12. Sınıf Matematik

12. Sınıf Matematik Diziler Testleri

Diziler konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

Dizileri genel terim ve örüntü ilişkisiyle öğren

Diziler, belirli bir kurala göre sıralanan sayı veya ifadeler topluluğudur. Genel terim, ardışık terimler arasındaki ilişki ve toplam formülleri dizilerin temel yapı taşlarını oluşturur.

Bu içerik; aritmetik ve geometrik dizileri, genel terim bulmayı, ortak fark ve ortak çarpanı yorumlamayı ve dizi toplamlarını problem bağlamında uygulamayı kolaylaştırır.

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

Dizinin genel terimini verilen örüntüden çıkarır.
Aritmetik ve geometrik dizileri ayırt eder.
Ortak fark ve ortak çarpanı kullanır.
Dizi toplamlarını uygun formülle hesaplar ve yorumlar.

Sık karıştırılan noktalar

Ardışık terimler arasındaki farkın sabit olmasını her dizinin aritmetik olduğu şeklinde yorumlamak yanlıştır. Geometrik dizilerde sabit olan oran, yani ortak çarpandır.

Verimli çalışma yolu

İlk terimleri yazıp ardışık fark ve oranları kontrol et. Sonra genel terimi oluştur ve sorunun istediği terim veya toplam için uygun bağıntıyı seç. Yanlış yaptığın sorularda doğru cevabı işaretlemekle yetinme; hangi bilgi veya işlem adımında zorlandığını belirle.

Test seç

6 Test

1. Test 2. Test 3. Test 4. Test 5. Test 6. Test

5. Test

12. Sınıf Matematik Diziler Testleri

Diziler konusu 5. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru

0/10 Soru0 %

Doğru 0

Yanlış 0

Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıda tanımlanan dizi için limit değeri soruluyor:
$a_{1} = 2, a_{n + 1} = \frac{{a_{n}}^{2} + 1}{2 a_{n}} (n \geq 1)$
$lim_{n \to \infty} a_{n}$ değeri kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Cevap kontrolü: Verilen limit değeri şıkkıD37 ile uyumludur. 1) Dizi tanımını daha kullanışlı yazalım. a 1 = 2 a n + 1 = a n 2 + 1 2 a n Bu ifade şu biçimde de yazılır: a n + 1 = 1 2 a n + 1 a n 2) Terimlerin pozitif olduğunu gösterelim. Başlangıç terimi: a 1 = 2 > 0 Pozitif bir terimden sonra gelen terim: Eğer a n > 0 ise a n + 1 = a n 2 + 1 2 a n > 0 Dolayısıyla tüm terimler pozitiftir. 3) Alt sınır: Her terimin en az 1 olduğunu gösterelim (AM-GM fikri). Pozitif sayılar için şu her zaman doğrudur: a n + 1 a n ≥ 2 İki tarafa da yarım çarpanı uygulanır: 1 2 a n + 1 a n ≥ 1 Sol taraf zaten bir sonraki terim olduğundan: a n + 1 ≥ 1 Özet: Dizi aşağıdan 1 ile sınırlıdır. 4) Monotonluk: Terimler 1'in üzerindeyken azaldığını gösterelim. Farkı hesaplayalım: a n + 1 - a n = a n 2 + 1 2 a n - a n a n + 1 - a n = a n 2 + 1 - 2 a n 2 2 a n a n + 1 - a n = 1 - a n 2 2 a n Eğer terim 1'den büyükse pay negatiftir, payda pozitiftir: Eğer a n > 1 ise a n + 1 - a n < 0 Yani terimler 1'in üzerindeyken dizi azalan davranır. Başlangıç terimi 2 olduğu için dizi 1'e doğru azalır ve 1'in altına inmez. 5) Yakınsaklık ve limitin bulunması. Dizi aşağıdan sınırlı ve (1'in üzerinde) azalan olduğundan bir limite yakınsar. Limiti aşağıdaki gibi bulalım. Limit değeri için: lim n → ∞ a n = L Rekürsif bağıntıda limite geçelim: L = L 2 + 1 2 L Her iki tarafı düzenleyelim: 2 L 2 = L 2 + 1 L 2 = 1 L = 1 veya L = − 1 Ancak tüm terimler pozitif olduğundan limit negatif olamaz: L = 1 Sonuç: lim n → ∞ a n = 1 Doğru seçenek: D1550.

Çözüm: Cevap kontrolü: Verilen limit değeri şıkkıD37 ile uyumludur. 1) Dizi tanımını daha kullanışlı yazalım. a 1 = 2 a n + 1 = a n 2 + 1 2 a n Bu ifade şu biçimde de yazılır: a n + 1 = 1 2 a n + 1 a n 2) Terimlerin pozitif olduğunu gösterelim. Başlangıç terimi: a 1 = 2 > 0 Pozitif bir terimden sonra gelen terim: Eğer a n > 0 ise a n + 1 = a n 2 + 1 2 a n > 0 Dolayısıyla tüm terimler pozitiftir. 3) Alt sınır: Her terimin en az 1 olduğunu gösterelim (AM-GM fikri). Pozitif sayılar için şu her zaman doğrudur: a n + 1 a n ≥ 2 İki tarafa da yarım çarpanı uygulanır: 1 2 a n + 1 a n ≥ 1 Sol taraf zaten bir sonraki terim olduğundan: a n + 1 ≥ 1 Özet: Dizi aşağıdan 1 ile sınırlıdır. 4) Monotonluk: Terimler 1'in üzerindeyken azaldığını gösterelim. Farkı hesaplayalım: a n + 1 - a n = a n 2 + 1 2 a n - a n a n + 1 - a n = a n 2 + 1 - 2 a n 2 2 a n a n + 1 - a n = 1 - a n 2 2 a n Eğer terim 1'den büyükse pay negatiftir, payda pozitiftir: Eğer a n > 1 ise a n + 1 - a n < 0 Yani terimler 1'in üzerindeyken dizi azalan davranır. Başlangıç terimi 2 olduğu için dizi 1'e doğru azalır ve 1'in altına inmez. 5) Yakınsaklık ve limitin bulunması. Dizi aşağıdan sınırlı ve (1'in üzerinde) azalan olduğundan bir limite yakınsar. Limiti aşağıdaki gibi bulalım. Limit değeri için: lim n → ∞ a n = L Rekürsif bağıntıda limite geçelim: L = L 2 + 1 2 L Her iki tarafı düzenleyelim: 2 L 2 = L 2 + 1 L 2 = 1 L = 1 veya L = − 1 Ancak tüm terimler pozitif olduğundan limit negatif olamaz: L = 1 Sonuç: lim n → ∞ a n = 1 Doğru seçenek: D1550.

