11. Sınıf Matematik Parabol Test Çöz

1. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki fonksiyonun grafiği bir paraboldür:
$f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 3$
Bu parabolün tepe noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

1) Verilen fonksiyon: f ( x ) = 2 x 2 - 8 x + 3 2) Parabolün tepe noktası için x koordinatı: x = - b 2 a 3) Burada: a = 2, b = - 8 4) Tepe noktasının x değeri: x = - ( - 8 ) 2 ⋅ 2 = 8 4 = 2 5) Tepe noktasının y değeri için x=2 yazalım: f ( 2 ) = 2 2 2 - 8 ⋅ 2 + 3 6) Hesaplayalım: f ( 2 ) = 2 ⋅ 4 - 16 + 3 = 8 - 16 + 3 = - 5 7) Tepe noktası: 2, - 5 Sonuç: Doğru cevap C377 şıkkıdır.

Çözüm: 1) Verilen fonksiyon: f ( x ) = 2 x 2 - 8 x + 3 2) Parabolün tepe noktası için x koordinatı: x = - b 2 a 3) Burada: a = 2, b = - 8 4) Tepe noktasının x değeri: x = - ( - 8 ) 2 ⋅ 2 = 8 4 = 2 5) Tepe noktasının y değeri için x=2 yazalım: f ( 2 ) = 2 2 2 - 8 ⋅ 2 + 3 6) Hesaplayalım: f ( 2 ) = 2 ⋅ 4 - 16 + 3 = 8 - 16 + 3 = - 5 7) Tepe noktası: 2, - 5 Sonuç: Doğru cevap C377 şıkkıdır.

1) Verilen fonksiyon:

f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 3

2) Parabolün tepe noktası için x koordinatı:

x = \frac{- b}{2 a}

3) Burada:

a = 2, b = - 8

4) Tepe noktasının x değeri:

x = \frac{- (- 8)}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2

5) Tepe noktasının y değeri için x=2 yazalım:

f (2) = 2 2^{2} - 8 \cdot 2 + 3

6) Hesaplayalım:

f (2) = 2 \cdot 4 - 16 + 3 = 8 - 16 + 3 = - 5

7) Tepe noktası:

(2, - 5)

Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki parabolün tepe noktasının koordinatları nedir?
$f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 3$

Lütfen önce bir cevap seç.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıda verilen parabol için $f (x) = a {(x - h)}^{2} - 1$ ve $a > 0$ olsun.
Grafik $(1, 2)$ ve $(3, 0)$ noktalarından geçmekte ve tepe noktasının apsisi $h > 3$ koşulunu sağlamaktadır.
Buna göre $h$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşulları sağlayan $f (x) = a x^{2} + b x + c$ parabolü için $f (2)$ değerini bulunuz.
$x = 1$ noktasındaki teğet doğrusu $(0, 0)$ noktasından geçmektedir.
Parabol $(0, 1)$ noktasından geçmektedir.
Tepe noktası $y = x$ doğrusu üzerindedir ve birinci bölgededir.

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Verilen parabol: f ( x ) = a x 2 + b x + c Parabolün ( 0, 1 ) noktasından geçmesi: f ( 0 ) = 1 c = 1 x = 1 noktasındaki teğet doğrusunun ( 0, 0 ) noktasından geçmesi için teğet denklemini yazalım: y = f ( 1 ) + f ′ ( 1 ) ( x - 1 ) Bu doğru ( 0, 0 ) noktasından geçtiği için x = 0 yazalım: 0 = f ( 1 ) + f ′ ( 1 ) ( 0 - 1 ) f ( 1 ) = f ′ ( 1 ) f ( 1 ) ve f ′ ( 1 ) değerlerini bulalım: f ( 1 ) = a + b + c f ′ ( x ) = 2 a x + b f ′ ( 1 ) = 2 a + b c = 1 olduğundan eşitliği yazalım: a + b + 1 = 2 a + b a = 1 Böylece parabol: f ( x ) = x 2 + b x + 1 Tepe noktasını bulalım. Tepe noktasının x koordinatı: x t = - b 2 a x t = - b 2 Tepe noktasının y koordinatı: y t = f ( - b 2 ) y t = - b 2 2 + b - b 2 + 1 y t = b 2 4 - b 2 2 + 1 y t = 1 - b 2 4 Tepe noktası y = x doğrusu üzerinde olduğundan: y t = x t 1 - b 2 4 = - b 2 Her iki tarafı 4 ile çarpalım: 4 - b 2 = - 2 b b 2 - 2 b - 4 = 0 İkinci dereceden denklemi çözelim: b = 2 ± 2 2 + 16 2 b = 2 ± 20 2 b = 2 ± 2 5 2 b = 1 ± 5 Tepe noktası birinci bölgede olduğundan x t > 0 olmalı: x t = - b 2 > 0 b < 0 Bu yüzden negatif olan kök seçilir: b = 1 - 5 Şimdi f ( 2 ) hesaplayalım: f ( 2 ) = 2 2 + b · 2 + 1 f ( 2 ) = 4 + 2 b + 1 f ( 2 ) = 5 + 2 ( 1 - 5 ) f ( 2 ) = 7 - 2 5 Bulunan değer şıklarla karşılaştırıldığında doğru cevap B1342 seçeneğidir: 7 - 2 5

