11. Sınıf Matematik Trigonometri Testleri

Doğru cevap: D

Verilenler: sin ( 2 x ) = 3 5 cos ( 2 x ) > 0 1) Önce cos değerini bulalım. Kimlik: sin 2 ( 2 x ) + cos 2 ( 2 x ) = 1 Yerine yazalım: 3 5 2 + cos 2 ( 2 x ) = 1 Buradan: cos 2 ( 2 x ) = 1 - 9 $25 = 16$ 25 ve cos(2x) > 0 olduğundan pozitif kök alınır: cos ( 2 x ) = 4 5 2) Şimdi $t = tan$(x) diyelim ve çift açı bağıntısını kullanalım: sin ( 2 x ) = 2 tan ( x ) 1 + tan 2 ( x ) Yerine yazalım $t = tan(x)$: 2 t 1 + t $2 = 3$ 5 Çapraz çarpım: 10 $t = 3$( 1 + t 2 ) Düzenleyelim: 3 t 2 - 10 t + $3 = 0$ Kökler: $t = 10$± 100 - 36 $6 = 10$ ± 8 6 Buna göre: $t = 3$ veya  $t = 1$3 3) Doğru kökü seçelim. sin(2x) > 0 ve cos(2x) > 0 olduğundan 2x birinci bölgede olmalıdır: 0 < 2 x < π 2 Dolayısıyla: 0 < x < π 4 Bu aralıkta tan(x) pozitif ve 1 'den küçüktür, yani uygun kök: tan ( x ) = 1 3 Sonuç: Doğru cevap D821 seçeneğidir.

1. Çözüm: Verilenler: sin ( 2 x ) = 3 5 cos ( 2 x ) > 0 1) Önce cos değerini bulalım. Kimlik: sin 2 ( 2 x ) + cos 2 ( 2 x ) = 1 Yerine yazalım: 3 5 2 + cos 2 ( 2 x ) = 1 Buradan: cos 2 ( 2 x ) = 1 - 9 $25 = 16$ 25 ve cos(2x) > 0 olduğundan pozitif kök alınır: cos ( 2 x ) = 4 5 2) Şimdi $t = tan$(x) diyelim ve çift açı bağıntısını kullanalım: sin ( 2 x ) = 2 tan ( x ) 1 + tan 2 ( x ) Yerine yazalım $t = tan(x)$: 2 t 1 + t $2 = 3$ 5 Çapraz çarpım: 10 $t = 3$( 1 + t 2 ) Düzenleyelim: 3 t 2 - 10 t + $3 = 0$ Kökler: $t = 10$± 100 - 36 $6 = 10$ ± 8 6 Buna göre: $t = 3$ veya  $t = 1$3 3) Doğru kökü seçelim. sin(2x) > 0 ve cos(2x) > 0 olduğundan 2x birinci bölgede olmalıdır: 0 < 2 x < π 2 Dolayısıyla: 0 < x < π 4 Bu aralıkta tan(x) pozitif ve 1 'den küçüktür, yani uygun kök: tan ( x ) = 1 3 Sonuç: Doğru cevap D821 seçeneğidir.

