12. Sınıf Matematik İntegral Test Çöz

1. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki integrali bulunuz.
$\int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

1) Doğru şık kontrolü: ∫ 2 x x 2 + 1 d x Bu integral için uygun dönüşümle sonuç, logaritma biçiminde çıkar; dolayısıyla doğru seçenek D120’dır. 2) Değişken dönüşümü seçimi: u = x 2 + 1 3) Türevi alıp diferansiyeli yazalım: d u d x = 2 x d u = 2 x d x 4) İntegralde yerine koyma: ∫ 2 x d x x 2 + 1 = ∫ d u u 5) Temel integral sonucu: ∫ d u u = ln ( | u | ) + C 6) Geri dönüşüm: ln ( | x 2 + 1 | ) + C 7) Mutlak değerin gereksiz oluşu (içerisi her zaman pozitif): x 2 + 1 > 0 8) Sonuç: ln ( x 2 + 1 ) + C Doğru cevap: D500

Çözüm: 1) Doğru şık kontrolü: ∫ 2 x x 2 + 1 d x Bu integral için uygun dönüşümle sonuç, logaritma biçiminde çıkar; dolayısıyla doğru seçenek D120’dır. 2) Değişken dönüşümü seçimi: u = x 2 + 1 3) Türevi alıp diferansiyeli yazalım: d u d x = 2 x d u = 2 x d x 4) İntegralde yerine koyma: ∫ 2 x d x x 2 + 1 = ∫ d u u 5) Temel integral sonucu: ∫ d u u = ln ( | u | ) + C 6) Geri dönüşüm: ln ( | x 2 + 1 | ) + C 7) Mutlak değerin gereksiz oluşu (içerisi her zaman pozitif): x 2 + 1 > 0 8) Sonuç: ln ( x 2 + 1 ) + C Doğru cevap: D500

1) Doğru şık kontrolü:

\int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x

Bu integral için uygun dönüşümle sonuç, logaritma biçiminde çıkar; dolayısıyla doğru seçenek D449’dır.

2) Değişken dönüşümü seçimi:

u = x^{2} + 1

3) Türevi alıp diferansiyeli yazalım:

\frac{d u}{d x} = 2 x

d u = 2 x d x

4) İntegralde yerine koyma:

\int \frac{2 x d x}{x^{2} + 1} = \int \frac{d u}{u}

5) Temel integral sonucu:

\int \frac{d u}{u} = \ln (| u |) + C

6) Geri dönüşüm:

\ln (| x^{2} + 1 |) + C

7) Mutlak değerin gereksiz oluşu (içerisi her zaman pozitif):

x^{2} + 1 > 0

8) Sonuç:

\ln (x^{2} + 1) + C

Doğru cevap: D2822

2. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki integrali hesaplayınız:
$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (1 + \tan (x)) d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

İntegrali I = ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan ( x ) ) d x şeklinde tanımlayalım. Değişken dönüşümü yapalım: x = π 4 − t Bu durumda sınırlar yer değiştirir ve d x = − d t olur. Böylece integral I = ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan ( π 4 − t ) ) d t şeklini alır. Şimdi trigonometrik özdeşlik kullanalım: tan ( π 4 − t ) = 1 − tan ( t ) 1 + tan ( t ) Buna göre parantez içi: 1 + tan ( π 4 − t ) = 1 + 1 − tan ( t ) 1 + tan ( t ) Paydaları eşitleyelim: 1 + 1 − tan ( t ) 1 + tan ( t ) = 1 + tan ( t ) + 1 − tan ( t ) 1 + tan ( t ) = 2 1 + tan ( t ) Logaritma alınca: ln ( 1 + tan ( π 4 − t ) ) = ln ( 2 1 + tan ( t ) ) = ln 2 − ln ( 1 + tan ( t ) ) Bunu integrale yerleştirelim: I = ∫ 0 π 4 [ ln 2 − ln ( 1 + tan ( t ) ) ] d t İntegrali ayıralım: I = ∫ 0 π 4 ln 2 d t − ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan ( t ) ) d t İkinci integral tanımı gereği yine I ’dir. Birinci integral sabit integralidir: ∫ 0 π 4 ln 2 d t = ln 2 · π 4 Dolayısıyla: I = π 4 · ln 2 − I Düzenleyelim: 2 I = π 4 · ln 2 Buradan: I = π 8 · ln 2 Sonuç şıklardan A ile aynıdır. Doğru cevap A.

