11. Sınıf Matematik Parabol Testleri

Doğru cevap: C

1) Verilen fonksiyon: f ( x ) = 2 x 2 - 8 x + 3 2) Parabolün tepe noktası için x koordinatı: x = - b 2 a 3) Burada: $a = 2$, b = - 8 4) Tepe noktasının x değeri: x = - ( - 8 ) 2 ⋅ $2 = 8$ $4 = 2$ 5) Tepe noktasının y değeri için $x=2$yazalım: f ( 2 ) = 2 2 2 - 8 ⋅ 2 + 3 6) Hesaplayalım: f ( 2 ) = 2 ⋅ $4 - 16 + 3 = 8$ - 16 + 3 = - 5 7) Tepe noktası: 2, - 5 Sonuç: Doğru cevap C377 şıkkıdır.

1. Çözüm: 1) Verilen fonksiyon: f ( x ) = 2 x 2 - 8 x + 3 2) Parabolün tepe noktası için x koordinatı: x = - b 2 a 3) Burada: $a = 2$, b = - 8 4) Tepe noktasının x değeri: x = - ( - 8 ) 2 ⋅ $2 = 8$ $4 = 2$ 5) Tepe noktasının y değeri için $x=2$yazalım: f ( 2 ) = 2 2 2 - 8 ⋅ 2 + 3 6) Hesaplayalım: f ( 2 ) = 2 ⋅ $4 - 16 + 3 = 8$ - 16 + 3 = - 5 7) Tepe noktası: 2, - 5 Sonuç: Doğru cevap C377 şıkkıdır.

Doğru cevap: D

Verilen parabol: f ( x ) = 2 x 2 − 8 x + 3 Tepe noktasının x koordinatı için formül: x t = − b 2 a Burada katsayılar: $a = 2$b = − 8 $c = 3$Tepe noktasının x koordinatı: x t = − ( − 8 ) 2 ⋅ $2 = 8$ $4 = 2$ Tepe noktasının y koordinatı için x t değeri fonksiyonda yerine yazılır: y $t = f$( 2 ) f ( 2 ) = 2 ⋅ 2 2 − 8 ⋅ 2 + 3 f ( 2 ) = 2 ⋅ 4 − $16 + 3 = 8$ − 16 + 3 = − 5 Dolayısıyla tepe noktası: x t, y $t = 2$, − 5 Bu nokta şıklarda seçeneğiD521dir; yani doğru cevap D541.

1. Çözüm: Verilen parabol: f ( x ) = 2 x 2 − 8 x + 3 Tepe noktasının x koordinatı için formül: x t = − b 2 a Burada katsayılar: $a = 2$b = − 8 $c = 3$Tepe noktasının x koordinatı: x t = − ( − 8 ) 2 ⋅ $2 = 8$ $4 = 2$ Tepe noktasının y koordinatı için x t değeri fonksiyonda yerine yazılır: y $t = f$( 2 ) f ( 2 ) = 2 ⋅ 2 2 − 8 ⋅ 2 + 3 f ( 2 ) = 2 ⋅ 4 − $16 + 3 = 8$ − 16 + 3 = − 5 Dolayısıyla tepe noktası: x t, y $t = 2$, − 5 Bu nokta şıklarda seçeneğiD521dir; yani doğru cevap D541.

Doğru cevap: A

Verilen parabol: f ( x ) = a ( x - h ) 2 - 1 Nokta koşullarını yazalım. Grafik (1,2) noktasından geçiyor: 2 = a ( 1 - h ) 2 - 1 a ( 1 - h ) $2 = 3$ Grafik (3,0) noktasından geçiyor: 0 = a ( 3 - h ) 2 - 1 a ( 3 - h ) $2 = 1$ Bu iki denklemi oranlayarak a ’yı yok edelim: a ( 1 - h ) 2 a ( 3 - h ) $2 = 3$ 1 ( 1 - h ) 2 ( 3 - h ) $2 = 3$ Karekök alalım. Ayrıca h > 3 olduğundan h − 1 > 0 ve h − 3 > 0 olur: | 1 - h | | 3 - h | = 3 h - 1 h - $3 = 3$ Çarpraz çarpım yapıp h ’yi bulalım: h - $1 = 3$ ( h - 3 ) h - $1 = 3$ h - 3 3 h ( 1 - 3 ) = 1 - 3 3 $h = 4 + 3$Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