Doğru cevap: A

Önce ifadeyi netleştirelim (sorudaki kesir yazımından, amaçlanan çarpımın aşağıdaki olduğu anlaşılır): sin ( π 9 ) ⋅ sin ( 2 π 9 ) ⋅ sin ( 4 π 9 ) Bu tip çarpımlar için aşağıdaki özdeşliği kullanacağız: sin ( 3 x ) = 4 ⋅ sin ( x ) ⋅ sin ( π 3 + x ) ⋅ sin ( π 3 - x ) Özdeşliği kısa bir dönüşümle doğrulayalım. Önce çarpım-toplam dönüşümü: 2 ⋅ sin ( π 3 + x ) ⋅ sin ( π 3 - x ) = cos ( 2 x ) - cos ( 2 π ) Burada cos ( 2 π ) = cos ( 2 π 3 ) = - 1 2 olduğundan: 2 ⋅ sin ( π 3 + x ) ⋅ sin ( π 3 - x ) = cos ( 2 x ) + 1 2 Şimdi her iki tarafı 2 ⋅ sin ( x ) ile çarpalım: 4 ⋅ sin ( x ) ⋅ sin ( π 3 + x ) ⋅ sin ( π 3 - x ) = 2 ⋅ sin ( x ) ⋅ cos ( 2 x ) + sin ( x ) Diğer taraftan sin ( 3 x ) = sin ( x ) + 2 ⋅ sin ( x ) ⋅ cos ( 2 x ) olduğundan, aradığımız özdeşlik elde edilir. Şimdi x = π 9 seçelim. O zaman 3 x = π 3 ve özdeşlik: sin ( π 3 ) = 4 ⋅ sin ( π 9 ) ⋅ sin ( π 3 + π 9 ) ⋅ sin ( π 3 - π 9 ) Parantez içlerini sadeleştirelim: π 3 + π $9 = 3$ π + π $9 = 4$ π 9 π 3 - π $9 = 3$ π - π $9 = 2$ π 9 Dolayısıyla: sin ( π 3 ) = 4 ⋅ sin ( π 9 ) ⋅ sin ( 4 π 9 ) ⋅ sin ( 2 π 9 ) Aranan çarpımı yalnız bırakalım: sin ( π 9 ) ⋅ sin ( 2 π 9 ) ⋅ sin ( 4 π 9 ) = sin ( π 3 ) 4 Şimdi sin ( π 3 ) = 3 2 olduğuna göre: sin ( π 9 ) ⋅ sin ( 2 π 9 ) ⋅ sin ( 4 π 9 ) = 3 2 $4 = 3$ 8 Bu değer şıklarla karşılaştırılırsa doğru seçenek: 3 8 Dolayısıyla A şıkkı doğrudur.

1. Çözüm: Önce ifadeyi netleştirelim (sorudaki kesir yazımından, amaçlanan çarpımın aşağıdaki olduğu anlaşılır): sin ( π 9 ) ⋅ sin ( 2 π 9 ) ⋅ sin ( 4 π 9 ) Bu tip çarpımlar için aşağıdaki özdeşliği kullanacağız: sin ( 3 x ) = 4 ⋅ sin ( x ) ⋅ sin ( π 3 + x ) ⋅ sin ( π 3 - x ) Özdeşliği kısa bir dönüşümle doğrulayalım. Önce çarpım-toplam dönüşümü: 2 ⋅ sin ( π 3 + x ) ⋅ sin ( π 3 - x ) = cos ( 2 x ) - cos ( 2 π ) Burada cos ( 2 π ) = cos ( 2 π 3 ) = - 1 2 olduğundan: 2 ⋅ sin ( π 3 + x ) ⋅ sin ( π 3 - x ) = cos ( 2 x ) + 1 2 Şimdi her iki tarafı 2 ⋅ sin ( x ) ile çarpalım: 4 ⋅ sin ( x ) ⋅ sin ( π 3 + x ) ⋅ sin ( π 3 - x ) = 2 ⋅ sin ( x ) ⋅ cos ( 2 x ) + sin ( x ) Diğer taraftan sin ( 3 x ) = sin ( x ) + 2 ⋅ sin ( x ) ⋅ cos ( 2 x ) olduğundan, aradığımız özdeşlik elde edilir. Şimdi x = π 9 seçelim. O zaman 3 x = π 3 ve özdeşlik: sin ( π 3 ) = 4 ⋅ sin ( π 9 ) ⋅ sin ( π 3 + π 9 ) ⋅ sin ( π 3 - π 9 ) Parantez içlerini sadeleştirelim: π 3 + π $9 = 3$ π + π $9 = 4$ π 9 π 3 - π $9 = 3$ π - π $9 = 2$ π 9 Dolayısıyla: sin ( π 3 ) = 4 ⋅ sin ( π 9 ) ⋅ sin ( 4 π 9 ) ⋅ sin ( 2 π 9 ) Aranan çarpımı yalnız bırakalım: sin ( π 9 ) ⋅ sin ( 2 π 9 ) ⋅ sin ( 4 π 9 ) = sin ( π 3 ) 4 Şimdi sin ( π 3 ) = 3 2 olduğuna göre: sin ( π 9 ) ⋅ sin ( 2 π 9 ) ⋅ sin ( 4 π 9 ) = 3 2 $4 = 3$ 8 Bu değer şıklarla karşılaştırılırsa doğru seçenek: 3 8 Dolayısıyla A şıkkı doğrudur.

