12. Sınıf Matematik

12. Sınıf Matematik Diziler Testleri

Diziler konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

Dizileri genel terim ve örüntü ilişkisiyle öğren

Diziler, belirli bir kurala göre sıralanan sayı veya ifadeler topluluğudur. Genel terim, ardışık terimler arasındaki ilişki ve toplam formülleri dizilerin temel yapı taşlarını oluşturur.

Bu içerik; aritmetik ve geometrik dizileri, genel terim bulmayı, ortak fark ve ortak çarpanı yorumlamayı ve dizi toplamlarını problem bağlamında uygulamayı kolaylaştırır.

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

Dizinin genel terimini verilen örüntüden çıkarır.
Aritmetik ve geometrik dizileri ayırt eder.
Ortak fark ve ortak çarpanı kullanır.
Dizi toplamlarını uygun formülle hesaplar ve yorumlar.

Sık karıştırılan noktalar

Ardışık terimler arasındaki farkın sabit olmasını her dizinin aritmetik olduğu şeklinde yorumlamak yanlıştır. Geometrik dizilerde sabit olan oran, yani ortak çarpandır.

Verimli çalışma yolu

İlk terimleri yazıp ardışık fark ve oranları kontrol et. Sonra genel terimi oluştur ve sorunun istediği terim veya toplam için uygun bağıntıyı seç. Yanlış yaptığın sorularda doğru cevabı işaretlemekle yetinme; hangi bilgi veya işlem adımında zorlandığını belirle.

Günlük Liderler

BÇ

Beren Çelebi@berenncelebii5test 2

Yaren T@yarynaaw6test 3

Kç

Kbr çalışıyor@öylesine5test 4

Berfin Bozkurt@elina_mina12test 5

Batuhan Dundar@Batuhan9test 6

Ranad Fayyad@ranadfayyad16test 7

Mir' 🌙@mirmoon31test 10

Zumi Diva@ZUMIQUEEN20test

Test seç

6 Test

1. Test 2. Test 3. Test 4. Test 5. Test 6. Test

4. Test

12. Sınıf Matematik Diziler Testleri

Diziler konusu 4. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru

0/100%

Okuma ayarları

Metin boyutu

18px

Satır aralığı

1.70

D Doğru 0Y Yanlış 0B Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

Bir aritmetik dizide $a_{1} = 5$ ve $a_{4} = 14$ ise $a_{10}$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıda bir dizi tanımlanmıştır:
$a_{1} = 1, a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$
$a_{5}$ değeri kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Bir aritmetik dizide $a_{3} = 7$ ve $a_{8} = 22$ ise $a_{1} + a_{10}$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

1) Aritmetik dizinin genel terimi: a $n = a$ 1 + ( n − 1 ) d 2) Verilenleri genel terimde yazalım: a 3 = a 1 + ( 3 − 1 ) $d = a$ 1 + 2 $d = 7$ a 8 = a 1 + ( 8 − 1 ) $d = a$ 1 + 7 $d = 22$ 3) İki denklemi taraf tarafa çıkararak ortak terimi yok edelim: ( a 1 + 7 d ) − ( a 1 + 2 d ) = 22 − 7 5 $d = 15$ $d = 3$ 4) d değerini kullanarak ilk terimi bulalım: a 1 + 2 $d = 7$ a $1 = 7$ − 2 · $3 = 1$ 5) 10. terimi bulalım: a 10 = a 1 + ( 10 − 1 ) $d = 1 + 9$ · $3 = 28$ 6) İstenen toplam: a 1 + a $10 = 1$ + $28 = 29$ Sonuç: Doğru seçenek A492 ’dir.

Çözüm: 1) Aritmetik dizinin genel terimi: a $n = a$ 1 + ( n − 1 ) d 2) Verilenleri genel terimde yazalım: a 3 = a 1 + ( 3 − 1 ) $d = a$ 1 + 2 $d = 7$ a 8 = a 1 + ( 8 − 1 ) $d = a$ 1 + 7 $d = 22$ 3) İki denklemi taraf tarafa çıkararak ortak terimi yok edelim: ( a 1 + 7 d ) − ( a 1 + 2 d ) = 22 − 7 5 $d = 15$ $d = 3$ 4) d değerini kullanarak ilk terimi bulalım: a 1 + 2 $d = 7$ a $1 = 7$ − 2 · $3 = 1$ 5) 10. terimi bulalım: a 10 = a 1 + ( 10 − 1 ) $d = 1 + 9$ · $3 = 28$ 6) İstenen toplam: a 1 + a $10 = 1$ + $28 = 29$ Sonuç: Doğru seçenek A492 ’dir.

