11. Sınıf Matematik Trigonometri Test Çöz

1. SoruÇoktan Seçmeli

$\sin (2 x) = \frac{3}{5}$ ve $\cos (2 x) > 0$ olduğuna göre $\tan (x)$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Verilenler: sin ( 2 x ) = 3 5 cos ( 2 x ) > 0 1) Önce cos değerini bulalım. Kimlik: sin 2 ( 2 x ) + cos 2 ( 2 x ) = 1 Yerine yazalım: 3 5 2 + cos 2 ( 2 x ) = 1 Buradan: cos 2 ( 2 x ) = 1 - 9 25 = 16 25 ve cos(2x) > 0 olduğundan pozitif kök alınır: cos ( 2 x ) = 4 5 2) Şimdi t = tan(x) diyelim ve çift açı bağıntısını kullanalım: sin ( 2 x ) = 2 tan ( x ) 1 + tan 2 ( x ) Yerine yazalım ( t = tan(x) ): 2 t 1 + t 2 = 3 5 Çapraz çarpım: 10 t = 3 ( 1 + t 2 ) Düzenleyelim: 3 t 2 - 10 t + 3 = 0 Kökler: t = 10 ± 100 - 36 6 = 10 ± 8 6 Buna göre: t = 3 veya t = 1 3 3) Doğru kökü seçelim. sin(2x) > 0 ve cos(2x) > 0 olduğundan 2x birinci bölgede olmalıdır: 0 < 2 x < π 2 Dolayısıyla: 0 < x < π 4 Bu aralıkta tan(x) pozitif ve 1 'den küçüktür, yani uygun kök: tan ( x ) = 1 3 Sonuç: Doğru cevap D821 seçeneğidir.

Çözüm: Verilenler: sin ( 2 x ) = 3 5 cos ( 2 x ) > 0 1) Önce cos değerini bulalım. Kimlik: sin 2 ( 2 x ) + cos 2 ( 2 x ) = 1 Yerine yazalım: 3 5 2 + cos 2 ( 2 x ) = 1 Buradan: cos 2 ( 2 x ) = 1 - 9 25 = 16 25 ve cos(2x) > 0 olduğundan pozitif kök alınır: cos ( 2 x ) = 4 5 2) Şimdi t = tan(x) diyelim ve çift açı bağıntısını kullanalım: sin ( 2 x ) = 2 tan ( x ) 1 + tan 2 ( x ) Yerine yazalım ( t = tan(x) ): 2 t 1 + t 2 = 3 5 Çapraz çarpım: 10 t = 3 ( 1 + t 2 ) Düzenleyelim: 3 t 2 - 10 t + 3 = 0 Kökler: t = 10 ± 100 - 36 6 = 10 ± 8 6 Buna göre: t = 3 veya t = 1 3 3) Doğru kökü seçelim. sin(2x) > 0 ve cos(2x) > 0 olduğundan 2x birinci bölgede olmalıdır: 0 < 2 x < π 2 Dolayısıyla: 0 < x < π 4 Bu aralıkta tan(x) pozitif ve 1 'den küçüktür, yani uygun kök: tan ( x ) = 1 3 Sonuç: Doğru cevap D821 seçeneğidir.

Verilenler:

$\sin (2 x) = \frac{3}{5}$

$\cos (2 x) > 0$

1) Önce cos değerini bulalım. Kimlik:

$\sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) = 1$

Yerine yazalım:

${\frac{3}{5}}^{2} + \cos^{2} (2 x) = 1$

Buradan:

$\cos^{2} (2 x) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

ve cos(2x) > 0 olduğundan pozitif kök alınır:

$\cos (2 x) = \frac{4}{5}$

2) Şimdi t = tan(x) diyelim ve çift açı bağıntısını kullanalım:

$\sin (2 x) = \frac{2 \tan (x)}{1 + \tan^{2} (x)}$

Yerine yazalım (t = tan(x)):

$\frac{2 t}{1 + t^{2}} = \frac{3}{5}$

Çapraz çarpım:

$10 t = 3 (1 + t^{2})$

Düzenleyelim:

$3 t^{2} - 10 t + 3 = 0$

Kökler:

$t = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6} = \frac{10 \pm 8}{6}$

Buna göre:

$t = 3 veya t = \frac{1}{3}$

3) Doğru kökü seçelim. sin(2x) > 0 ve cos(2x) > 0 olduğundan 2x birinci bölgede olmalıdır:

$0 < 2 x < \frac{π}{2}$

Dolayısıyla:

$0 < x < \frac{π}{4}$

Bu aralıkta tan(x) pozitif ve 1'den küçüktür, yani uygun kök:

$\tan (x) = \frac{1}{3}$

Sonuç: Doğru cevap B seçeneğidir.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki değeri bulunuz:
$\sin (\frac{π}{9}) \cdot \sin (\frac{2}{π}) \cdot \sin (\frac{4}{π})$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Önce ifadeyi netleştirelim (sorudaki kesir yazımından, amaçlanan çarpımın aşağıdaki olduğu anlaşılır): sin ( π 9 ) ⋅ sin ( 2 π 9 ) ⋅ sin ( 4 π 9 ) Bu tip çarpımlar için aşağıdaki özdeşliği kullanacağız: sin ( 3 x ) = 4 ⋅ sin ( x ) ⋅ sin ( π 3 + x ) ⋅ sin ( π 3 - x ) Özdeşliği kısa bir dönüşümle doğrulayalım. Önce çarpım-toplam dönüşümü: 2 ⋅ sin ( π 3 + x ) ⋅ sin ( π 3 - x ) = cos ( 2 x ) - cos ( 2 π ) Burada cos ( 2 π ) = cos ( 2 π 3 ) = - 1 2 olduğundan: 2 ⋅ sin ( π 3 + x ) ⋅ sin ( π 3 - x ) = cos ( 2 x ) + 1 2 Şimdi her iki tarafı 2 ⋅ sin ( x ) ile çarpalım: 4 ⋅ sin ( x ) ⋅ sin ( π 3 + x ) ⋅ sin ( π 3 - x ) = 2 ⋅ sin ( x ) ⋅ cos ( 2 x ) + sin ( x ) Diğer taraftan sin ( 3 x ) = sin ( x ) + 2 ⋅ sin ( x ) ⋅ cos ( 2 x ) olduğundan, aradığımız özdeşlik elde edilir. Şimdi x = π 9 seçelim. O zaman 3 x = π 3 ve özdeşlik: sin ( π 3 ) = 4 ⋅ sin ( π 9 ) ⋅ sin ( π 3 + π 9 ) ⋅ sin ( π 3 - π 9 ) Parantez içlerini sadeleştirelim: π 3 + π 9 = 3 π + π 9 = 4 π 9 π 3 - π 9 = 3 π - π 9 = 2 π 9 Dolayısıyla: sin ( π 3 ) = 4 ⋅ sin ( π 9 ) ⋅ sin ( 4 π 9 ) ⋅ sin ( 2 π 9 ) Aranan çarpımı yalnız bırakalım: sin ( π 9 ) ⋅ sin ( 2 π 9 ) ⋅ sin ( 4 π 9 ) = sin ( π 3 ) 4 Şimdi sin ( π 3 ) = 3 2 olduğuna göre: sin ( π 9 ) ⋅ sin ( 2 π 9 ) ⋅ sin ( 4 π 9 ) = 3 2 4 = 3 8 Bu değer şıklarla karşılaştırılırsa doğru seçenek: 3 8 Dolayısıyla A şıkkı doğrudur.

