11. Sınıf Matematik Parabol Testleri

Doğru cevap: D

Verilen parabol: $y = a$x 2 + b x + c Parabol (0,1) noktasından geçtiği için: 1 = a 0 2 + b 0 + c $c = 1$Parabol (2,1) noktasından da geçtiği için: 1 = a 2 2 + b 2 + 1 $0 = 4$ a + 2 b b = - 2 a Buna göre parabol: $y = a$x 2 - 2 a x + 1 Kareye tamamlama: $y = a$( x 2 - 2 x ) + 1 $y = a$( x - 1 2 - 1 ) + 1 $y = a$x - 1 2 + ( 1 - a ) Tepe noktası formu: $y = a$x - h 2 + k Buradan: $h = 1$$k = 1 - a$Düşey eksenli parabolda odak noktası: ( h, k + 1 4 a ) Odak x-ekseni üzerinde olduğundan odak noktasının y -koordinatı sıfır olmalıdır: k + 1 4 $a = 0$1 - a + 1 4 $a = 0$Denklemi çözelim: 4 a ( 1 - a ) + $1 = 0$ 4 a - 4 a $2 + 1 = 0$ 4 a 2 - 4 a - $1 = 0$ İkinci derece denklem kökleri: $a = 4$± 4 2 + 16 8 $a = 4$± 32 8 $a = 4$± 4 2 8 $a = 1$± 2 2 Sonuç olarak a için iki değer vardır: $a = 1 + 2$2 $a = 1 - 2$2 Şıklara göre: şıkkıD829 birinci değere, B şıkkı ikinci değere karşılık gelir. Dolayısıyla yalnız A demek doğru değildir; A ve B her ikisi de koşulları sağlar. (Eğer ek olarak a>0 kabul edilirse bu durumda doğru seçenek D1018 olur.)

1. Çözüm: Verilen parabol: $y = a$x 2 + b x + c Parabol (0,1) noktasından geçtiği için: 1 = a 0 2 + b 0 + c $c = 1$Parabol (2,1) noktasından da geçtiği için: 1 = a 2 2 + b 2 + 1 $0 = 4$ a + 2 b b = - 2 a Buna göre parabol: $y = a$x 2 - 2 a x + 1 Kareye tamamlama: $y = a$( x 2 - 2 x ) + 1 $y = a$( x - 1 2 - 1 ) + 1 $y = a$x - 1 2 + ( 1 - a ) Tepe noktası formu: $y = a$x - h 2 + k Buradan: $h = 1$$k = 1 - a$Düşey eksenli parabolda odak noktası: ( h, k + 1 4 a ) Odak x-ekseni üzerinde olduğundan odak noktasının y -koordinatı sıfır olmalıdır: k + 1 4 $a = 0$1 - a + 1 4 $a = 0$Denklemi çözelim: 4 a ( 1 - a ) + $1 = 0$ 4 a - 4 a $2 + 1 = 0$ 4 a 2 - 4 a - $1 = 0$ İkinci derece denklem kökleri: $a = 4$± 4 2 + 16 8 $a = 4$± 32 8 $a = 4$± 4 2 8 $a = 1$± 2 2 Sonuç olarak a için iki değer vardır: $a = 1 + 2$2 $a = 1 - 2$2 Şıklara göre: şıkkıD829 birinci değere, B şıkkı ikinci değere karşılık gelir. Dolayısıyla yalnız A demek doğru değildir; A ve B her ikisi de koşulları sağlar. (Eğer ek olarak a>0 kabul edilirse bu durumda doğru seçenek D1018 olur.)

Doğru cevap: A

Verilen parabol: $y = x$2 - 4 x + 1 1) Tepe noktasının x-koordinatı için formül: x T = - b 2 a 2) Katsayıları belirleyelim: $a = 1$, b = - 4, $c = 1$3) Tepe noktasının x-koordinatını bulalım: x T = - ( - 4 ) 2 ⋅ $1 = 4$ $2 = 2$ 4) Tepe noktasının y-koordinatı için x yerine bulduğumuz değeri yazalım: y $T = 2$2 - 4 ⋅ $2 + 1 = 4$ - 8 + 1 = - 3 5) Tepe noktası: x T, y $T = 2$, - 3 6) Şıklarda bu nokta A seçeneğidir; dolayısıyla A doğru.

