11. Sınıf Matematik

11. Sınıf Matematik Parabol Testleri

Parabol konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

Parabol nedir?

Parabol, y=ax²+bx+c biçimindeki ikinci dereceden fonksiyonların grafiğidir. 11. Sınıf Parabol testleri tepe noktası, simetri ekseni, kökler, eksen kesişimleri ve grafik dönüşümlerini birlikte çalıştırır.

Tepe noktası ve simetri

Parabolün kollarının yönü a katsayısına bağlıdır. a pozitifse kollar yukarı, negatifse aşağı açılır. Tepe noktası maksimum veya minimum değeri gösterir; simetri ekseni grafiği iki eş parçaya ayırır.

Kökler ve grafik ilişkisi

Diskriminant, parabolün x eksenini kaç noktada kestiğini gösterir. Köklerin toplamı ve çarpımı katsayılarla ilişkilidir. Grafik üzerindeki noktaları denkleme yerleştirmek parabol denklemini bulmada kullanılır.

Test seç

6 Test

1. Test 2. Test 3. Test 4. Test 5. Test 6. Test

5. Test

11. Sınıf Matematik Parabol Testleri

Parabol konusu 5. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru

0/10 Soru0 %

Doğru 0

Yanlış 0

Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

Odak noktası $(2, 1)$ ve doğrultmanı $y = - 1$ olan parabolün denklemi $y = a x^{2} + b x + c$ biçimindedir. Buna göre $a + b + c$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Verilen parabolün odağı ve doğrultmanı: F = 2, 1 d: y = − 1 Doğrultman yatay olduğundan parabolün ekseni diktir (dikey eksenli). Tepe noktasının y değeri, odak ile doğrultmanın orta noktasıdır: k = 1 + − 1 2 = 0 Odak noktası tepe noktasının tam üstünde olduğundan tepe noktasının x değeri odağın x değerine eşittir: h = 2 Tepe noktası ile odak arasındaki uzaklık p olsun. Odak (h,k+p) biçimindedir. Buradan: k + p = 1 ⇒ 0 + p = 1 ⇒ p = 1 Dikey eksenli parabolün standart denklemi: ( x − h ) 2 = 4 p ( y − k ) Yerine koyarsak: ( x − 2 ) 2 = 4 ⋅ 1 ⋅ ( y − 0 ) ( x − 2 ) 2 = 4 y Buradan y yalnız bırakılır: y = 1 4 ( x − 2 ) 2 Açılım yapalım: ( x − 2 ) 2 = x 2 − 4 x + 4 y = 1 4 x 2 − x + 1 Buradan katsayılar: a = 1 4, b = − 1, c = 1 Şimdi a+b+c: a + b + c = 1 4 + − 1 + 1 = 1 4 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

Çözüm: Verilen parabolün odağı ve doğrultmanı: F = 2, 1 d: y = − 1 Doğrultman yatay olduğundan parabolün ekseni diktir (dikey eksenli). Tepe noktasının y değeri, odak ile doğrultmanın orta noktasıdır: k = 1 + − 1 2 = 0 Odak noktası tepe noktasının tam üstünde olduğundan tepe noktasının x değeri odağın x değerine eşittir: h = 2 Tepe noktası ile odak arasındaki uzaklık p olsun. Odak (h,k+p) biçimindedir. Buradan: k + p = 1 ⇒ 0 + p = 1 ⇒ p = 1 Dikey eksenli parabolün standart denklemi: ( x − h ) 2 = 4 p ( y − k ) Yerine koyarsak: ( x − 2 ) 2 = 4 ⋅ 1 ⋅ ( y − 0 ) ( x − 2 ) 2 = 4 y Buradan y yalnız bırakılır: y = 1 4 ( x − 2 ) 2 Açılım yapalım: ( x − 2 ) 2 = x 2 − 4 x + 4 y = 1 4 x 2 − x + 1 Buradan katsayılar: a = 1 4, b = − 1, c = 1 Şimdi a+b+c: a + b + c = 1 4 + − 1 + 1 = 1 4 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

Verilen parabolün odağı ve doğrultmanı:

F = (2, 1)

d : y = - 1

Doğrultman yatay olduğundan parabolün ekseni diktir (dikey eksenli). Tepe noktasının y değeri, odak ile doğrultmanın orta noktasıdır:

k = \frac{1 + - 1}{2} = 0

Odak noktası tepe noktasının tam üstünde olduğundan tepe noktasının x değeri odağın x değerine eşittir:

h = 2

Tepe noktası ile odak arasındaki uzaklık p olsun. Odak (h,k+p) biçimindedir. Buradan:

k + p = 1 \Rightarrow 0 + p = 1 \Rightarrow p = 1

Dikey eksenli parabolün standart denklemi:

{(x - h)}^{2} = 4 p (y - k)

Yerine koyarsak:

{(x - 2)}^{2} = 4 \cdot 1 \cdot (y - 0)

{(x - 2)}^{2} = 4 y

Buradan y yalnız bırakılır:

y = \frac{1}{4} {(x - 2)}^{2}

Açılım yapalım:

{(x - 2)}^{2} = x^{2} - 4 x + 4

y = \frac{1}{4} x^{2} - x + 1

Buradan katsayılar:

a = \frac{1}{4}, b = - 1, c = 1

Şimdi a+b+c:

a + b + c = \frac{1}{4} + - 1 + 1 = \frac{1}{4}

Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Gerçek sayılar $p$ ve $q$ için
$y = x^{2} + p x + q$
parabolünün $x = 1$ noktasındaki teğeti $(0, 3)$ noktasından geçiyor ve parabol $(2, 1)$ noktasından geçiyorsa, tepe noktasının $y$ koordinatı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Verilen parabol: y = x 2 + p x + q Türev (eğim fonksiyonu): d y d x = 2 x + p Teğet, x = 1 noktasında alındığı için eğim: m = 2 + p Parabolün x = 1 noktasındaki değeri: f ( 1 ) = 1 2 + p + q = 1 + p + q Teğet denklemi: y - f ( 1 ) = m ( x - 1 ) yerine yazalım: y - ( 1 + p + q ) = ( 2 + p ) ( x - 1 ) Teğet doğrusu ( 0, 3 ) noktasından geçtiğine göre x = 0, y = 3 yazalım: 3 - ( 1 + p + q ) = ( 2 + p ) ( 0 - 1 ) Düzenleyelim: 3 - 1 - p - q = - ( 2 + p ) 2 - p - q = - 2 - p 2 - q = - 2 q = 4 Parabol ( 2, 1 ) noktasından geçtiği için: f ( 2 ) = 1 yerine yazalım: 2 2 + p ( 2 ) + q = 1 4 + 2 p + 4 = 1 8 + 2 p = 1 2 p = - 7 p = - 7 2 Tepe noktasının x koordinatı ( a = 1, b = p ): x _ t = - b 2 a = - p 2 x _ t = - - 7 2 2 = 7 4 Tepe noktasının y koordinatı: y _ t = f ( 7 4 ) y _ t = 7 4 2 + ( - 7 2 ) 7 4 + 4 y _ t = 49 16 - 49 8 + 4 y _ t = 49 16 - 98 16 + 64 16 y _ t = 15 16 Sonuç: Doğru seçenek B ve tepe noktasının y -koordinatı yukarıdaki değerdir.

Çözüm: Verilen parabol: y = x 2 + p x + q Türev (eğim fonksiyonu): d y d x = 2 x + p Teğet, x = 1 noktasında alındığı için eğim: m = 2 + p Parabolün x = 1 noktasındaki değeri: f ( 1 ) = 1 2 + p + q = 1 + p + q Teğet denklemi: y - f ( 1 ) = m ( x - 1 ) yerine yazalım: y - ( 1 + p + q ) = ( 2 + p ) ( x - 1 ) Teğet doğrusu ( 0, 3 ) noktasından geçtiğine göre x = 0, y = 3 yazalım: 3 - ( 1 + p + q ) = ( 2 + p ) ( 0 - 1 ) Düzenleyelim: 3 - 1 - p - q = - ( 2 + p ) 2 - p - q = - 2 - p 2 - q = - 2 q = 4 Parabol ( 2, 1 ) noktasından geçtiği için: f ( 2 ) = 1 yerine yazalım: 2 2 + p ( 2 ) + q = 1 4 + 2 p + 4 = 1 8 + 2 p = 1 2 p = - 7 p = - 7 2 Tepe noktasının x koordinatı ( a = 1, b = p ): x _ t = - b 2 a = - p 2 x _ t = - - 7 2 2 = 7 4 Tepe noktasının y koordinatı: y _ t = f ( 7 4 ) y _ t = 7 4 2 + ( - 7 2 ) 7 4 + 4 y _ t = 49 16 - 49 8 + 4 y _ t = 49 16 - 98 16 + 64 16 y _ t = 15 16 Sonuç: Doğru seçenek B ve tepe noktasının y -koordinatı yukarıdaki değerdir.

Verilen parabol:

y = x^{2} + p x + q

Türev (eğim fonksiyonu):

\frac{d y}{d x} = 2 x + p

Teğet,

x = 1

noktasında alındığı için eğim:

m = 2 + p

Parabolün

x = 1

noktasındaki değeri:

f (1) = 1^{2} + p + q = 1 + p + q

Teğet denklemi:

y - f (1) = m (x - 1)

yerine yazalım:

y - (1 + p + q) = (2 + p) (x - 1)

Teğet doğrusu

(0, 3)

noktasından geçtiğine göre

x = 0, y = 3

yazalım:

3 - (1 + p + q) = (2 + p) (0 - 1)

Düzenleyelim:

3 - 1 - p - q = - (2 + p)

2 - p - q = - 2 - p

2 - q = - 2

q = 4

Parabol

(2, 1)

noktasından geçtiği için:

f (2) = 1

yerine yazalım:

2^{2} + p (2) + q = 1

4 + 2 p + 4 = 1

8 + 2 p = 1

2 p = - 7

p = - \frac{7}{2}

Tepe noktasının

x

koordinatı (

a = 1, b = p

x_t = - \frac{b}{2 a} = - \frac{p}{2}

x_t = - \frac{- \frac{7}{2}}{2} = \frac{7}{4}

Tepe noktasının

y

koordinatı:

y_t = f (\frac{7}{4})

y_t = {\frac{7}{4}}^{2} + (- \frac{7}{2}) \frac{7}{4} + 4

y_t = \frac{49}{16} - \frac{49}{8} + 4

y_t = \frac{49}{16} - \frac{98}{16} + \frac{64}{16}

y_t = \frac{15}{16}

Sonuç: Doğru seçenek

B

ve tepe noktasının y-koordinatı yukarıdaki değerdir.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Açıklığı yukarı olan ve denklemi $y = x^{2} + p x + q$ biçiminde olan parabolün odak noktası $y = 1$ doğrusu üzerindedir. Parabol ayrıca $(1, 2)$ ve $(3, 2)$ noktalarından geçmektedir. Buna göre parabolün denklemi hangisidir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Verilen parabol: y = x 2 + p x + q Parabolün ( 1, 2 ) noktasından geçmesi: 2 = 1 2 + p · 1 + q p + q = 1 Parabolün ( 3, 2 ) noktasından geçmesi: 2 = 3 2 + p · 3 + q 3 p + q = - 7 Bu iki denklemi çözelim: ( 3 p + q ) - ( p + q ) = - 7 - 1 2 p = - 8 p = - 4 p + q = 1 ⇒ - 4 + q = 1 q = 5 Yalnızca bu iki noktaya göre parabol: y = x 2 - 4 x + 5 Şimdi odak koşulunu kullanalım. Kareye tamamlama: y = x 2 + p x + q = x + p 2 2 + q - p 2 4 Bu parabolde a = 1 olduğundan odak, tepe noktasından 1 4 kadar yukarıdadır. Dolayısıyla odak y -koordinatı: y _ F = q - p 2 4 + 1 4 Odak y = 1 doğrusu üzerinde dendiğine göre: q - p 2 4 + 1 4 = 1 q - p 2 4 = 3 4 Bulduğumuz p = - 4 ve q = 5 değerlerini bu koşulda deneyelim: q - p 2 4 = 5 - - 4 2 4 = 5 - 16 4 = 1 Gereken değer 3 4 iken 1 çıktı. Yani verilen iki noktadan geçen parabolün odağı y = 1 doğrusu üzerinde değildir. Bu, sorudaki koşulların birbiriyle çeliştiğini gösterir. Şimdi “ şıkkıC924 doğru mu?” kontrol edelim. şıkkıC959: y = x 2 - 4 x + 19 4 Kareye tamamlama: y = x - 2 2 + 3 4 Tepe noktası ( 2, 3 4 ) olduğundan odak: ( 2, 3 4 + 1 4 ) = ( 2, 1 ) Görüldüğü gibi şıkkıC1109 odak koşulunu sağlıyor. Ancak verilen noktalardan geçiyor mu diye bakalım: y ( 1 ) = 1 2 - 4 · 1 + 19 4 = 7 4 y ( 3 ) = 3 2 - 4 · 3 + 19 4 = 7 4 Bu değerler 2 değildir. Dolayısıyla şıkkıC1298, verilen ( 1, 2 ) ve ( 3, 2 ) noktalarından geçme koşulunu sağlamaz. Sonuç: Verilen bilgilerle (iki nokta + odak y = 1 üzerinde) parabol oluşturulamıyor; koşullar çelişkili. Bu nedenle “doğru cevap C1492” ifadesi, sorudaki mevcut sayılarla doğru değildir. Not: Eğer noktaların ( 1, 7 4 ) ve ( 3, 7 4 ) olması gibi bir yazım hatası olsaydı, o zaman şıkkıC1654 hem odak koşulunu hem nokta koşulunu sağlardı.