Çözüm: Önce ifadeyi netleştirelim (sorudaki kesir yazımından, amaçlanan çarpımın aşağıdaki olduğu anlaşılır): sin ( π 9 ) ⋅ sin ( 2 π 9 ) ⋅ sin ( 4 π 9 ) Bu tip çarpımlar için aşağıdaki özdeşliği kullanacağız: sin ( 3 x ) = 4 ⋅ sin ( x ) ⋅ sin ( π 3 + x ) ⋅ sin ( π 3 - x ) Özdeşliği kısa bir dönüşümle doğrulayalım. Önce çarpım-toplam dönüşümü: 2 ⋅ sin ( π 3 + x ) ⋅ sin ( π 3 - x ) = cos ( 2 x ) - cos ( 2 π ) Burada cos ( 2 π ) = cos ( 2 π 3 ) = - 1 2 olduğundan: 2 ⋅ sin ( π 3 + x ) ⋅ sin ( π 3 - x ) = cos ( 2 x ) + 1 2 Şimdi her iki tarafı 2 ⋅ sin ( x ) ile çarpalım: 4 ⋅ sin ( x ) ⋅ sin ( π 3 + x ) ⋅ sin ( π 3 - x ) = 2 ⋅ sin ( x ) ⋅ cos ( 2 x ) + sin ( x ) Diğer taraftan sin ( 3 x ) = sin ( x ) + 2 ⋅ sin ( x ) ⋅ cos ( 2 x ) olduğundan, aradığımız özdeşlik elde edilir. Şimdi x = π 9 seçelim. O zaman 3 x = π 3 ve özdeşlik: sin ( π 3 ) = 4 ⋅ sin ( π 9 ) ⋅ sin ( π 3 + π 9 ) ⋅ sin ( π 3 - π 9 ) Parantez içlerini sadeleştirelim: π 3 + π 9 = 3 π + π 9 = 4 π 9 π 3 - π 9 = 3 π - π 9 = 2 π 9 Dolayısıyla: sin ( π 3 ) = 4 ⋅ sin ( π 9 ) ⋅ sin ( 4 π 9 ) ⋅ sin ( 2 π 9 ) Aranan çarpımı yalnız bırakalım: sin ( π 9 ) ⋅ sin ( 2 π 9 ) ⋅ sin ( 4 π 9 ) = sin ( π 3 ) 4 Şimdi sin ( π 3 ) = 3 2 olduğuna göre: sin ( π 9 ) ⋅ sin ( 2 π 9 ) ⋅ sin ( 4 π 9 ) = 3 2 4 = 3 8 Bu değer şıklarla karşılaştırılırsa doğru seçenek: 3 8 Dolayısıyla A şıkkı doğrudur.

Önce ifadeyi netleştirelim (sorudaki kesir yazımından, amaçlanan çarpımın aşağıdaki olduğu anlaşılır):

\sin (\frac{π}{9}) \cdot \sin (\frac{2 π}{9}) \cdot \sin (\frac{4 π}{9})

Bu tip çarpımlar için aşağıdaki özdeşliği kullanacağız:

\sin (3 x) = 4 \cdot \sin (x) \cdot \sin (\frac{π}{3} + x) \cdot \sin (\frac{π}{3} - x)

Özdeşliği kısa bir dönüşümle doğrulayalım. Önce çarpım-toplam dönüşümü:

2 \cdot \sin (\frac{π}{3} + x) \cdot \sin (\frac{π}{3} - x) = \cos (2 x) - \cos (\frac{2}{π})

Burada

\cos (\frac{2}{π}) = \cos (\frac{2}{π}) = \frac{- 1}{2}

olduğundan:

2 \cdot \sin (\frac{π}{3} + x) \cdot \sin (\frac{π}{3} - x) = \cos (2 x) + \frac{1}{2}

Şimdi her iki tarafı

2 \cdot \sin (x)

ile çarpalım:

4 \cdot \sin (x) \cdot \sin (\frac{π}{3} + x) \cdot \sin (\frac{π}{3} - x) = 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (2 x) + \sin (x)

Diğer taraftan

\sin (3 x) = \sin (x) + 2 \cdot \sin (x) \cdot \cos (2 x)

olduğundan, aradığımız özdeşlik elde edilir.

Şimdi

x = \frac{π}{9}

seçelim. O zaman

3 x = \frac{π}{3}

ve özdeşlik:

\sin (\frac{π}{3}) = 4 \cdot \sin (\frac{π}{9}) \cdot \sin (\frac{π}{3} + \frac{π}{9}) \cdot \sin (\frac{π}{3} - \frac{π}{9})

Parantez içlerini sadeleştirelim:

\frac{π}{3} + \frac{π}{9} = \frac{3 π + π}{9} = \frac{4 π}{9}

\frac{π}{3} - \frac{π}{9} = \frac{3 π - π}{9} = \frac{2 π}{9}

Dolayısıyla:

\sin (\frac{π}{3}) = 4 \cdot \sin (\frac{π}{9}) \cdot \sin (\frac{4 π}{9}) \cdot \sin (\frac{2 π}{9})

Aranan çarpımı yalnız bırakalım:

\sin (\frac{π}{9}) \cdot \sin (\frac{2 π}{9}) \cdot \sin (\frac{4 π}{9}) = \frac{\sin (\frac{π}{3})}{4}

Şimdi

\sin (\frac{π}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}

olduğuna göre:

\sin (\frac{π}{9}) \cdot \sin (\frac{2 π}{9}) \cdot \sin (\frac{4 π}{9}) = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{8}

Bu değer şıklarla karşılaştırılırsa doğru seçenek:

\frac{\sqrt{3}}{8}

Dolayısıyla

A şıkkı doğrudur.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki denklemin $(0, 2 π)$ aralığında kaç farklı çözümü vardır?
$\sin 3 x = \cos x$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Önce denklemi ve aralığı net yazalım: sin ⁡ 3 x = cos ⁡ x 0 < x < 2 π cos ⁡ x = sin ⁡ π 2 - x olduğundan denklem: sin ⁡ 3 x = sin ⁡ π 2 - x sin ⁡ A = sin ⁡ B ise iki durum vardır: A = B + 2 k π A = π - B + 2 k π Burada A = 3 x B = π 2 - x 1. durum: 3 x = π 2 - x + 2 k π 4 x = π 2 + 2 k π x = π 8 + k π 2 Bu ailede 0 < π 8 + k π 2 < 2 π sağlayan tam sayıları sayalım. Çözümler: k = 0 → x = π 8 k = 1 → x = 5 π 8 k = 2 → x = 9 π 8 k = 3 → x = 13 π 8 k = 4 → x = 17 π 8 Bir sonraki k = 5 → x = 21 π 8 > 2 π olduğu için bu aileden toplam 5 çözüm gelir. 2. durum: 3 x = π - π 2 - x + 2 k π 3 x = π 2 + x + 2 k π 2 x = π 2 + 2 k π x = π 4 + k π Bu ailede 0 < π 4 + k π < 2 π için çözümler: k = 0 → x = π 4 k = 1 → x = 5 π 4 Bir sonraki k = 2 → x = 9 π 4 > 2 π olduğu için bu aileden toplam 2 çözüm gelir. İki çözüm ailesinde çakışma (aynı x değeri) oluşmadığı için toplam çözüm sayısı: 5 + 2 = 7 Sonuç: Doğru seçenek D ’dir. C (6) doğru değildir.

Çözüm: Önce denklemi ve aralığı net yazalım: sin ⁡ 3 x = cos ⁡ x 0 < x < 2 π cos ⁡ x = sin ⁡ π 2 - x olduğundan denklem: sin ⁡ 3 x = sin ⁡ π 2 - x sin ⁡ A = sin ⁡ B ise iki durum vardır: A = B + 2 k π A = π - B + 2 k π Burada A = 3 x B = π 2 - x 1. durum: 3 x = π 2 - x + 2 k π 4 x = π 2 + 2 k π x = π 8 + k π 2 Bu ailede 0 < π 8 + k π 2 < 2 π sağlayan tam sayıları sayalım. Çözümler: k = 0 → x = π 8 k = 1 → x = 5 π 8 k = 2 → x = 9 π 8 k = 3 → x = 13 π 8 k = 4 → x = 17 π 8 Bir sonraki k = 5 → x = 21 π 8 > 2 π olduğu için bu aileden toplam 5 çözüm gelir. 2. durum: 3 x = π - π 2 - x + 2 k π 3 x = π 2 + x + 2 k π 2 x = π 2 + 2 k π x = π 4 + k π Bu ailede 0 < π 4 + k π < 2 π için çözümler: k = 0 → x = π 4 k = 1 → x = 5 π 4 Bir sonraki k = 2 → x = 9 π 4 > 2 π olduğu için bu aileden toplam 2 çözüm gelir. İki çözüm ailesinde çakışma (aynı x değeri) oluşmadığı için toplam çözüm sayısı: 5 + 2 = 7 Sonuç: Doğru seçenek D ’dir. C (6) doğru değildir.

Önce denklemi ve aralığı net yazalım:

\sin 3 x = \cos x

0 < x < 2 π

$\cos x = \sin \frac{π}{2} - x$ olduğundan denklem:

\sin 3 x = \sin \frac{π}{2} - x

$\sin A = \sin B$ ise iki durum vardır:

A = B + 2 k π

A = π - B + 2 k π

Burada

A = 3 x

B = \frac{π}{2} - x

1. durum:

3 x = \frac{π}{2} - x + 2 k π

4 x = \frac{π}{2} + 2 k π

x = \frac{π}{8} + k \frac{π}{2}

Bu ailede

0 < \frac{π}{8} + k \frac{π}{2} < 2 π

sağlayan tam sayıları sayalım. Çözümler:

k = 0 \to x = \frac{π}{8}

k = 1 \to x = \frac{5}{π}

k = 2 \to x = \frac{9}{π}

k = 3 \to x = \frac{13}{π}

k = 4 \to x = \frac{17}{π}

Bir sonraki

k = 5 \to x = \frac{21}{π} > 2 π

olduğu için bu aileden toplam 5 çözüm gelir.

