12. Sınıf Matematik İntegral Testleri

Doğru cevap: C

İstenen integral: ∫ 0 2 ( 2 x + 1 ) d x Önce integrali parçalayalım: ∫ 0 2 ( 2 x + 1 ) d x = ∫ 0 2 2 x d x + ∫ 0 2 1 d x Belirsiz integral (antitürev) alalım: ∫ ( 2 x + 1 ) d $x = x$2 + x + C Şimdi 0 ile 2 arasında değerleyelim: ∫ 0 2 ( 2 x + 1 ) d x = ( x 2 + x ) 0 2 Üst sınır ve alt sınır hesapları: ( 2 2 + 2 ) - ( 0 2 + 0 ) = ( 4 + 2 ) - $0 = 6$ Sonuç 6 olduğundan doğru seçenek C409 ’dir.

1. Çözüm: İstenen integral: ∫ 0 2 ( 2 x + 1 ) d x Önce integrali parçalayalım: ∫ 0 2 ( 2 x + 1 ) d x = ∫ 0 2 2 x d x + ∫ 0 2 1 d x Belirsiz integral (antitürev) alalım: ∫ ( 2 x + 1 ) d $x = x$2 + x + C Şimdi 0 ile 2 arasında değerleyelim: ∫ 0 2 ( 2 x + 1 ) d x = ( x 2 + x ) 0 2 Üst sınır ve alt sınır hesapları: ( 2 2 + 2 ) - ( 0 2 + 0 ) = ( 4 + 2 ) - $0 = 6$ Sonuç 6 olduğundan doğru seçenek C409 ’dir.

Doğru cevap: D

1) Doğru şık kontrolü: İntegralin değerini hesaplayıp şıklarla karşılaştıralım. İnceleyelim: I = ∫ 0 1 ln ⁡ x 1 - x d x 2) Paydadaki ifadeyi geometrik seri olarak açalım (aralıkta yakınsar): 1 1 - x = ∑ $n = 0$∞ x n 3) Bu açılımı integrale yerleştirip (yakınsaklık sayesinde) terim terim integre edelim: I = ∫ 0 1 ln ⁡ x ⋅ ∑ $n = 0$∞ x n d x I = ∑ $n = 0$∞ ∫ 0 1 x n ln ⁡ x d x 4) Şimdi genel terimi hesaplayalım. Aşağıdaki integrali türevle (parametreye göre) veya bilinen formülle bulabiliriz: ∫ 0 1 x n ln ⁡ x d x = - 1 n + 1 2 5) Bunu seri toplamına yerleştirelim: I = ∑ $n = 0$∞ ( - 1 n + 1 2 ) I = - ∑ $n = 0$∞ 1 n + 1 2 I = - ∑ $k = 1$∞ 1 k 2 6) Bilinen Basel toplamını kullanalım: ∑ $k = 1$∞ 1 k 2 = π 2 6 7) Sonuç: I = - π 2 6 Sonuç şıklarda - π 2 6 olduğundan doğru cevap D945 şıkkıdır.

1. Çözüm: 1) Doğru şık kontrolü: İntegralin değerini hesaplayıp şıklarla karşılaştıralım. İnceleyelim: I = ∫ 0 1 ln ⁡ x 1 - x d x 2) Paydadaki ifadeyi geometrik seri olarak açalım (aralıkta yakınsar): 1 1 - x = ∑ $n = 0$∞ x n 3) Bu açılımı integrale yerleştirip (yakınsaklık sayesinde) terim terim integre edelim: I = ∫ 0 1 ln ⁡ x ⋅ ∑ $n = 0$∞ x n d x I = ∑ $n = 0$∞ ∫ 0 1 x n ln ⁡ x d x 4) Şimdi genel terimi hesaplayalım. Aşağıdaki integrali türevle (parametreye göre) veya bilinen formülle bulabiliriz: ∫ 0 1 x n ln ⁡ x d x = - 1 n + 1 2 5) Bunu seri toplamına yerleştirelim: I = ∑ $n = 0$∞ ( - 1 n + 1 2 ) I = - ∑ $n = 0$∞ 1 n + 1 2 I = - ∑ $k = 1$∞ 1 k 2 6) Bilinen Basel toplamını kullanalım: ∑ $k = 1$∞ 1 k 2 = π 2 6 7) Sonuç: I = - π 2 6 Sonuç şıklarda - π 2 6 olduğundan doğru cevap D945 şıkkıdır.