1. Çözüm: Verilen parabol: $y = x$2 - 4 x + 1 1) Tepe noktasının x-koordinatı için formül: x T = - b 2 a 2) Katsayıları belirleyelim: $a = 1$, b = - 4, $c = 1$3) Tepe noktasının x-koordinatını bulalım: x T = - ( - 4 ) 2 ⋅ $1 = 4$ $2 = 2$ 4) Tepe noktasının y-koordinatı için x yerine bulduğumuz değeri yazalım: y $T = 2$2 - 4 ⋅ $2 + 1 = 4$ - 8 + 1 = - 3 5) Tepe noktası: x T, y $T = 2$, - 3 6) Şıklarda bu nokta A seçeneğidir; dolayısıyla A doğru.

Doğru cevap: B

Parabol denklemi tepe noktası formundadır: $y = a$( x − h ) 2 + k Verilen denklemle karşılaştıralım: $y = 2$( x − 1 ) 2 − 8 Buradan tepe noktası formundaki parametreler okunur: $h = 1$, k = − 8 Tepe noktası: T ( h, k ) = T ( 1, − 8 ) Simetri ekseni tepe noktasının x değerine eşittir: $x = h$= 1 Sonuç olarak doğru seçenek: T ( 1, − 8 ), $x = 1$Bu da şıkkıB387dır. Yani “A doğru mu?” sorusunun cevabı: Evet, A doğrudur.

1. Çözüm: Parabol denklemi tepe noktası formundadır: $y = a$( x − h ) 2 + k Verilen denklemle karşılaştıralım: $y = 2$( x − 1 ) 2 − 8 Buradan tepe noktası formundaki parametreler okunur: $h = 1$, k = − 8 Tepe noktası: T ( h, k ) = T ( 1, − 8 ) Simetri ekseni tepe noktasının x değerine eşittir: $x = h$= 1 Sonuç olarak doğru seçenek: T ( 1, − 8 ), $x = 1$Bu da şıkkıB387dır. Yani “A doğru mu?” sorusunun cevabı: Evet, A doğrudur.

Doğru cevap: C

Verilen fonksiyon: $y = 2$x 2 - 4 x + 1 İkinci dereceden fonksiyonda tepe noktasının apsisi (simetri ekseni) formülle bulunur: x t = - b 2 a Burada katsayılar: $a = 2$b = - 4 Formülde yerine yazalım: x t = - ( - 4 ) 2 × 2 Sadeleştirelim: x $t = 4$$4 = 1$ Sonuç olarak tepe noktasının apsisi aşağıdaki değerdir ve bu değer seçeneğiC324 ile aynıdır. x $t = 1$

1. Çözüm: Verilen fonksiyon: $y = 2$x 2 - 4 x + 1 İkinci dereceden fonksiyonda tepe noktasının apsisi (simetri ekseni) formülle bulunur: x t = - b 2 a Burada katsayılar: $a = 2$b = - 4 Formülde yerine yazalım: x t = - ( - 4 ) 2 × 2 Sadeleştirelim: x $t = 4$$4 = 1$ Sonuç olarak tepe noktasının apsisi aşağıdaki değerdir ve bu değer seçeneğiC324 ile aynıdır. x $t = 1$