Çözüm: Verilen parabol: y = x 2 + p x + q Parabolün ( 1, 2 ) noktasından geçmesi: 2 = 1 2 + p · 1 + q p + q = 1 Parabolün ( 3, 2 ) noktasından geçmesi: 2 = 3 2 + p · 3 + q 3 p + q = - 7 Bu iki denklemi çözelim: ( 3 p + q ) - ( p + q ) = - 7 - 1 2 p = - 8 p = - 4 p + q = 1 ⇒ - 4 + q = 1 q = 5 Yalnızca bu iki noktaya göre parabol: y = x 2 - 4 x + 5 Şimdi odak koşulunu kullanalım. Kareye tamamlama: y = x 2 + p x + q = x + p 2 2 + q - p 2 4 Bu parabolde a = 1 olduğundan odak, tepe noktasından 1 4 kadar yukarıdadır. Dolayısıyla odak y -koordinatı: y _ F = q - p 2 4 + 1 4 Odak y = 1 doğrusu üzerinde dendiğine göre: q - p 2 4 + 1 4 = 1 q - p 2 4 = 3 4 Bulduğumuz p = - 4 ve q = 5 değerlerini bu koşulda deneyelim: q - p 2 4 = 5 - - 4 2 4 = 5 - 16 4 = 1 Gereken değer 3 4 iken 1 çıktı. Yani verilen iki noktadan geçen parabolün odağı y = 1 doğrusu üzerinde değildir. Bu, sorudaki koşulların birbiriyle çeliştiğini gösterir. Şimdi “ şıkkıC924 doğru mu?” kontrol edelim. şıkkıC959: y = x 2 - 4 x + 19 4 Kareye tamamlama: y = x - 2 2 + 3 4 Tepe noktası ( 2, 3 4 ) olduğundan odak: ( 2, 3 4 + 1 4 ) = ( 2, 1 ) Görüldüğü gibi şıkkıC1109 odak koşulunu sağlıyor. Ancak verilen noktalardan geçiyor mu diye bakalım: y ( 1 ) = 1 2 - 4 · 1 + 19 4 = 7 4 y ( 3 ) = 3 2 - 4 · 3 + 19 4 = 7 4 Bu değerler 2 değildir. Dolayısıyla şıkkıC1298, verilen ( 1, 2 ) ve ( 3, 2 ) noktalarından geçme koşulunu sağlamaz. Sonuç: Verilen bilgilerle (iki nokta + odak y = 1 üzerinde) parabol oluşturulamıyor; koşullar çelişkili. Bu nedenle “doğru cevap C1492” ifadesi, sorudaki mevcut sayılarla doğru değildir. Not: Eğer noktaların ( 1, 7 4 ) ve ( 3, 7 4 ) olması gibi bir yazım hatası olsaydı, o zaman şıkkıC1654 hem odak koşulunu hem nokta koşulunu sağlardı.

Verilen parabol:

y = x^{2} + p x + q

Parabolün $(1, 2)$ noktasından geçmesi:

2 = 1^{2} + p \cdot 1 + q

p + q = 1

Parabolün $(3, 2)$ noktasından geçmesi:

2 = 3^{2} + p \cdot 3 + q

3 p + q = - 7

Bu iki denklemi çözelim:

(3 p + q) - (p + q) = - 7 - 1

2 p = - 8

p = - 4

p + q = 1 \Rightarrow - 4 + q = 1

q = 5

Yalnızca bu iki noktaya göre parabol:

y = x^{2} - 4 x + 5

Şimdi odak koşulunu kullanalım. Kareye tamamlama:

y = x^{2} + p x + q = {x + \frac{p}{2}}^{2} + q - \frac{p^{2}}{4}

Bu parabolde $a = 1$ olduğundan odak, tepe noktasından $\frac{1}{4}$ kadar yukarıdadır. Dolayısıyla odak $y$ -koordinatı:

y_F = q - \frac{p^{2}}{4} + \frac{1}{4}

Odak $y = 1$ doğrusu üzerinde dendiğine göre:

q - \frac{p^{2}}{4} + \frac{1}{4} = 1

q - \frac{p^{2}}{4} = \frac{3}{4}

Bulduğumuz $p = - 4$ ve $q = 5$ değerlerini bu koşulda deneyelim:

q - \frac{p^{2}}{4} = 5 - \frac{{- 4}^{2}}{4} = 5 - \frac{16}{4} = 1

Gereken değer $\frac{3}{4}$ iken $1$ çıktı. Yani verilen iki noktadan geçen parabolün odağı $y = 1$ doğrusu üzerinde değildir. Bu, sorudaki koşulların birbiriyle çeliştiğini gösterir.