1. Çözüm: Verilen parabol: f ( x ) = a ( x - h ) 2 - 1 Nokta koşullarını yazalım. Grafik (1,2) noktasından geçiyor: 2 = a ( 1 - h ) 2 - 1 a ( 1 - h ) $2 = 3$ Grafik (3,0) noktasından geçiyor: 0 = a ( 3 - h ) 2 - 1 a ( 3 - h ) $2 = 1$ Bu iki denklemi oranlayarak a ’yı yok edelim: a ( 1 - h ) 2 a ( 3 - h ) $2 = 3$ 1 ( 1 - h ) 2 ( 3 - h ) $2 = 3$ Karekök alalım. Ayrıca h > 3 olduğundan h − 1 > 0 ve h − 3 > 0 olur: | 1 - h | | 3 - h | = 3 h - 1 h - $3 = 3$ Çarpraz çarpım yapıp h ’yi bulalım: h - $1 = 3$ ( h - 3 ) h - $1 = 3$ h - 3 3 h ( 1 - 3 ) = 1 - 3 3 $h = 4 + 3$Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

Doğru cevap: B

Verilen parabol: f ( x ) = a x 2 + b x + c Parabolün ( 0, 1 ) noktasından geçmesi: f ( 0 ) = 1 $c = 1$$x = 1$noktasındaki teğet doğrusunun ( 0, 0 ) noktasından geçmesi için teğet denklemini yazalım: $y = f$( 1 ) + f ′ ( 1 ) ( x - 1 ) Bu doğru ( 0, 0 ) noktasından geçtiği için $x = 0$yazalım: 0 = f ( 1 ) + f ′ ( 1 ) ( 0 - 1 ) f ( 1 ) = f ′ ( 1 ) f ( 1 ) ve f ′ ( 1 ) değerlerini bulalım: f ( 1 ) = a + b + c f ′ ( x ) = 2 a x + b f ′ ( 1 ) = 2 a + b $c = 1$olduğundan eşitliği yazalım: a + b + $1 = 2$ a + b $a = 1$Böylece parabol: f ( x ) = x 2 + b x + 1 Tepe noktasını bulalım. Tepe noktasının x koordinatı: x t = - b 2 a x t = - b 2 Tepe noktasının y koordinatı: y $t = f$( - b 2 ) y t = - b 2 2 + b - b 2 + 1 y $t = b$2 4 - b 2 2 + 1 y $t = 1 - b$2 4 Tepe noktası $y = x$doğrusu üzerinde olduğundan: y $t = x$t 1 - b 2 4 = - b 2 Her iki tarafı 4 ile çarpalım: 4 - b 2 = - 2 b b 2 - 2 b - $4 = 0$ İkinci dereceden denklemi çözelim: $b = 2$± 2 2 + 16 2 $b = 2$± 20 2 $b = 2$± 2 5 2 $b = 1$± 5 Tepe noktası birinci bölgede olduğundan x t > 0 olmalı: x t = - b 2 > 0 b < 0 Bu yüzden negatif olan kök seçilir: $b = 1 - 5$Şimdi f ( 2 ) hesaplayalım: f ( 2 ) = 2 2 + b · 2 + 1 f ( 2 ) = 4 + 2 b + 1 f ( 2 ) = 5 + 2 ( 1 - 5 ) f ( 2 ) = 7 - 2 5 Bulunan değer şıklarla karşılaştırıldığında doğru cevap B1342 seçeneğidir: 7 - 2 5