Çözüm: Verilen parabol: f ( x ) = a x 2 + b x + c Parabolün ( 0, 1 ) noktasından geçmesi: f ( 0 ) = 1 c = 1 x = 1 noktasındaki teğet doğrusunun ( 0, 0 ) noktasından geçmesi için teğet denklemini yazalım: y = f ( 1 ) + f ′ ( 1 ) ( x - 1 ) Bu doğru ( 0, 0 ) noktasından geçtiği için x = 0 yazalım: 0 = f ( 1 ) + f ′ ( 1 ) ( 0 - 1 ) f ( 1 ) = f ′ ( 1 ) f ( 1 ) ve f ′ ( 1 ) değerlerini bulalım: f ( 1 ) = a + b + c f ′ ( x ) = 2 a x + b f ′ ( 1 ) = 2 a + b c = 1 olduğundan eşitliği yazalım: a + b + 1 = 2 a + b a = 1 Böylece parabol: f ( x ) = x 2 + b x + 1 Tepe noktasını bulalım. Tepe noktasının x koordinatı: x t = - b 2 a x t = - b 2 Tepe noktasının y koordinatı: y t = f ( - b 2 ) y t = - b 2 2 + b - b 2 + 1 y t = b 2 4 - b 2 2 + 1 y t = 1 - b 2 4 Tepe noktası y = x doğrusu üzerinde olduğundan: y t = x t 1 - b 2 4 = - b 2 Her iki tarafı 4 ile çarpalım: 4 - b 2 = - 2 b b 2 - 2 b - 4 = 0 İkinci dereceden denklemi çözelim: b = 2 ± 2 2 + 16 2 b = 2 ± 20 2 b = 2 ± 2 5 2 b = 1 ± 5 Tepe noktası birinci bölgede olduğundan x t > 0 olmalı: x t = - b 2 > 0 b < 0 Bu yüzden negatif olan kök seçilir: b = 1 - 5 Şimdi f ( 2 ) hesaplayalım: f ( 2 ) = 2 2 + b · 2 + 1 f ( 2 ) = 4 + 2 b + 1 f ( 2 ) = 5 + 2 ( 1 - 5 ) f ( 2 ) = 7 - 2 5 Bulunan değer şıklarla karşılaştırıldığında doğru cevap B1342 seçeneğidir: 7 - 2 5

Verilen parabol:

f (x) = a x^{2} + b x + c

Parabolün $(0, 1)$ noktasından geçmesi:

f (0) = 1

c = 1

$x = 1$ noktasındaki teğet doğrusunun $(0, 0)$ noktasından geçmesi için teğet denklemini yazalım:

y = f (1) + f^{'} (1) (x - 1)

Bu doğru $(0, 0)$ noktasından geçtiği için $x = 0$ yazalım:

0 = f (1) + f^{'} (1) (0 - 1)

f (1) = f^{'} (1)

$f (1)$ ve $f^{'} (1)$ değerlerini bulalım:

f (1) = a + b + c

f^{'} (x) = 2 a x + b

f^{'} (1) = 2 a + b

$c = 1$ olduğundan eşitliği yazalım:

a + b + 1 = 2 a + b

a = 1

Böylece parabol:

f (x) = x^{2} + b x + 1

Tepe noktasını bulalım. Tepe noktasının $x$ koordinatı:

x_{t} = \frac{- b}{2 a}

x_{t} = \frac{- b}{2}

Tepe noktasının $y$ koordinatı:

y_{t} = f (\frac{- b}{2})

y_{t} = {\frac{- b}{2}}^{2} + b \frac{- b}{2} + 1

y_{t} = \frac{b^{2}}{4} - \frac{b^{2}}{2} + 1

y_{t} = 1 - \frac{b^{2}}{4}

Tepe noktası $y = x$ doğrusu üzerinde olduğundan:

y_{t} = x_{t}

1 - \frac{b^{2}}{4} = \frac{- b}{2}

Her iki tarafı $4$ ile çarpalım:

4 - b^{2} = - 2 b

b^{2} - 2 b - 4 = 0

İkinci dereceden denklemi çözelim:

b = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} + 16}}{2}

b = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2}

b = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2}

b = 1 \pm \sqrt{5}

Tepe noktası birinci bölgede olduğundan $x_{t} > 0$ olmalı:

x_{t} = \frac{- b}{2} > 0

b < 0

Bu yüzden negatif olan kök seçilir:

b = 1 - \sqrt{5}

Şimdi $f (2)$ hesaplayalım:

f (2) = 2^{2} + b \cdot 2 + 1

f (2) = 4 + 2 b + 1

f (2) = 5 + 2 (1 - \sqrt{5})

f (2) = 7 - 2 \sqrt{5}

Bulunan değer şıklarla karşılaştırıldığında doğru cevap A seçeneğidir:

7 - 2 \sqrt{5}

5. SoruÇoktan Seçmeli

$y = x^{2} - 4 x + 1$ parabolünün tepe noktasının koordinatları nedir?

Lütfen önce bir cevap seç.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Verilen parabolün tepe noktası hangisidir?
$y = 2 {(x - 1)}^{2} - 8$

Lütfen önce bir cevap seç.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki parabolün tepe noktasının koordinatları hangisidir?
$f (x) = 2 {(x - 1)}^{2} - 8$

Lütfen önce bir cevap seç.

8. SoruÇoktan Seçmeli

$y = k x^{2} + a x + b$ parabolü, $y = 2 x + 3$ doğrusuna $(1, 5)$ noktasında teğet ve $(0, 1)$ noktasından geçiyor. Tepe noktasının ordinatı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Parabol: y = k x 2 + a x + b Doğru: y = 2 x + 3 Parabol doğruya 1, 5 noktasında teğet olduğundan bu nokta parabolün üzerindedir ve türev (eğim) eşitliği sağlanır. Ayrıca parabol 0, 1 noktasından geçiyor. 1) Nokta koşulu: 0, 1 parabol üzerinde: 1 = k 0 2 + a ⁢ 0 + b b = 1 2) 1, 5 noktası parabol üzerinde: 5 = k 1 2 + a ⁢ 1 + b 5 = k + a + 1 k + a = 4 3) Teğetlik için eğimler eşit olmalı. Parabolün türevi: d y d x = 2 k x + a Doğrunun eğimi 2 olduğundan, x = 1 için: 2 k ⁢ 1 + a = 2 2 k + a = 2 4) Sistemi çözelim: k + a = 4 2 k + a = 2 İkinci denklemin birinciden farkı: k = -2 Bunu k + a = 4 içinde kullanalım: a = 6 Sonuçta parabol: y = -2 x 2 + 6 x + 1 5) Tepe noktası ordinatı: Önce tepe noktası apsisi x T = - a 2 k = - 6 2 ⁢ -2 = 3 2 Ordinat: y T = -2 3 2 2 + 6 ⁢ 3 2 + 1 Hesap: y T = -2 ⁢ 9 4 + 6 ⁢ 3 2 + 1 y T = -9 2 + 9 + 1 y T = 11 2 Tepe noktasının ordinatı 11 2 bulunduğu için doğru cevap B941 ’dır.