Doğru cevap: A

Sorudaki belirli integral: ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d x Değişken dönüşümü seçelim: u = x 2 + 1 Türev alalım: d u d x = 2 x Buradan: d u = 2 x d x Sınırları yeni değişkene çevirelim: x = 0 ⇒ u = 0 2 + 1 = 1 x = 1 ⇒ u = 1 2 + 1 = 2 İntegrali dönüştürelim: ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d x = ∫ 1 2 1 u d u Logaritma integraliyle hesaplayalım: ∫ 1 2 1 u d u = ln | u | 1 2 Sınırları yerine koyalım: ln | u | 1 2 = ln 2 - ln 1 Sonucu sadeleştirelim: ln 2 - ln 1 = ln 2 Doğru seçenek kontrolü: ln 2 Bu sonuç şıklar içinde A ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap A ’dır.

1. Çözüm: Sorudaki belirli integral: ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d x Değişken dönüşümü seçelim: u = x 2 + 1 Türev alalım: d u d x = 2 x Buradan: d u = 2 x d x Sınırları yeni değişkene çevirelim: x = 0 ⇒ u = 0 2 + 1 = 1 x = 1 ⇒ u = 1 2 + 1 = 2 İntegrali dönüştürelim: ∫ 0 1 2 x x 2 + 1 d x = ∫ 1 2 1 u d u Logaritma integraliyle hesaplayalım: ∫ 1 2 1 u d u = ln | u | 1 2 Sınırları yerine koyalım: ln | u | 1 2 = ln 2 - ln 1 Sonucu sadeleştirelim: ln 2 - ln 1 = ln 2 Doğru seçenek kontrolü: ln 2 Bu sonuç şıklar içinde A ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap A ’dır.

Doğru cevap: B

İntegrali İ ile gösterelim: I = ∫ 0 1 ln ( 1 + x ) x d x Seri açılımını kullanacağız: ln ( 1 + x ) = ∑ $n = 1$∞ ( − 1 ) n + 1 x n n Paydayı x ile sadeleştirip integrand’ı seri olarak yazalım: ln ( 1 + x ) x = ∑ $n = 1$∞ ( − 1 ) n + 1 x n − 1 n Terim terim integral alalım (yakınsaklık sayesinde uygundur): I = ∫ 0 1 ∑ $n = 1$∞ ( − 1 ) n + 1 x n − 1 n d x İntegral ile toplamı yer değiştirip hesaplayalım: I = ∑ $n = 1$∞ ( − 1 ) n + 1 n ∫ 0 1 x n − 1 d x İç integrali alalım: ∫ 0 1 x n − 1 d $x = x$n n 0 $1 = 1$ n Böylece seri şu hale gelir: I = ∑ $n = 1$∞ ( − 1 ) n + 1 n 2 Bu, alternatif zeta toplamıdır: ∑ $n = 1$∞ ( − 1 ) n + 1 n 2 = ( 1 − 2 1 − 2 ) ζ ( 2 ) Sadeleştirelim: ( 1 − 2 1 − 2 ) ζ ( 2 ) = ( 1 − 1 2 ) ζ ( 2 ) = ζ ( 2 ) 2 Bilinen değer: ζ ( 2 ) = π 2 6 Sonuç: $I = 1$2 · π 2 6 = π 2 12 Bu değer şıklardan A ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap B836 ’dır.

