11. Sınıf Matematik Parabol Testleri

Doğru cevap: B

Önce verilen parabolün katsayılarını, geçtiği noktalardan bulalım. y = x 2 + a x + b Geçtiği noktalar:   0, 1,   2, 1 Birinci noktayı yerine yazalım. 1 = 0 2 + a ⋅ 0 + b b = 1 İkinci noktayı yerine yazalım. 1 = 2 2 + a ⋅ 2 + b 1 = 4 + 2 a + 1 2 a = - 4 a = - 2 Parabolün denklemi: y = x 2 - 2 x + 1 Tepe noktasının apsisi ( Genel formda: y = x ^ 2 + a x + b   ⇒   x t epe = - a 2 Burada a = - 2 x t epe = - ( - 2 ) 2 = 1 Doğrunun teğetlik kontrolü (verilen bilgiyle tutarlı mı?): y = 2 x - 3 x 2 - 2 x + 1 = 2 x - 3 x 2 - 4 x + 4 = 0 x - 2 2 = 0 x = 2 Çift kat kök çıktığı için teğetlik sağlanır. Sonuç: Tepe noktasının apsisi 1 Bu nedenle doğru seçenek B681 olur.

1. Çözüm: Önce verilen parabolün katsayılarını, geçtiği noktalardan bulalım. y = x 2 + a x + b Geçtiği noktalar:   0, 1,   2, 1 Birinci noktayı yerine yazalım. 1 = 0 2 + a ⋅ 0 + b b = 1 İkinci noktayı yerine yazalım. 1 = 2 2 + a ⋅ 2 + b 1 = 4 + 2 a + 1 2 a = - 4 a = - 2 Parabolün denklemi: y = x 2 - 2 x + 1 Tepe noktasının apsisi ( Genel formda: y = x ^ 2 + a x + b   ⇒   x t epe = - a 2 Burada a = - 2 x t epe = - ( - 2 ) 2 = 1 Doğrunun teğetlik kontrolü (verilen bilgiyle tutarlı mı?): y = 2 x - 3 x 2 - 2 x + 1 = 2 x - 3 x 2 - 4 x + 4 = 0 x - 2 2 = 0 x = 2 Çift kat kök çıktığı için teğetlik sağlanır. Sonuç: Tepe noktasının apsisi 1 Bu nedenle doğru seçenek B681 olur.

Doğru cevap: C

Verilen parabol: y = x 2 + p x + q Parabolun x eksenine teğet olması için diskriminant sıfır olmalıdır: p 2 - 4 q = 0 Buradan: q = p 2 4 Parabolün ( 1, 4 ) noktasından geçmesi demek: 4 = 1 2 + p ⋅ 1 + q Yani: p + q = 3 Bulduğumuz q = p 2 4 ifadesini p + q = 3 denkleminde yerine yazalım: p + p 2 4 = 3 Dörde çarpalım: 4 p + p 2 = 12 Düzenleyelim: p 2 + 4 p - 12 = 0 Çarpanlara ayıralım: ( p + 6 ) ( p - 2 ) = 0 Buradan: p = 2   veya   p = - 6 Tepe noktasının x koordinatı: x = - p 2 Pozitif olması isteniyor, yani: - p 2 > 0 Bu da p < 0 demektir. O hâlde p = - 6 Şimdi q = p 2 4 içine yazalım: q = - 6 2 4 Sonuç: q = 9 Doğru seçenek: C640

1. Çözüm: Verilen parabol: y = x 2 + p x + q Parabolun x eksenine teğet olması için diskriminant sıfır olmalıdır: p 2 - 4 q = 0 Buradan: q = p 2 4 Parabolün ( 1, 4 ) noktasından geçmesi demek: 4 = 1 2 + p ⋅ 1 + q Yani: p + q = 3 Bulduğumuz q = p 2 4 ifadesini p + q = 3 denkleminde yerine yazalım: p + p 2 4 = 3 Dörde çarpalım: 4 p + p 2 = 12 Düzenleyelim: p 2 + 4 p - 12 = 0 Çarpanlara ayıralım: ( p + 6 ) ( p - 2 ) = 0 Buradan: p = 2   veya   p = - 6 Tepe noktasının x koordinatı: x = - p 2 Pozitif olması isteniyor, yani: - p 2 > 0 Bu da p < 0 demektir. O hâlde p = - 6 Şimdi q = p 2 4 içine yazalım: q = - 6 2 4 Sonuç: q = 9 Doğru seçenek: C640

