12. Sınıf Matematik

12. Sınıf Matematik İntegral Testleri

İntegral konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

İntegrali alan, birikim ve türev ilişkisiyle kavra

İntegral, değişimin birikimini ve eğri altında kalan alanı anlamamızı sağlayan temel bir matematik aracıdır. Belirsiz integral türevin ters işlemiyle, belirli integral ise sınırlar arasındaki toplam değişimle ilişkilidir.

Bu çalışma; temel integral kurallarını, belirli integral hesaplamalarını, alan problemlerini ve integral-türev arasındaki bağlantıyı grafik ve fonksiyonlar üzerinden yorumlamana yardımcı olur.

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

Temel fonksiyonların integrallerini alır.
Belirsiz ve belirli integrali birbirinden ayırır.
Belirli integral ile alan ve birikim arasındaki ilişkiyi açıklar.
Türev-integral bağlantısını Temel Teorem üzerinden yorumlar.

Sık karıştırılan noktalar

Belirli integrali yalnızca pozitif alan olarak görmek yanlıştır. Eğrinin eksenin altında kaldığı bölgeler işaretli alan verir; geometrik alan isteniyorsa mutlak değer veya bölgesel ayrım gerekebilir.

Verimli çalışma yolu

Önce grafiği ve sınırları incele. Ardından fonksiyonun işaretini belirleyerek integrali hesapla; alan sorularında işaretli alan ile geometrik alanı ayır. Yanlış yaptığın sorularda doğru cevabı işaretlemekle yetinme; hangi bilgi veya işlem adımında zorlandığını belirle.

Test seç

6 Test

1. Test 2. Test 3. Test 4. Test 5. Test 6. Test

2. Test

12. Sınıf Matematik İntegral Testleri

İntegral konusu 2. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru

0/10 Soru0 %

Doğru 0

Yanlış 0

Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki değeri bulunuz:
$\int_{0}^{2} (2 x + 1) d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki integralin değerini bulun.
$\int_{0}^{1} \frac{\ln x}{1 - x} d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

1) Doğru şık kontrolü: İntegralin değerini hesaplayıp şıklarla karşılaştıralım. İnceleyelim: I = ∫ 0 1 ln ⁡ x 1 - x d x 2) Paydadaki ifadeyi geometrik seri olarak açalım (aralıkta yakınsar): 1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n 3) Bu açılımı integrale yerleştirip (yakınsaklık sayesinde) terim terim integre edelim: I = ∫ 0 1 ln ⁡ x ⋅ ∑ n = 0 ∞ x n d x I = ∑ n = 0 ∞ ∫ 0 1 x n ln ⁡ x d x 4) Şimdi genel terimi hesaplayalım. Aşağıdaki integrali türevle (parametreye göre) veya bilinen formülle bulabiliriz: ∫ 0 1 x n ln ⁡ x d x = - 1 n + 1 2 5) Bunu seri toplamına yerleştirelim: I = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 n + 1 2 ) I = - ∑ n = 0 ∞ 1 n + 1 2 I = - ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 6) Bilinen Basel toplamını kullanalım: ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 = π 2 6 7) Sonuç: I = - π 2 6 Sonuç şıklarda - π 2 6 olduğundan doğru cevap D945 şıkkıdır.

Çözüm: 1) Doğru şık kontrolü: İntegralin değerini hesaplayıp şıklarla karşılaştıralım. İnceleyelim: I = ∫ 0 1 ln ⁡ x 1 - x d x 2) Paydadaki ifadeyi geometrik seri olarak açalım (aralıkta yakınsar): 1 1 - x = ∑ n = 0 ∞ x n 3) Bu açılımı integrale yerleştirip (yakınsaklık sayesinde) terim terim integre edelim: I = ∫ 0 1 ln ⁡ x ⋅ ∑ n = 0 ∞ x n d x I = ∑ n = 0 ∞ ∫ 0 1 x n ln ⁡ x d x 4) Şimdi genel terimi hesaplayalım. Aşağıdaki integrali türevle (parametreye göre) veya bilinen formülle bulabiliriz: ∫ 0 1 x n ln ⁡ x d x = - 1 n + 1 2 5) Bunu seri toplamına yerleştirelim: I = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 n + 1 2 ) I = - ∑ n = 0 ∞ 1 n + 1 2 I = - ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 6) Bilinen Basel toplamını kullanalım: ∑ k = 1 ∞ 1 k 2 = π 2 6 7) Sonuç: I = - π 2 6 Sonuç şıklarda - π 2 6 olduğundan doğru cevap D945 şıkkıdır.