1. Çözüm: İntegrali İ ile gösterelim: I = ∫ 0 1 ln ( 1 + x ) x d x Seri açılımını kullanacağız: ln ( 1 + x ) = ∑ $n = 1$∞ ( − 1 ) n + 1 x n n Paydayı x ile sadeleştirip integrand’ı seri olarak yazalım: ln ( 1 + x ) x = ∑ $n = 1$∞ ( − 1 ) n + 1 x n − 1 n Terim terim integral alalım (yakınsaklık sayesinde uygundur): I = ∫ 0 1 ∑ $n = 1$∞ ( − 1 ) n + 1 x n − 1 n d x İntegral ile toplamı yer değiştirip hesaplayalım: I = ∑ $n = 1$∞ ( − 1 ) n + 1 n ∫ 0 1 x n − 1 d x İç integrali alalım: ∫ 0 1 x n − 1 d $x = x$n n 0 $1 = 1$ n Böylece seri şu hale gelir: I = ∑ $n = 1$∞ ( − 1 ) n + 1 n 2 Bu, alternatif zeta toplamıdır: ∑ $n = 1$∞ ( − 1 ) n + 1 n 2 = ( 1 − 2 1 − 2 ) ζ ( 2 ) Sadeleştirelim: ( 1 − 2 1 − 2 ) ζ ( 2 ) = ( 1 − 1 2 ) ζ ( 2 ) = ζ ( 2 ) 2 Bilinen değer: ζ ( 2 ) = π 2 6 Sonuç: $I = 1$2 · π 2 6 = π 2 12 Bu değer şıklardan A ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap B836 ’dır.

Doğru cevap: C

Önce verilen belirli integrali yazalım: ∫ 0 2 ( 2 x + 1 ) d x İfadeyi terimlerine ayırarak integre edelim: ∫ 0 2 ( 2 x + 1 ) d x = ∫ 0 2 2 x d x + ∫ 0 2 1 d x Şimdi belirsiz integral (asal integral) alalım: ∫ ( 2 x + 1 ) d x = ∫ 2 x d x + ∫ 1 d $x = x$2 + x + C Belirli integral için sınırları uygularız: ∫ 0 2 ( 2 x + 1 ) d x = [ x 2 + x ] 0 2 Üst ve alt sınırda değerleri hesaplayalım: [ x 2 + x ] 0 2 = ( 2 2 + 2 ) - ( 0 2 + 0 ) = ( 4 + 2 ) - $0 = 6$ Sonuç: ∫ 0 2 ( 2 x + 1 ) d $x = 6$Bu değer şıklardan B ile aynıdır; yani doğru cevap C523’dir.

1. Çözüm: Önce verilen belirli integrali yazalım: ∫ 0 2 ( 2 x + 1 ) d x İfadeyi terimlerine ayırarak integre edelim: ∫ 0 2 ( 2 x + 1 ) d x = ∫ 0 2 2 x d x + ∫ 0 2 1 d x Şimdi belirsiz integral (asal integral) alalım: ∫ ( 2 x + 1 ) d x = ∫ 2 x d x + ∫ 1 d $x = x$2 + x + C Belirli integral için sınırları uygularız: ∫ 0 2 ( 2 x + 1 ) d x = [ x 2 + x ] 0 2 Üst ve alt sınırda değerleri hesaplayalım: [ x 2 + x ] 0 2 = ( 2 2 + 2 ) - ( 0 2 + 0 ) = ( 4 + 2 ) - $0 = 6$ Sonuç: ∫ 0 2 ( 2 x + 1 ) d $x = 6$Bu değer şıklardan B ile aynıdır; yani doğru cevap C523’dir.

Doğru cevap: D

Önce integrali bir isimle tanımlayalım: I = ∫ 0 1 x 2 ln 1 + x d x Parçalı integrasyon uygulayalım: u = ln 1 + x, d v = x 2 d x d u = 1 1 + x d x, v = x 3 3 Parçalı integrasyon formülünü yazalım: I = [ x 3 3 ln 1 + x ] 0 1 - 1 3 ∫ 0 1 x 3 1 + x d x Sınır terimini hesaplayalım: [ x 3 3 ln 1 + x ] 0 1 = 1 3 ln 2 I = 1 3 ln 2 - 1 3 ∫ 0 1 x 3 1 + x d x Şimdi integrand ifadeyi sadeleştirelim (polinom bölmesi): x 3 1 + x = x 2 - x + 1 - 1 1 + x Bu ifadeyi integrale yazıp parça parça hesaplayalım: ∫ 0 1 x 3 1 + x d x = ∫ 0 1 x 2 - x + 1 - 1 1 + x d x = [ x 3 3 - x 2 2 + x ] 0 1 - [ ln 1 + x ] 0 1 = 1 3 - 1 2 + 1 - ln 2 = 5 6 - ln 2 Sonuçları yerine koyup düzenleyelim: I = 1 3 ln 2 - 1 3 5 6 - ln 2 I = 1 3 ln 2 - 5 18 + 1 3 ln 2 = 2 3 ln 2 - 5 18 Bu ifade şıklarda seçeneğiD767dir. Dolayısıyla doğru cevap D794 ’dir.