2. durum:

3 x = π - \frac{π}{2} - x + 2 k π

3 x = \frac{π}{2} + x + 2 k π

2 x = \frac{π}{2} + 2 k π

x = \frac{π}{4} + k π

Bu ailede

0 < \frac{π}{4} + k π < 2 π

için çözümler:

k = 0 \to x = \frac{π}{4}

k = 1 \to x = \frac{5}{π}

Bir sonraki

k = 2 \to x = \frac{9}{π} > 2 π

olduğu için bu aileden toplam 2 çözüm gelir.

İki çözüm ailesinde çakışma (aynı x değeri) oluşmadığı için toplam çözüm sayısı:

5 + 2 = 7

Sonuç: Doğru seçenek D’dir. C (6) doğru değildir.

4. SoruÇoktan Seçmeli

$0 < x < \frac{π}{2}$ koşulunda $\tan x + \cot x = 4$ ise $\sin (2 x)$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşulları sağlayan açı için istenen değeri bulunuz:
$\cos (3 θ) = \sin (θ)$
$θ \in (0, \frac{π}{2})$
$\tan (2 θ)$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

1) Şık kontrolü (B mi?): Önce denklemi çözüp istenen değeri bulacağız. 2) Verilen denklem: cos ( 3 θ ) = sin ( θ ) Ayrıca aralık: θ ∈ ( 0, π 2 ) 3) sin fonksiyonunu cos cinsinden yazalım: sin ( θ ) = cos ( π 2 - θ ) Bunu denklemde yerine yazınca: cos ( 3 θ ) = cos ( π 2 - θ ) 4) cos eşitliği için genel çözüm: cos ( A ) = cos ( B ) ⇔ A = B + 2 k π ∨ A = - B + 2 k π Burada: A = 3 θ, B = π 2 - θ 5) 1. durum: 3 θ = π 2 - θ + 2 k π Düzenleyelim: 4 θ = π 2 + 2 k π θ = π 8 + k π 2 Aralık şartı: 0 < θ < π 2 Bu aralıkta sadece k için uygun değer: k = 0 ⇒ θ = π 8 6) 2. durum: 3 θ = - π 2 - θ + 2 k π Düzenleyelim: 3 θ = - π 2 + θ + 2 k π 2 θ = - π 2 + 2 k π θ = - π 4 + k π Bu ifade ( 0, π/2 ) aralığında değer vermez; dolayısıyla bu durumdan çözüm gelmez. 7) Bulunan açı: θ = π 8 İstenen değer: tan ( 2 θ ) = tan ( 2 × π 8 ) tan ( π 4 ) = 1 8) Sonuç ve şık kontrolü: tan ( 2 θ ) = 1 Bu değer şıkkıD1275dır; yani B doğru.

Çözüm: 1) Şık kontrolü (B mi?): Önce denklemi çözüp istenen değeri bulacağız. 2) Verilen denklem: cos ( 3 θ ) = sin ( θ ) Ayrıca aralık: θ ∈ ( 0, π 2 ) 3) sin fonksiyonunu cos cinsinden yazalım: sin ( θ ) = cos ( π 2 - θ ) Bunu denklemde yerine yazınca: cos ( 3 θ ) = cos ( π 2 - θ ) 4) cos eşitliği için genel çözüm: cos ( A ) = cos ( B ) ⇔ A = B + 2 k π ∨ A = - B + 2 k π Burada: A = 3 θ, B = π 2 - θ 5) 1. durum: 3 θ = π 2 - θ + 2 k π Düzenleyelim: 4 θ = π 2 + 2 k π θ = π 8 + k π 2 Aralık şartı: 0 < θ < π 2 Bu aralıkta sadece k için uygun değer: k = 0 ⇒ θ = π 8 6) 2. durum: 3 θ = - π 2 - θ + 2 k π Düzenleyelim: 3 θ = - π 2 + θ + 2 k π 2 θ = - π 2 + 2 k π θ = - π 4 + k π Bu ifade ( 0, π/2 ) aralığında değer vermez; dolayısıyla bu durumdan çözüm gelmez. 7) Bulunan açı: θ = π 8 İstenen değer: tan ( 2 θ ) = tan ( 2 × π 8 ) tan ( π 4 ) = 1 8) Sonuç ve şık kontrolü: tan ( 2 θ ) = 1 Bu değer şıkkıD1275dır; yani B doğru.