1) Aritmetik dizinin genel terimi:

</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>

2) Verilenleri genel terimde yazalım:

</mo><mn>3</mn><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>

</mo><mn>8</mn><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>

3) İki denklemi taraf tarafa çıkararak ortak terimi yok edelim:

</mo><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><mn>7</mn><mi>d</mi><mo>

5 d = 15

d = 3

4) d değerini kullanarak ilk terimi bulalım:

a_{1} + 2 d = 7

a_{1} = 7 - 2 \cdot 3 = 1

5) 10. terimi bulalım:

</mo><mn>10</mn><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>

6) İstenen toplam:

a_{1} + a_{10} = 1 + 28 = 29

Sonuç: Doğru seçenek B’dir.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıda tanımlanan dizinin genel terimini bulunuz.
$</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>$
$n \geq 1$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Verilen dizi: a $1 = 1$ , a n + $1 = 2$ a n + ( - 1 ) n Bu bir lineer (birinci dereceden) fark denklemi olduğundan, homojen + özel çözüm yöntemi kullanılır. 1) Homojen kısmı çözelim: a n + 1 - 2 a $n = 0$ a n $h = C$ 2 n - 1 2) Özel çözüm için sağ tarafın biçimine uygun tahmin yapalım. Sağ tarafta ( - 1 ) n olduğundan, özel çözüm tahmini: a n $p = k$ ( - 1 ) n Bu tahmini bağıntıda yerine yazalım: a n + 1 $p = k$ ( - 1 ) n + 1 = k ( - 1 ) ( - 1 ) n = - k ( - 1 ) n Denkleme koyunca: - k ( - 1 ) $n = 2$ k ( - 1 ) n + ( - 1 ) n Her iki tarafta ortak çarpan olan ( - 1 ) n sadeleşir: - $k = 2$ k + 1 - 3 $k = 1$ k = - 1 3 Dolayısıyla özel çözüm: a n p = - 1 3 ( - 1 ) n 3) Genel çözümü yazalım: a $n = C$ 2 n - 1 - 1 3 ( - 1 ) n 4) Başlangıç şartı ile sabiti bulalım: a 1 = C 2 0 - 1 3 ( - 1 ) 1 1 = C - 1 3 ( - 1 ) 1 = C + 1 3 $C = 2$ 3 5) Genel terimi yazıp sadeleştirelim: a $n = 2$ 3 2 n - 1 - 1 3 ( - 1 ) n a $n = 2$ n 3 - ( - 1 ) n 3 a $n = 2$ n - ( - 1 ) n 3 Bu ifade şıklarla karşılaştırıldığında doğru seçenek: a $n = 2$ n - ( - 1 ) n 3 Sonuç: şıkkıB1023 doğrudur.

Çözüm: Verilen dizi: a $1 = 1$ , a n + $1 = 2$ a n + ( - 1 ) n Bu bir lineer (birinci dereceden) fark denklemi olduğundan, homojen + özel çözüm yöntemi kullanılır. 1) Homojen kısmı çözelim: a n + 1 - 2 a $n = 0$ a n $h = C$ 2 n - 1 2) Özel çözüm için sağ tarafın biçimine uygun tahmin yapalım. Sağ tarafta ( - 1 ) n olduğundan, özel çözüm tahmini: a n $p = k$ ( - 1 ) n Bu tahmini bağıntıda yerine yazalım: a n + 1 $p = k$ ( - 1 ) n + 1 = k ( - 1 ) ( - 1 ) n = - k ( - 1 ) n Denkleme koyunca: - k ( - 1 ) $n = 2$ k ( - 1 ) n + ( - 1 ) n Her iki tarafta ortak çarpan olan ( - 1 ) n sadeleşir: - $k = 2$ k + 1 - 3 $k = 1$ k = - 1 3 Dolayısıyla özel çözüm: a n p = - 1 3 ( - 1 ) n 3) Genel çözümü yazalım: a $n = C$ 2 n - 1 - 1 3 ( - 1 ) n 4) Başlangıç şartı ile sabiti bulalım: a 1 = C 2 0 - 1 3 ( - 1 ) 1 1 = C - 1 3 ( - 1 ) 1 = C + 1 3 $C = 2$ 3 5) Genel terimi yazıp sadeleştirelim: a $n = 2$ 3 2 n - 1 - 1 3 ( - 1 ) n a $n = 2$ n 3 - ( - 1 ) n 3 a $n = 2$ n - ( - 1 ) n 3 Bu ifade şıklarla karşılaştırıldığında doğru seçenek: a $n = 2$ n - ( - 1 ) n 3 Sonuç: şıkkıB1023 doğrudur.