Cevap kontrolü: Verilen limit değeri şıkkıD92 ile uyumludur.

1) Dizi tanımını daha kullanışlı yazalım.

a_{1} = 2

a_{n + 1} = \frac{{a_{n}}^{2} + 1}{2 a_{n}}

Bu ifade şu biçimde de yazılır:

a_{n + 1} = \frac{1}{2} (a_{n} + \frac{1}{a_{n}})

2) Terimlerin pozitif olduğunu gösterelim.

Başlangıç terimi:

a_{1} = 2 > 0

Pozitif bir terimden sonra gelen terim:

Eğer a_{n} > 0 ise a_{n + 1} = \frac{{a_{n}}^{2} + 1}{2 a_{n}} > 0

Dolayısıyla tüm terimler pozitiftir.

3) Alt sınır: Her terimin en az 1 olduğunu gösterelim (AM-GM fikri).

Pozitif sayılar için şu her zaman doğrudur:

a_{n} + \frac{1}{a_{n}} \geq 2

İki tarafa da yarım çarpanı uygulanır:

\frac{1}{2} (a_{n} + \frac{1}{a_{n}}) \geq 1

Sol taraf zaten bir sonraki terim olduğundan:

a_{n + 1} \geq 1

Özet: Dizi aşağıdan 1 ile sınırlıdır.

4) Monotonluk: Terimler 1'in üzerindeyken azaldığını gösterelim.

Farkı hesaplayalım:

a_{n + 1} - a_{n} = \frac{{a_{n}}^{2} + 1}{2 a_{n}} - a_{n}

a_{n + 1} - a_{n} = \frac{{a_{n}}^{2} + 1 - 2 {a_{n}}^{2}}{2 a_{n}}

a_{n + 1} - a_{n} = \frac{1 - {a_{n}}^{2}}{2 a_{n}}

Eğer terim 1'den büyükse pay negatiftir, payda pozitiftir:

Eğer a_{n} > 1 ise a_{n + 1} - a_{n} < 0

Yani terimler 1'in üzerindeyken dizi azalan davranır.

Başlangıç terimi 2 olduğu için dizi 1'e doğru azalır ve 1'in altına inmez.

5) Yakınsaklık ve limitin bulunması.

Dizi aşağıdan sınırlı ve (1'in üzerinde) azalan olduğundan bir limite yakınsar. Limiti aşağıdaki gibi bulalım.

Limit değeri için:

lim_{n \to \infty} a_{n} = L

Rekürsif bağıntıda limite geçelim:

L = \frac{L^{2} + 1}{2 L}

Her iki tarafı düzenleyelim:

2 L^{2} = L^{2} + 1

L^{2} = 1

L = 1 veya L = - 1

Ancak tüm terimler pozitif olduğundan limit negatif olamaz:

L = 1

Sonuç:

lim_{n \to \infty} a_{n} = 1

Doğru seçenek: B.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki dizi için istenen ifadeyi bulunuz.
$a_{1} = 2$
$a_{n + 1} = \frac{a_{n} + 3}{a_{n} + 1}$
$n \geq 1$
$\frac{a_{n} - \sqrt{3}}{a_{n} + \sqrt{3}}$ ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

1) Seçenek kontrolü için ifadeyi geometrik diziye dönüştürelim. Sabit olarak s = 3 2) İstenen ifadeyi yeni bir dizi gibi tanımlayalım: b n = a n - s a n + s 3) Verilen bağıntıyı kullanarak b n+1 ’i a n cinsinden yazalım: a n + 1 = a n + 3 a n + 1 4) Tanıma göre: b n + 1 = a n + 1 - s a n + 1 + s 5) a n+1 yerine verilen kesri yazıp sadeleştirelim (pay ve paydayı a n +1 ile genişletiyoruz): b n + 1 = a n + 3 a n + 1 - s a n + 3 a n + 1 + s b n + 1 = a n + 3 - s ( a n + 1 ) a n + 3 + s ( a n + 1 ) 6) Pay ve paydayı açalım: b n + 1 = a n + 3 - s a n - s a n + 3 + s a n + s 7) Ortak çarpan olacak şekilde gruplayalım: b n + 1 = ( 1 - s ) a n + ( 3 - s ) ( 1 + s ) a n + ( 3 + s ) 8) Şimdi kritik iki sadeleştirme: s 2 =3 olduğundan 3 - s 1 - s = s ( s - 1 ) - ( s - 1 ) = - s 3 + s 1 + s = s ( s + 1 ) ( s + 1 ) = s Bunları 7. adımdaki kesirde kullanırsak: b n + 1 = ( 1 - s ) ( a n - s ) ( 1 + s ) ( a n + s ) 9) Böylece b n için geometrik oran ortaya çıkar: b n + 1 = 1 - s 1 + s ⋅ b n 10) Katsayıyı sadeleştirelim: 1 - s 1 + s = ( 1 - s ) 2 1 - s 2 = 1 - 2 s + s 2 1 - 3 = 4 - 2 s - 2 = s - 2 Dolayısıyla: b n + 1 = ( s - 2 ) b n 11) Başlangıç değeri: b 1 = a 1 - s a 1 + s = 2 - s 2 + s 12) Geometrik dizi formülüyle: b n = b 1 ⋅ ( s - 2 ) n - 1 13) s =√3 yazarsak istenen ifade: a n - 3 a n + 3 = 2 - 3 2 + 3 ⋅ ( 3 - 2 ) n - 1 Sonuç: Doğru cevap A ’dır.

