12. Sınıf Matematik İntegral Test Çöz

1. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki belirli integrali bulunuz.
$\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

İntegral: ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d x Paydada x 2 bulunduğu için uygun bir değişken dönüşümü seçelim: u = x 2 + 1 Türevi alalım: d u d x = 2 x Buradan diferansiyel ilişki: d u = 2 x d x Sınırları yeni değişkene göre dönüştürelim: 1) Alt sınır: x = 0 ⇒ u = 0 2 + 1 = 1 2) Üst sınır: x = 1 ⇒ u = 1 2 + 1 = 2 İntegrali dönüştürelim: ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d x = ∫ 1 2 d u u Şimdi integrali alalım: ∫ 1 2 d u u = ln ( u ) 1 2 Sınırları yerine koyup sonucu bulalım: ln ( u ) 1 2 = ln ( 2 ) - ln ( 1 ) = ln ( 2 ) Sonuç: ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d x = ln ( 2 ) Doğru seçenek: A

Çözüm: İntegral: ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d x Paydada x 2 bulunduğu için uygun bir değişken dönüşümü seçelim: u = x 2 + 1 Türevi alalım: d u d x = 2 x Buradan diferansiyel ilişki: d u = 2 x d x Sınırları yeni değişkene göre dönüştürelim: 1) Alt sınır: x = 0 ⇒ u = 0 2 + 1 = 1 2) Üst sınır: x = 1 ⇒ u = 1 2 + 1 = 2 İntegrali dönüştürelim: ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d x = ∫ 1 2 d u u Şimdi integrali alalım: ∫ 1 2 d u u = ln ( u ) 1 2 Sınırları yerine koyup sonucu bulalım: ln ( u ) 1 2 = ln ( 2 ) - ln ( 1 ) = ln ( 2 ) Sonuç: ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d x = ln ( 2 ) Doğru seçenek: A

İntegral:

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x

Paydada $x^{2}$ bulunduğu için uygun bir değişken dönüşümü seçelim:

u = x^{2} + 1

Türevi alalım:

\frac{d u}{d x} = 2 x

Buradan diferansiyel ilişki:

d u = 2 x d x

Sınırları yeni değişkene göre dönüştürelim:

1) Alt sınır:

x = 0 \Rightarrow u = 0^{2} + 1 = 1

2) Üst sınır:

x = 1 \Rightarrow u = 1^{2} + 1 = 2

İntegrali dönüştürelim:

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x = \int_{1}^{2} \frac{d u}{u}

Şimdi integrali alalım:

\int_{1}^{2} \frac{d u}{u} = {\ln (u)}_{1}^{2}

Sınırları yerine koyup sonucu bulalım:

{\ln (u)}_{1}^{2} = \ln (2) - \ln (1) = \ln (2)

Sonuç:

\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x = \ln (2)

Doğru seçenek: A

2. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki integralin değerini bulunuz.
$\int_{0}^{1} \frac{\ln (1 + x)}{1 + x^{2}} d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Önce integralin değerini I ile gösterelim: I = ∫ 0 1 ln ( 1 + x ) 1 + x 2 d x Substitüsyon yapalım: x = tan ( t ) Bu durumda 1 + x 2 = 1 + tan ( t ) 2 = sec ( t ) 2 ve d x = sec ( t ) 2 d t Dolayısıyla d x 1 1 + x 2 = d t Sınırlar: x = 0 ⇒ t = 0 x = 1 ⇒ t = π 4 Integral: I = ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan ( t ) ) d t Şimdi I = ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan ( t ) ) d t ifadesinde t = π 4 − u dönüşümünü uygulayalım. Sınırlar yine u: 0 → π 4 olur ve integral I = ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan ( π 4 − u ) ) d u Tanjant fark formülü: tan ( π 4 − u ) = 1 − tan ( u ) 1 + tan ( u ) Buna göre 1 + tan ( π 4 − u ) = 1 + 1 − tan ( u ) 1 + tan ( u ) = 2 1 + tan ( u ) Dolayısıyla ln ( 1 + tan ( π 4 − u ) ) = ln ( 2 ) − ln ( 1 + tan ( u ) ) Bunu integrale koyarsak: I = ∫ 0 π 4 [ ln ( 2 ) − ln ( 1 + tan ( u ) ) ] d u Buradan I = ∫ 0 π 4 ln ( 2 ) d u − ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan ( u ) ) d u ve ikinci integral yine I olduğundan: I = ( π 4 ) ln ( 2 ) − I Buradan 2 I = π 4 ln ( 2 ) ve I = π 8 ln ( 2 ) Sonuç: Doğru cevap B969 şıkkıdır.

