11. Sınıf Matematik Parabol Testleri

Doğru cevap: B

Önce verilen parabolün katsayılarını, geçtiği noktalardan bulalım. $y = x$2 + a x + b Geçtiği noktalar:   0, 1,   2, 1 Birinci noktayı yerine yazalım. $1 = 0$ 2 + a ⋅ 0 + b $b = 1$İkinci noktayı yerine yazalım. $1 = 2$ 2 + a ⋅ 2 + b $1 = 4$ + 2 a + 1 2 a = - 4 a = - 2 Parabolün denklemi: $y = x$2 - 2 x + 1 Tepe noktasının apsisi ( Genel formda: $y = x$^ 2 + a x + b   ⇒   x t epe = - a 2 Burada a = - 2 x t epe = - ( - 2 ) $2 = 1$ Doğrunun teğetlik kontrolü (verilen bilgiyle tutarlı mı?): $y = 2$x - 3 x 2 - 2 x + $1 = 2$ x - 3 x 2 - 4 x + $4 = 0$ x - 2 $2 = 0$ $x = 2$Çift kat kök çıktığı için teğetlik sağlanır. Sonuç: Tepe noktasının apsisi 1 Bu nedenle doğru seçenek B681 olur.

1. Çözüm: Önce verilen parabolün katsayılarını, geçtiği noktalardan bulalım. $y = x$2 + a x + b Geçtiği noktalar:   0, 1,   2, 1 Birinci noktayı yerine yazalım. $1 = 0$ 2 + a ⋅ 0 + b $b = 1$İkinci noktayı yerine yazalım. $1 = 2$ 2 + a ⋅ 2 + b $1 = 4$ + 2 a + 1 2 a = - 4 a = - 2 Parabolün denklemi: $y = x$2 - 2 x + 1 Tepe noktasının apsisi ( Genel formda: $y = x$^ 2 + a x + b   ⇒   x t epe = - a 2 Burada a = - 2 x t epe = - ( - 2 ) $2 = 1$ Doğrunun teğetlik kontrolü (verilen bilgiyle tutarlı mı?): $y = 2$x - 3 x 2 - 2 x + $1 = 2$ x - 3 x 2 - 4 x + $4 = 0$ x - 2 $2 = 0$ $x = 2$Çift kat kök çıktığı için teğetlik sağlanır. Sonuç: Tepe noktasının apsisi 1 Bu nedenle doğru seçenek B681 olur.

Doğru cevap: C

Verilen parabol: $y = x$2 + p x + q Parabolun x eksenine teğet olması için diskriminant sıfır olmalıdır: p 2 - 4 $q = 0$Buradan: $q = p$2 4 Parabolün ( 1, 4 ) noktasından geçmesi demek: $4 = 1$ 2 + p ⋅ 1 + q Yani: p + $q = 3$Bulduğumuz $q = p$2 4 ifadesini p + $q = 3$denkleminde yerine yazalım: p + p 2 $4 = 3$ Dörde çarpalım: 4 p + p $2 = 12$ Düzenleyelim: p 2 + 4 p - $12 = 0$ Çarpanlara ayıralım: ( p + 6 ) ( p - 2 ) = 0 Buradan: $p = 2$  veya   p = - 6 Tepe noktasının x koordinatı: x = - p 2 Pozitif olması isteniyor, yani: - p 2 > 0 Bu da p < 0 demektir. O hâlde p = - 6 Şimdi $q = p$2 4 içine yazalım: q = - 6 2 4 Sonuç: $q = 9$Doğru seçenek: C640

1. Çözüm: Verilen parabol: $y = x$2 + p x + q Parabolun x eksenine teğet olması için diskriminant sıfır olmalıdır: p 2 - 4 $q = 0$Buradan: $q = p$2 4 Parabolün ( 1, 4 ) noktasından geçmesi demek: $4 = 1$ 2 + p ⋅ 1 + q Yani: p + $q = 3$Bulduğumuz $q = p$2 4 ifadesini p + $q = 3$denkleminde yerine yazalım: p + p 2 $4 = 3$ Dörde çarpalım: 4 p + p $2 = 12$ Düzenleyelim: p 2 + 4 p - $12 = 0$ Çarpanlara ayıralım: ( p + 6 ) ( p - 2 ) = 0 Buradan: $p = 2$  veya   p = - 6 Tepe noktasının x koordinatı: x = - p 2 Pozitif olması isteniyor, yani: - p 2 > 0 Bu da p < 0 demektir. O hâlde p = - 6 Şimdi $q = p$2 4 içine yazalım: q = - 6 2 4 Sonuç: $q = 9$Doğru seçenek: C640