Çözüm: 1) Seçenek kontrolü için ifadeyi geometrik diziye dönüştürelim. Sabit olarak s = 3 2) İstenen ifadeyi yeni bir dizi gibi tanımlayalım: b n = a n - s a n + s 3) Verilen bağıntıyı kullanarak b n+1 ’i a n cinsinden yazalım: a n + 1 = a n + 3 a n + 1 4) Tanıma göre: b n + 1 = a n + 1 - s a n + 1 + s 5) a n+1 yerine verilen kesri yazıp sadeleştirelim (pay ve paydayı a n +1 ile genişletiyoruz): b n + 1 = a n + 3 a n + 1 - s a n + 3 a n + 1 + s b n + 1 = a n + 3 - s ( a n + 1 ) a n + 3 + s ( a n + 1 ) 6) Pay ve paydayı açalım: b n + 1 = a n + 3 - s a n - s a n + 3 + s a n + s 7) Ortak çarpan olacak şekilde gruplayalım: b n + 1 = ( 1 - s ) a n + ( 3 - s ) ( 1 + s ) a n + ( 3 + s ) 8) Şimdi kritik iki sadeleştirme: s 2 =3 olduğundan 3 - s 1 - s = s ( s - 1 ) - ( s - 1 ) = - s 3 + s 1 + s = s ( s + 1 ) ( s + 1 ) = s Bunları 7. adımdaki kesirde kullanırsak: b n + 1 = ( 1 - s ) ( a n - s ) ( 1 + s ) ( a n + s ) 9) Böylece b n için geometrik oran ortaya çıkar: b n + 1 = 1 - s 1 + s ⋅ b n 10) Katsayıyı sadeleştirelim: 1 - s 1 + s = ( 1 - s ) 2 1 - s 2 = 1 - 2 s + s 2 1 - 3 = 4 - 2 s - 2 = s - 2 Dolayısıyla: b n + 1 = ( s - 2 ) b n 11) Başlangıç değeri: b 1 = a 1 - s a 1 + s = 2 - s 2 + s 12) Geometrik dizi formülüyle: b n = b 1 ⋅ ( s - 2 ) n - 1 13) s =√3 yazarsak istenen ifade: a n - 3 a n + 3 = 2 - 3 2 + 3 ⋅ ( 3 - 2 ) n - 1 Sonuç: Doğru cevap A ’dır.

1) Seçenek kontrolü için ifadeyi geometrik diziye dönüştürelim. Sabit olarak

s = \sqrt{3}

2) İstenen ifadeyi yeni bir dizi gibi tanımlayalım:

b_{n} = \frac{a_{n} - s}{a_{n} + s}

3) Verilen bağıntıyı kullanarak b_n+1’i a_n cinsinden yazalım:

a_{n + 1} = \frac{a_{n} + 3}{a_{n} + 1}

4) Tanıma göre:

b_{n + 1} = \frac{a_{n + 1} - s}{a_{n + 1} + s}

5) a_n+1 yerine verilen kesri yazıp sadeleştirelim (pay ve paydayı a_n+1 ile genişletiyoruz):

b_{n + 1} = \frac{\frac{a_{n} + 3}{a_{n} + 1} - s}{\frac{a_{n} + 3}{a_{n} + 1} + s}

b_{n + 1} = \frac{a_{n} + 3 - s (a_{n} + 1)}{a_{n} + 3 + s (a_{n} + 1)}

6) Pay ve paydayı açalım:

b_{n + 1} = \frac{a_{n} + 3 - s a_{n} - s}{a_{n} + 3 + s a_{n} + s}

7) Ortak çarpan olacak şekilde gruplayalım:

b_{n + 1} = \frac{(1 - s) a_{n} + (3 - s)}{(1 + s) a_{n} + (3 + s)}

8) Şimdi kritik iki sadeleştirme: s²=3 olduğundan

\frac{3 - s}{1 - s} = \frac{s (s - 1)}{- (s - 1)} = - s

\frac{3 + s}{1 + s} = \frac{s (s + 1)}{(s + 1)} = s

Bunları 7. adımdaki kesirde kullanırsak:

b_{n + 1} = \frac{(1 - s) (a_{n} - s)}{(1 + s) (a_{n} + s)}

9) Böylece b_n için geometrik oran ortaya çıkar:

b_{n + 1} = \frac{1 - s}{1 + s} \cdot b_{n}

10) Katsayıyı sadeleştirelim:

\frac{1 - s}{1 + s} = \frac{{(1 - s)}^{2}}{1 - s^{2}} = \frac{1 - 2 s + s^{2}}{1 - 3} = \frac{4 - 2 s}{- 2} = s - 2

Dolayısıyla:

b_{n + 1} = (s - 2) b_{n}

11) Başlangıç değeri:

b_{1} = \frac{a_{1} - s}{a_{1} + s} = \frac{2 - s}{2 + s}

12) Geometrik dizi formülüyle:

b_{n} = b_{1} \cdot {(s - 2)}^{n - 1}

13) s=√3 yazarsak istenen ifade:

\frac{a_{n} - \sqrt{3}}{a_{n} + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} \cdot {(\sqrt{3} - 2)}^{n - 1}

Sonuç: Doğru cevap A’dır.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki dizi için $a_{1} = 0$ ve $a_{n + 1} = \frac{2 a_{n} + 1}{a_{n} + 2}$ ( $n \geq 1$ ) veriliyor.
$a_{n}$ teriminin açık formu hangisidir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Verilen bağıntı bir doğrusal kesirli dönüşümdür. Aşağıdaki dönüşümü tanımlayalım: f ( x ) = 2 x + 1 x + 2 Bu durumda dizi: a 1 = 0, a n + 1 = f ( a n ) Doğrusal kesirli dönüşümleri matrisle temsil edelim: f ( x ) = 2 x + 1 1 x + 2 ⇔ M = 2 1 1 2 Bileşke alma, matris çarpımına karşılık gelir. Bu yüzden: a n = f n - 1 ( 0 ) Matris kuvvetini kullanırsak: M n - 1 = A n - 1 B n - 1 C n - 1 D n - 1 Başlangıç değeri: 0 = 0 1 Bu nedenle doğrusal kesirli dönüşümün iterasyonunda: a n = A n - 1 ⋅ 0 + B n - 1 C n - 1 ⋅ 0 + D n - 1 = B n - 1 D n - 1 Şimdi M matrisinin kuvvetini bulalım. Bu matrisin özdeğerleri: 3, 1 Buna göre aşağıdaki kapalı form elde edilir: M k = 1 2 ⋅ 3 k + 1 3 k - 1 3 k - 1 3 k + 1 Burada: k = n - 1 olduğundan, üst sağ eleman ve alt sağ eleman: B n - 1 = 3 n - 1 - 1 2, D n - 1 = 3 n - 1 + 1 2 Dolayısıyla: a n = B n - 1 D n - 1 = 3 n - 1 - 1 3 n - 1 + 1 Bu ifade şıklardan A ile aynıdır. Doğru cevap: B935.