Şimdi “ şıkkıC4306 doğru mu?” kontrol edelim. şıkkıC4341:

y = x^{2} - 4 x + \frac{19}{4}

Kareye tamamlama:

y = {x - 2}^{2} + \frac{3}{4}

Tepe noktası $(2, \frac{3}{4})$ olduğundan odak:

(2, \frac{3}{4} + \frac{1}{4}) = (2, 1)

Görüldüğü gibi şıkkıC5221 odak koşulunu sağlıyor. Ancak verilen noktalardan geçiyor mu diye bakalım:

y (1) = 1^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{19}{4} = \frac{7}{4}

y (3) = 3^{2} - 4 \cdot 3 + \frac{19}{4} = \frac{7}{4}

Bu değerler $2$ değildir. Dolayısıyla şıkkıC5925, verilen $(1, 2)$ ve $(3, 2)$ noktalarından geçme koşulunu sağlamaz.

Sonuç: Verilen bilgilerle (iki nokta + odak $y = 1$ üzerinde) parabol oluşturulamıyor; koşullar çelişkili. Bu nedenle “doğru cevap C6325” ifadesi, sorudaki mevcut sayılarla doğru değildir.

Not: Eğer noktaların $(1, \frac{7}{4})$ ve $(3, \frac{7}{4})$ olması gibi bir yazım hatası olsaydı, o zaman şıkkıC6701 hem odak koşulunu hem nokta koşulunu sağlardı.

4. SoruÇoktan Seçmeli

$y = x^{2} + a x + b$ parabolü, $(0, 1)$ noktasından geçiyor ve $y = 2 x$ doğrusuna $x > 0$ için teğettir. Buna göre $a$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki parabol için $f (x) = a x^{2} + b x + c$ veriliyor.
Simetri ekseni $x = 1$ olup parabol $(0, 2)$ noktasından geçmektedir.
Ayrıca $x = 2$ noktasındaki teğet doğru $(3, 0)$ noktasından geçmektedir.
Buna göre parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Verilen parabol: f ( x ) = a x 2 + b x + c 1) Simetri ekseni koşulu: Parabolün simetri ekseni x = 1 olduğuna göre, − b 2 a = 1 Buradan: b = − 2 a 2) Parabolün geçtiği nokta koşulu: Parabol ( 0, 2 ) noktasından geçtiği için: f ( 0 ) = 2 c = 2 3) Teğet koşulu için gerekli değerler: Önce f ( 2 ) hesaplayalım: f ( 2 ) = a 2 2 + b 2 + c f ( 2 ) = 4 a + 2 b + 2 Burada b = − 2 a olduğu için: f ( 2 ) = 4 a + 2 ( − 2 a ) + 2 f ( 2 ) = 2 Yani teğetin değdiği nokta: ( 2, 2 ) 4) Teğetin eğimi (türev): f ′ ( x ) = 2 a x + b Burada b = − 2 a olduğundan: f ′ ( x ) = 2 a x − 2 a f ′ ( x ) = 2 a ( x − 1 ) Bu durumda f ′ ( 2 ) = 2 a 5) Teğet doğrusunu yazıp verilen noktayı kullanalım: Teğet, ( 2, 2 ) noktasından geçer ve eğimi 2 a olur. O halde teğet denklemi: y − 2 = 2 a ( x − 2 ) Bu teğet doğrusu ( 3, 0 ) noktasından geçtiğine göre: 0 − 2 = 2 a ( 3 − 2 ) − 2 = 2 a a = − 1 6) Katsayıları tamamlayalım: b = − 2 a = − 2 ( − 1 ) = 2 c = 2 Parabol denklemi: y = − x 2 + 2 x + 2 Sonuç: Doğru seçenek A’dır.

Çözüm: Verilen parabol: f ( x ) = a x 2 + b x + c 1) Simetri ekseni koşulu: Parabolün simetri ekseni x = 1 olduğuna göre, − b 2 a = 1 Buradan: b = − 2 a 2) Parabolün geçtiği nokta koşulu: Parabol ( 0, 2 ) noktasından geçtiği için: f ( 0 ) = 2 c = 2 3) Teğet koşulu için gerekli değerler: Önce f ( 2 ) hesaplayalım: f ( 2 ) = a 2 2 + b 2 + c f ( 2 ) = 4 a + 2 b + 2 Burada b = − 2 a olduğu için: f ( 2 ) = 4 a + 2 ( − 2 a ) + 2 f ( 2 ) = 2 Yani teğetin değdiği nokta: ( 2, 2 ) 4) Teğetin eğimi (türev): f ′ ( x ) = 2 a x + b Burada b = − 2 a olduğundan: f ′ ( x ) = 2 a x − 2 a f ′ ( x ) = 2 a ( x − 1 ) Bu durumda f ′ ( 2 ) = 2 a 5) Teğet doğrusunu yazıp verilen noktayı kullanalım: Teğet, ( 2, 2 ) noktasından geçer ve eğimi 2 a olur. O halde teğet denklemi: y − 2 = 2 a ( x − 2 ) Bu teğet doğrusu ( 3, 0 ) noktasından geçtiğine göre: 0 − 2 = 2 a ( 3 − 2 ) − 2 = 2 a a = − 1 6) Katsayıları tamamlayalım: b = − 2 a = − 2 ( − 1 ) = 2 c = 2 Parabol denklemi: y = − x 2 + 2 x + 2 Sonuç: Doğru seçenek A’dır.