Çözüm: Önce integralin değerini I ile gösterelim: I = ∫ 0 1 ln ( 1 + x ) 1 + x 2 d x Substitüsyon yapalım: x = tan ( t ) Bu durumda 1 + x 2 = 1 + tan ( t ) 2 = sec ( t ) 2 ve d x = sec ( t ) 2 d t Dolayısıyla d x 1 1 + x 2 = d t Sınırlar: x = 0 ⇒ t = 0 x = 1 ⇒ t = π 4 Integral: I = ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan ( t ) ) d t Şimdi I = ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan ( t ) ) d t ifadesinde t = π 4 − u dönüşümünü uygulayalım. Sınırlar yine u: 0 → π 4 olur ve integral I = ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan ( π 4 − u ) ) d u Tanjant fark formülü: tan ( π 4 − u ) = 1 − tan ( u ) 1 + tan ( u ) Buna göre 1 + tan ( π 4 − u ) = 1 + 1 − tan ( u ) 1 + tan ( u ) = 2 1 + tan ( u ) Dolayısıyla ln ( 1 + tan ( π 4 − u ) ) = ln ( 2 ) − ln ( 1 + tan ( u ) ) Bunu integrale koyarsak: I = ∫ 0 π 4 [ ln ( 2 ) − ln ( 1 + tan ( u ) ) ] d u Buradan I = ∫ 0 π 4 ln ( 2 ) d u − ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan ( u ) ) d u ve ikinci integral yine I olduğundan: I = ( π 4 ) ln ( 2 ) − I Buradan 2 I = π 4 ln ( 2 ) ve I = π 8 ln ( 2 ) Sonuç: Doğru cevap B969 şıkkıdır.

Önce integralin değerini I ile gösterelim:

I = \int_{0}^{1} \frac{\ln (1 + x)}{1 + x^{2}} d x

Substitüsyon yapalım:

x = \tan (t)

Bu durumda

1 + x^{2} = 1 + \tan^{(t)} 2 = \sec^{(t)} 2

ve

d x = \sec^{(t)} 2 d t

Dolayısıyla

\frac{d}{x} \frac{1}{1 + x^{2}} = d t

Sınırlar:

x = 0 \Rightarrow t = 0

x = 1 \Rightarrow t = \frac{π}{4}

Integral:

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (1 + \tan (t)) d t

Şimdi

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (1 + \tan (t)) d t

ifadesinde

t = \frac{π}{4} - u

dönüşümünü uygulayalım. Sınırlar yine

u : 0 \to \frac{π}{4}

olur ve integral

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (1 + \tan (\frac{π}{4} - u)) d u

Tanjant fark formülü:

\tan (\frac{π}{4} - u) = \frac{1 - \tan (u)}{1 + \tan (u)}

Buna göre

1 + \tan (\frac{π}{4} - u) = 1 + \frac{1 - \tan (u)}{1 + \tan (u)} = \frac{2}{1 + \tan (u)}

Dolayısıyla

\ln (1 + \tan (\frac{π}{4} - u)) = \ln (2) - \ln (1 + \tan (u))

Bunu integrale koyarsak:

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} [\ln (2) - \ln (1 + \tan (u))] d u

Buradan

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (2) d u - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (1 + \tan (u)) d u

ve ikinci integral yine I olduğundan:

I = (\frac{π}{4}) \ln (2) - I

Buradan

2 I = \frac{π}{4} \ln (2)

ve

I = \frac{π}{8} \ln (2)

Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{2} (x^{2} + 2 x) d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız:
$\int_{0}^{2} (3 x^{2} - 4 x + 1) d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki integralin değeri kaçtır?
$\int_{0}^{2} (3 x^{2} - 4 x + 1) d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{1} (3 x^{2} - 2 x + 1) d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (1 + \tan x) d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