Çözüm: Verilen bağıntı bir doğrusal kesirli dönüşümdür. Aşağıdaki dönüşümü tanımlayalım: f ( x ) = 2 x + 1 x + 2 Bu durumda dizi: a 1 = 0, a n + 1 = f ( a n ) Doğrusal kesirli dönüşümleri matrisle temsil edelim: f ( x ) = 2 x + 1 1 x + 2 ⇔ M = 2 1 1 2 Bileşke alma, matris çarpımına karşılık gelir. Bu yüzden: a n = f n - 1 ( 0 ) Matris kuvvetini kullanırsak: M n - 1 = A n - 1 B n - 1 C n - 1 D n - 1 Başlangıç değeri: 0 = 0 1 Bu nedenle doğrusal kesirli dönüşümün iterasyonunda: a n = A n - 1 ⋅ 0 + B n - 1 C n - 1 ⋅ 0 + D n - 1 = B n - 1 D n - 1 Şimdi M matrisinin kuvvetini bulalım. Bu matrisin özdeğerleri: 3, 1 Buna göre aşağıdaki kapalı form elde edilir: M k = 1 2 ⋅ 3 k + 1 3 k - 1 3 k - 1 3 k + 1 Burada: k = n - 1 olduğundan, üst sağ eleman ve alt sağ eleman: B n - 1 = 3 n - 1 - 1 2, D n - 1 = 3 n - 1 + 1 2 Dolayısıyla: a n = B n - 1 D n - 1 = 3 n - 1 - 1 3 n - 1 + 1 Bu ifade şıklardan A ile aynıdır. Doğru cevap: B935.

Verilen bağıntı bir doğrusal kesirli dönüşümdür. Aşağıdaki dönüşümü tanımlayalım:

f (x) = \frac{2 x + 1}{x + 2}

Bu durumda dizi:

a_{1} = 0, a_{n + 1} = f (a_{n})

Doğrusal kesirli dönüşümleri matrisle temsil edelim:

f (x) = \frac{2 x + 1}{1 x + 2} \Leftrightarrow M = [\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}]

Bileşke alma, matris çarpımına karşılık gelir. Bu yüzden:

a_{n} = f^{n - 1} (0)

Matris kuvvetini kullanırsak:

M^{n - 1} = [\begin{matrix} A_{n - 1} & B_{n - 1} \\ C_{n - 1} & D_{n - 1} \end{matrix}]

Başlangıç değeri:

0 = \frac{0}{1}

Bu nedenle doğrusal kesirli dönüşümün iterasyonunda:

a_{n} = \frac{A_{n - 1} \cdot 0 + B_{n - 1}}{C_{n - 1} \cdot 0 + D_{n - 1}} = \frac{B_{n - 1}}{D_{n - 1}}

Şimdi M matrisinin kuvvetini bulalım. Bu matrisin özdeğerleri:

3, 1

Buna göre aşağıdaki kapalı form elde edilir:

M^{k} = \frac{1}{2} \cdot [\begin{matrix} 3^{k} + 1 & 3^{k} - 1 \\ 3^{k} - 1 & 3^{k} + 1 \end{matrix}]

Burada:

k = n - 1

olduğundan, üst sağ eleman ve alt sağ eleman:

B_{n - 1} = \frac{3^{n - 1} - 1}{2}, D_{n - 1} = \frac{3^{n - 1} + 1}{2}

Dolayısıyla:

a_{n} = \frac{B_{n - 1}}{D_{n - 1}} = \frac{3^{n - 1} - 1}{3^{n - 1} + 1}

Bu ifade şıklardan A ile aynıdır. Doğru cevap: A.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıda $a_{1} = 2, a_{n + 1} = \frac{a_{n} + \frac{2}{a_{n}}}{2} (n \in N)$ ile tanımlanan dizisi için $lim_{n \to \infty} a_{n}$ değerini bulunuz.

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

1) Doğru şık kontrolü: Dizi, klasik olarak karekök yaklaşımı veren yineleme olduğundan limitin 2 olması beklenir; aşağıda bunu adım adım ispatlayacağız. Dolayısıyla doğru cevap C ’dir. 2) Verilen tanım: a 1 = 2 a n + 1 = a n + 2 a n 2 3) Önce tüm terimlerin pozitif olduğunu belirtelim (bölme yapılacağı için önemli): a 1 = 2 > 0 Eğer a n > 0 ise, a n + 1 = a n + 2 a n 2 > 0 Dolayısıyla tüm a n > 0 olur. 4) Alt sınır: AM-GM ile her pozitif a n için a n + 2 a n 2 ≥ a n · 2 a n Sağ taraf sadeleşir: a n · 2 a n = 2 Yani a n + 1 ≥ 2 Demek ki dizi aşağıdan 2 ile sınırlıdır. 5) Monotonluk: Farkı hesaplayalım: a n + 1 - a n = a n + 2 a n 2 - a n a n + 1 - a n = 2 a n - a n 2 a n + 1 - a n = 2 - a n 2 2 a n Başlangıçta a 1 = 2 > 2 olduğundan (4. adımda gösterdiğimiz alt sınıra göre) tüm terimler için a n ≥ 2 ve özellikle a n 2 ≥ 2 Dolayısıyla pay 2 - a n 2 ≤ 0 ve payda pozitiftir. O halde a n + 1 - a n ≤ 0 yani dizi azalandır. 6) Sonuç: Dizi azalan ve aşağıdan sınırlı olduğundan yakınsaktır. Limitine lim n → ∞ a n = L diyelim. Yineleme bağıntısında limit alalım: L = L + 2 L 2 Her iki tarafı 2 ile çarpalım: 2 L = L + 2 L Düzenleyelim: L = 2 L Her iki tarafı L ile çarpalım: L 2 = 2 Limit pozitif olduğundan L = 2 Sonuç: lim n → ∞ a n = 2

Çözüm: 1) Doğru şık kontrolü: Dizi, klasik olarak karekök yaklaşımı veren yineleme olduğundan limitin 2 olması beklenir; aşağıda bunu adım adım ispatlayacağız. Dolayısıyla doğru cevap C ’dir. 2) Verilen tanım: a 1 = 2 a n + 1 = a n + 2 a n 2 3) Önce tüm terimlerin pozitif olduğunu belirtelim (bölme yapılacağı için önemli): a 1 = 2 > 0 Eğer a n > 0 ise, a n + 1 = a n + 2 a n 2 > 0 Dolayısıyla tüm a n > 0 olur. 4) Alt sınır: AM-GM ile her pozitif a n için a n + 2 a n 2 ≥ a n · 2 a n Sağ taraf sadeleşir: a n · 2 a n = 2 Yani a n + 1 ≥ 2 Demek ki dizi aşağıdan 2 ile sınırlıdır. 5) Monotonluk: Farkı hesaplayalım: a n + 1 - a n = a n + 2 a n 2 - a n a n + 1 - a n = 2 a n - a n 2 a n + 1 - a n = 2 - a n 2 2 a n Başlangıçta a 1 = 2 > 2 olduğundan (4. adımda gösterdiğimiz alt sınıra göre) tüm terimler için a n ≥ 2 ve özellikle a n 2 ≥ 2 Dolayısıyla pay 2 - a n 2 ≤ 0 ve payda pozitiftir. O halde a n + 1 - a n ≤ 0 yani dizi azalandır. 6) Sonuç: Dizi azalan ve aşağıdan sınırlı olduğundan yakınsaktır. Limitine lim n → ∞ a n = L diyelim. Yineleme bağıntısında limit alalım: L = L + 2 L 2 Her iki tarafı 2 ile çarpalım: 2 L = L + 2 L Düzenleyelim: L = 2 L Her iki tarafı L ile çarpalım: L 2 = 2 Limit pozitif olduğundan L = 2 Sonuç: lim n → ∞ a n = 2

1) Doğru şık kontrolü: Dizi, klasik olarak karekök yaklaşımı veren yineleme olduğundan limitin

\sqrt{2}

olması beklenir; aşağıda bunu adım adım ispatlayacağız. Dolayısıyla doğru cevap C’dir.