1) Şık kontrolü (B mi?): Önce denklemi çözüp istenen değeri bulacağız.

2) Verilen denklem:

\cos (3 θ) = \sin (θ)

Ayrıca aralık:

θ \in (0, \frac{π}{2})

3) sin fonksiyonunu cos cinsinden yazalım:

\sin (θ) = \cos (\frac{π}{2} - θ)

Bunu denklemde yerine yazınca:

\cos (3 θ) = \cos (\frac{π}{2} - θ)

4) cos eşitliği için genel çözüm:

\cos (A) = \cos (B) \Leftrightarrow (A = B + 2 k π) \lor (A = - B + 2 k π)

Burada:

A = 3 θ, B = \frac{π}{2} - θ

5) 1. durum:

3 θ = \frac{π}{2} - θ + 2 k π

Düzenleyelim:

4 θ = \frac{π}{2} + 2 k π

θ = \frac{π}{8} + \frac{k}{π}

Aralık şartı:

0 < θ < \frac{π}{2}

Bu aralıkta sadece k için uygun değer:

k = 0 \Rightarrow θ = \frac{π}{8}

6) 2. durum:

3 θ = - (\frac{π}{2} - θ) + 2 k π

Düzenleyelim:

3 θ = - \frac{π}{2} + θ + 2 k π

2 θ = - \frac{π}{2} + 2 k π

θ = - \frac{π}{4} + k π

Bu ifade (0,π/2) aralığında değer vermez; dolayısıyla bu durumdan çözüm gelmez.

7) Bulunan açı:

θ = \frac{π}{8}

İstenen değer:

\tan (2 θ) = \tan (2 \times \frac{π}{8})

\tan (\frac{π}{4}) = 1

8) Sonuç ve şık kontrolü:

\tan (2 θ) = 1

Bu değer B şıkkıdır; yani B doğru.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıda verilen koşullarda, $\sin (2 x) + \cos (2 x)$ değeri kaçtır?
$\tan (2 x) = \frac{3}{4}$
$0 < x < \frac{π}{4}$

Lütfen önce bir cevap seç.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Verilen $cos x = \frac{3}{5}$ ve $0 < x < \frac{π}{2}$ iken $sin (3 x)$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki çarpımın değerini bulunuz:
$\cos (\frac{π}{9}) \cdot \cos (\frac{2 π}{9}) \cdot \cos (\frac{4 π}{9})$

Lütfen önce bir cevap seç.

9. SoruÇoktan Seçmeli

$x \in II. bölge$ ve $\sin (x) = \frac{3}{5}$ iken $\tan (\frac{x}{2})$ değeri kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

10. SoruÇoktan Seçmeli

$0 < x < \frac{π}{2}$ aralığında, $\sin (2 x) = \cos (3 x)$ denklemini sağlayan $x$ değeri kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Verilen aralık ve denklem: 0 < x < π 2 sin ⁡ 2 x = cos ⁡ 3 x Kosünüsü sinüse çevirerek aynı tür fonksiyon üzerinden ilerleyelim: cos ⁡ 3 x = sin ⁡ π 2 − 3 x Bu dönüşümle denklem: sin ⁡ 2 x = sin ⁡ π 2 − 3 x Sinüslerde eşitlik için genel çözüm: sin ⁡ A = sin ⁡ B A = B + 2 k π A = π − B + 2 k π Burada A = 2 x B = π 2 − 3 x 1. durum: A = B + 2kπ 2 x = π 2 − 3 x + 2 k π 5 x = π 2 + 2 k π x = π 10 + 2 5 k π Aralık koşulu 0 < x < π 2 için uygun k değerini seçelim: k = 0 ⇒ x = π 10 k = 1 ⇒ x = π 10 + 2 5 π = π 2 Ancak üst sınır açık aralık olduğu için bu değer alınamaz. k<0 olursa x negatif çıkar. Bu yüzden 1. durumdan tek çözüm kalır. 2. durum: A = π − B + 2kπ 2 x = π − π 2 − 3 x + 2 k π 2 x = π 2 + 3 x + 2 k π − x = π 2 + 2 k π x = − π 2 − 2 k π Bu ifade 0

