İki ifadeyi toplayalım (t yerine tekrar x yazabiliriz). I = ∫ 0 π 2 ln ( sin ( x ) ) d x I = ∫ 0 π 2 ln ( cos ( x ) ) d x Toplayınca: 2 I = ∫ 0 π 2 [ ln ( sin ( x ) ) + ln ( cos ( x ) ) ] d x Logaritma kuralı ile: 2 I = ∫ 0 π 2 ln ( sin ( x ) ⁢ cos ( x ) ) d x Adım 4: Çarpımı trigonometrik özdeşlikle düzenleyelim. sin ( x ) ⁢ cos ( x ) = 1 2 sin ( 2 x ) O hâlde: 2 I = ∫ 0 π 2 ln ( 1 2 sin ( 2 x ) ) d x Logaritmayı ayıralım: 2 I = ∫ 0 π 2 [ ln ( sin ( 2 x ) ) + ln ( 1 2 ) ] d x ve ln ( 1 2 ) = - ln 2 olduğundan: 2 I = ∫ 0 π 2 ln ( sin ( 2 x ) ) d x - ∫ 0 π 2 ln 2 d x Adım 5: Sabit integralini ve ilk integrali dönüştürelim. Sabit integral: ∫ 0 π 2 ln 2 d x = ln 2 ( π 2 - 0 ) = π 2 ln 2 Diğer integral için u = 2 x alalım. O zaman d u = 2 d x ⇒ d x = 1 2 d u ve sınırlar x = 0 → u = 0, x = π 2 → u = π olur: ∫ 0 π 2 ln ( sin ( 2 x ) ) d x = 1 2 ∫ 0 π ln ( sin ( u ) ) d u Adım 6: Simetri ile ∫ 0 π ln ( sin ( u ) ) d u integralini I cinsinden yazalım. Dönüşüm: u → π - u ile sin ( π - u ) = sin ( u ) olduğundan integral ∫ 0 π ln ( sin ( u ) ) d u = 2 ∫ 0 π 2 ln ( sin ( u ) ) d u yani ∫ 0 π ln ( sin ( u ) ) d u = 2 I olur. Dolayısıyla: 1 2 ∫ 0 π ln ( sin ( u ) ) d u = 1 2 ⋅ 2 I = I Adım 7: Hepsini yerine yazıp I’yi bulalım. Adım 4’te ulaştığımız ifade: 2 I = ∫ 0 π 2 ln ( sin ( 2 x ) ) d x - π 2 ln 2 Burada ∫ 0 π 2 ln ( sin ( 2 x ) ) d x = I bulmuştuk. O hâlde: 2 I = I - π 2 ln 2 Buradan I = - π 2 ln 2 sonucu çıkar. Sonuç: Doğru cevap - π 2 ln 2 olduğundan A şıkkı doğrudur.

Doğru şıkkı kontrol edelim. Aşağıdaki integralin değeri klasik bir sonuçtur ve

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin (x)) d x

integrali

- \frac{π}{2} \ln 2

çıkar. Bu da A şıkkıdır.

Adım 1: İntegrale bir isim verelim.

I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin (x)) d x

Adım 2: Değişken dönüşümü yapalım.

x = \frac{π}{2} - t

Bu durumda

d x = - d t

ve sınırlar

x = 0 \to t = \frac{π}{2}, x = \frac{π}{2} \to t = 0

olur. İntegral:

I = \int_{\frac{π}{2}}^{0} \ln (\sin (\frac{π}{2} - t)) (- d t)

Buradan yön değiştirirsek:

I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin (\frac{π}{2} - t)) d t

\sin (\frac{π}{2} - t) = \cos (t)

olduğundan:

I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\cos (t)) d t

Adım 3: İki ifadeyi toplayalım (t yerine tekrar x yazabiliriz).

I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin (x)) d x

I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\cos (x)) d x

Toplayınca:

2 I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} [\ln (\sin (x)) + \ln (\cos (x))] d x

Logaritma kuralı ile:

2 I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin (x) \cos (x)) d x

Adım 4: Çarpımı trigonometrik özdeşlikle düzenleyelim.

\sin (x) \cos (x) = \frac{1}{2} \sin (2 x)

O hâlde:

2 I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\frac{1}{2} \sin (2 x)) d x

Logaritmayı ayıralım:

2 I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} [\ln (\sin (2 x)) + \ln (\frac{1}{2})] d x

\ln (\frac{1}{2}) = - \ln 2

olduğundan:

2 I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin (2 x)) d x - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln 2 d x

Adım 5: Sabit integralini ve ilk integrali dönüştürelim.

