12. Sınıf Matematik

12. Sınıf Matematik Diziler Testleri

Diziler konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

Dizileri genel terim ve örüntü ilişkisiyle öğren

Diziler, belirli bir kurala göre sıralanan sayı veya ifadeler topluluğudur. Genel terim, ardışık terimler arasındaki ilişki ve toplam formülleri dizilerin temel yapı taşlarını oluşturur.

Bu içerik; aritmetik ve geometrik dizileri, genel terim bulmayı, ortak fark ve ortak çarpanı yorumlamayı ve dizi toplamlarını problem bağlamında uygulamayı kolaylaştırır.

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

Dizinin genel terimini verilen örüntüden çıkarır.
Aritmetik ve geometrik dizileri ayırt eder.
Ortak fark ve ortak çarpanı kullanır.
Dizi toplamlarını uygun formülle hesaplar ve yorumlar.

Sık karıştırılan noktalar

Ardışık terimler arasındaki farkın sabit olmasını her dizinin aritmetik olduğu şeklinde yorumlamak yanlıştır. Geometrik dizilerde sabit olan oran, yani ortak çarpandır.

Verimli çalışma yolu

İlk terimleri yazıp ardışık fark ve oranları kontrol et. Sonra genel terimi oluştur ve sorunun istediği terim veya toplam için uygun bağıntıyı seç. Yanlış yaptığın sorularda doğru cevabı işaretlemekle yetinme; hangi bilgi veya işlem adımında zorlandığını belirle.

Test seç

6 Test

1. Test 2. Test 3. Test 4. Test 5. Test 6. Test

6. Test

12. Sınıf Matematik Diziler Testleri

Diziler konusu 6. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru

0/10 Soru0 %

Doğru 0

Yanlış 0

Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki dizi tanımlanıyor:
$a_{n} = \sum_{k = 0}^{n} {(- 1)}^{k} \cdot C_{n, k} \cdot \frac{1}{k + 1}, n \in N_{0}$
Bu dizi için $a_{n}$ kapalı formu hangisidir?

Lütfen önce bir cevap seç.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki dizi için $a_{1} = 1$ ve $a_{n + 1} = \frac{2 a_{n} + 3}{a_{n} + 2}$ tanımlı olsun.
$b_{n} = \frac{a_{n} - \sqrt{3}}{a_{n} + \sqrt{3}}$ ifadesinin $n$ 'e bağlı kapalı formu hangisidir?

Lütfen önce bir cevap seç.

3. SoruÇoktan Seçmeli

$(a_{n})$ dizisi $a_{1} = 1$ ve $a_{n + 1} = 2 a_{n} + {- 1}^{n}$ ile tanımlanıyor.
Buna göre $a_{10}$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki dizi tanımlanıyor:
$a_{1} = 1$
$a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{1 + 2 a_{n}}$
$a_{2026}$ değerini bulun.

Lütfen önce bir cevap seç.

5. SoruÇoktan Seçmeli

$a_{n}$ dizisi $a_{1} = 1$ ve $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2^{n}$ koşullarıyla tanımlanıyor ( $n \geq 1$ ).
$\sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

