12. Sınıf Matematik

12. Sınıf Matematik Diziler Testleri

Diziler konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

Dizileri genel terim ve örüntü ilişkisiyle öğren

Diziler, belirli bir kurala göre sıralanan sayı veya ifadeler topluluğudur. Genel terim, ardışık terimler arasındaki ilişki ve toplam formülleri dizilerin temel yapı taşlarını oluşturur.

Bu içerik; aritmetik ve geometrik dizileri, genel terim bulmayı, ortak fark ve ortak çarpanı yorumlamayı ve dizi toplamlarını problem bağlamında uygulamayı kolaylaştırır.

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

Dizinin genel terimini verilen örüntüden çıkarır.
Aritmetik ve geometrik dizileri ayırt eder.
Ortak fark ve ortak çarpanı kullanır.
Dizi toplamlarını uygun formülle hesaplar ve yorumlar.

Sık karıştırılan noktalar

Ardışık terimler arasındaki farkın sabit olmasını her dizinin aritmetik olduğu şeklinde yorumlamak yanlıştır. Geometrik dizilerde sabit olan oran, yani ortak çarpandır.

Verimli çalışma yolu

İlk terimleri yazıp ardışık fark ve oranları kontrol et. Sonra genel terimi oluştur ve sorunun istediği terim veya toplam için uygun bağıntıyı seç. Yanlış yaptığın sorularda doğru cevabı işaretlemekle yetinme; hangi bilgi veya işlem adımında zorlandığını belirle.

Test seç

6 Test

1. Test 2. Test 3. Test 4. Test 5. Test 6. Test

3. Test

12. Sınıf Matematik Diziler Testleri

Diziler konusu 3. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru

0/10 Soru0 %

Doğru 0

Yanlış 0

Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

Bir aritmetik dizide $a_{1} = 3$ ve ortak fark $d = 2$ ise $a_{10}$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki dizi için $a_{1}$ ve $a_{n + 1} = 2 a_{n} + n$ koşulları veriliyor $(n \geq 1)$ . Buna göre $a_{10}$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki dizi $a_{1} = 1$ ve $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ kuralı ile tanımlanıyor. $a_{5}$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Bir aritmetik dizide $a_{1} = 2$ ve $a_{4} = 11$ ise $a_{7}$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıda verilen bağıntı ile tanımlanan dizi için istenen toplamın değerini bulunuz.
$a_{1} = 1$
$a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3^{n}$
$T_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{a_{k}}{3^{k}}$
$T_{n}$ ifadesinin $n$ cinsinden değeri kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Bir aritmetik dizide birinci terim $3$ ve ortak fark $5$ tir.
$n$ inci terim $48$ olduğuna göre $n$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıda tanımlanan dizide beşinci terimi bulunuz.
$\begin{matrix} a_{1} = 2 \\ a_{n + 1} = a_{n} + 3 n (n \geq 1) \end{matrix}$
$a_{5}$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Geometrik bir dizide ilk terim $a_{1} = 2$ ve ortak oran $r = 3$ olduğuna göre $a_{5}$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Aritmetik bir dizide
$a_{1} = 3, a_{4} = 12$
olduğuna göre $a_{10}$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

10. SoruÇoktan Seçmeli

$(a_{n})$ dizisi $a_{1} = 0$ ve $a_{n + 1} = \frac{a_{n} + 1}{a_{n} + 3}$ ile tanımlıdır.
$\lim_{n \to \infty} a_{n}$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Doğru seçenek C ’dir. Önce tanımı hatırlayalım: a 1 = 0 a n + 1 = a n + 1 a n + 3 1) Dizi hangi aralıkta kalıyor (sınırlılık)? İlk birkaç terimi bulalım: a 2 = a 1 + 1 a 1 + 3 = 0 + 1 0 + 3 = 1 3 Ardışık terimlerin, fonksiyonla üretildiğini yazalım: f ( x ) = x + 1 x + 3 Şimdi aralık kapanışını kontrol edelim: Eğer giriş 0 ≤ x ≤ 1 ise, uçlarda değerler f ( 0 ) = 1 3 f ( 1 ) = 2 4 = 1 2 Ayrıca artan olduğunu göstermek için türev alalım: f ′ ( x ) = ( x + 3 ) ⋅ 1 - ( x + 1 ) ⋅ 1 x + 3 2 = 2 x + 3 2 Buradan f ′ ( x ) > 0 olduğu için f artandır ve dolayısıyla 1 3 = f ( 0 ) ≤ f ( x ) ≤ f ( 1 ) = 1 2 Demek ki a 2 = 1 3 olduğundan itibaren tüm terimler 1 3 ≤ a n ≤ 1 2 aralığında kalır; yani dizi sınırlıdır. 2) Yakınsaklığı garanti edelim (büzülme). Türevin bu aralıkta üst sınırına bakalım: x ≥ 1 3 ⇒ x + 3 ≥ 10 3 ⇒ f ′ ( x ) = 2 x + 3 2 ≤ 2 10 3 2 = 18 100 < 1 Bu, fonksiyonun bu aralıkta büzülme olduğunu gösterir; dolayısıyla dizi bir limite yakınsar. 3) Limit L ise sabit nokta denklemini sağlar: L = L + 1 L + 3 Çarpıp düzenleyelim: L ( L + 3 ) = L + 1 L 2 + 3 L = L + 1 L 2 + 2 L - 1 = 0 Kökleri bulalım: L = - 2 ± 2 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ ( - 1 ) 2 = - 2 ± 8 2 = - 1 ± 2 Olası limitler: L = - 1 + 2 L = - 1 - 2 4) Hangi kök seçilir? Dizi terimleri 1 3 ≤ a n ≤ 1 2 aralığında kaldığı için limit de bu aralıkta olmalıdır. Bu şartı sağlayan tek kök - 1 + 2 = 2 - 1 olur. Sonuç: lim n → ∞ a n = 2 - 1