İntegrali I = ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan x ) d x olarak adlandıralım. Dönüşüm uygulayalım: x = π 4 - t Bu durumda d x = - d t Sınırlar da x = 0 ⇒ t = π 4, x = π 4 ⇒ t = 0 Böylece integral I = ∫ π 4 0 ln ( 1 + tan ( π 4 - t ) ) ( - d t ) olur ve sınırlar yer değiştirince I = ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan ( π 4 - t ) ) d t Şimdi tan ( π 4 - t ) = 1 - tan t 1 + tan t olduğundan 1 + tan ( π 4 - t ) = 1 + 1 - tan t 1 + tan t = 2 1 + tan t Logaritma alınca ln ( 1 + tan ( π 4 - t ) ) = ln ( 2 1 + tan t ) = ln 2 - ln ( 1 + tan t ) Bu ifadeyi integrale yazalım: I = ∫ 0 π 4 ( ln 2 - ln ( 1 + tan t ) ) d t İntegrali ayıralım: I = ∫ 0 π 4 ln 2 d t - ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan t ) d t İkinci integral ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan t ) d t = I olduğundan I = ∫ 0 π 4 ln 2 d t - I Buradan 2 I = ∫ 0 π 4 ln 2 d t Sabit integralini alalım: ∫ 0 π 4 ln 2 d t = ln 2 ⋅ π 4 Dolayısıyla 2 I = π 4 ⋅ ln 2 ve I = π 8 ⋅ ln 2 Sonuç şıklarla karşılaştırılırsa: Doğru sonuç = π 8 ln 2 Bu da Şık A Dolayısıyla doğru cevap C1258’dır.

Çözüm: İntegrali I = ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan x ) d x olarak adlandıralım. Dönüşüm uygulayalım: x = π 4 - t Bu durumda d x = - d t Sınırlar da x = 0 ⇒ t = π 4, x = π 4 ⇒ t = 0 Böylece integral I = ∫ π 4 0 ln ( 1 + tan ( π 4 - t ) ) ( - d t ) olur ve sınırlar yer değiştirince I = ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan ( π 4 - t ) ) d t Şimdi tan ( π 4 - t ) = 1 - tan t 1 + tan t olduğundan 1 + tan ( π 4 - t ) = 1 + 1 - tan t 1 + tan t = 2 1 + tan t Logaritma alınca ln ( 1 + tan ( π 4 - t ) ) = ln ( 2 1 + tan t ) = ln 2 - ln ( 1 + tan t ) Bu ifadeyi integrale yazalım: I = ∫ 0 π 4 ( ln 2 - ln ( 1 + tan t ) ) d t İntegrali ayıralım: I = ∫ 0 π 4 ln 2 d t - ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan t ) d t İkinci integral ∫ 0 π 4 ln ( 1 + tan t ) d t = I olduğundan I = ∫ 0 π 4 ln 2 d t - I Buradan 2 I = ∫ 0 π 4 ln 2 d t Sabit integralini alalım: ∫ 0 π 4 ln 2 d t = ln 2 ⋅ π 4 Dolayısıyla 2 I = π 4 ⋅ ln 2 ve I = π 8 ⋅ ln 2 Sonuç şıklarla karşılaştırılırsa: Doğru sonuç = π 8 ln 2 Bu da Şık A Dolayısıyla doğru cevap C1258’dır.

İntegrali

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (1 + \tan x) d x

olarak adlandıralım.

Dönüşüm uygulayalım:

x = \frac{π}{4} - t

Bu durumda

d x = - d t

Sınırlar da

x = 0 \Rightarrow t = \frac{π}{4}, x = \frac{π}{4} \Rightarrow t = 0

Böylece integral

I = \int_{\frac{π}{4}}^{0} \ln (1 + \tan (\frac{π}{4} - t)) (- d t)

olur ve sınırlar yer değiştirince

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (1 + \tan (\frac{π}{4} - t)) d t

Şimdi

\tan (\frac{π}{4} - t) = \frac{1 - \tan t}{1 + \tan t}

olduğundan

1 + \tan (\frac{π}{4} - t) = 1 + \frac{1 - \tan t}{1 + \tan t} = \frac{2}{1 + \tan t}

Logaritma alınca

\ln (1 + \tan (\frac{π}{4} - t)) = \ln (\frac{2}{1 + \tan t}) = \ln 2 - \ln (1 + \tan t)