1. Çözüm: Önce integrali bir isimle tanımlayalım: I = ∫ 0 1 x 2 ln 1 + x d x Parçalı integrasyon uygulayalım: u = ln 1 + x, d v = x 2 d x d u = 1 1 + x d x, v = x 3 3 Parçalı integrasyon formülünü yazalım: I = [ x 3 3 ln 1 + x ] 0 1 - 1 3 ∫ 0 1 x 3 1 + x d x Sınır terimini hesaplayalım: [ x 3 3 ln 1 + x ] 0 1 = 1 3 ln 2 I = 1 3 ln 2 - 1 3 ∫ 0 1 x 3 1 + x d x Şimdi integrand ifadeyi sadeleştirelim (polinom bölmesi): x 3 1 + x = x 2 - x + 1 - 1 1 + x Bu ifadeyi integrale yazıp parça parça hesaplayalım: ∫ 0 1 x 3 1 + x d x = ∫ 0 1 x 2 - x + 1 - 1 1 + x d x = [ x 3 3 - x 2 2 + x ] 0 1 - [ ln 1 + x ] 0 1 = 1 3 - 1 2 + 1 - ln 2 = 5 6 - ln 2 Sonuçları yerine koyup düzenleyelim: I = 1 3 ln 2 - 1 3 5 6 - ln 2 I = 1 3 ln 2 - 5 18 + 1 3 ln 2 = 2 3 ln 2 - 5 18 Bu ifade şıklarda seçeneğiD767dir. Dolayısıyla doğru cevap D794 ’dir.

Doğru cevap: A

İstenen belirli integral: ∫ 0 1 ( 3 x 2 + 2 x ) d x İfadeyi terim terim integre edelim: ∫ 0 1 ( 3 x 2 + 2 x ) d x = ∫ 0 1 3 x 2 d x + ∫ 0 1 2 x d x Önce belirsiz integral (asal fonksiyon) bulalım: ∫ ( 3 x 2 + 2 x ) d $x = x$3 + x 2 + C Şimdi sınırlar arasında değerleyelim: ∫ 0 1 ( 3 x 2 + 2 x ) d $x = x$3 + x 2 0 1 Üst sınır ve alt sınır hesapları: x 3 + x 2 0 1 = ( 1 3 + 1 2 ) - ( 0 3 + 0 2 ) = 2 Sonuç: ∫ 0 1 ( 3 x 2 + 2 x ) d $x = 2$Bu nedenle doğru şık A ’dır.

1. Çözüm: İstenen belirli integral: ∫ 0 1 ( 3 x 2 + 2 x ) d x İfadeyi terim terim integre edelim: ∫ 0 1 ( 3 x 2 + 2 x ) d x = ∫ 0 1 3 x 2 d x + ∫ 0 1 2 x d x Önce belirsiz integral (asal fonksiyon) bulalım: ∫ ( 3 x 2 + 2 x ) d $x = x$3 + x 2 + C Şimdi sınırlar arasında değerleyelim: ∫ 0 1 ( 3 x 2 + 2 x ) d $x = x$3 + x 2 0 1 Üst sınır ve alt sınır hesapları: x 3 + x 2 0 1 = ( 1 3 + 1 2 ) - ( 0 3 + 0 2 ) = 2 Sonuç: ∫ 0 1 ( 3 x 2 + 2 x ) d $x = 2$Bu nedenle doğru şık A ’dır.

