11. Sınıf Matematik Logaritma Testleri

Doğru cevap: A

Verilen denklem ve koşul: log 2 ( x ) + log x ( 2 ) = 5 x > 4 Değişken dönüşümü yapalım: a = log 2 ( x ) Logaritmanın terslik özelliğinden: log x ( 2 ) = 1 log 2 ( x ) = 1 a Denklem şu hale gelir: a + 1 a = 5 Paydadan kurtulmak için ( a ≠ 0 ) her iki tarafı a ile çarpalım: a 2 + 1 = 5 a İkinci dereceden denklem: a 2 - 5 a + 1 = 0 Kökleri bulalım: a = 5 ± 5 2 - 4 · 1 · 1 2 a = 5 ± 21 2 Koşulu x > 4 kullanarak doğru kökü seçelim. x > 4 ise log 2 ( x ) > log 2 ( 4 ) = 2 yani a > 2 olmalıdır. Bu yüzden: a = 5 + 21 2 Şimdi a = log 2 ( x ) olduğuna göre: log 2 ( x ) = 5 + 21 2 x = 2 5 + 21 2 Sonuç: Doğru seçenek A çünkü bulunan değer: x = 2 5 + 21 2

1. Çözüm: Verilen denklem ve koşul: log 2 ( x ) + log x ( 2 ) = 5 x > 4 Değişken dönüşümü yapalım: a = log 2 ( x ) Logaritmanın terslik özelliğinden: log x ( 2 ) = 1 log 2 ( x ) = 1 a Denklem şu hale gelir: a + 1 a = 5 Paydadan kurtulmak için ( a ≠ 0 ) her iki tarafı a ile çarpalım: a 2 + 1 = 5 a İkinci dereceden denklem: a 2 - 5 a + 1 = 0 Kökleri bulalım: a = 5 ± 5 2 - 4 · 1 · 1 2 a = 5 ± 21 2 Koşulu x > 4 kullanarak doğru kökü seçelim. x > 4 ise log 2 ( x ) > log 2 ( 4 ) = 2 yani a > 2 olmalıdır. Bu yüzden: a = 5 + 21 2 Şimdi a = log 2 ( x ) olduğuna göre: log 2 ( x ) = 5 + 21 2 x = 2 5 + 21 2 Sonuç: Doğru seçenek A çünkü bulunan değer: x = 2 5 + 21 2

Doğru cevap: B

Önce tanım kümesini kontrol edelim. Logaritmanın içi pozitif olmalıdır: x - 1 > 0   ∧   x + 3 > 0 x > 1 Logaritma toplama kuralını kullanıp tek logaritmaya indirgeriz: log 2 x - 1 + log 2 x + 3 = 3 log 2 x - 1 ⋅ x + 3 = 3 Logaritmanın tanımına göre eşitliği üstel forma çeviririz: x - 1 ⋅ x + 3 = 2 3 x - 1 ⋅ x + 3 = 8 Çarpımı açıp ikinci derece denklem elde ederiz: x - 1 x + 3 = 8 x 2 + 2 x - 3 = 8 x 2 + 2 x - 11 = 0 Kökleri bulalım: x = - 2 ± 2 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ - 11 2 ⋅ 1 x = - 2 ± 48 2 x = - 2 ± 4 3 2 x = - 1 ± 2 3 Tanım koşuluna göre uygun olan kökü seçelim: x > 1 - 1 - 2 3 < 1 - 1 + 2 3 > 1 Bu nedenle çözüm: x = - 1 + 2 3 Bu değer şıklardan B ile aynıdır; yani doğru cevap B.

1. Çözüm: Önce tanım kümesini kontrol edelim. Logaritmanın içi pozitif olmalıdır: x - 1 > 0   ∧   x + 3 > 0 x > 1 Logaritma toplama kuralını kullanıp tek logaritmaya indirgeriz: log 2 x - 1 + log 2 x + 3 = 3 log 2 x - 1 ⋅ x + 3 = 3 Logaritmanın tanımına göre eşitliği üstel forma çeviririz: x - 1 ⋅ x + 3 = 2 3 x - 1 ⋅ x + 3 = 8 Çarpımı açıp ikinci derece denklem elde ederiz: x - 1 x + 3 = 8 x 2 + 2 x - 3 = 8 x 2 + 2 x - 11 = 0 Kökleri bulalım: x = - 2 ± 2 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ - 11 2 ⋅ 1 x = - 2 ± 48 2 x = - 2 ± 4 3 2 x = - 1 ± 2 3 Tanım koşuluna göre uygun olan kökü seçelim: x > 1 - 1 - 2 3 < 1 - 1 + 2 3 > 1 Bu nedenle çözüm: x = - 1 + 2 3 Bu değer şıklardan B ile aynıdır; yani doğru cevap B.