Verilen dizi:

</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>

Bu bir lineer (birinci dereceden) fark denklemi olduğundan, homojen + özel çözüm yöntemi kullanılır.

1) Homojen kısmı çözelim:

a_{n + 1} - 2 a_{n} = 0

a_{n}^{h} = C 2^{n - 1}

2) Özel çözüm için sağ tarafın biçimine uygun tahmin yapalım. Sağ tarafta

</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>

olduğundan, özel çözüm tahmini:

</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>

Bu tahmini bağıntıda yerine yazalım:

</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>

Denkleme koyunca:

</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>

Her iki tarafta ortak çarpan olan

</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>

sadeleşir:

- k = 2 k + 1

- 3 k = 1

k = - \frac{1}{3}

Dolayısıyla özel çözüm:

</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>

3) Genel çözümü yazalım:

</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>

4) Başlangıç şartı ile sabiti bulalım:

</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>

</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>

1 = C + \frac{1}{3}

C = \frac{2}{3}

5) Genel terimi yazıp sadeleştirelim:

</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>

</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>

</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>

Bu ifade şıklarla karşılaştırıldığında doğru seçenek:

</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>

Sonuç: şıkkıB6943 doğrudur.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıda verilen dizi için açık form bulunuz.
$a_{1} = 1$ $</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>$ $n \geq 1$
$a_{n}$ ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Verilen tanım: a $1 = 1$ a n + 1 = ( n + 1 ) a n + 1 n ≥ 1 Faktöriyel ile sadeleşmesi için her iki tarafı aşağıdaki ifadeye bölelim: ( n + 1 )! Bölünmüş hali: $a n + 1 ( n + 1 )! = ( n + 1 ) a n ( n + 1 )$ ! + 1 ( n + 1 )! Ortadaki kesirde sadeleştirme yapalım: $( n + 1 ) a n ( n + 1 )! = a n n$ ! Şimdi yeni bir dizi tanımlayalım: $b n = a n n$ ! Bu tanımla bağıntı şu hale gelir: $b n + 1 = b n + 1 ( n + 1 )$ ! Bu bağıntı ardışık toplama ile açılır: b $n = b$ 1 + ∑ $k = 1$ n - 1 1 ( k + 1 )! Başlangıç değerini bulalım: $b 1 = a 1 1$ ! = 1 Toplamda indeks değişimi yapalım: b $n = 1$ + ∑ $j = 2$ n 1 j! Burada ilk terim zaten aşağıdaki toplama ile aynı olduğundan: $1 = 1 1$ ! b n = ∑ $k = 1$ n 1 k! Son olarak tanıma geri dönelim: $a n = n$ ! ∑ $k = 1$ n 1 k! Bu ifade şıklardan C ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap C ’dir.

Çözüm: Verilen tanım: a $1 = 1$ a n + 1 = ( n + 1 ) a n + 1 n ≥ 1 Faktöriyel ile sadeleşmesi için her iki tarafı aşağıdaki ifadeye bölelim: ( n + 1 )! Bölünmüş hali: $a n + 1 ( n + 1 )! = ( n + 1 ) a n ( n + 1 )$ ! + 1 ( n + 1 )! Ortadaki kesirde sadeleştirme yapalım: $( n + 1 ) a n ( n + 1 )! = a n n$ ! Şimdi yeni bir dizi tanımlayalım: $b n = a n n$ ! Bu tanımla bağıntı şu hale gelir: $b n + 1 = b n + 1 ( n + 1 )$ ! Bu bağıntı ardışık toplama ile açılır: b $n = b$ 1 + ∑ $k = 1$ n - 1 1 ( k + 1 )! Başlangıç değerini bulalım: $b 1 = a 1 1$ ! = 1 Toplamda indeks değişimi yapalım: b $n = 1$ + ∑ $j = 2$ n 1 j! Burada ilk terim zaten aşağıdaki toplama ile aynı olduğundan: $1 = 1 1$ ! b n = ∑ $k = 1$ n 1 k! Son olarak tanıma geri dönelim: $a n = n$ ! ∑ $k = 1$ n 1 k! Bu ifade şıklardan C ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap C ’dir.