Doğru cevap: D

Verilen parabol: y = x 2 + p x + q Parabolün geçtiği nokta: ( 0, 3 ) Bu noktada x yerine sıfır yazalım. 3 = 0 2 + p · 0 + q Buradan: q = 3 Doğru parabole teğet: y = 2 x + 1 Teğetlik için kesişim denkleminin çift katlı kökü olmalıdır. Bu yüzden eşitleyelim ( q yerine 3 yazıldı): x 2 + p x + 3 = 2 x + 1 Düzenleyelim: x 2 + ( p - 2 ) x + 2 = 0 Çift katlı kök şartı: ayırt edici sıfır olmalı. Δ = ( p - 2 ) 2 - 4 · 1 · 2 = 0 Buradan: ( p - 2 ) 2 = 8 Karekök alalım: p - 2 = ± 2 2 Dolayısıyla: p = 2 ± 2 2 Tepe noktasının x koordinatı: x t = - p 2 Koşul: tepe noktasının x koordinatı negatiftir. x t < 0 Bu, p için şu anlama gelir: - p 2 < 0 ⇒ p > 0 Şimdi iki adaydan hangisi pozitif bakalım. Çünkü: 2 > 1 Dolayısıyla: 2 2 > 2 ⇒ 2 - 2 2 < 0 Bu yüzden p değeri: p = 2 + 2 2 Son olarak: p + q = 2 + 2 2 + 3 = 5 + 2 2 Doğru cevap D826 seçeneğidir.

1. Çözüm: Verilen parabol: y = x 2 + p x + q Parabolün geçtiği nokta: ( 0, 3 ) Bu noktada x yerine sıfır yazalım. 3 = 0 2 + p · 0 + q Buradan: q = 3 Doğru parabole teğet: y = 2 x + 1 Teğetlik için kesişim denkleminin çift katlı kökü olmalıdır. Bu yüzden eşitleyelim ( q yerine 3 yazıldı): x 2 + p x + 3 = 2 x + 1 Düzenleyelim: x 2 + ( p - 2 ) x + 2 = 0 Çift katlı kök şartı: ayırt edici sıfır olmalı. Δ = ( p - 2 ) 2 - 4 · 1 · 2 = 0 Buradan: ( p - 2 ) 2 = 8 Karekök alalım: p - 2 = ± 2 2 Dolayısıyla: p = 2 ± 2 2 Tepe noktasının x koordinatı: x t = - p 2 Koşul: tepe noktasının x koordinatı negatiftir. x t < 0 Bu, p için şu anlama gelir: - p 2 < 0 ⇒ p > 0 Şimdi iki adaydan hangisi pozitif bakalım. Çünkü: 2 > 1 Dolayısıyla: 2 2 > 2 ⇒ 2 - 2 2 < 0 Bu yüzden p değeri: p = 2 + 2 2 Son olarak: p + q = 2 + 2 2 + 3 = 5 + 2 2 Doğru cevap D826 seçeneğidir.

Doğru cevap: A

Kökleri verilen parabol için çarpanlarına ayrılmış biçimi yazalım: y = a ( x − 1 ) ( x − 3 ) Tepe noktası koordinatını kullanarak a katsayısını bulalım: 4 = a ( 2 − 1 ) ( 2 − 3 ) 4 = a · 1 · ( − 1 ) = − a a = − 4 Parabol denklemi: y = − 4 ( x − 1 ) ( x − 3 ) Tepe noktasına göre (tepe formuna) dönüştürelim: y = − 4 ( x − 2 ) 2 + 4 Odak için standart forma getirelim: y − 4 = − 4 ( x − 2 ) 2 ( x − 2 ) 2 = − 1 4 ( y − 4 ) Standart form ile karşılaştıralım: ( x − h ) 2 = 4 p ( y − k ) Buradan: 4 p = − 1 4 p = − 1 16 Odak noktası formülü: F = h, k + p Burada h ve k tepe noktasından gelir: F = 2, 4 + ( − 1 16 ) F = 2, 63 16 Sonuç: Doğru seçenek A ’dır.