Çözüm: İntegrali I = ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan ( x ) ) d x şeklinde tanımlayalım. Değişken dönüşümü yapalım: x = π 4 − t Bu durumda sınırlar yer değiştirir ve d x = − d t olur. Böylece integral I = ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan ( π 4 − t ) ) d t şeklini alır. Şimdi trigonometrik özdeşlik kullanalım: tan ( π 4 − t ) = 1 − tan ( t ) 1 + tan ( t ) Buna göre parantez içi: 1 + tan ( π 4 − t ) = 1 + 1 − tan ( t ) 1 + tan ( t ) Paydaları eşitleyelim: 1 + 1 − tan ( t ) 1 + tan ( t ) = 1 + tan ( t ) + 1 − tan ( t ) 1 + tan ( t ) = 2 1 + tan ( t ) Logaritma alınca: ln ( 1 + tan ( π 4 − t ) ) = ln ( 2 1 + tan ( t ) ) = ln 2 − ln ( 1 + tan ( t ) ) Bunu integrale yerleştirelim: I = ∫ 0 π 4 [ ln 2 − ln ( 1 + tan ( t ) ) ] d t İntegrali ayıralım: I = ∫ 0 π 4 ln 2 d t − ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan ( t ) ) d t İkinci integral tanımı gereği yine I ’dir. Birinci integral sabit integralidir: ∫ 0 π 4 ln 2 d t = ln 2 · π 4 Dolayısıyla: I = π 4 · ln 2 − I Düzenleyelim: 2 I = π 4 · ln 2 Buradan: I = π 8 · ln 2 Sonuç şıklardan A ile aynıdır. Doğru cevap A.

İntegrali

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (1 + \tan (x)) d x

şeklinde tanımlayalım.

Değişken dönüşümü yapalım:

x = \frac{π}{4} - t

Bu durumda sınırlar yer değiştirir ve

d x = - d t

olur. Böylece integral

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (1 + \tan (\frac{π}{4} - t)) d t

şeklini alır.

Şimdi trigonometrik özdeşlik kullanalım:

\tan (\frac{π}{4} - t) = \frac{1}{-}

Buna göre parantez içi:

1 + \tan (\frac{π}{4} - t) = 1 + \frac{1}{-}

Paydaları eşitleyelim:

1 + \frac{1}{-} = \frac{1}{+} = \frac{2}{1}

Logaritma alınca:

\ln (1 + \tan (\frac{π}{4} - t)) = \ln (\frac{2}{1}) = \ln 2 - \ln (1 + \tan (t))

Bunu integrale yerleştirelim:

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} [\ln 2 - \ln (1 + \tan (t))] d t

İntegrali ayıralım:

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln 2 d t - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (1 + \tan (t)) d t

İkinci integral tanımı gereği yine I’dir.

Birinci integral sabit integralidir:

\int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln 2 d t = \ln 2 \cdot \frac{π}{4}

Dolayısıyla:

I = \frac{π}{4} \cdot \ln 2 - I

Düzenleyelim:

2 I = \frac{π}{4} \cdot \ln 2

Buradan:

I = \frac{π}{8} \cdot \ln 2

Sonuç şıklardan A ile aynıdır. Doğru cevap A.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{2} (3 x^{2} - 4 x + 1) d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Önce verilen belirli integrali hesaplayıp sonucun B seçeneğiyle aynı olup olmadığını kontrol edelim. Hesaplanacak integral: ∫ 0 2 ( 3 x 2 − 4 x + 1 ) d x Önce integrandin (parantez içinin) belirsiz integralini alalım (terim terim): ∫ ( 3 x 2 − 4 x + 1 ) d x = ∫ 3 x 2 d x − ∫ 4 x d x + ∫ 1 d x Her bir terimi integre edelim: ∫ 3 x 2 d x = 3 · x 3 3 = x 3 ∫ 4 x d x = 4 · x 2 2 = 2 x 2 ∫ 1 d x = x Buna göre bir ilkel fonksiyon: F ( x ) = x 3 − 2 x 2 + x Şimdi belirli integral için sınırlar arasında değerleyelim: ∫ 0 2 ( 3 x 2 − 4 x + 1 ) d x = [ x 3 − 2 x 2 + x ] 0 2 Üst sınır ve alt sınır değerlerini hesaplayalım: F ( 2 ) = 2 3 − 2 · 2 2 + 2 = 8 − 8 + 2 = 2 F ( 0 ) = 0 3 − 2 · 0 2 + 0 = 0 Farkı alalım: ∫ 0 2 ( 3 x 2 − 4 x + 1 ) d x = F ( 2 ) − F ( 0 ) = 2 − 0 = 2 Sonuç 2 olduğu için doğru seçenek B ’dir.