Doğru cevap: B

1) Verilen integral: ∫ 2 x x 2 + 1 d x 2) Paydadaki ifadenin türevi payda (yerine) bulunuyor, bu nedenle yerine koyma yapalım: u = x 2 + 1 3) Her iki tarafın türevini alalım: d u = 2 x d x 4) İntegralde yerine koyma yapalım: ∫ 2 x d x x 2 + 1 = ∫ d u u 5) Bilinen integral kuralı: ∫ d u u = ln u + C 6) Geri yerine koyma (burada payda her zaman pozitif olduğundan mutlak değer yazmadan da ifade edilebilir): ln x 2 + 1 + C = ln x 2 + 1 + C 7) Sonuç: Doğru seçenek B478’dır. ∫ 2 x x 2 + 1 d x = ln x 2 + 1 + C

1. Çözüm: 1) Verilen integral: ∫ 2 x x 2 + 1 d x 2) Paydadaki ifadenin türevi payda (yerine) bulunuyor, bu nedenle yerine koyma yapalım: u = x 2 + 1 3) Her iki tarafın türevini alalım: d u = 2 x d x 4) İntegralde yerine koyma yapalım: ∫ 2 x d x x 2 + 1 = ∫ d u u 5) Bilinen integral kuralı: ∫ d u u = ln u + C 6) Geri yerine koyma (burada payda her zaman pozitif olduğundan mutlak değer yazmadan da ifade edilebilir): ln x 2 + 1 + C = ln x 2 + 1 + C 7) Sonuç: Doğru seçenek B478’dır. ∫ 2 x x 2 + 1 d x = ln x 2 + 1 + C

Doğru cevap: C

Önce doğru şıkkı kontrol edelim: Bu integralin bilinen sonucu, verilen şıklardan seçeneğiC81dir. ∫ 0 π 2 ln ( sin x ) d x = - π 2 ln 2 Adım 1: İntegrali isimlendirelim. I = ∫ 0 π 2 ln ( sin x ) d x Adım 2: Değişken dönüşümü yapalım. Yeni değişkeni, sınırları değiştirmeden seçmek için dönüşümü uygulayalım. x = π 2 - t Bu dönüşümle integral, kosinüs biçimine dönüşür: I = ∫ 0 π 2 ln ( cos t ) d t Adım 3: İki ifadeyi toplayalım. Böylece çarpımın logaritmasına geçeceğiz. 2 I = ∫ 0 π 2 ln ( sin x ) + ln ( cos x ) d x Logaritma özelliğiyle tek logaritma altında birleştirelim: 2 I = ∫ 0 π 2 ln ( sin x cos x ) d x Adım 4: Trigonometrik özdeşlik kullanalım. sin x cos $x = 1$2 sin ( 2 x ) Bunu integrale yerleştirip logaritmayı açalım: 2 I = ∫ 0 π 2 ln ( sin ( 2 x ) ) + ln ( 1 2 ) d x Burada sabit terim integrale ayrılır: 2 I = ∫ 0 π 2 ln ( sin ( 2 x ) ) d x + ∫ 0 π 2 ln ( 1 2 ) d x Adım 5: Sabit integralini hesaplayalım. ∫ 0 π 2 ln ( 1 2 ) d $x = ln$( 1 2 ) · π 2 = - π 2 ln 2 Adım 6: Diğer integrali, değişken dönüşümüyle tekrar aynı tipe bağlayalım. $u = 2$x, d $u = 2$d x, d $x = d$u 2 Böylece: ∫ 0 π 2 ln ( sin ( 2 x ) ) d $x = 1$2 ∫ 0 π ln ( sin u ) d u Adım 7: Simetri kullanarak bu integrali tekrar aynı integrale bağlayalım. ∫ 0 π ln ( sin u ) d $u = 2$∫ 0 π 2 ln ( sin u ) d $u = 2$I Dolayısıyla: ∫ 0 π 2 ln ( sin ( 2 x ) ) d $x = 1$2 · 2 $I = I$Adım 8: Hepsini birleştirip çözelim. 2 $I = I$- π 2 ln 2 Buradan: I = - π 2 ln 2 Sonuç: Doğru cevap C1434 şıkkıdır. - π 2 ln 2