Lütfen önce bir cevap seç.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Pozitif reel sayılardan oluşan $(a_{n})$ dizisi
$a_{1} = 2$
$a_{n + 1} = \frac{a_{n} + 2}{2 a_{n} + 1}$
Buna göre $a_{n}$ için kapalı form aşağıdakilerden hangisidir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Verilen dizi: a 1 = 2 a n + 1 = a n + 2 2 a n + 1 Bu tür kesirli yinelemelerde, dönüşümün sabit noktaları üzerinden doğrusal bir yineleme elde etmek için uygun bir oran seçilir. 1) Sabit noktaları bulalım: a = a + 2 2 a + 1 a ( 2 a + 1 ) = a + 2 2 a 2 + a = a + 2 2 a 2 = 2 a 2 = 1 a = 1 \ veya \ a = - 1 2) Sabit noktalar 1 ve - 1 olduğu için şu dönüşümü seçelim: b n = a n - 1 a n + 1 3) Şimdi b n + 1 hesabı: a n + 1 - 1 a n + 1 + 1 = a n + 2 2 a n + 1 - 1 a n + 2 2 a n + 1 + 1 Payı ve paydayı ayrı sadeleştirelim: a n + 1 - 1 = a n + 2 - ( 2 a n + 1 ) 2 a n + 1 a n + 1 - 1 = - a n + 1 2 a n + 1 = - ( a n - 1 ) 2 a n + 1 a n + 1 + 1 = a n + 2 + ( 2 a n + 1 ) 2 a n + 1 a n + 1 + 1 = 3 a n + 3 2 a n + 1 = 3 ( a n + 1 ) 2 a n + 1 Oranlayınca: b n + 1 = - ( a n - 1 ) 2 a n + 1 3 ( a n + 1 ) 2 a n + 1 b n + 1 = - 1 3 a n - 1 a n + 1 = - 1 3 b n Yani artık doğrusal (geometrik) bir dizi elde ettik: b n + 1 = - 1 3 b n 4) Başlangıç değeri: b 1 = a 1 - 1 a 1 + 1 = 2 - 1 2 + 1 = 1 3 5) O hâlde: b n = ( - 1 3 ) n - 1 b 1 b n = ( - 1 3 ) n - 1 1 3 = - 1 n - 1 3 n 6) b n tanımından tekrar a n 'yi çekelim. Tanım: b n = a n - 1 a n + 1 a n - 1 = b n ( a n + 1 ) a n ( 1 - b n ) = 1 + b n a n = 1 + b n 1 - b n Şimdi b n = - 1 n - 1 3 n yerine yazalım: a n = 1 + - 1 n - 1 3 n 1 - - 1 n - 1 3 n 7) Şık kontrolü: Bu ifade seçeneklerde şıkkıB1334 ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap B1367’dır. Sonuç (doğru şık): A

Çözüm: Verilen dizi: a 1 = 2 a n + 1 = a n + 2 2 a n + 1 Bu tür kesirli yinelemelerde, dönüşümün sabit noktaları üzerinden doğrusal bir yineleme elde etmek için uygun bir oran seçilir. 1) Sabit noktaları bulalım: a = a + 2 2 a + 1 a ( 2 a + 1 ) = a + 2 2 a 2 + a = a + 2 2 a 2 = 2 a 2 = 1 a = 1 \ veya \ a = - 1 2) Sabit noktalar 1 ve - 1 olduğu için şu dönüşümü seçelim: b n = a n - 1 a n + 1 3) Şimdi b n + 1 hesabı: a n + 1 - 1 a n + 1 + 1 = a n + 2 2 a n + 1 - 1 a n + 2 2 a n + 1 + 1 Payı ve paydayı ayrı sadeleştirelim: a n + 1 - 1 = a n + 2 - ( 2 a n + 1 ) 2 a n + 1 a n + 1 - 1 = - a n + 1 2 a n + 1 = - ( a n - 1 ) 2 a n + 1 a n + 1 + 1 = a n + 2 + ( 2 a n + 1 ) 2 a n + 1 a n + 1 + 1 = 3 a n + 3 2 a n + 1 = 3 ( a n + 1 ) 2 a n + 1 Oranlayınca: b n + 1 = - ( a n - 1 ) 2 a n + 1 3 ( a n + 1 ) 2 a n + 1 b n + 1 = - 1 3 a n - 1 a n + 1 = - 1 3 b n Yani artık doğrusal (geometrik) bir dizi elde ettik: b n + 1 = - 1 3 b n 4) Başlangıç değeri: b 1 = a 1 - 1 a 1 + 1 = 2 - 1 2 + 1 = 1 3 5) O hâlde: b n = ( - 1 3 ) n - 1 b 1 b n = ( - 1 3 ) n - 1 1 3 = - 1 n - 1 3 n 6) b n tanımından tekrar a n 'yi çekelim. Tanım: b n = a n - 1 a n + 1 a n - 1 = b n ( a n + 1 ) a n ( 1 - b n ) = 1 + b n a n = 1 + b n 1 - b n Şimdi b n = - 1 n - 1 3 n yerine yazalım: a n = 1 + - 1 n - 1 3 n 1 - - 1 n - 1 3 n 7) Şık kontrolü: Bu ifade seçeneklerde şıkkıB1334 ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap B1367’dır. Sonuç (doğru şık): A

Verilen dizi:

a_{1} = 2

a_{n + 1} = \frac{a_{n} + 2}{2 a_{n} + 1}

Bu tür kesirli yinelemelerde, dönüşümün sabit noktaları üzerinden doğrusal bir yineleme elde etmek için uygun bir oran seçilir.