Sabit integral:

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln 2 d x = \ln 2 (\frac{π}{2} - 0) = \frac{π}{2} \ln 2

Diğer integral için

u = 2 x

alalım. O zaman

d u = 2 d x \Rightarrow d x = \frac{1}{2} d u

ve sınırlar

x = 0 \to u = 0, x = \frac{π}{2} \to u = π

olur:

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin (2 x)) d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \ln (\sin (u)) d u

Adım 6: Simetri ile

\int_{0}^{π} \ln (\sin (u)) d u

integralini

I

cinsinden yazalım.

Dönüşüm:

u \to π - u

ile

\sin (π - u) = \sin (u)

olduğundan integral

\int_{0}^{π} \ln (\sin (u)) d u = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin (u)) d u

yani

\int_{0}^{π} \ln (\sin (u)) d u = 2 I

olur. Dolayısıyla:

\frac{1}{2} \int_{0}^{π} \ln (\sin (u)) d u = \frac{1}{2} \cdot 2 I = I

Adım 7: Hepsini yerine yazıp I’yi bulalım.

Adım 4’te ulaştığımız ifade:

2 I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin (2 x)) d x - \frac{π}{2} \ln 2

Burada

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin (2 x)) d x = I

bulmuştuk. O hâlde:

2 I = I - \frac{π}{2} \ln 2

Buradan

I = - \frac{π}{2} \ln 2

sonucu çıkar.

Sonuç: Doğru cevap

- \frac{π}{2} \ln 2

olduğundan A şıkkı doğrudur.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki integrali bulunuz:
$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin x)$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Doğru seçenek B 'dır. İntegrali yardımcı bir isimle tanımlayalım: I = ∫ 0 π 2 ln sin ⁡ x d x Dönüşüm yapalım: x = π 2 - t Bu dönüşümle sinüs kosinüse döner ve integralin değeri değişmez: I = ∫ 0 π 2 ln cos ⁡ x d x Şimdi iki ifadeyi toplayalım: 2 I = ∫ 0 π 2 ln sin ⁡ x + ln cos ⁡ x d x Logaritma özelliği ile tek logaritmaya geçelim: 2 I = ∫ 0 π 2 ln sin ⁡ x ⁢ cos ⁡ x d x Çarpımı trigonometrik özdeşlikle düzenleyelim: sin ⁡ x ⁢ cos ⁡ x = 1 2 ⁢ sin ⁡ 2 x Bunu yerine yazıp logaritmayı açalım: 2 I = ∫ 0 π 2 ln 1 2 ⁢ sin ⁡ 2 x d x 2 I = ∫ 0 π 2 ln sin ⁡ 2 x d x - ∫ 0 π 2 ln 2 d x Sabit olan logaritmalı integral: ∫ 0 π 2 ln 2 d x = π 2 ⁢ ln 2 Diğer integralde değişken dönüşümü yapalım: u = 2 x ∫ 0 π 2 ln sin ⁡ 2 x d x = 1 2 ⁢ ∫ 0 π ln sin ⁡ u d u Simetri ile: ∫ 0 π ln sin ⁡ u d u = 2 ⁢ ∫ 0 π 2 ln sin ⁡ u d u = 2 I Bunları birleştirip I 'yi çözelim: 2 I = 1 2 ⁢ 2 I - π 2 ⁢ ln 2 I = - π 2 ⁢ ln 2 Sonuç şıklarda A ile aynıdır.

Çözüm: Doğru seçenek B 'dır. İntegrali yardımcı bir isimle tanımlayalım: I = ∫ 0 π 2 ln sin ⁡ x d x Dönüşüm yapalım: x = π 2 - t Bu dönüşümle sinüs kosinüse döner ve integralin değeri değişmez: I = ∫ 0 π 2 ln cos ⁡ x d x Şimdi iki ifadeyi toplayalım: 2 I = ∫ 0 π 2 ln sin ⁡ x + ln cos ⁡ x d x Logaritma özelliği ile tek logaritmaya geçelim: 2 I = ∫ 0 π 2 ln sin ⁡ x ⁢ cos ⁡ x d x Çarpımı trigonometrik özdeşlikle düzenleyelim: sin ⁡ x ⁢ cos ⁡ x = 1 2 ⁢ sin ⁡ 2 x Bunu yerine yazıp logaritmayı açalım: 2 I = ∫ 0 π 2 ln 1 2 ⁢ sin ⁡ 2 x d x 2 I = ∫ 0 π 2 ln sin ⁡ 2 x d x - ∫ 0 π 2 ln 2 d x Sabit olan logaritmalı integral: ∫ 0 π 2 ln 2 d x = π 2 ⁢ ln 2 Diğer integralde değişken dönüşümü yapalım: u = 2 x ∫ 0 π 2 ln sin ⁡ 2 x d x = 1 2 ⁢ ∫ 0 π ln sin ⁡ u d u Simetri ile: ∫ 0 π ln sin ⁡ u d u = 2 ⁢ ∫ 0 π 2 ln sin ⁡ u d u = 2 I Bunları birleştirip I 'yi çözelim: 2 I = 1 2 ⁢ 2 I - π 2 ⁢ ln 2 I = - π 2 ⁢ ln 2 Sonuç şıklarda A ile aynıdır.