Doğru cevap: C

Verilen koşul: x > 1 Verilen denklem: log x ⁡ 8 = log 2 ⁡ x + 1 Taban değiştirme için yeni değişken tanımlayalım: a = log 2 ⁡ x Buradan: x = 2 a Sol tarafı taban değiştirme ile yazalım: log 2 a ⁡ 8 = log 2 ⁡ 8 log 2 ⁡ 2 a Üstteki ifadeyi sadeleştirelim: log 2 ⁡ 8 log 2 ⁡ 2 a = 3 a Denklem şimdi şu hale gelir: 3 a = a + 1 Paydadan kurtulmak için her iki tarafı çarpalım: 3 = a 2 + a Düzenleyelim: a 2 + a - 3 = 0 Kökleri bulalım: a = - 1 ± 13 2 Koşul gereği: x > 1 ⟹ log 2 ⁡ x > 0 ⟹ a > 0 Bu nedenle pozitif kökü seçeriz: a = - 1 + 13 2 Son olarak: x = 2 a = 2 - 1 + 13 2 Bu ifade şıklardan A ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap C785 ’dır.

1. Çözüm: Verilen koşul: x > 1 Verilen denklem: log x ⁡ 8 = log 2 ⁡ x + 1 Taban değiştirme için yeni değişken tanımlayalım: a = log 2 ⁡ x Buradan: x = 2 a Sol tarafı taban değiştirme ile yazalım: log 2 a ⁡ 8 = log 2 ⁡ 8 log 2 ⁡ 2 a Üstteki ifadeyi sadeleştirelim: log 2 ⁡ 8 log 2 ⁡ 2 a = 3 a Denklem şimdi şu hale gelir: 3 a = a + 1 Paydadan kurtulmak için her iki tarafı çarpalım: 3 = a 2 + a Düzenleyelim: a 2 + a - 3 = 0 Kökleri bulalım: a = - 1 ± 13 2 Koşul gereği: x > 1 ⟹ log 2 ⁡ x > 0 ⟹ a > 0 Bu nedenle pozitif kökü seçeriz: a = - 1 + 13 2 Son olarak: x = 2 a = 2 - 1 + 13 2 Bu ifade şıklardan A ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap C785 ’dır.

Doğru cevap: D

İfade: log 2 ( 1 8 ) + log 2 ( 32 ) Önce sayıları 2 tabanında yazalım: 1 8 = 1 2 3 = 2 - 3 Buradan ilk logaritma: log 2 ( 2 - 3 ) = - 3 İkinci sayı için: 32 = 2 5 Buradan ikinci logaritma: log 2 ( 2 5 ) = 5 Şimdi toplayalım: - 3 + 5 = 2 Sonuç 2 olduğu için doğru seçenek D257 ’dır.

1. Çözüm: İfade: log 2 ( 1 8 ) + log 2 ( 32 ) Önce sayıları 2 tabanında yazalım: 1 8 = 1 2 3 = 2 - 3 Buradan ilk logaritma: log 2 ( 2 - 3 ) = - 3 İkinci sayı için: 32 = 2 5 Buradan ikinci logaritma: log 2 ( 2 5 ) = 5 Şimdi toplayalım: - 3 + 5 = 2 Sonuç 2 olduğu için doğru seçenek D257 ’dır.