1) Sabit noktaları bulalım:

a = \frac{a + 2}{2 a + 1}

a (2 a + 1) = a + 2

2 a^{2} + a = a + 2

2 a^{2} = 2

a^{2} = 1

a = 1 \ veya \ a = - 1

2) Sabit noktalar $1$ ve $- 1$ olduğu için şu dönüşümü seçelim:

b_{n} = \frac{a_{n} - 1}{a_{n} + 1}

3) Şimdi $b_{n + 1}$ hesabı:

\frac{a_{n + 1} - 1}{a_{n + 1} + 1} = \frac{\frac{a_{n} + 2}{2 a_{n} + 1} - 1}{\frac{a_{n} + 2}{2 a_{n} + 1} + 1}

Payı ve paydayı ayrı sadeleştirelim:

a_{n + 1} - 1 = \frac{a_{n} + 2 - (2 a_{n} + 1)}{2 a_{n} + 1}

a_{n + 1} - 1 = \frac{- a_{n} + 1}{2 a_{n} + 1} = \frac{- (a_{n} - 1)}{2 a_{n} + 1}

a_{n + 1} + 1 = \frac{a_{n} + 2 + (2 a_{n} + 1)}{2 a_{n} + 1}

a_{n + 1} + 1 = \frac{3 a_{n} + 3}{2 a_{n} + 1} = \frac{3 (a_{n} + 1)}{2 a_{n} + 1}

Oranlayınca:

b_{n + 1} = \frac{\frac{- (a_{n} - 1)}{2 a_{n} + 1}}{\frac{3 (a_{n} + 1)}{2 a_{n} + 1}}

b_{n + 1} = - \frac{1}{3} \frac{a_{n} - 1}{a_{n} + 1} = - \frac{1}{3} b_{n}

Yani artık doğrusal (geometrik) bir dizi elde ettik:

b_{n + 1} = - \frac{1}{3} b_{n}

4) Başlangıç değeri:

b_{1} = \frac{a_{1} - 1}{a_{1} + 1} = \frac{2 - 1}{2 + 1} = \frac{1}{3}

5) O hâlde:

b_{n} = {(- \frac{1}{3})}^{n - 1} b_{1}

b_{n} = {(- \frac{1}{3})}^{n - 1} \frac{1}{3} = \frac{{- 1}^{n - 1}}{3^{n}}

6) $b_{n}$ tanımından tekrar $a_{n}$ 'yi çekelim. Tanım:

b_{n} = \frac{a_{n} - 1}{a_{n} + 1}

a_{n} - 1 = b_{n} (a_{n} + 1)

a_{n} (1 - b_{n}) = 1 + b_{n}

a_{n} = \frac{1 + b_{n}}{1 - b_{n}}

Şimdi $b_{n} = \frac{{- 1}^{n - 1}}{3^{n}}$ yerine yazalım:

a_{n} = \frac{1 + \frac{{- 1}^{n - 1}}{3^{n}}}{1 - \frac{{- 1}^{n - 1}}{3^{n}}}

7) Şık kontrolü: Bu ifade seçeneklerde şıkkıB8885 ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap B8918’dır.

Sonuç (doğru şık): A

7. SoruÇoktan Seçmeli

Bir geometrik dizinin ardışık üç terimi sırasıyla $(x - 1)$ , $(x + 2)$ ve $(2 x + 1)$ dir. Dizi artan olduğuna göre $x$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

8. SoruÇoktan Seçmeli

$a_{1} = 1$ ve $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2^{n}$ olmak üzere $b_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ ifadesinin kapalı formu nedir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Verilen dizi: a 1 = 1 a n + 1 = 3 a n + 2 n ve toplam: b n = ∑ k = 1 n a k Önce a dizisinin kapalı formunu bulalım. Denklem doğrusal ve sabit katsayılıdır: a n + 1 - 3 a n = 2 n Homojen kısmın çözümü: a n + 1 = 3 a n a n ( h ) = C 3 n - 1 Özel çözüm için sağ tarafta 2 tabanı olduğundan şu biçimi deneyelim: a n ( p ) = c 2 n Yerine yazalım: c 2 n + 1 - 3 c 2 n = 2 n Ortak çarpanı ayıralım: c 2 n ( 2 - 3 ) = 2 n - c 2 n = 2 n c = - 1 Dolayısıyla: a n ( p ) = - 2 n Genel çözüm: a n = C 3 n - 1 - 2 n Başlangıç koşulunu kullanalım: a 1 = C 3 0 - 2 1 1 = C - 2 C = 3 Böylece: a n = 3 3 n - 1 - 2 n a n = 3 n - 2 n Şimdi b toplamını bulalım: b n = ∑ k = 1 n a k b n = ∑ k = 1 n ( 3 k - 2 k ) b n = ∑ k = 1 n 3 k - ∑ k = 1 n 2 k Geometrik seri formülleri: ∑ k = 1 n 3 k = 3 n + 1 - 3 2 ∑ k = 1 n 2 k = 2 n + 1 - 2 Birleştirelim: b n = 3 n + 1 - 3 2 - ( 2 n + 1 - 2 ) b n = 3 n + 1 - 3 - 2 2 n + 1 + 4 2 b n = 3 n + 1 - 2 n + 2 + 1 2 Bu ifade şıklardan: b n = 3 n + 1 - 2 n + 2 + 1 2 ile aynı olduğundan doğru cevap D1050 şıkkıdır.