Çözüm: Parabol: y = k x 2 + a x + b Doğru: y = 2 x + 3 Parabol doğruya 1, 5 noktasında teğet olduğundan bu nokta parabolün üzerindedir ve türev (eğim) eşitliği sağlanır. Ayrıca parabol 0, 1 noktasından geçiyor. 1) Nokta koşulu: 0, 1 parabol üzerinde: 1 = k 0 2 + a ⁢ 0 + b b = 1 2) 1, 5 noktası parabol üzerinde: 5 = k 1 2 + a ⁢ 1 + b 5 = k + a + 1 k + a = 4 3) Teğetlik için eğimler eşit olmalı. Parabolün türevi: d y d x = 2 k x + a Doğrunun eğimi 2 olduğundan, x = 1 için: 2 k ⁢ 1 + a = 2 2 k + a = 2 4) Sistemi çözelim: k + a = 4 2 k + a = 2 İkinci denklemin birinciden farkı: k = -2 Bunu k + a = 4 içinde kullanalım: a = 6 Sonuçta parabol: y = -2 x 2 + 6 x + 1 5) Tepe noktası ordinatı: Önce tepe noktası apsisi x T = - a 2 k = - 6 2 ⁢ -2 = 3 2 Ordinat: y T = -2 3 2 2 + 6 ⁢ 3 2 + 1 Hesap: y T = -2 ⁢ 9 4 + 6 ⁢ 3 2 + 1 y T = -9 2 + 9 + 1 y T = 11 2 Tepe noktasının ordinatı 11 2 bulunduğu için doğru cevap B941 ’dır.

Parabol:

$y = k x^{2} + a x + b$

Doğru:

$y = 2 x + 3$

Parabol doğruya $(1, 5)$ noktasında teğet olduğundan bu nokta parabolün üzerindedir ve türev (eğim) eşitliği sağlanır.

Ayrıca parabol $(0, 1)$ noktasından geçiyor.

1) Nokta koşulu: $(0, 1)$ parabol üzerinde:

$1 = k 0^{2} + a 0 + b$

$b = 1$

2) $(1, 5)$ noktası parabol üzerinde:

$5 = k 1^{2} + a 1 + b$

$5 = k + a + 1$

$k + a = 4$

3) Teğetlik için eğimler eşit olmalı. Parabolün türevi:

$\frac{d y}{d x} = 2 k x + a$

Doğrunun eğimi $2$ olduğundan, $x = 1$ için:

$2 k 1 + a = 2$

$2 k + a = 2$

4) Sistemi çözelim:

$\{\begin{matrix} k + a = 4 \\ 2 k + a = 2 \end{matrix}$

İkinci denklemin birinciden farkı:

$k = -2$

Bunu $k + a = 4$ içinde kullanalım:

$a = 6$

Sonuçta parabol:

$y = -2 x^{2} + 6 x + 1$

5) Tepe noktası ordinatı: Önce tepe noktası apsisi

$x_{T} = \frac{- a}{2 k} = \frac{- 6}{2 -2} = \frac{3}{2}$

Ordinat:

$y_{T} = -2 {(\frac{3}{2})}^{2} + 6 (\frac{3}{2}) + 1$

Hesap:

$y_{T} = -2 \frac{9}{4} + 6 \frac{3}{2} + 1$

$y_{T} = \frac{-9}{2} + 9 + 1$

$y_{T} = \frac{11}{2}$

Tepe noktasının ordinatı $\frac{11}{2}$ bulunduğu için doğru cevap A’dır.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki fonksiyonun grafiği olan parabolün tepe noktası ve simetri ekseni hangisidir?
$f (x) = 2 {(x - 1)}^{2} - 8$

Lütfen önce bir cevap seç.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki parabolün tepe noktası hangisidir?
$y = 2 x^{2} - 8 x + 3$

Lütfen önce bir cevap seç.

11. Sınıf Matematik Parabol Testleri

Parabol nedir?

Tepe noktası ve simetri

Kökler ve grafik ilişkisi

11. Sınıf Matematik Parabol Testleri

Aşağıdaki fonksiyonun grafiği bir paraboldür:
$f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 3$
Bu parabolün tepe noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

Aşağıdaki parabolün tepe noktasının koordinatları nedir?
$f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 3$

Aşağıda verilen parabol için $f (x) = a {(x - h)}^{2} - 1$ ve $a > 0$ olsun.
Grafik $(1, 2)$ ve $(3, 0)$ noktalarından geçmekte ve tepe noktasının apsisi $h > 3$ koşulunu sağlamaktadır.
Buna göre $h$ kaçtır?

Aşağıdaki koşulları sağlayan $f (x) = a x^{2} + b x + c$ parabolü için $f (2)$ değerini bulunuz.
$x = 1$ noktasındaki teğet doğrusu $(0, 0)$ noktasından geçmektedir.
Parabol $(0, 1)$ noktasından geçmektedir.
Tepe noktası $y = x$ doğrusu üzerindedir ve birinci bölgededir.

$y = x^{2} - 4 x + 1$ parabolünün tepe noktasının koordinatları nedir?