Verilen tanım:

a_{1} = 1

</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>

n \geq 1

Faktöriyel ile sadeleşmesi için her iki tarafı aşağıdaki ifadeye bölelim:

</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>

Bölünmüş hali:

</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>

Ortadaki kesirde sadeleştirme yapalım:

</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>

Şimdi yeni bir dizi tanımlayalım:

b_{n} = \frac{a_{n}}{n!}

Bu tanımla bağıntı şu hale gelir:

</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>

Bu bağıntı ardışık toplama ile açılır:

</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>

Başlangıç değerini bulalım:

b_{1} = \frac{a_{1}}{1!} = 1

Toplamda indeks değişimi yapalım:

b_{n} = 1 + \sum_{j = 2}^{n} \frac{1}{j!}

Burada ilk terim zaten aşağıdaki toplama ile aynı olduğundan:

1 = \frac{1}{1!}

b_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k!}

Son olarak tanıma geri dönelim:

a_{n} = n! \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k!}

Bu ifade şıklardan C ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap C’dir.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşullarla tanımlanan dizide $n \geq 1$ için $a_{n}$ kapalı formunu bulunuz.
$a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3^{n}, a_{1} = 1$

Lütfen önce bir cevap seç.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıda tanımlanan dizi veriliyor:
$a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{a_{n} + 2}{a_{n} + 1}$
Bu dizinin limiti aşağıdakilerden hangisidir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

1) Doğru cevap kontrolü: Limit şıkkıA31ndaki değerdir. 2) Dizi tanımı: a $1 = 1$ , a n + 1 = a n + 2 a n + 1 3) Pozitiflik ve sınırlılık (dizi hep tanımlı): a n + 1 = a n + 2 a n + $1 = 1$ + 1 a n + 1 Buradan a n + 1 > 1 ve ayrıca a n + 1 < 2 (çünkü 1 a n + 1 < 1 ) elde edilir. 4) Limit varsa, sabit nokta denklemi: Eğer a n → L ise, $L = L + 2$ L + 1 L ( L + 1 ) = L + 2 olduğundan L $2 = 2$ Dolayısıyla aday limitler: $L = 2$ veya L = - 2 5) Limitin pozitif kök olduğunu gösterme (yakınsaklık fikri): Dizi terimleri a n > 0 olduğundan limit (varsa) negatif olamaz; bu yüzden $L = 2$ 6) (İsteğe bağlı ama tamamlayıcı) Yakınsaklık nasıl garanti edilir? Fonksiyonu tanımlayalım: f ( x ) = x + 2 x + 1 Bu fonksiyon x > - 1 için azalandır çünkü f ′ ( x ) = - 1 x + 1 2 < 0 Azalan olduğundan, sabit nokta 2 etrafında terimler sırayla sağa-sola geçer: a 1 < 2 ⇒ a 2 = f ( a 1 ) > 2 ⇒ a 3 = f ( a 2 ) < 2 Bu durumda a 2 n alt dizisi 2 ’ye doğru azalan, a 2 n + 1 alt dizisi ise 2 ’ye doğru artandır; ikisi de aynı sınıra gider. Sonuç: lim n → ∞ a $n = 2$ Doğru şık: B

Çözüm: 1) Doğru cevap kontrolü: Limit şıkkıA31ndaki değerdir. 2) Dizi tanımı: a $1 = 1$ , a n + 1 = a n + 2 a n + 1 3) Pozitiflik ve sınırlılık (dizi hep tanımlı): a n + 1 = a n + 2 a n + $1 = 1$ + 1 a n + 1 Buradan a n + 1 > 1 ve ayrıca a n + 1 < 2 (çünkü 1 a n + 1 < 1 ) elde edilir. 4) Limit varsa, sabit nokta denklemi: Eğer a n → L ise, $L = L + 2$ L + 1 L ( L + 1 ) = L + 2 olduğundan L $2 = 2$ Dolayısıyla aday limitler: $L = 2$ veya L = - 2 5) Limitin pozitif kök olduğunu gösterme (yakınsaklık fikri): Dizi terimleri a n > 0 olduğundan limit (varsa) negatif olamaz; bu yüzden $L = 2$ 6) (İsteğe bağlı ama tamamlayıcı) Yakınsaklık nasıl garanti edilir? Fonksiyonu tanımlayalım: f ( x ) = x + 2 x + 1 Bu fonksiyon x > - 1 için azalandır çünkü f ′ ( x ) = - 1 x + 1 2 < 0 Azalan olduğundan, sabit nokta 2 etrafında terimler sırayla sağa-sola geçer: a 1 < 2 ⇒ a 2 = f ( a 1 ) > 2 ⇒ a 3 = f ( a 2 ) < 2 Bu durumda a 2 n alt dizisi 2 ’ye doğru azalan, a 2 n + 1 alt dizisi ise 2 ’ye doğru artandır; ikisi de aynı sınıra gider. Sonuç: lim n → ∞ a $n = 2$ Doğru şık: B