1) Doğru şık kontrolü: İntegralin değerini hesaplayıp şıklarla karşılaştıralım.

İnceleyelim:

I = \int_{0}^{1} \frac{\ln x}{1 - x} d x

2) Paydadaki ifadeyi geometrik seri olarak açalım (aralıkta yakınsar):

\frac{1}{1 - x} = \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n}

3) Bu açılımı integrale yerleştirip (yakınsaklık sayesinde) terim terim integre edelim:

I = \int_{0}^{1} \ln x \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} x^{n} d x

I = \sum_{n = 0}^{\infty} \int_{0}^{1} x^{n} \ln x d x

4) Şimdi genel terimi hesaplayalım. Aşağıdaki integrali türevle (parametreye göre) veya bilinen formülle bulabiliriz:

\int_{0}^{1} x^{n} \ln x d x = - \frac{1}{{n + 1}^{2}}

5) Bunu seri toplamına yerleştirelim:

I = \sum_{n = 0}^{\infty} (- \frac{1}{{n + 1}^{2}})

I = - \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{{n + 1}^{2}}

I = - \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}}

6) Bilinen Basel toplamını kullanalım:

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{k^{2}} = \frac{π^{2}}{6}

7) Sonuç:

I = - \frac{π^{2}}{6}

Sonuç şıklarda $- \frac{π^{2}}{6}$ olduğundan doğru cevap A şıkkıdır.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız:
$\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız:
$\int_{0}^{1} \frac{\ln (1 + x)}{x} d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

İntegrali İ ile gösterelim: I = ∫ 0 1 ln ( 1 + x ) x d x Seri açılımını kullanacağız: ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 x n n Paydayı x ile sadeleştirip integrand’ı seri olarak yazalım: ln ( 1 + x ) x = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 x n − 1 n Terim terim integral alalım (yakınsaklık sayesinde uygundur): I = ∫ 0 1 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 x n − 1 n d x İntegral ile toplamı yer değiştirip hesaplayalım: I = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n ∫ 0 1 x n − 1 d x İç integrali alalım: ∫ 0 1 x n − 1 d x = x n n 0 1 = 1 n Böylece seri şu hale gelir: I = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n 2 Bu, alternatif zeta toplamıdır: ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n 2 = ( 1 − 2 1 − 2 ) ζ ( 2 ) Sadeleştirelim: ( 1 − 2 1 − 2 ) ζ ( 2 ) = ( 1 − 1 2 ) ζ ( 2 ) = ζ ( 2 ) 2 Bilinen değer: ζ ( 2 ) = π 2 6 Sonuç: I = 1 2 · π 2 6 = π 2 12 Bu değer şıklardan A ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap B836 ’dır.