1. Çözüm: Verilen parabol: f ( x ) = a x 2 + b x + c Parabolün ( 0, 1 ) noktasından geçmesi: f ( 0 ) = 1 $c = 1$$x = 1$noktasındaki teğet doğrusunun ( 0, 0 ) noktasından geçmesi için teğet denklemini yazalım: $y = f$( 1 ) + f ′ ( 1 ) ( x - 1 ) Bu doğru ( 0, 0 ) noktasından geçtiği için $x = 0$yazalım: 0 = f ( 1 ) + f ′ ( 1 ) ( 0 - 1 ) f ( 1 ) = f ′ ( 1 ) f ( 1 ) ve f ′ ( 1 ) değerlerini bulalım: f ( 1 ) = a + b + c f ′ ( x ) = 2 a x + b f ′ ( 1 ) = 2 a + b $c = 1$olduğundan eşitliği yazalım: a + b + $1 = 2$ a + b $a = 1$Böylece parabol: f ( x ) = x 2 + b x + 1 Tepe noktasını bulalım. Tepe noktasının x koordinatı: x t = - b 2 a x t = - b 2 Tepe noktasının y koordinatı: y $t = f$( - b 2 ) y t = - b 2 2 + b - b 2 + 1 y $t = b$2 4 - b 2 2 + 1 y $t = 1 - b$2 4 Tepe noktası $y = x$doğrusu üzerinde olduğundan: y $t = x$t 1 - b 2 4 = - b 2 Her iki tarafı 4 ile çarpalım: 4 - b 2 = - 2 b b 2 - 2 b - $4 = 0$ İkinci dereceden denklemi çözelim: $b = 2$± 2 2 + 16 2 $b = 2$± 20 2 $b = 2$± 2 5 2 $b = 1$± 5 Tepe noktası birinci bölgede olduğundan x t > 0 olmalı: x t = - b 2 > 0 b < 0 Bu yüzden negatif olan kök seçilir: $b = 1 - 5$Şimdi f ( 2 ) hesaplayalım: f ( 2 ) = 2 2 + b · 2 + 1 f ( 2 ) = 4 + 2 b + 1 f ( 2 ) = 5 + 2 ( 1 - 5 ) f ( 2 ) = 7 - 2 5 Bulunan değer şıklarla karşılaştırıldığında doğru cevap B1342 seçeneğidir: 7 - 2 5

Doğru cevap: C

Verilen parabol: $y = x$2 - 4 x + 1 Tepe noktasının x koordinatı için (genel olarak) formül: x t = - b 2 a Burada katsayılar: $a = 1$, b = - 4 Yerine yazalım: x t = - ( - 4 ) 2 · $1 = 2$ Tepe noktasının y koordinatı için $x = x$t değeri fonksiyonda yerine yazılır: y t = ( 2 ) 2 - 4 · 2 + 1 = - 3 Tepe noktası: x t, y $t = 2$, - 3 Dolayısıyla doğru seçenek C335 ’dir.

1. Çözüm: Verilen parabol: $y = x$2 - 4 x + 1 Tepe noktasının x koordinatı için (genel olarak) formül: x t = - b 2 a Burada katsayılar: $a = 1$, b = - 4 Yerine yazalım: x t = - ( - 4 ) 2 · $1 = 2$ Tepe noktasının y koordinatı için $x = x$t değeri fonksiyonda yerine yazılır: y t = ( 2 ) 2 - 4 · 2 + 1 = - 3 Tepe noktası: x t, y $t = 2$, - 3 Dolayısıyla doğru seçenek C335 ’dir.

Doğru cevap: D

1) Doğru seçenek kontrolü Verilen parabol, tepe noktası formunda yazılmıştır. Bu nedenle tepe noktasını doğrudan okuyabiliriz. $y = 2$( x - 1 ) 2 - 8 2) Tepe noktası formunu hatırlayalım Parabolün tepe noktası formu: $y = a$( x - h ) 2 + k 3) Karşılaştırma yapalım Verilen denklemde: $a = 2$, $h = 1$, k = - 8 4) Tepe noktasını yazalım Tepe noktası: h, $k = 1$, - 8 5) Sonuç Tepe noktası şıkkıD380dır. 1, - 8