1) Doğru cevap kontrolü: Limit B şıkkındaki değerdir.

2) Dizi tanımı:

a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{a_{n} + 2}{a_{n} + 1}

3) Pozitiflik ve sınırlılık (dizi hep tanımlı):

a_{n + 1} = \frac{a_{n} + 2}{a_{n} + 1} = 1 + \frac{1}{a_{n} + 1}

Buradan a_{n + 1} > 1 ve ayrıca a_{n + 1} < 2 (çünkü \frac{1}{a_{n} + 1} < 1) elde edilir.

4) Limit varsa, sabit nokta denklemi:

Eğer a_{n} \to L ise, L = \frac{L + 2}{L + 1}

</mo><mi>L</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>

Dolayısıyla aday limitler: L = \sqrt{2} veya L = - \sqrt{2}

5) Limitin pozitif kök olduğunu gösterme (yakınsaklık fikri):

Dizi terimleri a_{n} > 0 olduğundan limit (varsa) negatif olamaz; bu yüzden L = \sqrt{2}

6) (İsteğe bağlı ama tamamlayıcı) Yakınsaklık nasıl garanti edilir?

</mo><mi>x</mi><mo>

</mo><mi>x</mi><mo>

</mo><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mo>

Bu durumda a_{2 n} alt dizisi \sqrt{2} ’ye doğru azalan, a_{2 n + 1} alt dizisi ise \sqrt{2} ’ye doğru artandır; ikisi de aynı sınıra gider.

Sonuç:

\lim_{n \to \infty} a_{n} = \sqrt{2}

Doğru şık: B

8. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki dizi için
$a_{1} = 1$
$a_{n + 1} = 1 + \frac{1}{a_{n}}, n \geq 1$
$a_{8}$ değeri kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki dizi için limitini bulunuz:
$\begin{matrix} a_{1} = 1 \\ a_{n + 1} = \frac{a_{n} + \frac{2}{a_{n}}}{2} \end{matrix}$
İstenen:
$lim_{n \to \infty} a_{n}$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Dizinin tanımı: a 1 = 1 a n + 1 = a n + 2 a n 2 Adım I: Terimlerin pozitif olduğunu gösterelim. Başlangıçta: a 1 > 0 Eğer: a n > 0 ise, tanımdan: a n + 1 = a n + 2 a n 2 > 0 Dolayısıyla tüm terimler pozitiftir. Adım II: Terimlerin kök iki ile ilişkisini bulalım. Aşağıdaki farkı hesaplayalım: a n + 1 2 - 2 Tanımı yerine yazıp düzenleyelim: a n + 2 a n 2 2 - 2 = a n 2 - 2 2 4 a n 2 Buradan sağ tarafın negatif olamayacağı görülür: a n + 1 2 - 2 ≥ 0 Dolayısıyla: a n + 1 ≥ 2 Özellikle: a 2 = 1 + 2 2 = 3 2 > 2 Adım III: Azalanlık (monotonluk). Farkı hesaplayalım: a n + 1 - a n = 2 - a n 2 2 a n Adım II 'den başlayarak: a n > 2 ( n ≥ 2 ) olduğundan: a n 2 > 2 ve bu nedenle: a n + 1 - a n < 0 Yani dizi ikinci terimden itibaren azalandır. Adım IV: Alt sınır ve yakınsaklık. Adım II 'den: a n ≥ 2 ( n ≥ 2 ) Dolayısıyla dizi, azalan ve aşağıdan sınırlı olduğundan yakınsaktır. Adım V: Limiti bulalım. Yakınsak olduğundan limitine: lim n → ∞ a n = L diyelim. Tanımın her iki tarafında limit alalım: L = L + 2 L 2 Düzenleyelim: 2 L = L + 2 L L = 2 L L 2 = 2 Limit pozitif olduğundan: L = 2 Sonuç: Doğru seçenek C1123'dir. lim n → ∞ a n = 2