Doğru cevap: D

Verilen parabol: $y = x$2 + p x + q Parabolün geçtiği nokta: ( 0, 3 ) Bu noktada x yerine sıfır yazalım. $3 = 0$ 2 + p · 0 + q Buradan: $q = 3$Doğru parabole teğet: $y = 2$x + 1 Teğetlik için kesişim denkleminin çift katlı kökü olmalıdır. Bu yüzden eşitleyelim ( q yerine 3 yazıldı): x 2 + p x + $3 = 2$ x + 1 Düzenleyelim: x 2 + ( p - 2 ) x + $2 = 0$ Çift katlı kök şartı: ayırt edici sıfır olmalı. Δ = ( p - 2 ) 2 - 4 · 1 · $2 = 0$ Buradan: ( p - 2 ) $2 = 8$ Karekök alalım: p - 2 = ± 2 2 Dolayısıyla: $p = 2$± 2 2 Tepe noktasının x koordinatı: x t = - p 2 Koşul: tepe noktasının x koordinatı negatiftir. x t < 0 Bu, p için şu anlama gelir: - p 2 < 0 ⇒ p > 0 Şimdi iki adaydan hangisi pozitif bakalım. Çünkü: 2 > 1 Dolayısıyla: 2 2 > 2 ⇒ 2 - 2 2 < 0 Bu yüzden p değeri: $p = 2 + 2$2 Son olarak: p + $q = 2 + 2$$2 + 3 = 5$ + 2 2 Doğru cevap D826 seçeneğidir.

1. Çözüm: Verilen parabol: $y = x$2 + p x + q Parabolün geçtiği nokta: ( 0, 3 ) Bu noktada x yerine sıfır yazalım. $3 = 0$ 2 + p · 0 + q Buradan: $q = 3$Doğru parabole teğet: $y = 2$x + 1 Teğetlik için kesişim denkleminin çift katlı kökü olmalıdır. Bu yüzden eşitleyelim ( q yerine 3 yazıldı): x 2 + p x + $3 = 2$ x + 1 Düzenleyelim: x 2 + ( p - 2 ) x + $2 = 0$ Çift katlı kök şartı: ayırt edici sıfır olmalı. Δ = ( p - 2 ) 2 - 4 · 1 · $2 = 0$ Buradan: ( p - 2 ) $2 = 8$ Karekök alalım: p - 2 = ± 2 2 Dolayısıyla: $p = 2$± 2 2 Tepe noktasının x koordinatı: x t = - p 2 Koşul: tepe noktasının x koordinatı negatiftir. x t < 0 Bu, p için şu anlama gelir: - p 2 < 0 ⇒ p > 0 Şimdi iki adaydan hangisi pozitif bakalım. Çünkü: 2 > 1 Dolayısıyla: 2 2 > 2 ⇒ 2 - 2 2 < 0 Bu yüzden p değeri: $p = 2 + 2$2 Son olarak: p + $q = 2 + 2$$2 + 3 = 5$ + 2 2 Doğru cevap D826 seçeneğidir.

Doğru cevap: A

Kökleri verilen parabol için çarpanlarına ayrılmış biçimi yazalım: $y = a$( x − 1 ) ( x − 3 ) Tepe noktası koordinatını kullanarak a katsayısını bulalım: 4 = a ( 2 − 1 ) ( 2 − 3 ) 4 = a · 1 · ( − 1 ) = − a a = − 4 Parabol denklemi: y = − 4 ( x − 1 ) ( x − 3 ) Tepe noktasına göre (tepe formuna) dönüştürelim: y = − 4 ( x − 2 ) 2 + 4 Odak için standart forma getirelim: y − 4 = − 4 ( x − 2 ) 2 ( x − 2 ) 2 = − 1 4 ( y − 4 ) Standart form ile karşılaştıralım: ( x − h ) $2 = 4$ p ( y − k ) Buradan: 4 p = − 1 4 p = − 1 16 Odak noktası formülü: $F = h$, k + p Burada h ve k tepe noktasından gelir: $F = 2$, 4 + ( − 1 16 ) $F = 2$, 63 16 Sonuç: Doğru seçenek A ’dır.