1. Çözüm: Kökleri verilen parabol için çarpanlarına ayrılmış biçimi yazalım: y = a ( x − 1 ) ( x − 3 ) Tepe noktası koordinatını kullanarak a katsayısını bulalım: 4 = a ( 2 − 1 ) ( 2 − 3 ) 4 = a · 1 · ( − 1 ) = − a a = − 4 Parabol denklemi: y = − 4 ( x − 1 ) ( x − 3 ) Tepe noktasına göre (tepe formuna) dönüştürelim: y = − 4 ( x − 2 ) 2 + 4 Odak için standart forma getirelim: y − 4 = − 4 ( x − 2 ) 2 ( x − 2 ) 2 = − 1 4 ( y − 4 ) Standart form ile karşılaştıralım: ( x − h ) 2 = 4 p ( y − k ) Buradan: 4 p = − 1 4 p = − 1 16 Odak noktası formülü: F = h, k + p Burada h ve k tepe noktasından gelir: F = 2, 4 + ( − 1 16 ) F = 2, 63 16 Sonuç: Doğru seçenek A ’dır.

Doğru cevap: B

Parabol: y = x 2 + p x + q Doğru: y = x Teğetlik için kesişim denklemini yazalım: x 2 + p x + q = x Düzenleyelim: x 2 + ( p − 1 ) x + q = 0 Teğetlik olduğundan bu ikinci derece denklemin çift katlı kökü vardır, yani diskriminant sıfırdır: ( p − 1 ) 2 − 4 q = 0 Parabolün tepe noktasının ordinatı verilmiş: tepe noktası x = − p 2 olduğundan tepe ordinatı: ( − p 2 ) 2 + p ( − p 2 ) + q = − 3 Sadeleştirelim: p 2 4 − p 2 2 + q = − 3 − p 2 4 + q = − 3 q = − 3 + p 2 4 Bunu diskriminant koşulunda yerine yazalım: ( p − 1 ) 2 − 4 ( − 3 + p 2 4 ) = 0 Açalım: ( p − 1 ) 2 + 12 − p 2 = 0 ( p 2 − 2 p + 1 ) + 12 − p 2 = 0 − 2 p + 13 = 0 p = 13 2 Şimdi q = − 3 + p 2 4 ifadesinde yerine yazalım: q = − 3 + 169 4 4 q = − 3 + 169 16 q = 121 16 Son olarak: p + q = 13 2 + 121 16 p + q = 104 16 + 121 16 p + q = 225 16 Bu değer şıklarla karşılaştırılırsa doğru cevap: 225 16 Yani şıkkıB866 doğrudur.

1. Çözüm: Parabol: y = x 2 + p x + q Doğru: y = x Teğetlik için kesişim denklemini yazalım: x 2 + p x + q = x Düzenleyelim: x 2 + ( p − 1 ) x + q = 0 Teğetlik olduğundan bu ikinci derece denklemin çift katlı kökü vardır, yani diskriminant sıfırdır: ( p − 1 ) 2 − 4 q = 0 Parabolün tepe noktasının ordinatı verilmiş: tepe noktası x = − p 2 olduğundan tepe ordinatı: ( − p 2 ) 2 + p ( − p 2 ) + q = − 3 Sadeleştirelim: p 2 4 − p 2 2 + q = − 3 − p 2 4 + q = − 3 q = − 3 + p 2 4 Bunu diskriminant koşulunda yerine yazalım: ( p − 1 ) 2 − 4 ( − 3 + p 2 4 ) = 0 Açalım: ( p − 1 ) 2 + 12 − p 2 = 0 ( p 2 − 2 p + 1 ) + 12 − p 2 = 0 − 2 p + 13 = 0 p = 13 2 Şimdi q = − 3 + p 2 4 ifadesinde yerine yazalım: q = − 3 + 169 4 4 q = − 3 + 169 16 q = 121 16 Son olarak: p + q = 13 2 + 121 16 p + q = 104 16 + 121 16 p + q = 225 16 Bu değer şıklarla karşılaştırılırsa doğru cevap: 225 16 Yani şıkkıB866 doğrudur.

Doğru cevap: C

Çözüm üretilemedi

1. Çözüm: Çözüm üretilemedi

Doğru cevap: D

Standart $y=x^2$ parabolünün tepe noktası orijindir.

1. Çözüm: Standart $y=x^2$ parabolünün tepe noktası orijindir.

Doğru cevap: A

Tepe noktası formunda $y=(x-h)^2+k$ için tepe noktası $(h,k)$ olur.

1. Çözüm: Tepe noktası formunda $y=(x-h)^2+k$ için tepe noktası $(h,k)$ olur.

Doğru cevap: B

$x^2$ katsayısı negatif olduğu için parabol aşağı yönlü açılır.

1. Çözüm: $x^2$ katsayısı negatif olduğu için parabol aşağı yönlü açılır.

Doğru cevap: C

Y eksenini kesim için $x=0$ alınır; $y=-4$ bulunur.

1. Çözüm: Y eksenini kesim için $x=0$ alınır; $y=-4$ bulunur.