Doğru cevap: D

Parabolün denklemi: $y = a$x 2 + b x + c Parabolün geçtiği noktalardan katsayıları bulalım. İlk olarak 0, 2 noktası için: 2 = a 0 2 + b · 0 + c $c = 2$Şimdi 2, 0 noktası için: 0 = a 2 2 + b · 2 + c $0 = 4$ a + 2 b + 2 $0 = 2$ a + b + 1 b = - 2 a - 1 Tepe noktasının apsisi: x = - b 2 a Bulduğumuz b = - 2 a - 1 değerini yerine yazalım: x = - - 2 a - 1 2 $a = 2$a + 1 2 a Tepe noktasının ordinatı için tepe değeri formülünü kullanalım: y = - Δ 4 a Δ = b 2 - 4 a c Burada $c = 2$olduğundan: Δ = b 2 - 8 a Şimdi b = - 2 a - 1 için: b $2 = 2$ a + 1 $2 = 4$ a 2 + 4 a + 1 Δ = 4 a 2 + 4 a + 1 - 8 $a = 4$a 2 - 4 a + 1 Tepe ordinatı: y = - 4 a 2 - 4 a + 1 4 a = - a + 1 - 1 4 a Tepe noktası y = - x doğrusu üzerinde olduğuna göre tepe noktasında y = - x sağlanır. Tepe apsisi ve ordinatını eşleştirelim: - a + 1 - 1 4 a = - 2 a + 1 2 a Denklemi düzenleyelim: - a + 1 - 1 4 a = - 1 - 1 2 a - a + 2 + 1 2 a - 1 4 $a = 0 - a + 2 + 1$4 $a = 0$Paydaları yok edelim: 4 a ( - a + 2 ) + $1 = 0$ - 4 a 2 + 8 a + $1 = 0$ 4 a 2 - 8 a - $1 = 0$ İkinci dereceden denklemi çözelim: $a = 8$± 8 2 - 4 · 4 · ( - 1 ) 2 · 4 $a = 8$± 64 + 16 $8 = 8$ ± 80 8 $a = 8$± 4 5 $8 = 1$ ± 5 2 Parabol yukarı doğru açıldığından a > 0 olmalıdır. Bu nedenle negatif olan kök elenir ve: $a = 1 + 5$2 Sonuç: Doğru cevap seçeneği D’dır.

1. Çözüm: Parabolün denklemi: $y = a$x 2 + b x + c Parabolün geçtiği noktalardan katsayıları bulalım. İlk olarak 0, 2 noktası için: 2 = a 0 2 + b · 0 + c $c = 2$Şimdi 2, 0 noktası için: 0 = a 2 2 + b · 2 + c $0 = 4$ a + 2 b + 2 $0 = 2$ a + b + 1 b = - 2 a - 1 Tepe noktasının apsisi: x = - b 2 a Bulduğumuz b = - 2 a - 1 değerini yerine yazalım: x = - - 2 a - 1 2 $a = 2$a + 1 2 a Tepe noktasının ordinatı için tepe değeri formülünü kullanalım: y = - Δ 4 a Δ = b 2 - 4 a c Burada $c = 2$olduğundan: Δ = b 2 - 8 a Şimdi b = - 2 a - 1 için: b $2 = 2$ a + 1 $2 = 4$ a 2 + 4 a + 1 Δ = 4 a 2 + 4 a + 1 - 8 $a = 4$a 2 - 4 a + 1 Tepe ordinatı: y = - 4 a 2 - 4 a + 1 4 a = - a + 1 - 1 4 a Tepe noktası y = - x doğrusu üzerinde olduğuna göre tepe noktasında y = - x sağlanır. Tepe apsisi ve ordinatını eşleştirelim: - a + 1 - 1 4 a = - 2 a + 1 2 a Denklemi düzenleyelim: - a + 1 - 1 4 a = - 1 - 1 2 a - a + 2 + 1 2 a - 1 4 $a = 0 - a + 2 + 1$4 $a = 0$Paydaları yok edelim: 4 a ( - a + 2 ) + $1 = 0$ - 4 a 2 + 8 a + $1 = 0$ 4 a 2 - 8 a - $1 = 0$ İkinci dereceden denklemi çözelim: $a = 8$± 8 2 - 4 · 4 · ( - 1 ) 2 · 4 $a = 8$± 64 + 16 $8 = 8$ ± 80 8 $a = 8$± 4 5 $8 = 1$ ± 5 2 Parabol yukarı doğru açıldığından a > 0 olmalıdır. Bu nedenle negatif olan kök elenir ve: $a = 1 + 5$2 Sonuç: Doğru cevap seçeneği D’dır.