Verilen parabolün tepe noktası hangisidir?
$y = 2 {(x - 1)}^{2} - 8$

Aşağıdaki parabolün tepe noktasının koordinatları hangisidir?
$f (x) = 2 {(x - 1)}^{2} - 8$

$y = k x^{2} + a x + b$ parabolü, $y = 2 x + 3$ doğrusuna $(1, 5)$ noktasında teğet ve $(0, 1)$ noktasından geçiyor. Tepe noktasının ordinatı kaçtır?

Aşağıdaki fonksiyonun grafiği olan parabolün tepe noktası ve simetri ekseni hangisidir?
$f (x) = 2 {(x - 1)}^{2} - 8$

Aşağıdaki parabolün tepe noktası hangisidir?
$y = 2 x^{2} - 8 x + 3$

Parabol hakkında sık sorulanlar

11. Sınıf Matematik Parabol Testleri

Parabol nedir?

Tepe noktası ve simetri

Kökler ve grafik ilişkisi

11. Sınıf Matematik Parabol Testleri

Aşağıdaki fonksiyonun grafiği bir paraboldür:f(x)=2x2-8x+3Bu parabolün tepe noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

Aşağıdaki parabolün tepe noktasının koordinatları nedir?f(x)=2x2−8x+3

Aşağıda verilen parabol için f(x)=a(x-h)2-1 ve a>0 olsun.Grafik (1,2) ve (3,0) noktalarından geçmekte ve tepe noktasının apsisi h>3 koşulunu sağlamaktadır.Buna göre h kaçtır?

Aşağıdaki koşulları sağlayan f(x)=ax2+bx+c parabolü için f(2) değerini bulunuz.x=1 noktasındaki teğet doğrusu (0,0) noktasından geçmektedir.Parabol (0,1) noktasından geçmektedir.Tepe noktası y=x doğrusu üzerindedir ve birinci bölgededir.

y=x2-4x+1 parabolünün tepe noktasının koordinatları nedir?

Verilen parabolün tepe noktası hangisidir?y=2(x-1)2-8

Aşağıdaki parabolün tepe noktasının koordinatları hangisidir?f(x)=2(x-1)2-8

y=k⁢x2+a⁢x+b parabolü, y=2⁢x+3 doğrusuna 1,5 noktasında teğet ve 0,1 noktasından geçiyor. Tepe noktasının ordinatı kaçtır?

Aşağıdaki fonksiyonun grafiği olan parabolün tepe noktası ve simetri ekseni hangisidir?f(x)=2⁢x-12-8

Aşağıdaki parabolün tepe noktası hangisidir?y=2x2-8x+3

Parabol hakkında sık sorulanlar

Aşağıdaki fonksiyonun grafiği bir paraboldür:
$f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 3$
Bu parabolün tepe noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

Aşağıdaki parabolün tepe noktasının koordinatları nedir?
$f (x) = 2 x^{2} - 8 x + 3$

Aşağıda verilen parabol için $f (x) = a {(x - h)}^{2} - 1$ ve $a > 0$ olsun.
Grafik $(1, 2)$ ve $(3, 0)$ noktalarından geçmekte ve tepe noktasının apsisi $h > 3$ koşulunu sağlamaktadır.
Buna göre $h$ kaçtır?

Aşağıdaki koşulları sağlayan $f (x) = a x^{2} + b x + c$ parabolü için $f (2)$ değerini bulunuz.
$x = 1$ noktasındaki teğet doğrusu $(0, 0)$ noktasından geçmektedir.
Parabol $(0, 1)$ noktasından geçmektedir.
Tepe noktası $y = x$ doğrusu üzerindedir ve birinci bölgededir.

$y = x^{2} - 4 x + 1$ parabolünün tepe noktasının koordinatları nedir?

Verilen parabolün tepe noktası hangisidir?
$y = 2 {(x - 1)}^{2} - 8$

Aşağıdaki parabolün tepe noktasının koordinatları hangisidir?
$f (x) = 2 {(x - 1)}^{2} - 8$

$y = k x^{2} + a x + b$ parabolü, $y = 2 x + 3$ doğrusuna $(1, 5)$ noktasında teğet ve $(0, 1)$ noktasından geçiyor. Tepe noktasının ordinatı kaçtır?

Aşağıdaki fonksiyonun grafiği olan parabolün tepe noktası ve simetri ekseni hangisidir?
$f (x) = 2 {(x - 1)}^{2} - 8$

Aşağıdaki parabolün tepe noktası hangisidir?
$y = 2 x^{2} - 8 x + 3$