Çözüm: Dizinin tanımı: a 1 = 1 a n + 1 = a n + 2 a n 2 Adım I: Terimlerin pozitif olduğunu gösterelim. Başlangıçta: a 1 > 0 Eğer: a n > 0 ise, tanımdan: a n + 1 = a n + 2 a n 2 > 0 Dolayısıyla tüm terimler pozitiftir. Adım II: Terimlerin kök iki ile ilişkisini bulalım. Aşağıdaki farkı hesaplayalım: a n + 1 2 - 2 Tanımı yerine yazıp düzenleyelim: a n + 2 a n 2 2 - 2 = a n 2 - 2 2 4 a n 2 Buradan sağ tarafın negatif olamayacağı görülür: a n + 1 2 - 2 ≥ 0 Dolayısıyla: a n + 1 ≥ 2 Özellikle: a 2 = 1 + 2 2 = 3 2 > 2 Adım III: Azalanlık (monotonluk). Farkı hesaplayalım: a n + 1 - a n = 2 - a n 2 2 a n Adım II 'den başlayarak: a n > 2 ( n ≥ 2 ) olduğundan: a n 2 > 2 ve bu nedenle: a n + 1 - a n < 0 Yani dizi ikinci terimden itibaren azalandır. Adım IV: Alt sınır ve yakınsaklık. Adım II 'den: a n ≥ 2 ( n ≥ 2 ) Dolayısıyla dizi, azalan ve aşağıdan sınırlı olduğundan yakınsaktır. Adım V: Limiti bulalım. Yakınsak olduğundan limitine: lim n → ∞ a n = L diyelim. Tanımın her iki tarafında limit alalım: L = L + 2 L 2 Düzenleyelim: 2 L = L + 2 L L = 2 L L 2 = 2 Limit pozitif olduğundan: L = 2 Sonuç: Doğru seçenek C1123'dir. lim n → ∞ a n = 2

Dizinin tanımı:

\begin{matrix} a_{1} = 1 \\ a_{n + 1} = \frac{a_{n} + \frac{2}{a_{n}}}{2} \end{matrix}

Adım I: Terimlerin pozitif olduğunu gösterelim.

Başlangıçta:

a_{1} > 0

Eğer:

a_{n} > 0

ise, tanımdan:

a_{n + 1} = \frac{a_{n} + \frac{2}{a_{n}}}{2} > 0

Dolayısıyla tüm terimler pozitiftir.

Adım II: Terimlerin kök iki ile ilişkisini bulalım.

Aşağıdaki farkı hesaplayalım:

{a_{n + 1}}^{2} - 2

Tanımı yerine yazıp düzenleyelim:

{\frac{a_{n} + \frac{2}{a_{n}}}{2}}^{2} - 2 = \frac{{{a_{n}}^{2} - 2}^{2}}{4 {a_{n}}^{2}}

Buradan sağ tarafın negatif olamayacağı görülür:

{a_{n + 1}}^{2} - 2 \geq 0

Dolayısıyla:

a_{n + 1} \geq \sqrt{2}

Özellikle:

a_{2} = \frac{1 + 2}{2} = \frac{3}{2} > \sqrt{2}

Adım III: Azalanlık (monotonluk).

Farkı hesaplayalım:

a_{n + 1} - a_{n} = \frac{2 - {a_{n}}^{2}}{2 a_{n}}

Adım II'den başlayarak:

a_{n} > \sqrt{2} (n \geq 2)

olduğundan:

{a_{n}}^{2} > 2

ve bu nedenle:

a_{n + 1} - a_{n} < 0

Yani dizi ikinci terimden itibaren azalandır.

Adım IV: Alt sınır ve yakınsaklık.

Adım II'den:

a_{n} \geq \sqrt{2} (n \geq 2)

Dolayısıyla dizi, azalan ve aşağıdan sınırlı olduğundan yakınsaktır.

Adım V: Limiti bulalım.