Doğru cevap: A

Verilen fonksiyon, parabolün tepe noktası (vertex) formundadır. Fonksiyonu blok olarak yazalım: f ( x ) = - 3 ( x + 2 ) 2 + 5 Tepe noktası formu genel olarak aşağıdaki gibidir: f ( x ) = a ( x - h ) 2 + k Burada simetri ekseni, tepe noktasının birinci bileşenine eşittir ve aşağıdaki denklemle verilir: $x = h$Verilen fonksiyondaki parantez içini tepe noktası formuyla aynı yapıda yazalım: x + 2 = x - ( - 2 ) Buradan tepe noktasının birinci bileşeni bulunur: h = - 2 Dolayısıyla parabolün simetri ekseni: x = - 2 Sonuç: Doğru cevap A seçeneğidir.

1. Çözüm: Verilen fonksiyon, parabolün tepe noktası (vertex) formundadır. Fonksiyonu blok olarak yazalım: f ( x ) = - 3 ( x + 2 ) 2 + 5 Tepe noktası formu genel olarak aşağıdaki gibidir: f ( x ) = a ( x - h ) 2 + k Burada simetri ekseni, tepe noktasının birinci bileşenine eşittir ve aşağıdaki denklemle verilir: $x = h$Verilen fonksiyondaki parantez içini tepe noktası formuyla aynı yapıda yazalım: x + 2 = x - ( - 2 ) Buradan tepe noktasının birinci bileşeni bulunur: h = - 2 Dolayısıyla parabolün simetri ekseni: x = - 2 Sonuç: Doğru cevap A seçeneğidir.

Doğru cevap: B

Verilen parabol: f ( x ) = x 2 − 4 x + 1 1) Tepe noktasının x değeri için formül: x T = − b 2 a Bu fonksiyonda katsayılar: $a = 1$, b = − 4 2) Tepe noktasının x değeri: x T = − ( − 4 ) 2 ⋅ $1 = 4$ $2 = 2$ 3) Tepe noktasının y değeri için $x = 2$yazalım: y $T = f$( 2 ) Hesaplayalım: f ( 2 ) = 2 2 − 4 ⋅ $2 + 1 = 4$ − 8 + 1 = − 3 4) Tepe noktası: 2, − 3 Sonuç: Doğru cevap B427 şıkkıdır.

1. Çözüm: Verilen parabol: f ( x ) = x 2 − 4 x + 1 1) Tepe noktasının x değeri için formül: x T = − b 2 a Bu fonksiyonda katsayılar: $a = 1$, b = − 4 2) Tepe noktasının x değeri: x T = − ( − 4 ) 2 ⋅ $1 = 4$ $2 = 2$ 3) Tepe noktasının y değeri için $x = 2$yazalım: y $T = f$( 2 ) Hesaplayalım: f ( 2 ) = 2 2 − 4 ⋅ $2 + 1 = 4$ − 8 + 1 = − 3 4) Tepe noktası: 2, − 3 Sonuç: Doğru cevap B427 şıkkıdır.

Doğru cevap: C

Tepe noktasının x-ekseni üzerinde olması, tepe noktasının y-değerinin 0 olduğu anlamına gelir. Parabolün tepe noktasının ordinatı (y-değeri): y $t = 4$a c - b 2 4 a Tepe noktası x - e k s e n i üzerinde olduğundan: y $t = 0$Buradan: 4 a c - b 2 4 $a = 0$Pay sıfır olmalıdır: 4 a c - b $2 = 0$ Yani: b $2 = 4$ a c Verilen doğru: $y = x + 1$Bu doğru, parabolün $x=1$noktasında teğeti olduğuna göre iki koşul vardır: 1) Noktadan geçme ($x=1$için y değerleri eşit): a 1 2 + b · 1 + $c = 1 + 1$Buradan: a + b + $c = 2$2) Eğimlerin eşitliği (teğet eğimi doğrunun eğimi olan 1 olmalı): Parabolün türevi: d y d $x = 2$a x + b $x=1$için eğim: 2 a · 1 + $b = 1$Yani: 2 a + $b = 1$Bu iki denklemden önce b ve c ’yi a cinsinden yazalım. Eğim denkleminden: $b = 1 - 2$a Noktadan geçme denkleminden: $c = 2 - a - b$b yerine yazalım: $c = 2 - a$- ( 1 - 2 a ) Düzenlersek: $c = 1 + a$Şimdi tepe noktası koşulu olan b $2 = 4$ a c denkleminde yerine yazalım: ( 1 - 2 a ) $2 = 4$ a ( 1 + a ) Açalım: 1 - 4 a + 4 a $2 = 4$ a + 4 a 2 Her iki taraftan 4 a 2 terimleri gider: 1 - 4 $a = 4$a Buradan: $1 = 8$ a Sonuç: $a = 1$8 Kontrol: Bulunan değer şıklarda seçeneğiC1119dir. Yani doğru cevap C1139.