Doğru cevap: A

1) Önce logaritmaların tanım koşullarını yazalım: x - 1 > 0 x + 1 > 0 Bu iki koşul birlikte: x > 1 2) Verilen denklemi tek logaritma hâline getirelim: log 2 ( x - 1 ) + log 2 ( x + 1 ) = 3 Toplama kuralı: log 2 ( x - 1 ) + log 2 ( x + 1 ) = log 2 ( ( x - 1 ) ( x + 1 ) ) Buna göre denklem: log 2 ( ( x - 1 ) ( x + 1 ) ) = 3 3) Logaritmanın tanımına göre üsse çevirelim: ( x - 1 ) ( x + 1 ) = 2 3 4) Sağ tarafı ve sol tarafı sadeleştirelim: x + 1 = x + 1 ( x - 1 ) ( x + 1 ) = x 2 - 1 2 3 = 8 Dolayısıyla: x 2 - 1 = 8 5) Çözelim: x 2 = 9 x = 3   veya   x = - 3 6) Tanım koşulu kontrolü: x > 1 Bu koşulu sağlayan kök: x = 3 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

1. Çözüm: 1) Önce logaritmaların tanım koşullarını yazalım: x - 1 > 0 x + 1 > 0 Bu iki koşul birlikte: x > 1 2) Verilen denklemi tek logaritma hâline getirelim: log 2 ( x - 1 ) + log 2 ( x + 1 ) = 3 Toplama kuralı: log 2 ( x - 1 ) + log 2 ( x + 1 ) = log 2 ( ( x - 1 ) ( x + 1 ) ) Buna göre denklem: log 2 ( ( x - 1 ) ( x + 1 ) ) = 3 3) Logaritmanın tanımına göre üsse çevirelim: ( x - 1 ) ( x + 1 ) = 2 3 4) Sağ tarafı ve sol tarafı sadeleştirelim: x + 1 = x + 1 ( x - 1 ) ( x + 1 ) = x 2 - 1 2 3 = 8 Dolayısıyla: x 2 - 1 = 8 5) Çözelim: x 2 = 9 x = 3   veya   x = - 3 6) Tanım koşulu kontrolü: x > 1 Bu koşulu sağlayan kök: x = 3 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

Doğru cevap: B

Verilen denklem ve koşul: 1 < x < 8 log x 16 + log 4 x = 3 Dönüşüm yapalım. Aşağıdaki tanımı alalım: a = log 4 x Buradan x 'i 4 tabanında yazabiliriz: x = 4 a Şimdi log x 16 ifadesini 4 tabanına göre yazalım: log x 16 = log 4 16 log 4 x Pay ve paydayı sadeleştirelim: log 4 16 = 2 log 4 x = a log x 16 = 2 a Denklemde yerine yazalım: 2 a + a = 3 Her iki tarafı a ile çarpalım (burada a\neq 0, çünkü log 4 x=0 olsaydı x=1 olurdu, bu da koşula uymaz): 2 + a 2 = 3 a Düzenleyelim: a 2 - 3 a + 2 = 0 Çarpanlara ayıralım: ( a - 1 ) ( a - 2 ) = 0 Buradan: a = 1   veya   a = 2 Şimdi x=4^a olduğundan olası x değerleri: a = 1   ⇒   x = 4 1 = 4 a = 2   ⇒   x = 4 2 = 16 Koşul kontrolü: 1 < x < 8 Bu aralığa yalnızca x=4 uyar, x=16 elenir. Sonuç ve şık kontrolü (B): x = 4 Doğru cevap B 'dir.

1. Çözüm: Verilen denklem ve koşul: 1 < x < 8 log x 16 + log 4 x = 3 Dönüşüm yapalım. Aşağıdaki tanımı alalım: a = log 4 x Buradan x 'i 4 tabanında yazabiliriz: x = 4 a Şimdi log x 16 ifadesini 4 tabanına göre yazalım: log x 16 = log 4 16 log 4 x Pay ve paydayı sadeleştirelim: log 4 16 = 2 log 4 x = a log x 16 = 2 a Denklemde yerine yazalım: 2 a + a = 3 Her iki tarafı a ile çarpalım (burada a\neq 0, çünkü log 4 x=0 olsaydı x=1 olurdu, bu da koşula uymaz): 2 + a 2 = 3 a Düzenleyelim: a 2 - 3 a + 2 = 0 Çarpanlara ayıralım: ( a - 1 ) ( a - 2 ) = 0 Buradan: a = 1   veya   a = 2 Şimdi x=4^a olduğundan olası x değerleri: a = 1   ⇒   x = 4 1 = 4 a = 2   ⇒   x = 4 2 = 16 Koşul kontrolü: 1 < x < 8 Bu aralığa yalnızca x=4 uyar, x=16 elenir. Sonuç ve şık kontrolü (B): x = 4 Doğru cevap B 'dir.