2) Verilen tanım:

a_{1} = 2

a_{n + 1} = \frac{a_{n} + \frac{2}{a_{n}}}{2}

3) Önce tüm terimlerin pozitif olduğunu belirtelim (bölme yapılacağı için önemli):

a_{1} = 2 > 0

Eğer

a_{n} > 0

ise,

a_{n + 1} = \frac{a_{n} + \frac{2}{a_{n}}}{2} > 0

Dolayısıyla tüm

a_{n} > 0

olur.

4) Alt sınır: AM-GM ile her pozitif

a_{n}

için

\frac{a_{n} + \frac{2}{a_{n}}}{2} \geq \sqrt{a_{n} \cdot \frac{2}{a_{n}}}

Sağ taraf sadeleşir:

\sqrt{a_{n} \cdot \frac{2}{a_{n}}} = \sqrt{2}

Yani

a_{n + 1} \geq \sqrt{2}

Demek ki dizi aşağıdan

\sqrt{2}

ile sınırlıdır.

5) Monotonluk: Farkı hesaplayalım:

a_{n + 1} - a_{n} = \frac{a_{n} + \frac{2}{a_{n}}}{2} - a_{n}

a_{n + 1} - a_{n} = \frac{\frac{2}{a_{n}} - a_{n}}{2}

a_{n + 1} - a_{n} = \frac{2 - a_{n}^{2}}{2 a_{n}}

Başlangıçta

a_{1} = 2 > \sqrt{2}

olduğundan (4. adımda gösterdiğimiz alt sınıra göre) tüm terimler için

a_{n} \geq \sqrt{2}

ve özellikle

a_{n}^{2} \geq 2

Dolayısıyla pay

2 - a_{n}^{2} \leq 0

ve payda pozitiftir. O halde

a_{n + 1} - a_{n} \leq 0

yani dizi azalandır.

6) Sonuç: Dizi azalan ve aşağıdan sınırlı olduğundan yakınsaktır. Limitine

lim_{n \to \infty} a_{n} = L

diyelim. Yineleme bağıntısında limit alalım:

L = \frac{L + \frac{2}{L}}{2}

Her iki tarafı

2

ile çarpalım:

2 L = L + \frac{2}{L}

Düzenleyelim:

L = \frac{2}{L}

Her iki tarafı

L

ile çarpalım:

L^{2} = 2

Limit pozitif olduğundan

L = \sqrt{2}

Sonuç:

lim_{n \to \infty} a_{n} = \sqrt{2}

5. SoruÇoktan Seçmeli

$a_{1} = 1$ ve $a_{n + 1} = \frac{a_{n} + 3}{a_{n} + 1}$ dizisi veriliyor.
$\lim_{n \to \infty} a_{n}$ değeri kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Önce şıkkı kontrol edelim: limit varsa, limiti denge (sabit) nokta denklemiyle bulacağız. Dizinin tanımı: a 1 = 1 a n + 1 = a n + 3 a n + 1 İlk birkaç terimi hesaplayıp limitin hangi köke gideceğini sezebiliriz: a 2 = 1 + 3 1 + 1 = 2 a 3 = 2 + 3 2 + 1 = 5 3 Terimler pozitif görünüyor. Gerçekten de pozitiflik korunur: a n > 0 ⇒ a n + 1 = a n + 3 a n + 1 > 0 Ayrıca değerler bir aralıkta kalır (sınırlılık): a n > 0 ⇒ a n + 1 = 1 + 2 a n + 1 a n + 1 > 1 a n + 1 = a n + 3 a n + 1 < a n + 3 1 < 3 + a n Yakınsaklığı netleştirmek için fonksiyonu yazalım ve türevle büzülme (contraction) gösterelim: f ( x ) = x + 3 x + 1 f ′ ( x ) = - 2 x + 1 2 Örneğin kapalı aralık olarak [1,3] seçersek: 1 ≤ x ≤ 3 ⇒ | f ′ ( x ) | = 2 x + 1 2 ≤ 2 2 2 = 1 2 Bu, ardışık terimler arasındaki farkın en az yarıya indiğini gösterir (Ortalama Değer Teoremi ile): | a n + 1 - a n | = | f ( a n ) - f ( a n - 1 ) | ≤ 1 2 | a n - a n - 1 | Böylece farklar sıfıra gider ve dizi yakınsaktır. Yakınsaksa limiti L diyelim ve denklemi kuralım: lim n → ∞ a n = L L = L + 3 L + 1 Çözelim: L ( L + 1 ) = L + 3 L 2 + L = L + 3 L 2 = 3 L = ± 3 Hangi kök? Tüm terimler pozitif olduğundan limit de pozitif olmalı: a n > 0 ⇒ L > 0 ⇒ L = 3 Sonuç: Doğru cevap D1305 şıkkıdır.