Doğru cevap: B

Önce denklemi ve aralığı net yazalım: sin ⁡ 3 x = cos ⁡ x 0 < x < 2 π cos ⁡ x = sin ⁡ π 2 - x olduğundan denklem: sin ⁡ 3 x = sin ⁡ π 2 - x sin ⁡ A = sin ⁡ B ise iki durum vardır: A = B + 2 k π A = π - B + 2 k π Burada A = 3 x B = π 2 - x 1. durum: 3 x = π 2 - x + 2 k π 4 x = π 2 + 2 k π x = π 8 + k π 2 Bu ailede 0 < π 8 + k π 2 < 2 π sağlayan tam sayıları sayalım. Çözümler: k = 0 → x = π 8 k = 1 → x = 5 π 8 k = 2 → x = 9 π 8 k = 3 → x = 13 π 8 k = 4 → x = 17 π 8 Bir sonraki k = 5 → x = 21 π 8 > 2 π olduğu için bu aileden toplam 5 çözüm gelir. 2. durum: 3 x = π - π 2 - x + 2 k π 3 x = π 2 + x + 2 k π 2 x = π 2 + 2 k π x = π 4 + k π Bu ailede 0 < π 4 + k π < 2 π için çözümler: k = 0 → x = π 4 k = 1 → x = 5 π 4 Bir sonraki k = 2 → x = 9 π 4 > 2 π olduğu için bu aileden toplam 2 çözüm gelir. İki çözüm ailesinde çakışma (aynı x değeri) oluşmadığı için toplam çözüm sayısı: 5 + 2 = 7 Sonuç: Doğru seçenek D ’dir. C (6) doğru değildir.

1. Çözüm: Önce denklemi ve aralığı net yazalım: sin ⁡ 3 x = cos ⁡ x 0 < x < 2 π cos ⁡ x = sin ⁡ π 2 - x olduğundan denklem: sin ⁡ 3 x = sin ⁡ π 2 - x sin ⁡ A = sin ⁡ B ise iki durum vardır: A = B + 2 k π A = π - B + 2 k π Burada A = 3 x B = π 2 - x 1. durum: 3 x = π 2 - x + 2 k π 4 x = π 2 + 2 k π x = π 8 + k π 2 Bu ailede 0 < π 8 + k π 2 < 2 π sağlayan tam sayıları sayalım. Çözümler: k = 0 → x = π 8 k = 1 → x = 5 π 8 k = 2 → x = 9 π 8 k = 3 → x = 13 π 8 k = 4 → x = 17 π 8 Bir sonraki k = 5 → x = 21 π 8 > 2 π olduğu için bu aileden toplam 5 çözüm gelir. 2. durum: 3 x = π - π 2 - x + 2 k π 3 x = π 2 + x + 2 k π 2 x = π 2 + 2 k π x = π 4 + k π Bu ailede 0 < π 4 + k π < 2 π için çözümler: k = 0 → x = π 4 k = 1 → x = 5 π 4 Bir sonraki k = 2 → x = 9 π 4 > 2 π olduğu için bu aileden toplam 2 çözüm gelir. İki çözüm ailesinde çakışma (aynı x değeri) oluşmadığı için toplam çözüm sayısı: 5 + 2 = 7 Sonuç: Doğru seçenek D ’dir. C (6) doğru değildir.