Doğru seçenek A'dır.

İntegrali yardımcı bir isimle tanımlayalım:

I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin x) d x

Dönüşüm yapalım:

x = \frac{π}{2} - t

Bu dönüşümle sinüs kosinüse döner ve integralin değeri değişmez:

I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\cos x) d x

Şimdi iki ifadeyi toplayalım:

2 I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin x) + \ln (\cos x) d x

Logaritma özelliği ile tek logaritmaya geçelim:

2 I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin x \cos x) d x

Çarpımı trigonometrik özdeşlikle düzenleyelim:

\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2 x

Bunu yerine yazıp logaritmayı açalım:

2 I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\frac{1}{2} \sin 2 x) d x

2 I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin 2 x) d x - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (2) d x

Sabit olan logaritmalı integral:

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (2) d x = \frac{π}{2} \ln (2)

Diğer integralde değişken dönüşümü yapalım:

u = 2 x

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin 2 x) d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \ln (\sin u) d u

Simetri ile:

\int_{0}^{π} \ln (\sin u) d u = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin u) d u = 2 I

Bunları birleştirip I'yi çözelim:

2 I = \frac{1}{2} 2 I - \frac{π}{2} \ln (2)

I = - \frac{π}{2} \ln (2)

Sonuç şıklarda A ile aynıdır.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki integralin değerini bulun.
$\int_{0}^{1} \frac{\ln (1 + x)}{1 + x^{2}} d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

İntegral Sık Sorulan Sorular

Belirsiz integral nedir?

Türevi verilen fonksiyona eşit olan tüm fonksiyon ailesini ifade eder ve sabit terim içerir.

Belirli integral neyi gösterir?

İki sınır arasındaki toplam değişimi veya işaretli alanı gösterir.

Türev ve integral arasındaki ilişki nedir?

İntegral türevin ters işlemi olarak çalışır; Temel Teorem bu iki işlemi birbirine bağlar.

12. Sınıf Matematik İntegral Testleri

İntegrali alan, birikim ve türev ilişkisiyle kavra

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

Sık karıştırılan noktalar

Verimli çalışma yolu

12. Sınıf Matematik İntegral Testleri

Aşağıdaki integrali bulunuz.∫0π4ln1+tanxdx

Aşağıdaki integrali hesaplayınız:∫0111+x4dx

Aşağıdaki integralin değeri kaçtır?∫01lnx1+xdx

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.I=∫01arctan(x)1+x2dx

Aşağıdaki integrali hesaplayınız.∫01ln(1+x)xdx

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.∫0π4ln(1+tanx)dx

Aşağıdaki integralin değerini bulunuz.∫0π2ln(sinx+cosx)dx

Aşağıdaki belirli integralin değerini bulun.∫0π2ln(sin(x))dx

Aşağıdaki integrali bulunuz:∫0π2lnsin⁡x

Aşağıdaki integralin değerini bulun.∫01ln(1+x)1+x2dx

İntegral Sık Sorulan Sorular

Aşağıdaki integrali bulunuz.
$\int_{0}^{\frac{π}{4}} ln (1 + tan x) d x$

Aşağıdaki integrali hesaplayınız:
$\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^{4}} d x$

Aşağıdaki integralin değeri kaçtır?
$\int_{0}^{1} \frac{\ln x}{1 + x} d x$

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.
$I = \int_{0}^{1} \frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}} d x$

Aşağıdaki integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{1} \frac{\ln (1 + x)}{x} d x$

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (1 + \tan x) d x$

Aşağıdaki integralin değerini bulunuz.
$\int_{0}^{\frac{π}{2}} ln (\sin x + \cos x) d x$

Aşağıdaki belirli integralin değerini bulun.
$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin (x)) d x$

Aşağıdaki integrali bulunuz:
$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin x)$

Aşağıdaki integralin değerini bulun.
$\int_{0}^{1} \frac{\ln (1 + x)}{1 + x^{2}} d x$