Çözüm: Verilen dizi: a 1 = 1 a n + 1 = 3 a n + 2 n ve toplam: b n = ∑ k = 1 n a k Önce a dizisinin kapalı formunu bulalım. Denklem doğrusal ve sabit katsayılıdır: a n + 1 - 3 a n = 2 n Homojen kısmın çözümü: a n + 1 = 3 a n a n ( h ) = C 3 n - 1 Özel çözüm için sağ tarafta 2 tabanı olduğundan şu biçimi deneyelim: a n ( p ) = c 2 n Yerine yazalım: c 2 n + 1 - 3 c 2 n = 2 n Ortak çarpanı ayıralım: c 2 n ( 2 - 3 ) = 2 n - c 2 n = 2 n c = - 1 Dolayısıyla: a n ( p ) = - 2 n Genel çözüm: a n = C 3 n - 1 - 2 n Başlangıç koşulunu kullanalım: a 1 = C 3 0 - 2 1 1 = C - 2 C = 3 Böylece: a n = 3 3 n - 1 - 2 n a n = 3 n - 2 n Şimdi b toplamını bulalım: b n = ∑ k = 1 n a k b n = ∑ k = 1 n ( 3 k - 2 k ) b n = ∑ k = 1 n 3 k - ∑ k = 1 n 2 k Geometrik seri formülleri: ∑ k = 1 n 3 k = 3 n + 1 - 3 2 ∑ k = 1 n 2 k = 2 n + 1 - 2 Birleştirelim: b n = 3 n + 1 - 3 2 - ( 2 n + 1 - 2 ) b n = 3 n + 1 - 3 - 2 2 n + 1 + 4 2 b n = 3 n + 1 - 2 n + 2 + 1 2 Bu ifade şıklardan: b n = 3 n + 1 - 2 n + 2 + 1 2 ile aynı olduğundan doğru cevap D1050 şıkkıdır.

Verilen dizi:

a_{1} = 1

a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2^{n}

ve toplam:

b_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}

Önce a dizisinin kapalı formunu bulalım. Denklem doğrusal ve sabit katsayılıdır:

a_{n + 1} - 3 a_{n} = 2^{n}

Homojen kısmın çözümü:

a_{n + 1} = 3 a_{n}

a_{n}^{(h)} = C 3^{n - 1}

Özel çözüm için sağ tarafta 2 tabanı olduğundan şu biçimi deneyelim:

a_{n}^{(p)} = c 2^{n}

Yerine yazalım:

c 2^{n + 1} - 3 c 2^{n} = 2^{n}

Ortak çarpanı ayıralım:

c 2^{n} (2 - 3) = 2^{n}

- c 2^{n} = 2^{n}

c = - 1

Dolayısıyla:

a_{n}^{(p)} = - 2^{n}

Genel çözüm:

a_{n} = C 3^{n - 1} - 2^{n}

Başlangıç koşulunu kullanalım:

a_{1} = C 3^{0} - 2^{1}

1 = C - 2

C = 3

Böylece:

a_{n} = 3 3^{n - 1} - 2^{n}

a_{n} = 3^{n} - 2^{n}

Şimdi b toplamını bulalım:

b_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}

b_{n} = \sum_{k = 1}^{n} (3^{k} - 2^{k})

b_{n} = \sum_{k = 1}^{n} 3^{k} - \sum_{k = 1}^{n} 2^{k}

Geometrik seri formülleri:

\sum_{k = 1}^{n} 3^{k} = \frac{3^{n + 1} - 3}{2}

\sum_{k = 1}^{n} 2^{k} = 2^{n + 1} - 2

Birleştirelim:

b_{n} = \frac{3^{n + 1} - 3}{2} - (2^{n + 1} - 2)

b_{n} = \frac{3^{n + 1} - 3 - 2 2^{n + 1} + 4}{2}

b_{n} = \frac{3^{n + 1} - 2^{n + 2} + 1}{2}

Bu ifade şıklardan:

b_{n} = \frac{3^{n + 1} - 2^{n + 2} + 1}{2}

ile aynı olduğundan doğru cevap A şıkkıdır.