Çözüm: Doğru seçenek C ’dir. Önce tanımı hatırlayalım: a 1 = 0 a n + 1 = a n + 1 a n + 3 1) Dizi hangi aralıkta kalıyor (sınırlılık)? İlk birkaç terimi bulalım: a 2 = a 1 + 1 a 1 + 3 = 0 + 1 0 + 3 = 1 3 Ardışık terimlerin, fonksiyonla üretildiğini yazalım: f ( x ) = x + 1 x + 3 Şimdi aralık kapanışını kontrol edelim: Eğer giriş 0 ≤ x ≤ 1 ise, uçlarda değerler f ( 0 ) = 1 3 f ( 1 ) = 2 4 = 1 2 Ayrıca artan olduğunu göstermek için türev alalım: f ′ ( x ) = ( x + 3 ) ⋅ 1 - ( x + 1 ) ⋅ 1 x + 3 2 = 2 x + 3 2 Buradan f ′ ( x ) > 0 olduğu için f artandır ve dolayısıyla 1 3 = f ( 0 ) ≤ f ( x ) ≤ f ( 1 ) = 1 2 Demek ki a 2 = 1 3 olduğundan itibaren tüm terimler 1 3 ≤ a n ≤ 1 2 aralığında kalır; yani dizi sınırlıdır. 2) Yakınsaklığı garanti edelim (büzülme). Türevin bu aralıkta üst sınırına bakalım: x ≥ 1 3 ⇒ x + 3 ≥ 10 3 ⇒ f ′ ( x ) = 2 x + 3 2 ≤ 2 10 3 2 = 18 100 < 1 Bu, fonksiyonun bu aralıkta büzülme olduğunu gösterir; dolayısıyla dizi bir limite yakınsar. 3) Limit L ise sabit nokta denklemini sağlar: L = L + 1 L + 3 Çarpıp düzenleyelim: L ( L + 3 ) = L + 1 L 2 + 3 L = L + 1 L 2 + 2 L - 1 = 0 Kökleri bulalım: L = - 2 ± 2 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ ( - 1 ) 2 = - 2 ± 8 2 = - 1 ± 2 Olası limitler: L = - 1 + 2 L = - 1 - 2 4) Hangi kök seçilir? Dizi terimleri 1 3 ≤ a n ≤ 1 2 aralığında kaldığı için limit de bu aralıkta olmalıdır. Bu şartı sağlayan tek kök - 1 + 2 = 2 - 1 olur. Sonuç: lim n → ∞ a n = 2 - 1

Doğru seçenek B’dir.

Önce tanımı hatırlayalım:

a_{1} = 0

a_{n + 1} = \frac{a_{n} + 1}{a_{n} + 3}

1) Dizi hangi aralıkta kalıyor (sınırlılık)? İlk birkaç terimi bulalım:

a_{2} = \frac{a_{1} + 1}{a_{1} + 3} = \frac{0 + 1}{0 + 3} = \frac{1}{3}

Ardışık terimlerin, fonksiyonla üretildiğini yazalım:

f (x) = \frac{x + 1}{x + 3}

Şimdi aralık kapanışını kontrol edelim: Eğer giriş

0 \leq x \leq 1

ise, uçlarda değerler

f (0) = \frac{1}{3}

f (1) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}

Ayrıca artan olduğunu göstermek için türev alalım:

f^{'} (x) = \frac{(x + 3) \cdot 1 - (x + 1) \cdot 1}{{x + 3}^{2}} = \frac{2}{{x + 3}^{2}}

Buradan

f^{'} (x) > 0

olduğu için

f

artandır ve dolayısıyla

\frac{1}{3} = f (0) \leq f (x) \leq f (1) = \frac{1}{2}

Demek ki

a_{2} = \frac{1}{3}

olduğundan itibaren tüm terimler

\frac{1}{3} \leq a_{n} \leq \frac{1}{2}

aralığında kalır; yani dizi sınırlıdır.