1. Çözüm: Tepe noktasının x-ekseni üzerinde olması, tepe noktasının y-değerinin 0 olduğu anlamına gelir. Parabolün tepe noktasının ordinatı (y-değeri): y $t = 4$a c - b 2 4 a Tepe noktası x - e k s e n i üzerinde olduğundan: y $t = 0$Buradan: 4 a c - b 2 4 $a = 0$Pay sıfır olmalıdır: 4 a c - b $2 = 0$ Yani: b $2 = 4$ a c Verilen doğru: $y = x + 1$Bu doğru, parabolün $x=1$noktasında teğeti olduğuna göre iki koşul vardır: 1) Noktadan geçme ($x=1$için y değerleri eşit): a 1 2 + b · 1 + $c = 1 + 1$Buradan: a + b + $c = 2$2) Eğimlerin eşitliği (teğet eğimi doğrunun eğimi olan 1 olmalı): Parabolün türevi: d y d $x = 2$a x + b $x=1$için eğim: 2 a · 1 + $b = 1$Yani: 2 a + $b = 1$Bu iki denklemden önce b ve c ’yi a cinsinden yazalım. Eğim denkleminden: $b = 1 - 2$a Noktadan geçme denkleminden: $c = 2 - a - b$b yerine yazalım: $c = 2 - a$- ( 1 - 2 a ) Düzenlersek: $c = 1 + a$Şimdi tepe noktası koşulu olan b $2 = 4$ a c denkleminde yerine yazalım: ( 1 - 2 a ) $2 = 4$ a ( 1 + a ) Açalım: 1 - 4 a + 4 a $2 = 4$ a + 4 a 2 Her iki taraftan 4 a 2 terimleri gider: 1 - 4 $a = 4$a Buradan: $1 = 8$ a Sonuç: $a = 1$8 Kontrol: Bulunan değer şıklarda seçeneğiC1119dir. Yani doğru cevap C1139.

Doğru cevap: D

Parabolün x eksenini kestiği noktaların apsisleri köklerdir: x = 1 x = 5 Bu yüzden parabolün denklemi çarpanlarına ayrılmış biçimde yazılabilir: y = a ( x − 1 ) ( x − 5 ) Tepe noktasının x koordinatı köklerin ortalamasıdır: x = 1 + 5 2 = 3 Tepe noktasının y koordinatını bulmak için x=3 yazalım: y = a ( 3 − 1 ) ( 3 − 5 ) y = a ( 2 ) ( − 2 ) = − 4 a Tepe noktası y=−x doğrusu üzerindeymiş. Tepe noktasında x=3 olduğuna göre doğru üzerindeki karşılık gelen y değeri: y = − x = − 3 Dolayısıyla tepe noktasının ordinatı için: − 4 a = − 3 a = 3 4 y eksenini kestiği nokta için x=0 yazılır: y = a ( 0 − 1 ) ( 0 − 5 ) y = a ( − 1 ) ( − 5 ) = 5 a y = 5 · 3 4 = 15 4 Sonuç: Doğru seçenek D666 ’dır. 15 4