Doğru cevap: C

Verilen koşul: 0 < x < π 2 Verilen denklem: tan x + cot $x = 4$Değişken dönüşümü yapalım: $t = tan$x Bu durumda cot ifadesini yazalım: cot $x = 1$t Verilen denklem t cinsinden: t + 1 $t = 4$Her iki tarafı t ile çarpalım: t $2 + 1 = 4$ t İstenen ifade için çift açı bağıntısı: sin ( 2 x ) = 2 tan x 1 + tan x 2 $t=tan$x yazınca: sin ( 2 x ) = 2 t 1 + t 2 Bir önceki adımdan: 1 + t $2 = 4$ t Bunu yerine yazalım: sin ( 2 x ) = 2 t 4 t Sadeleştirelim: sin ( 2 x ) = 1 2 Sonuç şıklarda seçeneğiC480dir; yani A doğrudur. 1 2

1. Çözüm: Verilen koşul: 0 < x < π 2 Verilen denklem: tan x + cot $x = 4$Değişken dönüşümü yapalım: $t = tan$x Bu durumda cot ifadesini yazalım: cot $x = 1$t Verilen denklem t cinsinden: t + 1 $t = 4$Her iki tarafı t ile çarpalım: t $2 + 1 = 4$ t İstenen ifade için çift açı bağıntısı: sin ( 2 x ) = 2 tan x 1 + tan x 2 $t=tan$x yazınca: sin ( 2 x ) = 2 t 1 + t 2 Bir önceki adımdan: 1 + t $2 = 4$ t Bunu yerine yazalım: sin ( 2 x ) = 2 t 4 t Sadeleştirelim: sin ( 2 x ) = 1 2 Sonuç şıklarda seçeneğiC480dir; yani A doğrudur. 1 2

Doğru cevap: D

1) Şık kontrolü (B mi?): Önce denklemi çözüp istenen değeri bulacağız. 2) Verilen denklem: cos ( 3 θ ) = sin ( θ ) Ayrıca aralık: θ ∈ ( 0, π 2 ) 3) sin fonksiyonunu cos cinsinden yazalım: sin ( θ ) = cos ( π 2 - θ ) Bunu denklemde yerine yazınca: cos ( 3 θ ) = cos ( π 2 - θ ) 4) cos eşitliği için genel çözüm: cos ( A ) = cos ( B ) ⇔ $A = B + 2$k π ∨ A = - B + 2 k π Burada: $A = 3$θ, B = π 2 - θ 5) 1. durum: 3 θ = π 2 - θ + 2 k π Düzenleyelim: 4 θ = π 2 + 2 k π θ = π 8 + k π 2 Aralık şartı: 0 < θ < π 2 Bu aralıkta sadece k için uygun değer: $k = 0$⇒ θ = π 8 6) 2. durum: 3 θ = - π 2 - θ + 2 k π Düzenleyelim: 3 θ = - π 2 + θ + 2 k π 2 θ = - π 2 + 2 k π θ = - π 4 + k π Bu ifade ( 0, π/2 ) aralığında değer vermez; dolayısıyla bu durumdan çözüm gelmez. 7) Bulunan açı: θ = π 8 İstenen değer: tan ( 2 θ ) = tan ( 2 × π 8 ) tan ( π 4 ) = 1 8) Sonuç ve şık kontrolü: tan ( 2 θ ) = 1 Bu değer şıkkıD1275dır; yani B doğru.