Çözüm: Verilen aralık ve denklem: 0 < x < π 2 sin ⁡ 2 x = cos ⁡ 3 x Kosünüsü sinüse çevirerek aynı tür fonksiyon üzerinden ilerleyelim: cos ⁡ 3 x = sin ⁡ π 2 − 3 x Bu dönüşümle denklem: sin ⁡ 2 x = sin ⁡ π 2 − 3 x Sinüslerde eşitlik için genel çözüm: sin ⁡ A = sin ⁡ B A = B + 2 k π A = π − B + 2 k π Burada A = 2 x B = π 2 − 3 x 1. durum: A = B + 2kπ 2 x = π 2 − 3 x + 2 k π 5 x = π 2 + 2 k π x = π 10 + 2 5 k π Aralık koşulu 0 < x < π 2 için uygun k değerini seçelim: k = 0 ⇒ x = π 10 k = 1 ⇒ x = π 10 + 2 5 π = π 2 Ancak üst sınır açık aralık olduğu için bu değer alınamaz. k<0 olursa x negatif çıkar. Bu yüzden 1. durumdan tek çözüm kalır. 2. durum: A = π − B + 2kπ 2 x = π − π 2 − 3 x + 2 k π 2 x = π 2 + 3 x + 2 k π − x = π 2 + 2 k π x = − π 2 − 2 k π Bu ifade 0

Verilen aralık ve denklem:

0 < x < \frac{π}{2}

\sin (2 x) = \cos (3 x)

Kosünüsü sinüse çevirerek aynı tür fonksiyon üzerinden ilerleyelim:

\cos (3 x) = \sin (\frac{π}{2} - 3 x)

Bu dönüşümle denklem:

\sin (2 x) = \sin (\frac{π}{2} - 3 x)

Sinüslerde eşitlik için genel çözüm:

\sin (A) = \sin (B)

A = B + 2 k π

A = π - B + 2 k π

Burada

A = 2 x

B = \frac{π}{2} - 3 x

1. durum: A = B + 2kπ

2 x = \frac{π}{2} - 3 x + 2 k π

5 x = \frac{π}{2} + 2 k π

x = \frac{π}{10} + \frac{2}{5} k π

Aralık koşulu

0 < x < \frac{π}{2}

için uygun k değerini seçelim:

k = 0 \Rightarrow x = \frac{π}{10}

k = 1 \Rightarrow x = \frac{π}{10} + \frac{2}{5} π = \frac{π}{2}

Ancak üst sınır açık aralık olduğu için bu değer alınamaz. k<0 olursa x negatif çıkar. Bu yüzden 1. durumdan tek çözüm kalır.

2. durum: A = π − B + 2kπ

2 x = π - (\frac{π}{2} - 3 x) + 2 k π

2 x = \frac{π}{2} + 3 x + 2 k π

- x = \frac{π}{2} + 2 k π

x = - \frac{π}{2} - 2 k π

Bu ifade 0<x<π/2 aralığında çözüm vermez.

Sonuç: Tek çözüm

x = \frac{π}{10}

Bu değer şıklarda A seçeneğidir. Yani “doğru cevap A mı?” kontrolü: Evet, doğru cevap A’dır.

11. Sınıf Matematik Trigonometri Testleri

Trigonometri nedir?

Birim çember ve özel açılar

Özdeşlik ve denklemler

11. Sınıf Matematik Trigonometri Testleri

$\sin (2 x) = \frac{3}{5}$ ve $\cos (2 x) > 0$ olduğuna göre $\tan (x)$ kaçtır?

Aşağıdaki değeri bulunuz:
$\sin (\frac{π}{9}) \cdot \sin (\frac{2}{π}) \cdot \sin (\frac{4}{π})$

Aşağıdaki denklemin $(0, 2 π)$ aralığında kaç farklı çözümü vardır?
$\sin 3 x = \cos x$

$0 < x < \frac{π}{2}$ koşulunda $\tan x + \cot x = 4$ ise $\sin (2 x)$ kaçtır?