Çözüm: İntegrali İ ile gösterelim: I = ∫ 0 1 ln ( 1 + x ) x d x Seri açılımını kullanacağız: ln ( 1 + x ) = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 x n n Paydayı x ile sadeleştirip integrand’ı seri olarak yazalım: ln ( 1 + x ) x = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 x n − 1 n Terim terim integral alalım (yakınsaklık sayesinde uygundur): I = ∫ 0 1 ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 x n − 1 n d x İntegral ile toplamı yer değiştirip hesaplayalım: I = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n ∫ 0 1 x n − 1 d x İç integrali alalım: ∫ 0 1 x n − 1 d x = x n n 0 1 = 1 n Böylece seri şu hale gelir: I = ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n 2 Bu, alternatif zeta toplamıdır: ∑ n = 1 ∞ ( − 1 ) n + 1 n 2 = ( 1 − 2 1 − 2 ) ζ ( 2 ) Sadeleştirelim: ( 1 − 2 1 − 2 ) ζ ( 2 ) = ( 1 − 1 2 ) ζ ( 2 ) = ζ ( 2 ) 2 Bilinen değer: ζ ( 2 ) = π 2 6 Sonuç: I = 1 2 · π 2 6 = π 2 12 Bu değer şıklardan A ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap B836 ’dır.

İntegrali İ ile gösterelim:

I = \int_{0}^{1} \frac{\ln (1 + x)}{x} d x

Seri açılımını kullanacağız:

\ln (1 + x) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1} x^{n}}{n}

Paydayı x ile sadeleştirip integrand’ı seri olarak yazalım:

\frac{\ln (1 + x)}{x} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1} x^{n - 1}}{n}

Terim terim integral alalım (yakınsaklık sayesinde uygundur):

I = \int_{0}^{1} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1} x^{n - 1}}{n} d x

İntegral ile toplamı yer değiştirip hesaplayalım:

I = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n} \int_{0}^{1} x^{n - 1} d x

İç integrali alalım:

\int_{0}^{1} x^{n - 1} d x = {\frac{x^{n}}{n}}_{0}^{1} = \frac{1}{n}

Böylece seri şu hale gelir:

I = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n^{2}}

Bu, alternatif zeta toplamıdır:

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n^{2}} = (1 - 2^{1 - 2}) ζ (2)

Sadeleştirelim:

(1 - 2^{1 - 2}) ζ (2) = (1 - \frac{1}{2}) ζ (2) = \frac{ζ}{(2)}

Bilinen değer:

ζ (2) = \frac{π^{2}}{6}

Sonuç:

I = \frac{1}{2} \cdot \frac{π^{2}}{6} = \frac{π^{2}}{12}

Bu değer şıklardan A ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap A’dır.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{2} (2 x + 1) d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız:
$\int_{0}^{1} x^{2} \ln (1 + x) d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{1} (3 x^{2} + 2 x) d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

8. SoruÇoktan Seçmeli

İntegrali hesaplayınız:
$\int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin x) d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Önce doğru şıkkı kontrol edelim: Bu integralin bilinen sonucu, verilen şıklardan seçeneğiC81dir. ∫ 0 π 2 ln ( sin x ) d x = - π 2 ln 2 Adım 1: İntegrali isimlendirelim. I = ∫ 0 π 2 ln ( sin x ) d x Adım 2: Değişken dönüşümü yapalım. Yeni değişkeni, sınırları değiştirmeden seçmek için dönüşümü uygulayalım. x = π 2 - t Bu dönüşümle integral, kosinüs biçimine dönüşür: I = ∫ 0 π 2 ln ( cos t ) d t Adım 3: İki ifadeyi toplayalım. Böylece çarpımın logaritmasına geçeceğiz. 2 I = ∫ 0 π 2 ln ( sin x ) + ln ( cos x ) d x Logaritma özelliğiyle tek logaritma altında birleştirelim: 2 I = ∫ 0 π 2 ln ( sin x cos x ) d x Adım 4: Trigonometrik özdeşlik kullanalım. sin x cos x = 1 2 sin ( 2 x ) Bunu integrale yerleştirip logaritmayı açalım: 2 I = ∫ 0 π 2 ln ( sin ( 2 x ) ) + ln ( 1 2 ) d x Burada sabit terim integrale ayrılır: 2 I = ∫ 0 π 2 ln ( sin ( 2 x ) ) d x + ∫ 0 π 2 ln ( 1 2 ) d x Adım 5: Sabit integralini hesaplayalım. ∫ 0 π 2 ln ( 1 2 ) d x = ln ( 1 2 ) · π 2 = - π 2 ln 2 Adım 6: Diğer integrali, değişken dönüşümüyle tekrar aynı tipe bağlayalım. u = 2 x, d u = 2 d x, d x = d u 2 Böylece: ∫ 0 π 2 ln ( sin ( 2 x ) ) d x = 1 2 ∫ 0 π ln ( sin u ) d u Adım 7: Simetri kullanarak bu integrali tekrar aynı integrale bağlayalım. ∫ 0 π ln ( sin u ) d u = 2 ∫ 0 π 2 ln ( sin u ) d u = 2 I Dolayısıyla: ∫ 0 π 2 ln ( sin ( 2 x ) ) d x = 1 2 · 2 I = I Adım 8: Hepsini birleştirip çözelim. 2 I = I - π 2 ln 2 Buradan: I = - π 2 ln 2 Sonuç: Doğru cevap C1434 şıkkıdır. - π 2 ln 2