9. SoruÇoktan Seçmeli

İlk terimi 3, ortak farkı 4 olan aritmetik dizinin 5. terimi kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

10. SoruÇoktan Seçmeli

İlk terimi 2, ortak çarpanı 3 olan geometrik dizinin 4. terimi kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Diziler Sık Sorulan Sorular

Aritmetik dizi nedir?

Ardışık terimleri arasındaki farkın sabit olduğu dizidir.

Geometrik dizi nedir?

Ardışık terimleri arasındaki oranın sabit olduğu dizidir.

Genel terim neden önemlidir?

Dizinin herhangi bir terimine, tüm terimleri tek tek yazmadan ulaşmayı sağlar.

12. Sınıf Matematik Diziler Testleri

Dizileri genel terim ve örüntü ilişkisiyle öğren

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

Sık karıştırılan noktalar

Verimli çalışma yolu

12. Sınıf Matematik Diziler Testleri

Aşağıdaki dizi tanımlanıyor:an=∑k=0n(−1)k⋅Cn,k⋅1k+1,n∈N0Bu dizi için an kapalı formu hangisidir?

Aşağıdaki dizi için a1=1 ve an+1=2an+3an+2 tanımlı olsun. bn=an-3an+3 ifadesinin n'e bağlı kapalı formu hangisidir?

(an) dizisi a1=1 ve an+1=2an+-1n ile tanımlanıyor.Buna göre a10 kaçtır?

Aşağıdaki dizi tanımlanıyor:a1=1an+1=an1+2ana2026 değerini bulun.

an dizisi a1=1 ve an+1=3an+2n koşullarıyla tanımlanıyor (n≥1).∑k=1nak toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

Pozitif reel sayılardan oluşan (an) dizisia1=2an+1=an+22an+1Buna göre an için kapalı form aşağıdakilerden hangisidir?

Bir geometrik dizinin ardışık üç terimi sırasıyla (x-1), (x+2) ve (2x+1) dir. Dizi artan olduğuna göre x kaçtır?

a1=1 ve an+1=3an+2n olmak üzere bn=∑k=1nak ifadesinin kapalı formu nedir?

İlk terimi 3, ortak farkı 4 olan aritmetik dizinin 5. terimi kaçtır?

İlk terimi 2, ortak çarpanı 3 olan geometrik dizinin 4. terimi kaçtır?

Diziler Sık Sorulan Sorular

Aşağıdaki dizi tanımlanıyor:
$a_{n} = \sum_{k = 0}^{n} {(- 1)}^{k} \cdot C_{n, k} \cdot \frac{1}{k + 1}, n \in N_{0}$
Bu dizi için $a_{n}$ kapalı formu hangisidir?

Aşağıdaki dizi için $a_{1} = 1$ ve $a_{n + 1} = \frac{2 a_{n} + 3}{a_{n} + 2}$ tanımlı olsun.
$b_{n} = \frac{a_{n} - \sqrt{3}}{a_{n} + \sqrt{3}}$ ifadesinin $n$ 'e bağlı kapalı formu hangisidir?

$(a_{n})$ dizisi $a_{1} = 1$ ve $a_{n + 1} = 2 a_{n} + {- 1}^{n}$ ile tanımlanıyor.
Buna göre $a_{10}$ kaçtır?

Aşağıdaki dizi tanımlanıyor:
$a_{1} = 1$
$a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{1 + 2 a_{n}}$
$a_{2026}$ değerini bulun.

$a_{n}$ dizisi $a_{1} = 1$ ve $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2^{n}$ koşullarıyla tanımlanıyor ( $n \geq 1$ ).
$\sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ toplamı aşağıdakilerden hangisidir?

Pozitif reel sayılardan oluşan $(a_{n})$ dizisi
$a_{1} = 2$
$a_{n + 1} = \frac{a_{n} + 2}{2 a_{n} + 1}$
Buna göre $a_{n}$ için kapalı form aşağıdakilerden hangisidir?

Bir geometrik dizinin ardışık üç terimi sırasıyla $(x - 1)$ , $(x + 2)$ ve $(2 x + 1)$ dir. Dizi artan olduğuna göre $x$ kaçtır?

$a_{1} = 1$ ve $a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2^{n}$ olmak üzere $b_{n} = \sum_{k = 1}^{n} a_{k}$ ifadesinin kapalı formu nedir?