Verilen parabol:

f (x) = a x^{2} + b x + c

1) Simetri ekseni koşulu:

Parabolün simetri ekseni

x = 1

olduğuna göre,

- \frac{b}{2 a} = 1

Buradan:

b = - 2 a

2) Parabolün geçtiği nokta koşulu:

Parabol

(0, 2)

noktasından geçtiği için:

f (0) = 2

c = 2

3) Teğet koşulu için gerekli değerler:

Önce

f (2)

hesaplayalım:

f (2) = a 2^{2} + b 2 + c

f (2) = 4 a + 2 b + 2

Burada

b = - 2 a

olduğu için:

f (2) = 4 a + 2 (- 2 a) + 2

f (2) = 2

Yani teğetin değdiği nokta:

(2, 2)

4) Teğetin eğimi (türev):

f^{'} (x) = 2 a x + b

Burada

b = - 2 a

olduğundan:

f^{'} (x) = 2 a x - 2 a

f^{'} (x) = 2 a (x - 1)

Bu durumda

f^{'} (2) = 2 a

5) Teğet doğrusunu yazıp verilen noktayı kullanalım:

Teğet,

(2, 2)

noktasından geçer ve eğimi

2 a

olur. O halde teğet denklemi:

y - 2 = 2 a (x - 2)

Bu teğet doğrusu

(3, 0)

noktasından geçtiğine göre:

0 - 2 = 2 a (3 - 2)

- 2 = 2 a

a = - 1

6) Katsayıları tamamlayalım:

b = - 2 a = - 2 (- 1) = 2

c = 2

Parabol denklemi:

y = - x^{2} + 2 x + 2

Sonuç: Doğru seçenek A’dır.

6. SoruÇoktan Seçmeli

$y = a x^{2} + b x + c$ parabolü $(0, 2)$ ve $(2, 0)$ noktalarından geçiyor.
Tepe noktası $y = - x + 1$ doğrusu üzerindedir ve $a > 0$ .
Buna göre $a$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Parabolün denklemi: y = a x 2 + b x + c Nokta koşullarından c ve b ’yi bulalım. Parabol (0,2) noktasından geçtiği için: 2 = a 0 2 + b · 0 + c c = 2 Parabol (2,0) noktasından geçtiği için: 0 = a 2 2 + b · 2 + c 0 = 4 a + 2 b + 2 0 = 2 a + b + 1 b = - 2 a - 1 Tepe noktasının x koordinatı: x t = - b 2 a Burada b yerine yazalım: x t = - ( - 2 a - 1 ) 2 a x t = 2 a + 1 2 a Tepe noktasının y koordinatı için tepe değeri formülünü kullanalım: y t = - Δ 4 a Δ = b 2 - 4 a c c=2 ve b=-2a-1 yazalım: Δ = ( - 2 a - 1 ) 2 - 4 a · 2 Δ = ( 4 a 2 + 4 a + 1 ) - 8 a Δ = 4 a 2 - 4 a + 1 Δ = ( 2 a - 1 ) 2 Buna göre tepe y değeri: y t = - ( 2 a - 1 ) 2 4 a Tepe noktası y=-x+1 doğrusu üzerinde olduğundan: y t = - x t + 1 x t değerini yerine yazalım: y t = - 2 a + 1 2 a + 1 y t = - 2 a - 1 + 2 a 2 a y t = - 1 2 a Şimdi iki farklı y t ifadesini eşitleyelim: - ( 2 a - 1 ) 2 4 a = - 1 2 a Her iki tarafı -1 ile çarpıp sadeleştirelim: ( 2 a - 1 ) 2 4 a = 1 2 a Her iki tarafı 4a ile çarpalım: ( 2 a - 1 ) 2 = 2 Karekök alalım: 2 a - 1 = ± 2 Buradan a: 2 a = 1 ± 2 a = 1 ± 2 2 a>0 şartından dolayı negatif olan kök elenir: a = 1 + 2 2 Sonuç: Doğru cevap B1125 şıkkıdır.

Çözüm: Parabolün denklemi: y = a x 2 + b x + c Nokta koşullarından c ve b ’yi bulalım. Parabol (0,2) noktasından geçtiği için: 2 = a 0 2 + b · 0 + c c = 2 Parabol (2,0) noktasından geçtiği için: 0 = a 2 2 + b · 2 + c 0 = 4 a + 2 b + 2 0 = 2 a + b + 1 b = - 2 a - 1 Tepe noktasının x koordinatı: x t = - b 2 a Burada b yerine yazalım: x t = - ( - 2 a - 1 ) 2 a x t = 2 a + 1 2 a Tepe noktasının y koordinatı için tepe değeri formülünü kullanalım: y t = - Δ 4 a Δ = b 2 - 4 a c c=2 ve b=-2a-1 yazalım: Δ = ( - 2 a - 1 ) 2 - 4 a · 2 Δ = ( 4 a 2 + 4 a + 1 ) - 8 a Δ = 4 a 2 - 4 a + 1 Δ = ( 2 a - 1 ) 2 Buna göre tepe y değeri: y t = - ( 2 a - 1 ) 2 4 a Tepe noktası y=-x+1 doğrusu üzerinde olduğundan: y t = - x t + 1 x t değerini yerine yazalım: y t = - 2 a + 1 2 a + 1 y t = - 2 a - 1 + 2 a 2 a y t = - 1 2 a Şimdi iki farklı y t ifadesini eşitleyelim: - ( 2 a - 1 ) 2 4 a = - 1 2 a Her iki tarafı -1 ile çarpıp sadeleştirelim: ( 2 a - 1 ) 2 4 a = 1 2 a Her iki tarafı 4a ile çarpalım: ( 2 a - 1 ) 2 = 2 Karekök alalım: 2 a - 1 = ± 2 Buradan a: 2 a = 1 ± 2 a = 1 ± 2 2 a>0 şartından dolayı negatif olan kök elenir: a = 1 + 2 2 Sonuç: Doğru cevap B1125 şıkkıdır.

Parabolün denklemi:

y = a x^{2} + b x + c

Nokta koşullarından c ve b’yi bulalım.