Çözüm: Önce doğru şıkkı kontrol edelim: Bu integralin bilinen sonucu, verilen şıklardan seçeneğiC81dir. ∫ 0 π 2 ln ( sin x ) d x = - π 2 ln 2 Adım 1: İntegrali isimlendirelim. I = ∫ 0 π 2 ln ( sin x ) d x Adım 2: Değişken dönüşümü yapalım. Yeni değişkeni, sınırları değiştirmeden seçmek için dönüşümü uygulayalım. x = π 2 - t Bu dönüşümle integral, kosinüs biçimine dönüşür: I = ∫ 0 π 2 ln ( cos t ) d t Adım 3: İki ifadeyi toplayalım. Böylece çarpımın logaritmasına geçeceğiz. 2 I = ∫ 0 π 2 ln ( sin x ) + ln ( cos x ) d x Logaritma özelliğiyle tek logaritma altında birleştirelim: 2 I = ∫ 0 π 2 ln ( sin x cos x ) d x Adım 4: Trigonometrik özdeşlik kullanalım. sin x cos x = 1 2 sin ( 2 x ) Bunu integrale yerleştirip logaritmayı açalım: 2 I = ∫ 0 π 2 ln ( sin ( 2 x ) ) + ln ( 1 2 ) d x Burada sabit terim integrale ayrılır: 2 I = ∫ 0 π 2 ln ( sin ( 2 x ) ) d x + ∫ 0 π 2 ln ( 1 2 ) d x Adım 5: Sabit integralini hesaplayalım. ∫ 0 π 2 ln ( 1 2 ) d x = ln ( 1 2 ) · π 2 = - π 2 ln 2 Adım 6: Diğer integrali, değişken dönüşümüyle tekrar aynı tipe bağlayalım. u = 2 x, d u = 2 d x, d x = d u 2 Böylece: ∫ 0 π 2 ln ( sin ( 2 x ) ) d x = 1 2 ∫ 0 π ln ( sin u ) d u Adım 7: Simetri kullanarak bu integrali tekrar aynı integrale bağlayalım. ∫ 0 π ln ( sin u ) d u = 2 ∫ 0 π 2 ln ( sin u ) d u = 2 I Dolayısıyla: ∫ 0 π 2 ln ( sin ( 2 x ) ) d x = 1 2 · 2 I = I Adım 8: Hepsini birleştirip çözelim. 2 I = I - π 2 ln 2 Buradan: I = - π 2 ln 2 Sonuç: Doğru cevap C1434 şıkkıdır. - π 2 ln 2

Önce doğru şıkkı kontrol edelim: Bu integralin bilinen sonucu, verilen şıklardan A seçeneğidir.

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin x) d x = - \frac{π}{2} \ln 2

Adım 1: İntegrali isimlendirelim.