1. Çözüm: 1) Şık kontrolü (B mi?): Önce denklemi çözüp istenen değeri bulacağız. 2) Verilen denklem: cos ( 3 θ ) = sin ( θ ) Ayrıca aralık: θ ∈ ( 0, π 2 ) 3) sin fonksiyonunu cos cinsinden yazalım: sin ( θ ) = cos ( π 2 - θ ) Bunu denklemde yerine yazınca: cos ( 3 θ ) = cos ( π 2 - θ ) 4) cos eşitliği için genel çözüm: cos ( A ) = cos ( B ) ⇔ $A = B + 2$k π ∨ A = - B + 2 k π Burada: $A = 3$θ, B = π 2 - θ 5) 1. durum: 3 θ = π 2 - θ + 2 k π Düzenleyelim: 4 θ = π 2 + 2 k π θ = π 8 + k π 2 Aralık şartı: 0 < θ < π 2 Bu aralıkta sadece k için uygun değer: $k = 0$⇒ θ = π 8 6) 2. durum: 3 θ = - π 2 - θ + 2 k π Düzenleyelim: 3 θ = - π 2 + θ + 2 k π 2 θ = - π 2 + 2 k π θ = - π 4 + k π Bu ifade ( 0, π/2 ) aralığında değer vermez; dolayısıyla bu durumdan çözüm gelmez. 7) Bulunan açı: θ = π 8 İstenen değer: tan ( 2 θ ) = tan ( 2 × π 8 ) tan ( π 4 ) = 1 8) Sonuç ve şık kontrolü: tan ( 2 θ ) = 1 Bu değer şıkkıD1275dır; yani B doğru.

Doğru cevap: A

Verilenler: tan ( 2 x ) = 3 4 0 < x < π 4 1) Aralık bilgisinden işaret analizi yapalım: 0 < x < π 4 ⇒ 0 < 2 x < π 2 Buradan birinci bölgede olduğumuz için: sin ( 2 x ) > 0, cos ( 2 x ) > 0 2) Tanjant tanımını kullanarak sin ve cos değerlerini bulalım: tan ( 2 x ) = sin ( 2 x ) cos ( 2 x ) sin ( 2 x ) cos ( 2 x ) = 3 4 Oran 3-4-5 üçgenini çağrıştırır. Birinci bölgede olduğumuz için sin ve cos pozitif alınır: sin ( 2 x ) = 3 5, cos ( 2 x ) = 4 5 3) İstenen ifadeyi hesaplayalım: sin ( 2 x ) + cos ( 2 x ) = 3 5 + 4 5 = 7 5 4) Şık kontrolü: 7 5 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

1. Çözüm: Verilenler: tan ( 2 x ) = 3 4 0 < x < π 4 1) Aralık bilgisinden işaret analizi yapalım: 0 < x < π 4 ⇒ 0 < 2 x < π 2 Buradan birinci bölgede olduğumuz için: sin ( 2 x ) > 0, cos ( 2 x ) > 0 2) Tanjant tanımını kullanarak sin ve cos değerlerini bulalım: tan ( 2 x ) = sin ( 2 x ) cos ( 2 x ) sin ( 2 x ) cos ( 2 x ) = 3 4 Oran 3-4-5 üçgenini çağrıştırır. Birinci bölgede olduğumuz için sin ve cos pozitif alınır: sin ( 2 x ) = 3 5, cos ( 2 x ) = 4 5 3) İstenen ifadeyi hesaplayalım: sin ( 2 x ) + cos ( 2 x ) = 3 5 + 4 5 = 7 5 4) Şık kontrolü: 7 5 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

Doğru cevap: B

1) Verilenler: cos $x = 3$5 0 < x < π 2 2) Birinci bölgede olduğundan sinüs değeri pozitiftir. Önce sin değerini bulalım: sin x $2 = 1$ - cos x 2 3) Yerine yazalım: sin x $2 = 1$ - 3 5 2 sin x $2 = 1$ - 9 $25 = 16$ 25 4) Pozitif kökü alırız: sin $x = 16$$25 = 4$ 5 5) Üç kat açı formülünü kullanalım: sin ( 3 x ) = 3 sin x - 4 sin x 3 6) Yerine koyup hesaplayalım: sin ( 3 x ) = 3 4 5 - 4 4 5 3 sin ( 3 x ) = 12 5 - 4 64 $125 = 300$ 125 - 256 $125 = 44$ 125 Sonuç: Doğru değer şıkkıB468dır. sin ( 3 x ) = 44 125