Bu ifadeyi integrale yazalım:

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} (\ln 2 - \ln (1 + \tan t)) d t

İntegrali ayıralım:

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln 2 d t - \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (1 + \tan t) d t

İkinci integral

\int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (1 + \tan t) d t = I

olduğundan

I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln 2 d t - I

Buradan

2 I = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln 2 d t

Sabit integralini alalım:

\int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln 2 d t = \ln 2 \cdot \frac{π}{4}

Dolayısıyla

2 I = \frac{π}{4} \cdot \ln 2

ve

I = \frac{π}{8} \cdot \ln 2

Sonuç şıklarla karşılaştırılırsa:

Doğru sonuç = \frac{π}{8} \ln 2

Bu da

Şık A

Dolayısıyla doğru cevap C6473’dır.

8. SoruÇoktan Seçmeli

İşlemi yapınız:
$\int_{1}^{4} (2 x - 3) d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki integrali hesaplayınız:
$\int_{0}^{1} (2 x + 1) d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki integrali hesaplayınız:
$\int_{0}^{1} \ln (1 + x^{2}) d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

12. Sınıf Matematik İntegral Testleri

İntegrali alan, birikim ve türev ilişkisiyle kavra

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

Sık karıştırılan noktalar

Verimli çalışma yolu

12. Sınıf Matematik İntegral Testleri

Aşağıdaki belirli integrali bulunuz.
$\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Aşağıdaki integralin değerini bulunuz.
$\int_{0}^{1} \frac{\ln (1 + x)}{1 + x^{2}} d x$

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{2} (x^{2} + 2 x) d x$

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız:
$\int_{0}^{2} (3 x^{2} - 4 x + 1) d x$

Aşağıdaki integralin değeri kaçtır?
$\int_{0}^{2} (3 x^{2} - 4 x + 1) d x$

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{1} (3 x^{2} - 2 x + 1) d x$

Aşağıdaki integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (1 + \tan x) d x$

İşlemi yapınız:
$\int_{1}^{4} (2 x - 3) d x$

Aşağıdaki integrali hesaplayınız:
$\int_{0}^{1} (2 x + 1) d x$

Aşağıdaki integrali hesaplayınız:
$\int_{0}^{1} \ln (1 + x^{2}) d x$

İntegral Sık Sorulan Sorular

12. Sınıf Matematik İntegral Testleri

İntegrali alan, birikim ve türev ilişkisiyle kavra

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

Sık karıştırılan noktalar

Verimli çalışma yolu

12. Sınıf Matematik İntegral Testleri

Aşağıdaki belirli integrali bulunuz.∫012xx2+1dx

Aşağıdaki integralin değerini bulunuz.∫01ln(1+x)1+x2dx

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.∫02(x2+2x)dx

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız:∫02(3x2−4x+1)dx

Aşağıdaki integralin değeri kaçtır?∫02(3x2−4x+1)dx

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.∫01(3x2−2x+1)dx

Aşağıdaki integrali hesaplayınız.∫0π4ln(1+tanx)dx

İşlemi yapınız:∫14(2x−3)dx

Aşağıdaki integrali hesaplayınız:∫01(2x+1)dx

Aşağıdaki integrali hesaplayınız:∫01ln(1+x2)dx

İntegral Sık Sorulan Sorular

Aşağıdaki belirli integrali bulunuz.
$\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Aşağıdaki integralin değerini bulunuz.
$\int_{0}^{1} \frac{\ln (1 + x)}{1 + x^{2}} d x$

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{2} (x^{2} + 2 x) d x$

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız:
$\int_{0}^{2} (3 x^{2} - 4 x + 1) d x$

Aşağıdaki integralin değeri kaçtır?
$\int_{0}^{2} (3 x^{2} - 4 x + 1) d x$

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{1} (3 x^{2} - 2 x + 1) d x$

Aşağıdaki integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{\frac{π}{4}} \ln (1 + \tan x) d x$

İşlemi yapınız:
$\int_{1}^{4} (2 x - 3) d x$

Aşağıdaki integrali hesaplayınız:
$\int_{0}^{1} (2 x + 1) d x$

Aşağıdaki integrali hesaplayınız:
$\int_{0}^{1} \ln (1 + x^{2}) d x$