I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin x) d x

Adım 2: Değişken dönüşümü yapalım. Yeni değişkeni, sınırları değiştirmeden seçmek için dönüşümü uygulayalım.

x = \frac{π}{2} - t

Bu dönüşümle integral, kosinüs biçimine dönüşür:

I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\cos t) d t

Adım 3: İki ifadeyi toplayalım. Böylece çarpımın logaritmasına geçeceğiz.

2 I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin x) + \ln (\cos x) d x

Logaritma özelliğiyle tek logaritma altında birleştirelim:

2 I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin x \cos x) d x

Adım 4: Trigonometrik özdeşlik kullanalım.

\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin (2 x)

Bunu integrale yerleştirip logaritmayı açalım:

2 I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin (2 x)) + \ln (\frac{1}{2}) d x

Burada sabit terim integrale ayrılır:

2 I = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin (2 x)) d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\frac{1}{2}) d x

Adım 5: Sabit integralini hesaplayalım.

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\frac{1}{2}) d x = \ln (\frac{1}{2}) \cdot \frac{π}{2} = - \frac{π}{2} \ln 2

Adım 6: Diğer integrali, değişken dönüşümüyle tekrar aynı tipe bağlayalım.

u = 2 x, d u = 2 d x, d x = \frac{d}{u}

Böylece:

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin (2 x)) d x = \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \ln (\sin u) d u

Adım 7: Simetri kullanarak bu integrali tekrar aynı integrale bağlayalım.

\int_{0}^{π} \ln (\sin u) d u = 2 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin u) d u = 2 I

Dolayısıyla:

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin (2 x)) d x = \frac{1}{2} \cdot 2 I = I

Adım 8: Hepsini birleştirip çözelim.

2 I = I - \frac{π}{2} \ln 2

Buradan:

I = - \frac{π}{2} \ln 2

Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

- \frac{π}{2} \ln 2

10. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız:
$\int_{0}^{2} (x^{2} - 1) d x$

Lütfen önce bir cevap seç.

İntegral Sık Sorulan Sorular

Belirsiz integral nedir?

Türevi verilen fonksiyona eşit olan tüm fonksiyon ailesini ifade eder ve sabit terim içerir.

Belirli integral neyi gösterir?

İki sınır arasındaki toplam değişimi veya işaretli alanı gösterir.

Türev ve integral arasındaki ilişki nedir?

İntegral türevin ters işlemi olarak çalışır; Temel Teorem bu iki işlemi birbirine bağlar.

12. Sınıf Matematik İntegral Testleri

İntegrali alan, birikim ve türev ilişkisiyle kavra

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

Sık karıştırılan noktalar

Verimli çalışma yolu

12. Sınıf Matematik İntegral Testleri

Aşağıdaki değeri bulunuz:∫02(2x+1)dx

Aşağıdaki integralin değerini bulun.∫01ln⁡x1-xdx

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız:∫012xx2+1dx

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız:∫01ln(1+x)xdx

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.∫02(2x+1)dx

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız:∫01x2ln1+xdx

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.∫01(3x2+2x)dx

İntegrali hesaplayınız:∫2xx2+1dx

Aşağıdaki integrali hesaplayınız.∫0π2ln(sinx)dx

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız:∫02(x2-1)dx

İntegral Sık Sorulan Sorular

Aşağıdaki değeri bulunuz:
$\int_{0}^{2} (2 x + 1) d x$

Aşağıdaki integralin değerini bulun.
$\int_{0}^{1} \frac{\ln x}{1 - x} d x$

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız:
$\int_{0}^{1} \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız:
$\int_{0}^{1} \frac{\ln (1 + x)}{x} d x$

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{2} (2 x + 1) d x$

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız:
$\int_{0}^{1} x^{2} \ln (1 + x) d x$

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{1} (3 x^{2} + 2 x) d x$

İntegrali hesaplayınız:
$\int \frac{2 x}{x^{2} + 1} d x$

Aşağıdaki integrali hesaplayınız.
$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \ln (\sin x) d x$

Aşağıdaki belirli integrali hesaplayınız:
$\int_{0}^{2} (x^{2} - 1) d x$