Parabol (0,2) noktasından geçtiği için:

2 = a 0^{2} + b \cdot 0 + c

c = 2

Parabol (2,0) noktasından geçtiği için:

0 = a 2^{2} + b \cdot 2 + c

0 = 4 a + 2 b + 2

0 = 2 a + b + 1

b = - 2 a - 1

Tepe noktasının x koordinatı:

x_{t} = \frac{- b}{2 a}

Burada b yerine yazalım:

x_{t} = \frac{- (- 2 a - 1)}{2 a}

x_{t} = \frac{2 a + 1}{2 a}

Tepe noktasının y koordinatı için tepe değeri formülünü kullanalım:

y_{t} = - \frac{Δ}{4 a}

Δ = b^{2} - 4 a c

c=2 ve b=-2a-1 yazalım:

Δ = {(- 2 a - 1)}^{2} - 4 a \cdot 2

Δ = (4 a^{2} + 4 a + 1) - 8 a

Δ = 4 a^{2} - 4 a + 1

Δ = {(2 a - 1)}^{2}

Buna göre tepe y değeri:

y_{t} = - \frac{{(2 a - 1)}^{2}}{4 a}

Tepe noktası y=-x+1 doğrusu üzerinde olduğundan:

y_{t} = - x_{t} + 1

x_t değerini yerine yazalım:

y_{t} = - \frac{2 a + 1}{2 a} + 1

y_{t} = \frac{- 2 a - 1 + 2 a}{2 a}

y_{t} = - \frac{1}{2 a}

Şimdi iki farklı y_t ifadesini eşitleyelim:

- \frac{{(2 a - 1)}^{2}}{4 a} = - \frac{1}{2 a}

Her iki tarafı -1 ile çarpıp sadeleştirelim:

\frac{{(2 a - 1)}^{2}}{4 a} = \frac{1}{2 a}

Her iki tarafı 4a ile çarpalım:

{(2 a - 1)}^{2} = 2

Karekök alalım:

2 a - 1 = \pm \sqrt{2}

Buradan a:

2 a = 1 \pm \sqrt{2}

a = \frac{1 \pm \sqrt{2}}{2}

a>0 şartından dolayı negatif olan kök elenir:

a = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}

Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki parabol için, teğetleri $(0, 0)$ noktasından geçen iki farklı noktadaki teğet eğimlerinin çarpımı kaçtır?
$y = x^{2} - 6 x + 8$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

1) Şık kontrolü: Teğet eğimlerinin çarpımı şıkkıC43 ile karşılaştırılacak. Verilen parabol: y = x 2 − 6 x + 8 Teğetlerin geçtiği nokta: ( 0, 0 ) 2) Genel noktayı seçelim. Parabol üzerinde teğet aldığımız noktanın apsisi a olsun. f ( a ) = a 2 − 6 a + 8 3) Teğetin eğimi türevle bulunur: y ′ = 2 x − 6 Bu durumda x=a noktasındaki teğet eğimi: m = f ′ ( a ) = 2 a − 6 4) Teğet denklemi (nokta-eğim formu): y − f ( a ) = f ′ ( a ) ( x − a ) 5) Teğet doğru (0,0) noktasından geçtiğine göre denkleme x=0, y=0 yazalım: 0 − f ( a ) = f ′ ( a ) ( 0 − a ) Buradan: f ( a ) = a f ′ ( a ) 6) Yerine koyup a için çözelim: a 2 − 6 a + 8 = a ( 2 a − 6 ) Düzenleyelim: a 2 − 6 a + 8 = 2 a 2 − 6 a 8 = a 2 a = ± 8 = ± 2 ⋅ 2 7) Bu iki farklı noktadaki eğimler: m = 2 a − 6 Birinci nokta için: a = 2 ⋅ 2 ⇒ m 1 = 4 ⋅ 2 − 6 İkinci nokta için: a = − 2 ⋅ 2 ⇒ m 2 = − 4 ⋅ 2 − 6 8) Eğimlerin çarpımı: m 1 ⋅ m 2 = ( 4 ⋅ 2 − 6 ) ( − 4 ⋅ 2 − 6 ) Çarpımı kısa yoldan düzenleyelim: m 1 ⋅ m 2 = − ( ( 4 ⋅ 2 ) − 6 ) ( ( 4 ⋅ 2 ) + 6 ) m 1 ⋅ m 2 = − ( 4 ⋅ 2 2 − 36 ) m 1 ⋅ m 2 = − ( 32 − 36 ) = 4 9) Sonuç: Çarpım 4 çıktığı için doğru cevap C1095 şıkkıdır.

Çözüm: 1) Şık kontrolü: Teğet eğimlerinin çarpımı şıkkıC43 ile karşılaştırılacak. Verilen parabol: y = x 2 − 6 x + 8 Teğetlerin geçtiği nokta: ( 0, 0 ) 2) Genel noktayı seçelim. Parabol üzerinde teğet aldığımız noktanın apsisi a olsun. f ( a ) = a 2 − 6 a + 8 3) Teğetin eğimi türevle bulunur: y ′ = 2 x − 6 Bu durumda x=a noktasındaki teğet eğimi: m = f ′ ( a ) = 2 a − 6 4) Teğet denklemi (nokta-eğim formu): y − f ( a ) = f ′ ( a ) ( x − a ) 5) Teğet doğru (0,0) noktasından geçtiğine göre denkleme x=0, y=0 yazalım: 0 − f ( a ) = f ′ ( a ) ( 0 − a ) Buradan: f ( a ) = a f ′ ( a ) 6) Yerine koyup a için çözelim: a 2 − 6 a + 8 = a ( 2 a − 6 ) Düzenleyelim: a 2 − 6 a + 8 = 2 a 2 − 6 a 8 = a 2 a = ± 8 = ± 2 ⋅ 2 7) Bu iki farklı noktadaki eğimler: m = 2 a − 6 Birinci nokta için: a = 2 ⋅ 2 ⇒ m 1 = 4 ⋅ 2 − 6 İkinci nokta için: a = − 2 ⋅ 2 ⇒ m 2 = − 4 ⋅ 2 − 6 8) Eğimlerin çarpımı: m 1 ⋅ m 2 = ( 4 ⋅ 2 − 6 ) ( − 4 ⋅ 2 − 6 ) Çarpımı kısa yoldan düzenleyelim: m 1 ⋅ m 2 = − ( ( 4 ⋅ 2 ) − 6 ) ( ( 4 ⋅ 2 ) + 6 ) m 1 ⋅ m 2 = − ( 4 ⋅ 2 2 − 36 ) m 1 ⋅ m 2 = − ( 32 − 36 ) = 4 9) Sonuç: Çarpım 4 çıktığı için doğru cevap C1095 şıkkıdır.

1) Şık kontrolü: Teğet eğimlerinin çarpımı şıkkıC99 ile karşılaştırılacak.