Doğru cevap: C

Önce tanım koşulu: logaritmanın içi pozitif olmalı. x - 1 > 0 x + 3 > 0 Buradan x > 1 Logaritma toplamını tek logaritmaya çeviririz: log 2 ( x - 1 ) + log 2 ( x + 3 ) = log 2 ( ( x - 1 ) ( x + 3 ) ) Denklem: log 2 ( ( x - 1 ) ( x + 3 ) ) = 3 Logaritmanın tanımına göre: ( x - 1 ) ( x + 3 ) = 2 3 ( x - 1 ) ( x + 3 ) = 8 Çarpımı açalım ve sıfıra eşitleyelim: ( x - 1 ) ( x + 3 ) = 8 x ( x + 3 ) - 1 ( x + 3 ) = 8 x 2 + 3 x - x - 3 = 8 x 2 + 2 x - 11 = 0 İkinci dereceden denklemi çözelim: x = - 2 ± 2 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ ( - 11 ) 2 x = - 2 ± 4 + 44 2 x = - 2 ± 48 2 x = - 2 ± 4 3 2 x = - 1 ± 2 3 Tanım koşulu x > 1 olduğu için x = - 1 + 2 3 seçilir; diğer kök tanım koşulunu sağlamaz. Sonuç: Doğru cevap C732 şıkkıdır. - 1 + 2 3

1. Çözüm: Önce tanım koşulu: logaritmanın içi pozitif olmalı. x - 1 > 0 x + 3 > 0 Buradan x > 1 Logaritma toplamını tek logaritmaya çeviririz: log 2 ( x - 1 ) + log 2 ( x + 3 ) = log 2 ( ( x - 1 ) ( x + 3 ) ) Denklem: log 2 ( ( x - 1 ) ( x + 3 ) ) = 3 Logaritmanın tanımına göre: ( x - 1 ) ( x + 3 ) = 2 3 ( x - 1 ) ( x + 3 ) = 8 Çarpımı açalım ve sıfıra eşitleyelim: ( x - 1 ) ( x + 3 ) = 8 x ( x + 3 ) - 1 ( x + 3 ) = 8 x 2 + 3 x - x - 3 = 8 x 2 + 2 x - 11 = 0 İkinci dereceden denklemi çözelim: x = - 2 ± 2 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ ( - 11 ) 2 x = - 2 ± 4 + 44 2 x = - 2 ± 48 2 x = - 2 ± 4 3 2 x = - 1 ± 2 3 Tanım koşulu x > 1 olduğu için x = - 1 + 2 3 seçilir; diğer kök tanım koşulunu sağlamaz. Sonuç: Doğru cevap C732 şıkkıdır. - 1 + 2 3

Doğru cevap: D

Verilen denklem: log 2 ( x ) + log x ( 2 ) = 5 2 Koşul: x > 2 Değişken dönüşümü yapalım: a = log 2 ( x ) Taban değiştirme (karşılıklılık) özelliğini kullanalım: log x ( 2 ) = 1 log 2 ( x ) = 1 a Denklemi a cinsinden yazalım: a + 1 a = 5 2 Paydadan kurtulmak için her iki tarafı 2 a ile çarpalım: 2 a ( a + 1 a ) = 2 a · 5 2 2 a 2 + 2 = 5 a Denklemi standart forma getirelim: 2 a 2 - 5 a + 2 = 0 Çarpanlara ayıralım: 2 a 2 - 5 a + 2 = ( 2 a - 1 ) ( a - 2 ) Buradan: a = 1 2   veya   a = 2 a = log 2 ( x ) olduğuna göre x değerlerini bulalım: log 2 ( x ) = 1 2 ⇒ x = 2 1 2 = 2 log 2 ( x ) = 2 ⇒ x = 2 2 = 4 Koşulu uygulayalım: x > 2 Bu koşulu sağlayan çözüm: x = 4 Sonuç: Doğru cevap D694 seçeneğidir. C: 4