Yakınsak olduğundan limitine:

lim_{n \to \infty} a_{n} = L

diyelim. Tanımın her iki tarafında limit alalım:

L = \frac{L + \frac{2}{L}}{2}

Düzenleyelim:

2 L = L + \frac{2}{L}

L = \frac{2}{L}

L^{2} = 2

Limit pozitif olduğundan:

L = \sqrt{2}

Sonuç: Doğru seçenek C5007'dir.

lim_{n \to \infty} a_{n} = \sqrt{2}

10. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki dizi tanımlanıyor:
$a_{1} = 1$
$a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3^{n}, n \geq 1$
$a_{n}$ aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Verilen tanım: a $1 = 1$ a n + $1 = 2$ a n + 3 n, n ≥ 1 Önce homojen kısmı çözelim: a n + $1 = 2$ a n Bu durumda genel çözüm: a $n = C$ 2 n − 1 Şimdi özel çözüm arayalım. Sağ tarafta 3 n olduğu için a $n = k$ 3 n şeklinde deneyelim. Yerine yazalım: a n + 1 = k 3 n + 1 2 a n + 3 $n = 2$ k 3 n + 3 n Eşitleyelim: k 3 n + $1 = 2$ k 3 n + 3 n Ortak çarpan alalım: k 3 n ( 3 ) = 3 n ( 2 k + 1 ) Buradan: 3 $k = 2$ k + 1 $k = 1$ Demek ki bir özel çözüm: a $n = 3$ n Genel çözüm, homojen + özel: a $n = 3$ n + C 2 n − 1 Başlangıç koşulunu kullanalım: a $1 = 3$ 1 + C 2 1 − 1 $1 = 3$ + C C = − 2 Sonuç: a $n = 3$ n − 2 2 n − 1 Çarpanı düzenleyelim: 2 2 n − $1 = 2$ n Dolayısıyla: a $n = 3$ n − 2 n Bu ifade şıklardan a $n = 3$ n − 2 n ile aynı olduğundan doğru cevap D784 ’dır.

Çözüm: Verilen tanım: a $1 = 1$ a n + $1 = 2$ a n + 3 n, n ≥ 1 Önce homojen kısmı çözelim: a n + $1 = 2$ a n Bu durumda genel çözüm: a $n = C$ 2 n − 1 Şimdi özel çözüm arayalım. Sağ tarafta 3 n olduğu için a $n = k$ 3 n şeklinde deneyelim. Yerine yazalım: a n + 1 = k 3 n + 1 2 a n + 3 $n = 2$ k 3 n + 3 n Eşitleyelim: k 3 n + $1 = 2$ k 3 n + 3 n Ortak çarpan alalım: k 3 n ( 3 ) = 3 n ( 2 k + 1 ) Buradan: 3 $k = 2$ k + 1 $k = 1$ Demek ki bir özel çözüm: a $n = 3$ n Genel çözüm, homojen + özel: a $n = 3$ n + C 2 n − 1 Başlangıç koşulunu kullanalım: a $1 = 3$ 1 + C 2 1 − 1 $1 = 3$ + C C = − 2 Sonuç: a $n = 3$ n − 2 2 n − 1 Çarpanı düzenleyelim: 2 2 n − $1 = 2$ n Dolayısıyla: a $n = 3$ n − 2 n Bu ifade şıklardan a $n = 3$ n − 2 n ile aynı olduğundan doğru cevap D784 ’dır.

Verilen tanım:

a_{1} = 1

a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3^{n}, n \geq 1

Önce homojen kısmı çözelim:

a_{n + 1} = 2 a_{n}

Bu durumda genel çözüm:

a_{n} = C 2^{n - 1}

Şimdi özel çözüm arayalım. Sağ tarafta

3^{n}

olduğu için

a_{n} = k 3^{n}

şeklinde deneyelim. Yerine yazalım:

a_{n + 1} = k 3^{n + 1}

2 a_{n} + 3^{n} = 2 k 3^{n} + 3^{n}

Eşitleyelim:

k 3^{n + 1} = 2 k 3^{n} + 3^{n}

Ortak çarpan alalım:

</mo><mn>3</mn><mo>

Buradan:

3 k = 2 k + 1

k = 1

Demek ki bir özel çözüm:

a_{n} = 3^{n}

Genel çözüm, homojen + özel:

a_{n} = 3^{n} + C 2^{n - 1}

Başlangıç koşulunu kullanalım:

a_{1} = 3^{1} + C 2^{1 - 1}

1 = 3 + C

C = - 2

Sonuç:

a_{n} = 3^{n} - 2 2^{n - 1}

Çarpanı düzenleyelim:

2 2^{n - 1} = 2^{n}

Dolayısıyla:

a_{n} = 3^{n} - 2^{n}

Bu ifade şıklardan

a_{n} = 3^{n} - 2^{n}

ile aynı olduğundan doğru cevap A’dır.