Verilen parabol:

y = x^{2} - 6 x + 8

Teğetlerin geçtiği nokta:

(0, 0)

2) Genel noktayı seçelim. Parabol üzerinde teğet aldığımız noktanın apsisi a olsun.

f (a) = a^{2} - 6 a + 8

3) Teğetin eğimi türevle bulunur:

y^{'} = 2 x - 6

Bu durumda x=a noktasındaki teğet eğimi:

m = f' (a) = 2 a - 6

4) Teğet denklemi (nokta-eğim formu):

y - f (a) = f' (a) (x - a)

5) Teğet doğru (0,0) noktasından geçtiğine göre denkleme x=0, y=0 yazalım:

0 - f (a) = f' (a) (0 - a)

Buradan:

f (a) = a f' (a)

6) Yerine koyup a için çözelim:

a^{2} - 6 a + 8 = a (2 a - 6)

Düzenleyelim:

a^{2} - 6 a + 8 = 2 a^{2} - 6 a

8 = a^{2}

a = \pm \sqrt{8} = \pm 2 \cdot \sqrt{2}

7) Bu iki farklı noktadaki eğimler:

m = 2 a - 6

Birinci nokta için:

a = 2 \cdot \sqrt{2} \Rightarrow m 1 = 4 \cdot \sqrt{2} - 6

İkinci nokta için:

a = - 2 \cdot \sqrt{2} \Rightarrow m 2 = - 4 \cdot \sqrt{2} - 6

8) Eğimlerin çarpımı:

m 1 \cdot m 2 = (4 \cdot \sqrt{2} - 6) (- 4 \cdot \sqrt{2} - 6)

Çarpımı kısa yoldan düzenleyelim:

m 1 \cdot m 2 = - ((4 \cdot \sqrt{2}) - 6) ((4 \cdot \sqrt{2}) + 6)

m 1 \cdot m 2 = - ({4 \cdot \sqrt{2}}^{2} - 36)

m 1 \cdot m 2 = - (32 - 36) = 4

9) Sonuç: Çarpım 4 çıktığı için doğru cevap B şıkkıdır.

8. SoruÇoktan Seçmeli

$y = x^{2} - 2 m x + (m^{2} - 1)$
$y = 2 x + 3$
Yukarıdaki parabol ile doğru tek bir ortak noktaya sahiptir. $m$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

9. SoruÇoktan Seçmeli

$y = a x^{2} + b x + c$ parabolü, $y = 2 x + 3$ doğrusuna teğet ve $(0, 1)$ ile $(2, 5)$ noktalarından geçiyor.
Buna göre $a$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Parabol denklemi: y = a x 2 + b x + c Doğru denklemi: y = 2 x + 3 Parabolün ( 0, 1 ) noktasından geçtiğini kullanalım: 1 = a 0 2 + b · 0 + c c = 1 Parabolün ( 2, 5 ) noktasından geçtiğini kullanalım: 5 = a 2 2 + b · 2 + c 5 = 4 a + 2 b + 1 4 a + 2 b = 4 2 a + b = 2 b = 2 - 2 a Teğetlik koşulu için parabol ile doğruyu eşitleyelim (kesişim denklemi): a x 2 + b x + 1 = 2 x + 3 a x 2 + ( b - 2 ) x - 2 = 0 Bir doğru parabolü tek noktada kesiyorsa (teğetse), bu ikinci dereceden denklemin diskriminantı sıfır olmalıdır: ( b - 2 ) 2 - 4 · a · ( - 2 ) = 0 ( b - 2 ) 2 + 8 a = 0 b = 2 - 2 a ifadesini yerine yazalım: b - 2 = ( 2 - 2 a ) - 2 b - 2 = - 2 a ( b - 2 ) 2 + 8 a = 0 ( - 2 a ) 2 + 8 a = 0 4 a 2 + 8 a = 0 4 a ( a + 2 ) = 0 Buradan: a = 0 veya a = - 2 a = 0 olursa ikinci dereceden parabol olmaz (doğru olur). Bu yüzden: a = - 2 Sonuç: Doğru cevap A840 şıkkıdır.

Çözüm: Parabol denklemi: y = a x 2 + b x + c Doğru denklemi: y = 2 x + 3 Parabolün ( 0, 1 ) noktasından geçtiğini kullanalım: 1 = a 0 2 + b · 0 + c c = 1 Parabolün ( 2, 5 ) noktasından geçtiğini kullanalım: 5 = a 2 2 + b · 2 + c 5 = 4 a + 2 b + 1 4 a + 2 b = 4 2 a + b = 2 b = 2 - 2 a Teğetlik koşulu için parabol ile doğruyu eşitleyelim (kesişim denklemi): a x 2 + b x + 1 = 2 x + 3 a x 2 + ( b - 2 ) x - 2 = 0 Bir doğru parabolü tek noktada kesiyorsa (teğetse), bu ikinci dereceden denklemin diskriminantı sıfır olmalıdır: ( b - 2 ) 2 - 4 · a · ( - 2 ) = 0 ( b - 2 ) 2 + 8 a = 0 b = 2 - 2 a ifadesini yerine yazalım: b - 2 = ( 2 - 2 a ) - 2 b - 2 = - 2 a ( b - 2 ) 2 + 8 a = 0 ( - 2 a ) 2 + 8 a = 0 4 a 2 + 8 a = 0 4 a ( a + 2 ) = 0 Buradan: a = 0 veya a = - 2 a = 0 olursa ikinci dereceden parabol olmaz (doğru olur). Bu yüzden: a = - 2 Sonuç: Doğru cevap A840 şıkkıdır.