Çözüm: Önce verilen belirli integrali hesaplayıp sonucun B seçeneğiyle aynı olup olmadığını kontrol edelim. Hesaplanacak integral: ∫ 0 2 ( 3 x 2 − 4 x + 1 ) d x Önce integrandin (parantez içinin) belirsiz integralini alalım (terim terim): ∫ ( 3 x 2 − 4 x + 1 ) d x = ∫ 3 x 2 d x − ∫ 4 x d x + ∫ 1 d x Her bir terimi integre edelim: ∫ 3 x 2 d x = 3 · x 3 3 = x 3 ∫ 4 x d x = 4 · x 2 2 = 2 x 2 ∫ 1 d x = x Buna göre bir ilkel fonksiyon: F ( x ) = x 3 − 2 x 2 + x Şimdi belirli integral için sınırlar arasında değerleyelim: ∫ 0 2 ( 3 x 2 − 4 x + 1 ) d x = [ x 3 − 2 x 2 + x ] 0 2 Üst sınır ve alt sınır değerlerini hesaplayalım: F ( 2 ) = 2 3 − 2 · 2 2 + 2 = 8 − 8 + 2 = 2 F ( 0 ) = 0 3 − 2 · 0 2 + 0 = 0 Farkı alalım: ∫ 0 2 ( 3 x 2 − 4 x + 1 ) d x = F ( 2 ) − F ( 0 ) = 2 − 0 = 2 Sonuç 2 olduğu için doğru seçenek B ’dir.

Önce verilen belirli integrali hesaplayıp sonucun B seçeneğiyle aynı olup olmadığını kontrol edelim.

Hesaplanacak integral:

\int_{0}^{2} (3 x^{2} - 4 x + 1) d x

Önce integrandin (parantez içinin) belirsiz integralini alalım (terim terim):

\int (3 x^{2} - 4 x + 1) d x = \int 3 x^{2} d x - \int 4 x d x + \int 1 d x

Her bir terimi integre edelim:

\int 3 x^{2} d x = 3 \cdot \frac{x^{3}}{3} = x^{3}

\int 4 x d x = 4 \cdot \frac{x^{2}}{2} = 2 x^{2}

\int 1 d x = x

Buna göre bir ilkel fonksiyon:

F (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x

Şimdi belirli integral için sınırlar arasında değerleyelim:

\int_{0}^{2} (3 x^{2} - 4 x + 1) d x = {[x^{3} - 2 x^{2} + x]}_{0}^{2}

Üst sınır ve alt sınır değerlerini hesaplayalım:

F (2) = 2^{3} - 2 \cdot 2^{2} + 2 = 8 - 8 + 2 = 2

F (0) = 0^{3} - 2 \cdot 0^{2} + 0 = 0

Farkı alalım:

\int_{0}^{2} (3 x^{2} - 4 x + 1) d x = F (2) - F (0) = 2 - 0 = 2

Sonuç $2$ olduğu için doğru seçenek B’dir.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki integrali bulunuz.
$\int_{0}^{1} \frac{\ln (x)}{1 + x} d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

İntegrali I = ∫ 0 1 ln ( x ) 1 + x d x Önce 1 1 + x = ∑ n = 0 ( - 1 ) n x n (0 ile 1 arasında seri yakınsadığı için terim terim integrallenebilir.) Bu seriyi integrale yerleştirelim: I = ∫ 0 1 ln ( x ) ∑ n = 0 ( - 1 ) n x n d x = ∑ n = 0 ( - 1 ) n ∫ 0 1 x n ln ( x ) d x Şimdi ∫ 0 1 x n ln ( x ) d x integralini parçalı integral ile bulalım. Seçelim: u = ln ( x ), d v = x n d x d u = 1 x d x, v = x n + 1 n + 1 Parçalı integral: ∫ 0 1 x n ln ( x ) d x = [ x n + 1 n + 1 ln ( x ) ] 0 1 - ∫ 0 1 x n + 1 n + 1 1 x d x Sınır terimi: [ x n + 1 n + 1 ln ( x ) ] 0 1 = 0 Kalan integral: ∫ 0 1 x n ln ( x ) d x = - 1 n + 1 ∫ 0 1 x n d x = - 1 n + 1 1 n + 1 = - 1 n + 1 2 Bunu seriye koyarsak: I = ∑ n = 0 ( - 1 ) n ( - 1 n + 1 2 ) = - ∑ n = 0 ( - 1 ) n n + 1 2 = - ∑ k = 1 ( - 1 ) k - 1 k 2 Alternatif seri değeri bilinir: ∑ k = 1 ( - 1 ) k - 1 k 2 = ( 1 - 2 1 - 2 ) ζ ( 2 ) = ( 1 - 1 2 ) ζ ( 2 ) = 1 2 ζ ( 2 ) Ayrıca ζ ( 2 ) = π 2 6 Dolayısıyla ∑ k = 1 ( - 1 ) k - 1 k 2 = 1 2 · π 2 6 = π 2 12 ve integralimiz I = - π 2 12 Sonuç, şıklardan A ile aynıdır: - π 2 12