1. Çözüm: 1) Doğru seçenek kontrolü Verilen parabol, tepe noktası formunda yazılmıştır. Bu nedenle tepe noktasını doğrudan okuyabiliriz. $y = 2$( x - 1 ) 2 - 8 2) Tepe noktası formunu hatırlayalım Parabolün tepe noktası formu: $y = a$( x - h ) 2 + k 3) Karşılaştırma yapalım Verilen denklemde: $a = 2$, $h = 1$, k = - 8 4) Tepe noktasını yazalım Tepe noktası: h, $k = 1$, - 8 5) Sonuç Tepe noktası şıkkıD380dır. 1, - 8

Doğru cevap: A

Verilen fonksiyon tepe noktası (tepe formu) üzerinden yazılmıştır. f ( x ) = 2 ( x - 1 ) 2 - 8 Tepe formu şu şekildedir: f ( x ) = a ( x - h ) 2 + k Bu formda tepe noktasının koordinatları doğrudan belirlenir: ( h, k ) Verilen fonksiyonda karşılaştırma yaparsak: $h = 1$k = - 8 O hâlde tepe noktası: ( 1, - 8 ) Şıklardan bu koordinatlara uyan seçenek A ’dir. Dolayısıyla doğru cevap A370 olarak doğrulanır.

1. Çözüm: Verilen fonksiyon tepe noktası (tepe formu) üzerinden yazılmıştır. f ( x ) = 2 ( x - 1 ) 2 - 8 Tepe formu şu şekildedir: f ( x ) = a ( x - h ) 2 + k Bu formda tepe noktasının koordinatları doğrudan belirlenir: ( h, k ) Verilen fonksiyonda karşılaştırma yaparsak: $h = 1$k = - 8 O hâlde tepe noktası: ( 1, - 8 ) Şıklardan bu koordinatlara uyan seçenek A ’dir. Dolayısıyla doğru cevap A370 olarak doğrulanır.

Doğru cevap: B

Parabol: y = k x 2 + a x + b Doğru: y = 2 x + 3 Parabol doğruya 1, 5 noktasında teğet olduğundan bu nokta parabolün üzerindedir ve türev (eğim) eşitliği sağlanır. Ayrıca parabol 0, 1 noktasından geçiyor. 1) Nokta koşulu: 0, 1 parabol üzerinde: 1 = k 0 2 + a ⁢ 0 + b b = 1 2) 1, 5 noktası parabol üzerinde: 5 = k 1 2 + a ⁢ 1 + b 5 = k + a + 1 k + a = 4 3) Teğetlik için eğimler eşit olmalı. Parabolün türevi: d y d x = 2 k x + a Doğrunun eğimi 2 olduğundan, x = 1 için: 2 k ⁢ 1 + a = 2 2 k + a = 2 4) Sistemi çözelim: k + a = 4 2 k + a = 2 İkinci denklemin birinciden farkı: k = -2 Bunu k + a = 4 içinde kullanalım: a = 6 Sonuçta parabol: y = -2 x 2 + 6 x + 1 5) Tepe noktası ordinatı: Önce tepe noktası apsisi x T = - a 2 k = - 6 2 ⁢ -2 = 3 2 Ordinat: y T = -2 3 2 2 + 6 ⁢ 3 2 + 1 Hesap: y T = -2 ⁢ 9 4 + 6 ⁢ 3 2 + 1 y T = -9 2 + 9 + 1 y T = 11 2 Tepe noktasının ordinatı 11 2 bulunduğu için doğru cevap B941 ’dır.