Çözüm: Önce şıkkı kontrol edelim: limit varsa, limiti denge (sabit) nokta denklemiyle bulacağız. Dizinin tanımı: a 1 = 1 a n + 1 = a n + 3 a n + 1 İlk birkaç terimi hesaplayıp limitin hangi köke gideceğini sezebiliriz: a 2 = 1 + 3 1 + 1 = 2 a 3 = 2 + 3 2 + 1 = 5 3 Terimler pozitif görünüyor. Gerçekten de pozitiflik korunur: a n > 0 ⇒ a n + 1 = a n + 3 a n + 1 > 0 Ayrıca değerler bir aralıkta kalır (sınırlılık): a n > 0 ⇒ a n + 1 = 1 + 2 a n + 1 a n + 1 > 1 a n + 1 = a n + 3 a n + 1 < a n + 3 1 < 3 + a n Yakınsaklığı netleştirmek için fonksiyonu yazalım ve türevle büzülme (contraction) gösterelim: f ( x ) = x + 3 x + 1 f ′ ( x ) = - 2 x + 1 2 Örneğin kapalı aralık olarak [1,3] seçersek: 1 ≤ x ≤ 3 ⇒ | f ′ ( x ) | = 2 x + 1 2 ≤ 2 2 2 = 1 2 Bu, ardışık terimler arasındaki farkın en az yarıya indiğini gösterir (Ortalama Değer Teoremi ile): | a n + 1 - a n | = | f ( a n ) - f ( a n - 1 ) | ≤ 1 2 | a n - a n - 1 | Böylece farklar sıfıra gider ve dizi yakınsaktır. Yakınsaksa limiti L diyelim ve denklemi kuralım: lim n → ∞ a n = L L = L + 3 L + 1 Çözelim: L ( L + 1 ) = L + 3 L 2 + L = L + 3 L 2 = 3 L = ± 3 Hangi kök? Tüm terimler pozitif olduğundan limit de pozitif olmalı: a n > 0 ⇒ L > 0 ⇒ L = 3 Sonuç: Doğru cevap D1305 şıkkıdır.

Önce şıkkı kontrol edelim: limit varsa, limiti denge (sabit) nokta denklemiyle bulacağız.

Dizinin tanımı:

a_{1} = 1

a_{n + 1} = \frac{a_{n} + 3}{a_{n} + 1}

İlk birkaç terimi hesaplayıp limitin hangi köke gideceğini sezebiliriz:

a_{2} = \frac{1 + 3}{1 + 1} = 2

a_{3} = \frac{2 + 3}{2 + 1} = \frac{5}{3}

Terimler pozitif görünüyor. Gerçekten de pozitiflik korunur:

a_{n} > 0 \Rightarrow a_{n + 1} = \frac{a_{n} + 3}{a_{n} + 1} > 0

Ayrıca değerler bir aralıkta kalır (sınırlılık):

a_{n} > 0 \Rightarrow a_{n + 1} = 1 + \frac{2}{a_{n} + 1}

a_{n + 1} > 1

a_{n + 1} = \frac{a_{n} + 3}{a_{n} + 1} < \frac{a_{n} + 3}{1} < 3 + a_{n}

Yakınsaklığı netleştirmek için fonksiyonu yazalım ve türevle büzülme (contraction) gösterelim:

f (x) = \frac{x + 3}{x + 1}

f^{'} (x) = \frac{- 2}{{x + 1}^{2}}

Örneğin kapalı aralık olarak [1,3] seçersek:

1 \leq x \leq 3 \Rightarrow | f^{'} (x) | = \frac{2}{{x + 1}^{2}} \leq \frac{2}{2^{2}} = \frac{1}{2}

Bu, ardışık terimler arasındaki farkın en az yarıya indiğini gösterir (Ortalama Değer Teoremi ile):

| a_{n + 1} - a_{n} | = | f (a_{n}) - f (a_{n - 1}) | \leq \frac{1}{2} | a_{n} - a_{n - 1} |

Böylece farklar sıfıra gider ve dizi yakınsaktır. Yakınsaksa limiti L diyelim ve denklemi kuralım:

\lim_{n \to \infty} a_{n} = L

L = \frac{L + 3}{L + 1}

Çözelim:

L (L + 1) = L + 3

L^{2} + L = L + 3

L^{2} = 3

L = \pm \sqrt{3}

Hangi kök? Tüm terimler pozitif olduğundan limit de pozitif olmalı:

a_{n} > 0 \Rightarrow L > 0 \Rightarrow L = \sqrt{3}

Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki dizi tanımlanıyor:
$a_{1} = 2, a_{n + 1} = 2 - \frac{1}{a_{n}}$
$a_{2026}$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Pozitif reel sayılar dizisi aşağıdaki bağıntı ile tanımlanıyor:
$a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{1 + 2 a_{n}}$
Buna göre aşağıdaki toplamın değeri nedir?
$\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{a_{k}}$

Lütfen önce bir cevap seç.

8. SoruÇoktan Seçmeli

$(a_{n})$ dizisi $a_{1} = 2$ ve $a_{n + 1} = \frac{a_{n} + 2}{a_{n} - 1}$ ile tanımlanıyor. $a_{2026}$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Önce seçenek B (yani değer olarak) doğru mu diye kontrol etmek için dizinin birkaç terimini hesaplayalım. Verilen başlangıç değeri: a 1 = 2 Verilen bağıntı: a n + 1 = a n + 2 a n - 1 Şimdi sırayla terimleri bulalım: a 2 = a 1 + 2 a 1 - 1 = 2 + 2 2 - 1 = 4 Bir sonraki terim: a 3 = a 2 + 2 a 2 - 1 = 4 + 2 4 - 1 = 6 3 = 2 Buradan şu düzeni görüyoruz: terimler 2, 4, 2, 4, … şeklinde gidiyor; yani periyot 2. Bu periyodun her zaman oluştuğunu daha net görmek için dönüşümü f ( x ) = x + 2 x - 1 diye tanımlayalım. O zaman bağıntı a n + 1 = f ( a n ) olur. Şimdi bileşkeyi hesaplayalım: f ( f ( x ) ) = x + 2 x - 1 + 2 x + 2 x - 1 - 1 Pay ve paydayı ortak paydada toplayıp sadeleştirelim: f ( f ( x ) ) = x + 2 + 2 ( x - 1 ) x - 1 x + 2 - ( x - 1 ) x - 1 Basitleştirme: f ( f ( x ) ) = 3 x x - 1 3 x - 1 = x Demek ki f ( f ( x ) ) = x olduğundan, dizide her zaman a n + 2 = a n yani periyot 2 vardır (başlangıçta a 1 = 2 ≠ 1 olduğu için tüm terimler tanımlıdır). Şimdi istenen terim için indis çift mi tek mi bakıyoruz: 2026 = 2 ⋅ 1013 Yani indis çifttir. Çift indislerde değer 4 olur. Sonuç: a 2026 = 4 Dolayısıyla doğru cevap C1127 ’dir.