2) Yakınsaklığı garanti edelim (büzülme). Türevin bu aralıkta üst sınırına bakalım:

x \geq \frac{1}{3} \Rightarrow x + 3 \geq \frac{10}{3} \Rightarrow f^{'} (x) = \frac{2}{{x + 3}^{2}}

Bu, fonksiyonun bu aralıkta büzülme olduğunu gösterir; dolayısıyla dizi bir limite yakınsar.

3) Limit

L

ise sabit nokta denklemini sağlar:

L = \frac{L + 1}{L + 3}

Çarpıp düzenleyelim:

L (L + 3) = L + 1

L^{2} + 3 L = L + 1

L^{2} + 2 L - 1 = 0

Kökleri bulalım:

L = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1)}}{2} = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2} = - 1 \pm \sqrt{2}

Olası limitler:

L = - 1 + \sqrt{2}

L = - 1 - \sqrt{2}

4) Hangi kök seçilir? Dizi terimleri

\frac{1}{3} \leq a_{n} \leq \frac{1}{2}

aralığında kaldığı için limit de bu aralıkta olmalıdır. Bu şartı sağlayan tek kök

- 1 + \sqrt{2} = \sqrt{2} - 1

olur.

Sonuç:

\lim_{n \to \infty} a_{n} = \sqrt{2} - 1

Diziler Sık Sorulan Sorular

Aritmetik dizi nedir?

Ardışık terimleri arasındaki farkın sabit olduğu dizidir.

Geometrik dizi nedir?

Ardışık terimleri arasındaki oranın sabit olduğu dizidir.

Genel terim neden önemlidir?

Dizinin herhangi bir terimine, tüm terimleri tek tek yazmadan ulaşmayı sağlar.

12. Sınıf Matematik Diziler Testleri

Dizileri genel terim ve örüntü ilişkisiyle öğren

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

Sık karıştırılan noktalar

Verimli çalışma yolu

12. Sınıf Matematik Diziler Testleri

Bir aritmetik dizide a1=3 ve ortak fark d=2 ise a10 kaçtır?

Aşağıdaki dizi için a1 ve an+1=2an+n koşulları veriliyor (n≥1). Buna göre a10 kaçtır?

Aşağıdaki dizi a1=1 ve an+1=2an+1 kuralı ile tanımlanıyor. a5 kaçtır?

Bir aritmetik dizide a1=2 ve a4=11 ise a7 kaçtır?

Aşağıda verilen bağıntı ile tanımlanan dizi için istenen toplamın değerini bulunuz.a1=1an+1=2an+3nTn=∑k=1nak3kTn ifadesinin n cinsinden değeri kaçtır?

Bir aritmetik dizide birinci terim 3 ve ortak fark 5 tir.n inci terim 48 olduğuna göre n kaçtır?

Aşağıda tanımlanan dizide beşinci terimi bulunuz.a1=2an+1=an+3n (n≥1)a5 kaçtır?

Geometrik bir dizide ilk terim a1=2 ve ortak oran r=3 olduğuna göre a5 kaçtır?

Aritmetik bir dizidea1=3,a4=12olduğuna göre a10 kaçtır?

(an) dizisi a1=0 ve an+1=an+1an+3 ile tanımlıdır.limn→∞an kaçtır?

Diziler Sık Sorulan Sorular

Bir aritmetik dizide $a_{1} = 3$ ve ortak fark $d = 2$ ise $a_{10}$ kaçtır?

Aşağıdaki dizi için $a_{1}$ ve $a_{n + 1} = 2 a_{n} + n$ koşulları veriliyor $(n \geq 1)$ . Buna göre $a_{10}$ kaçtır?

Aşağıdaki dizi $a_{1} = 1$ ve $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$ kuralı ile tanımlanıyor. $a_{5}$ kaçtır?

Bir aritmetik dizide $a_{1} = 2$ ve $a_{4} = 11$ ise $a_{7}$ kaçtır?

Aşağıda verilen bağıntı ile tanımlanan dizi için istenen toplamın değerini bulunuz.
$a_{1} = 1$
$a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3^{n}$
$T_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{a_{k}}{3^{k}}$
$T_{n}$ ifadesinin $n$ cinsinden değeri kaçtır?

Bir aritmetik dizide birinci terim $3$ ve ortak fark $5$ tir.
$n$ inci terim $48$ olduğuna göre $n$ kaçtır?

Aşağıda tanımlanan dizide beşinci terimi bulunuz.
$\begin{matrix} a_{1} = 2 \\ a_{n + 1} = a_{n} + 3 n (n \geq 1) \end{matrix}$
$a_{5}$ kaçtır?

Geometrik bir dizide ilk terim $a_{1} = 2$ ve ortak oran $r = 3$ olduğuna göre $a_{5}$ kaçtır?

Aritmetik bir dizide
$a_{1} = 3, a_{4} = 12$
olduğuna göre $a_{10}$ kaçtır?

$(a_{n})$ dizisi $a_{1} = 0$ ve $a_{n + 1} = \frac{a_{n} + 1}{a_{n} + 3}$ ile tanımlıdır.
$\lim_{n \to \infty} a_{n}$ kaçtır?