Çözüm: İntegrali I = ∫ 0 1 ln ( x ) 1 + x d x Önce 1 1 + x = ∑ n = 0 ( - 1 ) n x n (0 ile 1 arasında seri yakınsadığı için terim terim integrallenebilir.) Bu seriyi integrale yerleştirelim: I = ∫ 0 1 ln ( x ) ∑ n = 0 ( - 1 ) n x n d x = ∑ n = 0 ( - 1 ) n ∫ 0 1 x n ln ( x ) d x Şimdi ∫ 0 1 x n ln ( x ) d x integralini parçalı integral ile bulalım. Seçelim: u = ln ( x ), d v = x n d x d u = 1 x d x, v = x n + 1 n + 1 Parçalı integral: ∫ 0 1 x n ln ( x ) d x = [ x n + 1 n + 1 ln ( x ) ] 0 1 - ∫ 0 1 x n + 1 n + 1 1 x d x Sınır terimi: [ x n + 1 n + 1 ln ( x ) ] 0 1 = 0 Kalan integral: ∫ 0 1 x n ln ( x ) d x = - 1 n + 1 ∫ 0 1 x n d x = - 1 n + 1 1 n + 1 = - 1 n + 1 2 Bunu seriye koyarsak: I = ∑ n = 0 ( - 1 ) n ( - 1 n + 1 2 ) = - ∑ n = 0 ( - 1 ) n n + 1 2 = - ∑ k = 1 ( - 1 ) k - 1 k 2 Alternatif seri değeri bilinir: ∑ k = 1 ( - 1 ) k - 1 k 2 = ( 1 - 2 1 - 2 ) ζ ( 2 ) = ( 1 - 1 2 ) ζ ( 2 ) = 1 2 ζ ( 2 ) Ayrıca ζ ( 2 ) = π 2 6 Dolayısıyla ∑ k = 1 ( - 1 ) k - 1 k 2 = 1 2 · π 2 6 = π 2 12 ve integralimiz I = - π 2 12 Sonuç, şıklardan A ile aynıdır: - π 2 12

İntegrali

I = \int_{0}^{1} \frac{\ln (x)}{1 + x} d x

Önce

\frac{1}{1 + x} = \sum_{n = 0} {(- 1)}^{n} x^{n}

(0 ile 1 arasında seri yakınsadığı için terim terim integrallenebilir.)

Bu seriyi integrale yerleştirelim:

I = \int_{0}^{1} \ln (x) \sum_{n = 0} {(- 1)}^{n} x^{n} d x

= \sum_{n = 0} {(- 1)}^{n} \int_{0}^{1} x^{n} \ln (x) d x

Şimdi

\int_{0}^{1} x^{n} \ln (x) d x

integralini parçalı integral ile bulalım. Seçelim:

u = \ln (x), d v = x^{n} d x

d u = \frac{1}{x} d x, v = \frac{x^{n + 1}}{n + 1}

Parçalı integral:

\int_{0}^{1} x^{n} \ln (x) d x = [\frac{x^{n + 1}}{n + 1} \ln (x)]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x^{n + 1}}{n + 1} \frac{1}{x} d x

Sınır terimi:

[\frac{x^{n + 1}}{n + 1} \ln (x)]_{0}^{1} = 0

Kalan integral:

\int_{0}^{1} x^{n} \ln (x) d x = - \frac{1}{n + 1} \int_{0}^{1} x^{n} d x

= - \frac{1}{n + 1} \frac{1}{n + 1} = - \frac{1}{{n + 1}^{2}}

Bunu seriye koyarsak:

I = \sum_{n = 0} {(- 1)}^{n} (- \frac{1}{{n + 1}^{2}}

= - \sum_{n = 0} \frac{{(- 1)}^{n}}{{n + 1}^{2}}

= - \sum_{k = 1} \frac{{(- 1)}^{k - 1}}{k^{2}}

Alternatif seri değeri bilinir:

\sum_{k = 1} \frac{{(- 1)}^{k - 1}}{k^{2}} = (1 - 2^{1 - 2}) ζ (2)

= (1 - \frac{1}{2}) ζ (2) = \frac{1}{2} ζ (2)

Ayrıca

ζ (2) = \frac{π^{2}}{6}

Dolayısıyla

\sum_{k = 1} \frac{{(- 1)}^{k - 1}}{k^{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{6} = \frac{π^{2}}{12}

ve integralimiz

I = - \frac{π^{2}}{12}

Sonuç, şıklardan A ile aynıdır:

- \frac{π^{2}}{12}

5. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{2} (x^{2} - 2 x) d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız:
$\int_{0}^{2} (3 x^{2} - 4 x + 1) d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{1} \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{x}} d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

İntegral: ∫ 0 1 1 - x x d x Uygun trigonometrik dönüşüm seçelim: x = sin t 2 Bu durumda kök ifadeler: x = sin t 1 - x = 1 - sin t 2 = cos t Türev alıp dx ifadesini yazalım: d x = 2 sin t cos t d t Sınırları dönüştürelim: x = 0 ⇒ sin t 2 = 0 ⇒ t = 0 x = 1 ⇒ sin t 2 = 1 ⇒ t = π 2 İntegrali dönüştürelim: ∫ 0 1 1 - x x d x = ∫ 0 π 2 cos t sin t · 2 sin t cos t d t Sadeleştirelim: ∫ 0 π 2 cos t sin t · 2 sin t cos t d t = ∫ 0 π 2 2 cos t 2 d t Kosinüs karesini yarım açı ile yazalım: cos t 2 = 1 + cos 2 t 2 İntegrale uygularsak: ∫ 0 π 2 2 cos t 2 d t = ∫ 0 π 2 2 · 1 + cos 2 t 2 d t = ∫ 0 π 2 1 + cos 2 t d t Şimdi hesaplayalım: ∫ 0 π 2 1 + cos 2 t d t = ∫ 0 π 2 1 d t + ∫ 0 π 2 cos 2 t d t Birinci integral: ∫ 0 π 2 1 d t = π 2 İkinci integral: ∫ 0 π 2 cos 2 t d t = 1 2 sin 2 t 0 π 2 = 1 2 sin π - sin 0 = 0 Toplayınca sonuç: ∫ 0 1 1 - x x d x = π 2 Dolayısıyla doğru seçenek C864’dır.

Çözüm: İntegral: ∫ 0 1 1 - x x d x Uygun trigonometrik dönüşüm seçelim: x = sin t 2 Bu durumda kök ifadeler: x = sin t 1 - x = 1 - sin t 2 = cos t Türev alıp dx ifadesini yazalım: d x = 2 sin t cos t d t Sınırları dönüştürelim: x = 0 ⇒ sin t 2 = 0 ⇒ t = 0 x = 1 ⇒ sin t 2 = 1 ⇒ t = π 2 İntegrali dönüştürelim: ∫ 0 1 1 - x x d x = ∫ 0 π 2 cos t sin t · 2 sin t cos t d t Sadeleştirelim: ∫ 0 π 2 cos t sin t · 2 sin t cos t d t = ∫ 0 π 2 2 cos t 2 d t Kosinüs karesini yarım açı ile yazalım: cos t 2 = 1 + cos 2 t 2 İntegrale uygularsak: ∫ 0 π 2 2 cos t 2 d t = ∫ 0 π 2 2 · 1 + cos 2 t 2 d t = ∫ 0 π 2 1 + cos 2 t d t Şimdi hesaplayalım: ∫ 0 π 2 1 + cos 2 t d t = ∫ 0 π 2 1 d t + ∫ 0 π 2 cos 2 t d t Birinci integral: ∫ 0 π 2 1 d t = π 2 İkinci integral: ∫ 0 π 2 cos 2 t d t = 1 2 sin 2 t 0 π 2 = 1 2 sin π - sin 0 = 0 Toplayınca sonuç: ∫ 0 1 1 - x x d x = π 2 Dolayısıyla doğru seçenek C864’dır.