1. Çözüm: Parabol: y = k x 2 + a x + b Doğru: y = 2 x + 3 Parabol doğruya 1, 5 noktasında teğet olduğundan bu nokta parabolün üzerindedir ve türev (eğim) eşitliği sağlanır. Ayrıca parabol 0, 1 noktasından geçiyor. 1) Nokta koşulu: 0, 1 parabol üzerinde: 1 = k 0 2 + a ⁢ 0 + b b = 1 2) 1, 5 noktası parabol üzerinde: 5 = k 1 2 + a ⁢ 1 + b 5 = k + a + 1 k + a = 4 3) Teğetlik için eğimler eşit olmalı. Parabolün türevi: d y d x = 2 k x + a Doğrunun eğimi 2 olduğundan, x = 1 için: 2 k ⁢ 1 + a = 2 2 k + a = 2 4) Sistemi çözelim: k + a = 4 2 k + a = 2 İkinci denklemin birinciden farkı: k = -2 Bunu k + a = 4 içinde kullanalım: a = 6 Sonuçta parabol: y = -2 x 2 + 6 x + 1 5) Tepe noktası ordinatı: Önce tepe noktası apsisi x T = - a 2 k = - 6 2 ⁢ -2 = 3 2 Ordinat: y T = -2 3 2 2 + 6 ⁢ 3 2 + 1 Hesap: y T = -2 ⁢ 9 4 + 6 ⁢ 3 2 + 1 y T = -9 2 + 9 + 1 y T = 11 2 Tepe noktasının ordinatı 11 2 bulunduğu için doğru cevap B941 ’dır.

Doğru cevap: C

Verilen fonksiyon: f ( x ) = 2 ⁢ x - 1 2 - 8 Bu ifade parabolün tepe noktası formundadır: f ( x ) = a ⁢ x - h 2 + k Karşılaştırma yapalım: $a = 2$, $h = 1$, k = - 8 Tepe noktası: $T = h$, $k = 1$, - 8 Simetri ekseni: $x = h$= 1 Bu sonuç, şıklardan aşağıdakiyle aynıdır (doğru cevap C275): $T = 1$, - 8; $x = 1$

1. Çözüm: Verilen fonksiyon: f ( x ) = 2 ⁢ x - 1 2 - 8 Bu ifade parabolün tepe noktası formundadır: f ( x ) = a ⁢ x - h 2 + k Karşılaştırma yapalım: $a = 2$, $h = 1$, k = - 8 Tepe noktası: $T = h$, $k = 1$, - 8 Simetri ekseni: $x = h$= 1 Bu sonuç, şıklardan aşağıdakiyle aynıdır (doğru cevap C275): $T = 1$, - 8; $x = 1$

Doğru cevap: D

Verilen parabol: $y = 2$x 2 - 8 x + 3 Parabolde tepe noktasının x koordinatı formülle bulunur: x t = - b 2 a Burada katsayılar: $a = 2$, b = - 8, $c = 3$Tepe noktasının x koordinatını hesaplayalım: x t = - ( - 8 ) 2 ⋅ $2 = 8$ $4 = 2$ Şimdi $x=2$için y değerini bulalım: y $t = 2$2 2 - 8 ⋅ 2 + 3 Hesaplayalım: y $t = 2$⋅ $4 - 16 + 3 = 8$ - 16 + 3 = - 5 Tepe noktası: ( x t, y t ) = ( 2, - 5 ) Şıklara göre bu sonuç şıkkıD422dır. Dolayısıyla “doğru cevap D447 mı?” kontrolü: Evet, doğru cevap D482’dır.

1. Çözüm: Verilen parabol: $y = 2$x 2 - 8 x + 3 Parabolde tepe noktasının x koordinatı formülle bulunur: x t = - b 2 a Burada katsayılar: $a = 2$, b = - 8, $c = 3$Tepe noktasının x koordinatını hesaplayalım: x t = - ( - 8 ) 2 ⋅ $2 = 8$ $4 = 2$ Şimdi $x=2$için y değerini bulalım: y $t = 2$2 2 - 8 ⋅ 2 + 3 Hesaplayalım: y $t = 2$⋅ $4 - 16 + 3 = 8$ - 16 + 3 = - 5 Tepe noktası: ( x t, y t ) = ( 2, - 5 ) Şıklara göre bu sonuç şıkkıD422dır. Dolayısıyla “doğru cevap D447 mı?” kontrolü: Evet, doğru cevap D482’dır.