1. Çözüm: 1) Verilenler: cos $x = 3$5 0 < x < π 2 2) Birinci bölgede olduğundan sinüs değeri pozitiftir. Önce sin değerini bulalım: sin x $2 = 1$ - cos x 2 3) Yerine yazalım: sin x $2 = 1$ - 3 5 2 sin x $2 = 1$ - 9 $25 = 16$ 25 4) Pozitif kökü alırız: sin $x = 16$$25 = 4$ 5 5) Üç kat açı formülünü kullanalım: sin ( 3 x ) = 3 sin x - 4 sin x 3 6) Yerine koyup hesaplayalım: sin ( 3 x ) = 3 4 5 - 4 4 5 3 sin ( 3 x ) = 12 5 - 4 64 $125 = 300$ 125 - 256 $125 = 44$ 125 Sonuç: Doğru değer şıkkıB468dır. sin ( 3 x ) = 44 125

Doğru cevap: C

Doğru şık A ’dır. Çarpımı şu şekilde tanımlayalım: $P = cos$( x ) · cos ( 2 x ) · cos ( 4 x ) Verilen ifadeye göre: x = π 9 Temel özdeşlik: sin ( 2 t ) = 2 sin ( t ) cos ( t ) Buradan sırasıyla: cos ( x ) = sin ( 2 x ) 2 sin ( x ) cos ( 2 x ) = sin ( 4 x ) 2 sin ( 2 x ) cos ( 4 x ) = sin ( 8 x ) 2 sin ( 4 x ) Şimdi bu üç ifadeyi çarpıp sadeleştirelim: $P = sin$( 2 x ) 2 sin ( x ) · sin ( 4 x ) 2 sin ( 2 x ) · sin ( 8 x ) 2 sin ( 4 x ) $P = sin$( 8 x ) 8 sin ( x ) Şimdi verilen değeri yerine koyup sinüs özelliğini kullanalım: 8 $x = 8$· π $9 = 8$ π = 8 π 9 sin ( 8 π 9 ) = sin ( π - 8 π 9 ) = sin ( π 9 ) = sin ( x ) Sonuç: $P = sin$( x ) 8 sin ( x ) = 1 8

1. Çözüm: Doğru şık A ’dır. Çarpımı şu şekilde tanımlayalım: $P = cos$( x ) · cos ( 2 x ) · cos ( 4 x ) Verilen ifadeye göre: x = π 9 Temel özdeşlik: sin ( 2 t ) = 2 sin ( t ) cos ( t ) Buradan sırasıyla: cos ( x ) = sin ( 2 x ) 2 sin ( x ) cos ( 2 x ) = sin ( 4 x ) 2 sin ( 2 x ) cos ( 4 x ) = sin ( 8 x ) 2 sin ( 4 x ) Şimdi bu üç ifadeyi çarpıp sadeleştirelim: $P = sin$( 2 x ) 2 sin ( x ) · sin ( 4 x ) 2 sin ( 2 x ) · sin ( 8 x ) 2 sin ( 4 x ) $P = sin$( 8 x ) 8 sin ( x ) Şimdi verilen değeri yerine koyup sinüs özelliğini kullanalım: 8 $x = 8$· π $9 = 8$ π = 8 π 9 sin ( 8 π 9 ) = sin ( π - 8 π 9 ) = sin ( π 9 ) = sin ( x ) Sonuç: $P = sin$( x ) 8 sin ( x ) = 1 8