1. Çözüm: Kökleri verilen parabol için çarpanlarına ayrılmış biçimi yazalım: $y = a$( x − 1 ) ( x − 3 ) Tepe noktası koordinatını kullanarak a katsayısını bulalım: 4 = a ( 2 − 1 ) ( 2 − 3 ) 4 = a · 1 · ( − 1 ) = − a a = − 4 Parabol denklemi: y = − 4 ( x − 1 ) ( x − 3 ) Tepe noktasına göre (tepe formuna) dönüştürelim: y = − 4 ( x − 2 ) 2 + 4 Odak için standart forma getirelim: y − 4 = − 4 ( x − 2 ) 2 ( x − 2 ) 2 = − 1 4 ( y − 4 ) Standart form ile karşılaştıralım: ( x − h ) $2 = 4$ p ( y − k ) Buradan: 4 p = − 1 4 p = − 1 16 Odak noktası formülü: $F = h$, k + p Burada h ve k tepe noktasından gelir: $F = 2$, 4 + ( − 1 16 ) $F = 2$, 63 16 Sonuç: Doğru seçenek A ’dır.

Doğru cevap: B

Parabol: $y = x$2 + p x + q Doğru: $y = x$Teğetlik için kesişim denklemini yazalım: x 2 + p x + $q = x$Düzenleyelim: x 2 + ( p − 1 ) x + $q = 0$Teğetlik olduğundan bu ikinci derece denklemin çift katlı kökü vardır, yani diskriminant sıfırdır: ( p − 1 ) 2 − 4 $q = 0$Parabolün tepe noktasının ordinatı verilmiş: tepe noktası x = − p 2 olduğundan tepe ordinatı: ( − p 2 ) 2 + p ( − p 2 ) + q = − 3 Sadeleştirelim: p 2 4 − p 2 2 + q = − 3 − p 2 4 + q = − 3 q = − 3 + p 2 4 Bunu diskriminant koşulunda yerine yazalım: ( p − 1 ) 2 − 4 ( − 3 + p 2 4 ) = 0 Açalım: ( p − 1 ) 2 + 12 − p $2 = 0$ ( p 2 − 2 p + 1 ) + 12 − p $2 = 0$ − 2 p + $13 = 0$ $p = 13$2 Şimdi q = − 3 + p 2 4 ifadesinde yerine yazalım: q = − 3 + 169 4 4 q = − 3 + 169 16 $q = 121$16 Son olarak: p + $q = 13$2 + 121 16 p + $q = 104$16 + 121 16 p + $q = 225$16 Bu değer şıklarla karşılaştırılırsa doğru cevap: 225 16 Yani şıkkıB866 doğrudur.

1. Çözüm: Parabol: $y = x$2 + p x + q Doğru: $y = x$Teğetlik için kesişim denklemini yazalım: x 2 + p x + $q = x$Düzenleyelim: x 2 + ( p − 1 ) x + $q = 0$Teğetlik olduğundan bu ikinci derece denklemin çift katlı kökü vardır, yani diskriminant sıfırdır: ( p − 1 ) 2 − 4 $q = 0$Parabolün tepe noktasının ordinatı verilmiş: tepe noktası x = − p 2 olduğundan tepe ordinatı: ( − p 2 ) 2 + p ( − p 2 ) + q = − 3 Sadeleştirelim: p 2 4 − p 2 2 + q = − 3 − p 2 4 + q = − 3 q = − 3 + p 2 4 Bunu diskriminant koşulunda yerine yazalım: ( p − 1 ) 2 − 4 ( − 3 + p 2 4 ) = 0 Açalım: ( p − 1 ) 2 + 12 − p $2 = 0$ ( p 2 − 2 p + 1 ) + 12 − p $2 = 0$ − 2 p + $13 = 0$ $p = 13$2 Şimdi q = − 3 + p 2 4 ifadesinde yerine yazalım: q = − 3 + 169 4 4 q = − 3 + 169 16 $q = 121$16 Son olarak: p + $q = 13$2 + 121 16 p + $q = 104$16 + 121 16 p + $q = 225$16 Bu değer şıklarla karşılaştırılırsa doğru cevap: 225 16 Yani şıkkıB866 doğrudur.

Doğru cevap: C

Çözüm üretilemedi

1. Çözüm: Çözüm üretilemedi

Doğru cevap: D

Standart $y=x^2$ parabolünün tepe noktası orijindir.

1. Çözüm: Standart $y=x^2$ parabolünün tepe noktası orijindir.

Doğru cevap: A

Tepe noktası formunda $y=(x-h)^2+k$ için tepe noktası (h,k) olur.

1. Çözüm: Tepe noktası formunda $y=(x-h)^2+k$ için tepe noktası (h,k) olur.

Doğru cevap: B

$x^2$ katsayısı negatif olduğu için parabol aşağı yönlü açılır.

1. Çözüm: $x^2$ katsayısı negatif olduğu için parabol aşağı yönlü açılır.

Doğru cevap: C

Y eksenini kesim için $x=0$ alınır; $y=-4$bulunur.

1. Çözüm: Y eksenini kesim için $x=0$ alınır; $y=-4$bulunur.