1. Çözüm: Önce doğru şıkkı kontrol edelim: Bu integralin bilinen sonucu, verilen şıklardan seçeneğiC81dir. ∫ 0 π 2 ln ( sin x ) d x = - π 2 ln 2 Adım 1: İntegrali isimlendirelim. I = ∫ 0 π 2 ln ( sin x ) d x Adım 2: Değişken dönüşümü yapalım. Yeni değişkeni, sınırları değiştirmeden seçmek için dönüşümü uygulayalım. x = π 2 - t Bu dönüşümle integral, kosinüs biçimine dönüşür: I = ∫ 0 π 2 ln ( cos t ) d t Adım 3: İki ifadeyi toplayalım. Böylece çarpımın logaritmasına geçeceğiz. 2 I = ∫ 0 π 2 ln ( sin x ) + ln ( cos x ) d x Logaritma özelliğiyle tek logaritma altında birleştirelim: 2 I = ∫ 0 π 2 ln ( sin x cos x ) d x Adım 4: Trigonometrik özdeşlik kullanalım. sin x cos $x = 1$2 sin ( 2 x ) Bunu integrale yerleştirip logaritmayı açalım: 2 I = ∫ 0 π 2 ln ( sin ( 2 x ) ) + ln ( 1 2 ) d x Burada sabit terim integrale ayrılır: 2 I = ∫ 0 π 2 ln ( sin ( 2 x ) ) d x + ∫ 0 π 2 ln ( 1 2 ) d x Adım 5: Sabit integralini hesaplayalım. ∫ 0 π 2 ln ( 1 2 ) d $x = ln$( 1 2 ) · π 2 = - π 2 ln 2 Adım 6: Diğer integrali, değişken dönüşümüyle tekrar aynı tipe bağlayalım. $u = 2$x, d $u = 2$d x, d $x = d$u 2 Böylece: ∫ 0 π 2 ln ( sin ( 2 x ) ) d $x = 1$2 ∫ 0 π ln ( sin u ) d u Adım 7: Simetri kullanarak bu integrali tekrar aynı integrale bağlayalım. ∫ 0 π ln ( sin u ) d $u = 2$∫ 0 π 2 ln ( sin u ) d $u = 2$I Dolayısıyla: ∫ 0 π 2 ln ( sin ( 2 x ) ) d $x = 1$2 · 2 $I = I$Adım 8: Hepsini birleştirip çözelim. 2 $I = I$- π 2 ln 2 Buradan: I = - π 2 ln 2 Sonuç: Doğru cevap C1434 şıkkıdır. - π 2 ln 2

Doğru cevap: D

1) Doğru şık kontrolü: ∫ 0 2 ( x 2 - 1 ) d x Bu integralin sonucu şıkkıD73 ile karşılaştırılacaktır. 2) Belirsiz integral (asal integral) bulunur: ∫ ( x 2 - 1 ) d $x = x$3 3 - x + C 3) Belirli integral için sınırlar uygulanır: ∫ 0 2 ( x 2 - 1 ) d x = ( x 3 3 - x ) | 0 2 4) Üst sınır ve alt sınır yerine yazılır: ( 2 3 3 - 2 ) - ( 0 3 3 - 0 ) 5) İşlemler sadeleştirilir: ( 8 3 - 2 ) - 0 6) Sonuç bulunur: 8 3 - 6 $3 = 2$ 3 7) Doğru cevap kontrolü: Bulunan değer şıkkıD479 ile aynıdır, yani doğru cevap D505 şıkkıdır.

1. Çözüm: 1) Doğru şık kontrolü: ∫ 0 2 ( x 2 - 1 ) d x Bu integralin sonucu şıkkıD73 ile karşılaştırılacaktır. 2) Belirsiz integral (asal integral) bulunur: ∫ ( x 2 - 1 ) d $x = x$3 3 - x + C 3) Belirli integral için sınırlar uygulanır: ∫ 0 2 ( x 2 - 1 ) d x = ( x 3 3 - x ) | 0 2 4) Üst sınır ve alt sınır yerine yazılır: ( 2 3 3 - 2 ) - ( 0 3 3 - 0 ) 5) İşlemler sadeleştirilir: ( 8 3 - 2 ) - 0 6) Sonuç bulunur: 8 3 - 6 $3 = 2$ 3 7) Doğru cevap kontrolü: Bulunan değer şıkkıD479 ile aynıdır, yani doğru cevap D505 şıkkıdır.