Çözüm: Önce seçenek B (yani değer olarak) doğru mu diye kontrol etmek için dizinin birkaç terimini hesaplayalım. Verilen başlangıç değeri: a 1 = 2 Verilen bağıntı: a n + 1 = a n + 2 a n - 1 Şimdi sırayla terimleri bulalım: a 2 = a 1 + 2 a 1 - 1 = 2 + 2 2 - 1 = 4 Bir sonraki terim: a 3 = a 2 + 2 a 2 - 1 = 4 + 2 4 - 1 = 6 3 = 2 Buradan şu düzeni görüyoruz: terimler 2, 4, 2, 4, … şeklinde gidiyor; yani periyot 2. Bu periyodun her zaman oluştuğunu daha net görmek için dönüşümü f ( x ) = x + 2 x - 1 diye tanımlayalım. O zaman bağıntı a n + 1 = f ( a n ) olur. Şimdi bileşkeyi hesaplayalım: f ( f ( x ) ) = x + 2 x - 1 + 2 x + 2 x - 1 - 1 Pay ve paydayı ortak paydada toplayıp sadeleştirelim: f ( f ( x ) ) = x + 2 + 2 ( x - 1 ) x - 1 x + 2 - ( x - 1 ) x - 1 Basitleştirme: f ( f ( x ) ) = 3 x x - 1 3 x - 1 = x Demek ki f ( f ( x ) ) = x olduğundan, dizide her zaman a n + 2 = a n yani periyot 2 vardır (başlangıçta a 1 = 2 ≠ 1 olduğu için tüm terimler tanımlıdır). Şimdi istenen terim için indis çift mi tek mi bakıyoruz: 2026 = 2 ⋅ 1013 Yani indis çifttir. Çift indislerde değer 4 olur. Sonuç: a 2026 = 4 Dolayısıyla doğru cevap C1127 ’dir.

Önce seçenek B (yani değer olarak) doğru mu diye kontrol etmek için dizinin birkaç terimini hesaplayalım.

Verilen başlangıç değeri:

a_{1} = 2

Verilen bağıntı:

a_{n + 1} = \frac{a_{n} + 2}{a_{n} - 1}

Şimdi sırayla terimleri bulalım:

a_{2} = \frac{a_{1} + 2}{a_{1} - 1} = \frac{2 + 2}{2 - 1} = 4

Bir sonraki terim:

a_{3} = \frac{a_{2} + 2}{a_{2} - 1} = \frac{4 + 2}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2

Buradan şu düzeni görüyoruz: terimler

2, 4, 2, 4, \dots

şeklinde gidiyor; yani periyot 2.

Bu periyodun her zaman oluştuğunu daha net görmek için dönüşümü

f (x) = \frac{x + 2}{x - 1}

diye tanımlayalım. O zaman bağıntı

a_{n + 1} = f (a_{n})

olur.

Şimdi bileşkeyi hesaplayalım:

f (f (x)) = \frac{\frac{x + 2}{x - 1} + 2}{\frac{x + 2}{x - 1} - 1}

Pay ve paydayı ortak paydada toplayıp sadeleştirelim:

f (f (x)) = \frac{\frac{x + 2 + 2 (x - 1)}{x - 1}}{\frac{x + 2 - (x - 1)}{x - 1}}

Basitleştirme:

f (f (x)) = \frac{\frac{3 x}{x - 1}}{\frac{3}{x - 1}} = x

Demek ki

f (f (x)) = x

olduğundan, dizide her zaman

a_{n + 2} = a_{n}

yani periyot 2 vardır (başlangıçta

a_{1} = 2 \neq 1

olduğu için tüm terimler tanımlıdır).

Şimdi istenen terim için indis çift mi tek mi bakıyoruz:

2026 = 2 \cdot 1013

Yani indis çifttir. Çift indislerde değer

4

olur.

Sonuç:

a_{2026} = 4

Dolayısıyla doğru cevap B’dir.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıda tanımlanan dizinin genel terimi bulunuz.
$a_{1} = 1$
$a_{n + 1} = 2 a_{n} + {- 1}^{n}$
$n \geq 1$

Lütfen önce bir cevap seç.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki tanımla verilen dizi için genel terim $a_{n}$ hangisidir?
$a_{1} = 2, a_{n + 1} = 3 \times a_{n} + 2^{n}, n \geq 1$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Verilen dizi tanımı birinci dereceden doğrusal (lineer) ve sabit katsayılı bir bağıntıdır. Önce homojen kısmı, sonra özel çözümü bulup başlangıç değerini kullanacağız. 1) Bağıntıyı yazalım a 1 = 2 a n + 1 = 3 × a n + 2 n 2) Homojen (sağ tarafı sıfır olan) kısmın çözümü Sağ taraftaki kuvvetli terimi yok sayıp homojen bağıntıyı çözelim. a n + 1 = 3 × a n Bu durumda genel biçim: a n h = C × 3 n - 1 3) Özel çözüm denemesi Sağ tarafta taban ı 2 olan üstel terim bulunduğu için özel çözümü aynı tipte deneriz: a n p = k × 2 n Bağıntıda yerine yazalım: k × 2 n + 1 = 3 × k × 2 n + 2 n Her iki tarafı ortak çarpan olan üstel ifadeye göre sadeleştirelim: k × 2 = 3 × k + 1 Buradan: k = - 1 Dolayısıyla özel çözüm: a n p = - 2 n 4) Genel çözüm ve başlangıç değerinin uygulanması Genel çözüm, homojen ve özel çözümlerin toplamıdır: a n = C × 3 n - 1 - 2 n Başlangıç değerini kullanalım: a 1 = C × 3 0 - 2 1 2 = C - 2 C = 4 Sonuç: a n = 4 × 3 n - 1 - 2 n 5) Şık kontrolü Bulduğumuz genel terim, seçeneklerde A şıkkı ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap A ’dır.

Çözüm: Verilen dizi tanımı birinci dereceden doğrusal (lineer) ve sabit katsayılı bir bağıntıdır. Önce homojen kısmı, sonra özel çözümü bulup başlangıç değerini kullanacağız. 1) Bağıntıyı yazalım a 1 = 2 a n + 1 = 3 × a n + 2 n 2) Homojen (sağ tarafı sıfır olan) kısmın çözümü Sağ taraftaki kuvvetli terimi yok sayıp homojen bağıntıyı çözelim. a n + 1 = 3 × a n Bu durumda genel biçim: a n h = C × 3 n - 1 3) Özel çözüm denemesi Sağ tarafta taban ı 2 olan üstel terim bulunduğu için özel çözümü aynı tipte deneriz: a n p = k × 2 n Bağıntıda yerine yazalım: k × 2 n + 1 = 3 × k × 2 n + 2 n Her iki tarafı ortak çarpan olan üstel ifadeye göre sadeleştirelim: k × 2 = 3 × k + 1 Buradan: k = - 1 Dolayısıyla özel çözüm: a n p = - 2 n 4) Genel çözüm ve başlangıç değerinin uygulanması Genel çözüm, homojen ve özel çözümlerin toplamıdır: a n = C × 3 n - 1 - 2 n Başlangıç değerini kullanalım: a 1 = C × 3 0 - 2 1 2 = C - 2 C = 4 Sonuç: a n = 4 × 3 n - 1 - 2 n 5) Şık kontrolü Bulduğumuz genel terim, seçeneklerde A şıkkı ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap A ’dır.