1. Çözüm: Parabolün x eksenini kestiği noktaların apsisleri köklerdir: x = 1 x = 5 Bu yüzden parabolün denklemi çarpanlarına ayrılmış biçimde yazılabilir: y = a ( x − 1 ) ( x − 5 ) Tepe noktasının x koordinatı köklerin ortalamasıdır: x = 1 + 5 2 = 3 Tepe noktasının y koordinatını bulmak için x=3 yazalım: y = a ( 3 − 1 ) ( 3 − 5 ) y = a ( 2 ) ( − 2 ) = − 4 a Tepe noktası y=−x doğrusu üzerindeymiş. Tepe noktasında x=3 olduğuna göre doğru üzerindeki karşılık gelen y değeri: y = − x = − 3 Dolayısıyla tepe noktasının ordinatı için: − 4 a = − 3 a = 3 4 y eksenini kestiği nokta için x=0 yazılır: y = a ( 0 − 1 ) ( 0 − 5 ) y = a ( − 1 ) ( − 5 ) = 5 a y = 5 · 3 4 = 15 4 Sonuç: Doğru seçenek D666 ’dır. 15 4

Doğru cevap: A

Önce verilen parabol denklemini yazalım: $y = x$2 + a x + b Kareye tamamlama yapalım: y = ( x + a 2 ) 2 + ( b - a 2 4 ) Buradan tepe noktası (tepe) parametrelerini okuyalım: h = - a 2 $k = b - a$2 4 Katsayı 1 olduğundan, tepe formundaki y - k = ( x - h ) 2 ifadesini, standart parabol formu ile karşılaştıralım: ( x - h ) $2 = 4$ p ( y - k ) Buradan 4 $p = 1$olur ve dolayısıyla $p = 1$4 Odak noktası ( h, k + p ) olduğundan, odak ordinatı koşulu: k + $p = 0$Yerine yazalım: ( b - a 2 4 ) + 1 $4 = 0$ Buradan $b = a$2 - 1 4 Grafik verilen noktadan geçtiği için: ( 0, 1 ) noktasını denklemde kullanalım: $1 = 0$ 2 + a · 0 + b Dolayısıyla $b = 1$Bunu odak koşulundan bulduğumuz ifadeye eşitleyelim: 1 = a 2 - 1 4 Çözelim: 4 = a 2 - 1 a $2 = 5$ a = ± 5 Tepe noktasının apsisi koşulu: h > 0 ve h = - a 2 olduğuna göre: - a 2 > 0 buradan a < 0 olur, yani a = - 5 Son olarak a + b = - 5 + 1 yani a + $b = 1 - 5$Bu değer şıklar içinde A seçeneğidir; dolayısıyla doğru cevap A’dır.

1. Çözüm: Önce verilen parabol denklemini yazalım: $y = x$2 + a x + b Kareye tamamlama yapalım: y = ( x + a 2 ) 2 + ( b - a 2 4 ) Buradan tepe noktası (tepe) parametrelerini okuyalım: h = - a 2 $k = b - a$2 4 Katsayı 1 olduğundan, tepe formundaki y - k = ( x - h ) 2 ifadesini, standart parabol formu ile karşılaştıralım: ( x - h ) $2 = 4$ p ( y - k ) Buradan 4 $p = 1$olur ve dolayısıyla $p = 1$4 Odak noktası ( h, k + p ) olduğundan, odak ordinatı koşulu: k + $p = 0$Yerine yazalım: ( b - a 2 4 ) + 1 $4 = 0$ Buradan $b = a$2 - 1 4 Grafik verilen noktadan geçtiği için: ( 0, 1 ) noktasını denklemde kullanalım: $1 = 0$ 2 + a · 0 + b Dolayısıyla $b = 1$Bunu odak koşulundan bulduğumuz ifadeye eşitleyelim: 1 = a 2 - 1 4 Çözelim: 4 = a 2 - 1 a $2 = 5$ a = ± 5 Tepe noktasının apsisi koşulu: h > 0 ve h = - a 2 olduğuna göre: - a 2 > 0 buradan a < 0 olur, yani a = - 5 Son olarak a + b = - 5 + 1 yani a + $b = 1 - 5$Bu değer şıklar içinde A seçeneğidir; dolayısıyla doğru cevap A’dır.