Aşağıdaki koşulları sağlayan açı için istenen değeri bulunuz:
$\cos (3 θ) = \sin (θ)$
$θ \in (0, \frac{π}{2})$
$\tan (2 θ)$ kaçtır?

Aşağıda verilen koşullarda, $\sin (2 x) + \cos (2 x)$ değeri kaçtır?
$\tan (2 x) = \frac{3}{4}$
$0 < x < \frac{π}{4}$

Verilen $cos x = \frac{3}{5}$ ve $0 < x < \frac{π}{2}$ iken $sin (3 x)$ kaçtır?

Aşağıdaki çarpımın değerini bulunuz:
$\cos (\frac{π}{9}) \cdot \cos (\frac{2 π}{9}) \cdot \cos (\frac{4 π}{9})$

$x \in II. bölge$ ve $\sin (x) = \frac{3}{5}$ iken $\tan (\frac{x}{2})$ değeri kaçtır?

$0 < x < \frac{π}{2}$ aralığında, $\sin (2 x) = \cos (3 x)$ denklemini sağlayan $x$ değeri kaçtır?

Trigonometri hakkında sık sorulanlar

11. Sınıf Matematik Trigonometri Testleri

Trigonometri nedir?

Birim çember ve özel açılar

Özdeşlik ve denklemler

11. Sınıf Matematik Trigonometri Testleri

sin(2x)=35 ve cos(2x)>0 olduğuna göre tan(x) kaçtır?

Aşağıdaki değeri bulunuz:sin(π9)⋅sin(2π)⋅sin(4π)

Aşağıdaki denklemin (0,2π) aralığında kaç farklı çözümü vardır?sin⁡3x=cos⁡x

0<x<π2koşulundatanx+cotx=4isesin(2x)kaçtır?

Aşağıdaki koşulları sağlayan açı için istenen değeri bulunuz:cos(3θ)=sin(θ)θ∈(0,π2)tan(2θ) kaçtır?

Aşağıda verilen koşullarda, sin(2x)+cos(2x) değeri kaçtır?tan(2x)=340<x<π4

Verilen cosx=35 ve 0<x<π2 iken sin(3x) kaçtır?

Aşağıdaki çarpımın değerini bulunuz:cos(π9)·cos(2π9)·cos(4π9)

x∈II. bölge ve sin(x)=35 iken tan(x2) değeri kaçtır?

0<x<π2 aralığında, sin⁡2x=cos⁡3x denklemini sağlayan x değeri kaçtır?

Trigonometri hakkında sık sorulanlar

$\sin (2 x) = \frac{3}{5}$ ve $\cos (2 x) > 0$ olduğuna göre $\tan (x)$ kaçtır?

Aşağıdaki değeri bulunuz:
$\sin (\frac{π}{9}) \cdot \sin (\frac{2}{π}) \cdot \sin (\frac{4}{π})$

Aşağıdaki denklemin $(0, 2 π)$ aralığında kaç farklı çözümü vardır?
$\sin 3 x = \cos x$

$0 < x < \frac{π}{2}$ koşulunda $\tan x + \cot x = 4$ ise $\sin (2 x)$ kaçtır?

Aşağıdaki koşulları sağlayan açı için istenen değeri bulunuz:
$\cos (3 θ) = \sin (θ)$
$θ \in (0, \frac{π}{2})$
$\tan (2 θ)$ kaçtır?

Aşağıda verilen koşullarda, $\sin (2 x) + \cos (2 x)$ değeri kaçtır?
$\tan (2 x) = \frac{3}{4}$
$0 < x < \frac{π}{4}$

Verilen $cos x = \frac{3}{5}$ ve $0 < x < \frac{π}{2}$ iken $sin (3 x)$ kaçtır?

Aşağıdaki çarpımın değerini bulunuz:
$\cos (\frac{π}{9}) \cdot \cos (\frac{2 π}{9}) \cdot \cos (\frac{4 π}{9})$

$x \in II. bölge$ ve $\sin (x) = \frac{3}{5}$ iken $\tan (\frac{x}{2})$ değeri kaçtır?

$0 < x < \frac{π}{2}$ aralığında, $\sin (2 x) = \cos (3 x)$ denklemini sağlayan $x$ değeri kaçtır?