Parabol denklemi:

y = a x^{2} + b x + c

Doğru denklemi:

y = 2 x + 3

Parabolün $(0, 1)$ noktasından geçtiğini kullanalım:

1 = a 0^{2} + b \cdot 0 + c

c = 1

Parabolün $(2, 5)$ noktasından geçtiğini kullanalım:

5 = a 2^{2} + b \cdot 2 + c

5 = 4 a + 2 b + 1

4 a + 2 b = 4

2 a + b = 2

b = 2 - 2 a

Teğetlik koşulu için parabol ile doğruyu eşitleyelim (kesişim denklemi):

a x^{2} + b x + 1 = 2 x + 3

a x^{2} + (b - 2) x - 2 = 0

Bir doğru parabolü tek noktada kesiyorsa (teğetse), bu ikinci dereceden denklemin diskriminantı sıfır olmalıdır:

{(b - 2)}^{2} - 4 \cdot a \cdot (- 2) = 0

{(b - 2)}^{2} + 8 a = 0

$b = 2 - 2 a$ ifadesini yerine yazalım:

b - 2 = (2 - 2 a) - 2

b - 2 = - 2 a

{(b - 2)}^{2} + 8 a = 0

{(- 2 a)}^{2} + 8 a = 0

4 a^{2} + 8 a = 0

4 a (a + 2) = 0

Buradan:

a = 0 veya a = - 2

$a = 0$ olursa ikinci dereceden parabol olmaz (doğru olur). Bu yüzden:

a = - 2

Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır.

10. SoruÇoktan Seçmeli

$x$ eksenini $1$ ve $5$ noktalarında kesen ve tepe noktasının $y$ değeri $- 8$ olan parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Parabol hakkında sık sorulanlar

Parabolün kolları neye göre yön değiştirir?

y=ax²+bx+c fonksiyonunda a pozitifse parabol yukarı, a negatifse aşağı açılır.

Tepe noktası neyi gösterir?

Tepe noktası parabolün en küçük veya en büyük değerini gösterir. Bu nokta aynı zamanda simetri ekseni üzerinde yer alır.

Diskriminant parabolde ne anlama gelir?

Diskriminant parabolün x eksenini iki, bir veya hiç kesip kesmediğini gösterir.

11. Sınıf Matematik Parabol Testleri

Parabol nedir?

Tepe noktası ve simetri

Kökler ve grafik ilişkisi

11. Sınıf Matematik Parabol Testleri

Odak noktası 2,1 ve doğrultmanı y=−1 olan parabolün denklemi y=ax2+bx+c biçimindedir. Buna göre a+b+c kaçtır?

Gerçek sayılar p ve q içiny=x2+px+qparabolünün x=1 noktasındaki teğeti 0,3 noktasından geçiyor ve parabol 2,1 noktasından geçiyorsa, tepe noktasının y koordinatı kaçtır?

Açıklığı yukarı olan ve denklemi y=x2+px+q biçiminde olan parabolün odak noktası y=1 doğrusu üzerindedir. Parabol ayrıca (1,2) ve (3,2) noktalarından geçmektedir. Buna göre parabolün denklemi hangisidir?

y=x2+ax+b parabolü, (0,1) noktasından geçiyor ve y=2x doğrusuna x>0 için teğettir. Buna göre a kaçtır?

Aşağıdaki parabol için f(x)=ax2+bx+c veriliyor.Simetri ekseni x=1 olup parabol (0,2) noktasından geçmektedir.Ayrıca x=2 noktasındaki teğet doğru (3,0) noktasından geçmektedir.Buna göre parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

y=ax2+bx+c parabolü (0,2) ve (2,0) noktalarından geçiyor.Tepe noktası y=-x+1 doğrusu üzerindedir ve a>0.Buna göre a kaçtır?

Aşağıdaki parabol için, teğetleri (0,0) noktasından geçen iki farklı noktadaki teğet eğimlerinin çarpımı kaçtır?y=x2-6x+8

y=x2-2mx+(m2-1)y=2x+3Yukarıdaki parabol ile doğru tek bir ortak noktaya sahiptir. m kaçtır?

y=ax2+bx+c parabolü, y=2x+3 doğrusuna teğet ve (0,1) ile (2,5) noktalarından geçiyor.Buna göre a kaçtır?

x eksenini 1 ve 5 noktalarında kesen ve tepe noktasının y değeri -8 olan parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

Parabol hakkında sık sorulanlar

Odak noktası $(2, 1)$ ve doğrultmanı $y = - 1$ olan parabolün denklemi $y = a x^{2} + b x + c$ biçimindedir. Buna göre $a + b + c$ kaçtır?

Gerçek sayılar $p$ ve $q$ için
$y = x^{2} + p x + q$
parabolünün $x = 1$ noktasındaki teğeti $(0, 3)$ noktasından geçiyor ve parabol $(2, 1)$ noktasından geçiyorsa, tepe noktasının $y$ koordinatı kaçtır?

Açıklığı yukarı olan ve denklemi $y = x^{2} + p x + q$ biçiminde olan parabolün odak noktası $y = 1$ doğrusu üzerindedir. Parabol ayrıca $(1, 2)$ ve $(3, 2)$ noktalarından geçmektedir. Buna göre parabolün denklemi hangisidir?

$y = x^{2} + a x + b$ parabolü, $(0, 1)$ noktasından geçiyor ve $y = 2 x$ doğrusuna $x > 0$ için teğettir. Buna göre $a$ kaçtır?

Aşağıdaki parabol için $f (x) = a x^{2} + b x + c$ veriliyor.
Simetri ekseni $x = 1$ olup parabol $(0, 2)$ noktasından geçmektedir.
Ayrıca $x = 2$ noktasındaki teğet doğru $(3, 0)$ noktasından geçmektedir.
Buna göre parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

$y = a x^{2} + b x + c$ parabolü $(0, 2)$ ve $(2, 0)$ noktalarından geçiyor.
Tepe noktası $y = - x + 1$ doğrusu üzerindedir ve $a > 0$ .
Buna göre $a$ kaçtır?

Aşağıdaki parabol için, teğetleri $(0, 0)$ noktasından geçen iki farklı noktadaki teğet eğimlerinin çarpımı kaçtır?
$y = x^{2} - 6 x + 8$

$y = x^{2} - 2 m x + (m^{2} - 1)$
$y = 2 x + 3$
Yukarıdaki parabol ile doğru tek bir ortak noktaya sahiptir. $m$ kaçtır?

$y = a x^{2} + b x + c$ parabolü, $y = 2 x + 3$ doğrusuna teğet ve $(0, 1)$ ile $(2, 5)$ noktalarından geçiyor.
Buna göre $a$ kaçtır?

$x$ eksenini $1$ ve $5$ noktalarında kesen ve tepe noktasının $y$ değeri $- 8$ olan parabolün denklemi aşağıdakilerden hangisidir?