İntegral:

\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{x}} d x

Uygun trigonometrik dönüşüm seçelim:

x = {\sin t}^{2}

Bu durumda kök ifadeler:

\sqrt{x} = \sin t

\sqrt{1 - x} = \sqrt{1 - {\sin t}^{2}} = \cos t

Türev alıp dx ifadesini yazalım:

d x = 2 \sin t \cos t d t

Sınırları dönüştürelim:

x = 0 \Rightarrow {\sin t}^{2} = 0 \Rightarrow t = 0

x = 1 \Rightarrow {\sin t}^{2} = 1 \Rightarrow t = \frac{π}{2}

İntegrali dönüştürelim:

\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{x}} d x = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos}{} \cdot 2 \sin t \cos t d t

Sadeleştirelim:

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos}{} \cdot 2 \sin t \cos t d t = \int_{0}^{\frac{π}{2}} 2 {\cos t}^{2} d t

Kosinüs karesini yarım açı ile yazalım:

{\cos t}^{2} = \frac{1 + \cos 2 t}{2}

İntegrale uygularsak:

\int_{0}^{\frac{π}{2}} 2 {\cos t}^{2} d t = \int_{0}^{\frac{π}{2}} 2 \cdot \frac{1 + \cos 2 t}{2} d t = \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos 2 t d t

Şimdi hesaplayalım:

\int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos 2 t d t = \int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 d t + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos 2 t d t

Birinci integral:

\int_{0}^{\frac{π}{2}} 1 d t = \frac{π}{2}

İkinci integral:

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos 2 t d t = (\frac{1}{2} \sin 2 t)_{0}^{\frac{π}{2}} = \frac{1}{2} \sin π - \sin 0 = 0

Toplayınca sonuç:

\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{x}} d x = \frac{π}{2}

Dolayısıyla doğru seçenek C5225’dır.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{3} (2 x + 1) d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki integrali hesaplayınız.
$I = \int_{0}^{1} \frac{\ln (1 + x)}{1 + x} d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

12. Sınıf Matematik İntegral Testleri

İntegrali alan, birikim ve türev ilişkisiyle kavra

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

Sık karıştırılan noktalar

Verimli çalışma yolu

12. Sınıf Matematik İntegral Testleri

Aşağıdaki integrali bulunuz.
$\int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Aşağıdaki integrali hesaplayınız:
$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (1 + \tan (x)) d x$

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{2} (3 x^{2} - 4 x + 1) d x$

Aşağıdaki integrali bulunuz.
$\int_{0}^{1} \frac{\ln (x)}{1 + x} d x$

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{2} (x^{2} - 2 x) d x$

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız:
$\int_{0}^{2} (3 x^{2} - 4 x + 1) d x$

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{1} \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Aşağıdaki integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{x}} d x$

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{3} (2 x + 1) d x$

Aşağıdaki integrali hesaplayınız.
$I = \int_{0}^{1} \frac{\ln (1 + x)}{1 + x} d x$

İntegral Sık Sorulan Sorular

12. Sınıf Matematik İntegral Testleri

İntegrali alan, birikim ve türev ilişkisiyle kavra

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

Sık karıştırılan noktalar

Verimli çalışma yolu

12. Sınıf Matematik İntegral Testleri

Aşağıdaki integrali bulunuz.∫2xx2+1dx

Aşağıdaki integrali hesaplayınız:∫0π4ln(1+tan(x))dx

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.∫02(3x2−4x+1)dx

Aşağıdaki integrali bulunuz.∫01ln(x)1+xdx

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.∫02(x2-2x)dx

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız:∫02(3x2−4x+1)dx

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.∫012x1+x2dx

Aşağıdaki integrali hesaplayınız.∫011-xxdx

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.∫03(2x+1)dx

Aşağıdaki integrali hesaplayınız.I=∫01ln(1+x)1+xdx

İntegral Sık Sorulan Sorular

Aşağıdaki integrali bulunuz.
$\int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Aşağıdaki integrali hesaplayınız:
$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (1 + \tan (x)) d x$

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{2} (3 x^{2} - 4 x + 1) d x$

Aşağıdaki integrali bulunuz.
$\int_{0}^{1} \frac{\ln (x)}{1 + x} d x$

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{2} (x^{2} - 2 x) d x$

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız:
$\int_{0}^{2} (3 x^{2} - 4 x + 1) d x$

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{1} \frac{2 x}{1 + x^{2}} d x$

Aşağıdaki integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{1} \frac{\sqrt{1 - x}}{\sqrt{x}} d x$

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{3} (2 x + 1) d x$

Aşağıdaki integrali hesaplayınız.
$I = \int_{0}^{1} \frac{\ln (1 + x)}{1 + x} d x$