Verilen dizi tanımı birinci dereceden doğrusal (lineer) ve sabit katsayılı bir bağıntıdır. Önce homojen kısmı, sonra özel çözümü bulup başlangıç değerini kullanacağız.

1) Bağıntıyı yazalım

a_{1} = 2

a_{n + 1} = 3 \times a_{n} + 2^{n}

2) Homojen (sağ tarafı sıfır olan) kısmın çözümü

Sağ taraftaki kuvvetli terimi yok sayıp homojen bağıntıyı çözelim.

a_{n + 1} = 3 \times a_{n}

Bu durumda genel biçim:

a_{n}^{h} = C \times 3^{n - 1}

3) Özel çözüm denemesi

Sağ tarafta tabanı 2 olan üstel terim bulunduğu için özel çözümü aynı tipte deneriz:

a_{n}^{p} = k \times 2^{n}

Bağıntıda yerine yazalım:

k \times 2^{n + 1} = 3 \times k \times 2^{n} + 2^{n}

Her iki tarafı ortak çarpan olan üstel ifadeye göre sadeleştirelim:

k \times 2 = 3 \times k + 1

Buradan:

k = - 1

Dolayısıyla özel çözüm:

a_{n}^{p} = - 2^{n}

4) Genel çözüm ve başlangıç değerinin uygulanması

Genel çözüm, homojen ve özel çözümlerin toplamıdır:

a_{n} = C \times 3^{n - 1} - 2^{n}

Başlangıç değerini kullanalım:

a_{1} = C \times 3^{0} - 2^{1}

2 = C - 2

C = 4

Sonuç:

a_{n} = 4 \times 3^{n - 1} - 2^{n}

5) Şık kontrolü

Bulduğumuz genel terim, seçeneklerde A şıkkı ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap A’dır.

Diziler Sık Sorulan Sorular

Aritmetik dizi nedir?

Ardışık terimleri arasındaki farkın sabit olduğu dizidir.

Geometrik dizi nedir?

Ardışık terimleri arasındaki oranın sabit olduğu dizidir.

Genel terim neden önemlidir?

Dizinin herhangi bir terimine, tüm terimleri tek tek yazmadan ulaşmayı sağlar.

12. Sınıf Matematik Diziler Testleri

Dizileri genel terim ve örüntü ilişkisiyle öğren

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

Sık karıştırılan noktalar

Verimli çalışma yolu

12. Sınıf Matematik Diziler Testleri

Aşağıda tanımlanan dizi için limit değeri soruluyor:a1=2,an+1=an2+12an(n≥1)limn→∞an değeri kaçtır?

Aşağıdaki dizi için istenen ifadeyi bulunuz.a1=2an+1=an+3an+1n≥1an-3an+3 ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Aşağıdaki dizi için a1=0 ve an+1=2an+1an+2 ( n≥1 ) veriliyor.an teriminin açık formu hangisidir?

Aşağıda a1=2,an+1=an+2an2(n∈N) ile tanımlanan dizisi için limn→∞an değerini bulunuz.

a1=1 ve an+1=an+3an+1 dizisi veriliyor. limn→∞an değeri kaçtır?

Aşağıdaki dizi tanımlanıyor:a1=2,an+1=2-1ana2026 kaçtır?

Pozitif reel sayılar dizisi aşağıdaki bağıntı ile tanımlanıyor:a1=1,an+1=an1+2anBuna göre aşağıdaki toplamın değeri nedir?∑k=1n1ak

(an) dizisi a1=2 ve an+1=an+2an-1 ile tanımlanıyor. a2026 kaçtır?

Aşağıda tanımlanan dizinin genel terimi bulunuz.a1=1an+1=2an+-1nn≥1

Aşağıdaki tanımla verilen dizi için genel terim an hangisidir?a1=2,an+1=3×an+2n,n≥1

Diziler Sık Sorulan Sorular

Aşağıda tanımlanan dizi için limit değeri soruluyor:
$a_{1} = 2, a_{n + 1} = \frac{{a_{n}}^{2} + 1}{2 a_{n}} (n \geq 1)$
$lim_{n \to \infty} a_{n}$ değeri kaçtır?

Aşağıdaki dizi için istenen ifadeyi bulunuz.
$a_{1} = 2$
$a_{n + 1} = \frac{a_{n} + 3}{a_{n} + 1}$
$n \geq 1$
$\frac{a_{n} - \sqrt{3}}{a_{n} + \sqrt{3}}$ ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Aşağıdaki dizi için $a_{1} = 0$ ve $a_{n + 1} = \frac{2 a_{n} + 1}{a_{n} + 2}$ ( $n \geq 1$ ) veriliyor.
$a_{n}$ teriminin açık formu hangisidir?

Aşağıda $a_{1} = 2, a_{n + 1} = \frac{a_{n} + \frac{2}{a_{n}}}{2} (n \in N)$ ile tanımlanan dizisi için $lim_{n \to \infty} a_{n}$ değerini bulunuz.

$a_{1} = 1$ ve $a_{n + 1} = \frac{a_{n} + 3}{a_{n} + 1}$ dizisi veriliyor.
$\lim_{n \to \infty} a_{n}$ değeri kaçtır?

Aşağıdaki dizi tanımlanıyor:
$a_{1} = 2, a_{n + 1} = 2 - \frac{1}{a_{n}}$
$a_{2026}$ kaçtır?

Pozitif reel sayılar dizisi aşağıdaki bağıntı ile tanımlanıyor:
$a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{a_{n}}{1 + 2 a_{n}}$
Buna göre aşağıdaki toplamın değeri nedir?
$\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{a_{k}}$

$(a_{n})$ dizisi $a_{1} = 2$ ve $a_{n + 1} = \frac{a_{n} + 2}{a_{n} - 1}$ ile tanımlanıyor. $a_{2026}$ kaçtır?

Aşağıda tanımlanan dizinin genel terimi bulunuz.
$a_{1} = 1$
$a_{n + 1} = 2 a_{n} + {- 1}^{n}$
$n \geq 1$

Aşağıdaki tanımla verilen dizi için genel terim $a_{n}$ hangisidir?
$a_{1} = 2, a_{n + 1} = 3 \times a_{n} + 2^{n}, n \geq 1$