Test çözümleri

Bu sayfadaki tüm çözümleri tek seferde incele.

Önceki test Sonraki test

İlgili yazılı sınavlar

12. Sınıf Matematik 1. Dönem 1. Yazılı Soruları

12. Sınıf Matematik 1. Dönem 1. Yazılı hazırlığına geç.

12. Sınıf Matematik 1. Dönem 2. Yazılı Soruları

12. Sınıf Matematik 1. Dönem 2. Yazılı hazırlığına geç.

12. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Soruları

12. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı hazırlığına geç.

Diziler Sık Sorulan Sorular

Aritmetik dizi nedir?

Ardışık terimleri arasındaki farkın sabit olduğu dizidir.

Geometrik dizi nedir?

Ardışık terimleri arasındaki oranın sabit olduğu dizidir.

Genel terim neden önemlidir?

Dizinin herhangi bir terimine, tüm terimleri tek tek yazmadan ulaşmayı sağlar.

12. Sınıf Matematik Diziler Testleri

Dizileri genel terim ve örüntü ilişkisiyle öğren

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

Sık karıştırılan noktalar

Verimli çalışma yolu

Günlük Liderler

12. Sınıf Matematik Diziler Testleri

Bir aritmetik dizide a1=5 ve a4=14 ise a10 kaçtır?

Aşağıda bir dizi tanımlanmıştır:a1=1,an+1=2an+1a5 değeri kaçtır?

Bir aritmetik dizide a3=7 ve a8=22 ise a1+a10 kaçtır?

Aşağıda tanımlanan dizinin genel terimini bulunuz.a1=1,an+1=2an+</mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo></mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo></mo><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>nn≥1

Aşağıda verilen dizi için açık form bulunuz.a1=1an+1=</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo></mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo></mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>an+1n≥1an ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

Aşağıdaki koşullarla tanımlanan dizide n≥1 için an kapalı formunu bulunuz.an+1=2an+3n,a1=1

Aşağıda tanımlanan dizi veriliyor:a1=1, an+1=an+2an+1Bu dizinin limiti aşağıdakilerden hangisidir?

Aşağıdaki dizi içina1=1an+1=1+1an, n≥1a8 değeri kaçtır?

Aşağıdaki dizi için limitini bulunuz:a1=1an+1=an+2an2İstenen:limn→∞an

Aşağıdaki dizi tanımlanıyor:a1=1an+1=2an+3n,n≥1an aşağıdakilerden hangisine eşittir?

Test çözümleri

İlgili yazılı sınavlar

12. Sınıf Matematik 1. Dönem 1. Yazılı Soruları

12. Sınıf Matematik 1. Dönem 2. Yazılı Soruları

12. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Soruları

Diziler Sık Sorulan Sorular

Bir aritmetik dizide $a_{1} = 5$ ve $a_{4} = 14$ ise $a_{10}$ kaçtır?

Aşağıda bir dizi tanımlanmıştır:
$a_{1} = 1, a_{n + 1} = 2 a_{n} + 1$
$a_{5}$ değeri kaçtır?

Bir aritmetik dizide $a_{3} = 7$ ve $a_{8} = 22$ ise $a_{1} + a_{10}$ kaçtır?

Aşağıda tanımlanan dizinin genel terimini bulunuz.
$</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>$
$n \geq 1$

Aşağıda verilen dizi için açık form bulunuz.
$a_{1} = 1$ $</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>$ $n \geq 1$
$a_{n}$ ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

Aşağıdaki koşullarla tanımlanan dizide $n \geq 1$ için $a_{n}$ kapalı formunu bulunuz.
$a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3^{n}, a_{1} = 1$

Aşağıda tanımlanan dizi veriliyor:
$a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{a_{n} + 2}{a_{n} + 1}$
Bu dizinin limiti aşağıdakilerden hangisidir?

Aşağıdaki dizi için
$a_{1} = 1$
$a_{n + 1} = 1 + \frac{1}{a_{n}}, n \geq 1$
$a_{8}$ değeri kaçtır?

Aşağıdaki dizi için limitini bulunuz:
$\begin{matrix} a_{1} = 1 \\ a_{n + 1} = \frac{a_{n} + \frac{2}{a_{n}}}{2} \end{matrix}$
İstenen:
$lim_{n \to \infty} a_{n}$

Aşağıdaki dizi tanımlanıyor:
$a_{1} = 1$
$a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3^{n}, n \geq 1$
$a_{n}$ aşağıdakilerden hangisine eşittir?