1. Çözüm: Verilen denklem: log 2 ( x ) + log x ( 2 ) = 5 2 Koşul: x > 2 Değişken dönüşümü yapalım: a = log 2 ( x ) Taban değiştirme (karşılıklılık) özelliğini kullanalım: log x ( 2 ) = 1 log 2 ( x ) = 1 a Denklemi a cinsinden yazalım: a + 1 a = 5 2 Paydadan kurtulmak için her iki tarafı 2 a ile çarpalım: 2 a ( a + 1 a ) = 2 a · 5 2 2 a 2 + 2 = 5 a Denklemi standart forma getirelim: 2 a 2 - 5 a + 2 = 0 Çarpanlara ayıralım: 2 a 2 - 5 a + 2 = ( 2 a - 1 ) ( a - 2 ) Buradan: a = 1 2   veya   a = 2 a = log 2 ( x ) olduğuna göre x değerlerini bulalım: log 2 ( x ) = 1 2 ⇒ x = 2 1 2 = 2 log 2 ( x ) = 2 ⇒ x = 2 2 = 4 Koşulu uygulayalım: x > 2 Bu koşulu sağlayan çözüm: x = 4 Sonuç: Doğru cevap D694 seçeneğidir. C: 4

Doğru cevap: A

Şıklarda A seçeneği 3 olduğuna göre, denklemi çözüp sonucu kontrol edelim. Verilen denklem: log 2 x − 1 + log 2 x + 1 = 3 Önce tanım kümesi (logaritmanın içi pozitif olmalı): x − 1 > 0 ∧ x + 1 > 0 Buradan: x > 1 Logaritma toplama kuralını uygulayalım: log 2 x − 1 ⋅ x + 1 = 3 Çarpımı açalım: log 2 x 2 − 1 = 3 Logaritmanın tanımına göre üstel forma geçelim: 2 3 = x 2 − 1 Düzenleyelim: 8 = x 2 − 1 x 2 = 9 Kök alalım: x = 3 ∨ x = − 3 Tanım koşulu x > 1 olduğundan negatif kök elenir: x = 3 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

1. Çözüm: Şıklarda A seçeneği 3 olduğuna göre, denklemi çözüp sonucu kontrol edelim. Verilen denklem: log 2 x − 1 + log 2 x + 1 = 3 Önce tanım kümesi (logaritmanın içi pozitif olmalı): x − 1 > 0 ∧ x + 1 > 0 Buradan: x > 1 Logaritma toplama kuralını uygulayalım: log 2 x − 1 ⋅ x + 1 = 3 Çarpımı açalım: log 2 x 2 − 1 = 3 Logaritmanın tanımına göre üstel forma geçelim: 2 3 = x 2 − 1 Düzenleyelim: 8 = x 2 − 1 x 2 = 9 Kök alalım: x = 3 ∨ x = − 3 Tanım koşulu x > 1 olduğundan negatif kök elenir: x = 3 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

Doğru cevap: B

Soru: Aşağıdaki denklem sağlandığında gerçek çözümlerin çarpımı kaçtır? log 2 ( x ) + log x ( 4 ) = 3 Tanım gereği logaritmaların tanımlı olması için: x > 0, x ≠ 1 Dönüşüm yapalım. Aşağıdaki değişkeni tanımlayalım: a = log 2 ( x ) Taban değiştirme ile ikinci terimi a cinsinden yazalım: log x ( 4 ) = log 2 ( 4 ) log 2 ( x ) = 2 a Denkleme yerleştirelim: a + 2 a = 3 Her tarafı a ile çarpıp ikinci dereceden denkleme geçelim ( a ≠ 0 çünkü x ≠ 1 ): a 2 + 2 = 3 a Düzenleyelim: a 2 - 3 a + 2 = 0 Çarpanlara ayıralım: ( a - 1 ) ( a - 2 ) = 0 Buradan a değerleri: a = 1 veya a = 2 a = log₂(x) olduğuna göre x değerlerini bulalım: log 2 ( x ) = 1 ⇒ x = 2 log 2 ( x ) = 2 ⇒ x = 4 Gerçek çözümlerin çarpımı: x _1 · x _2 = 2 · 4 = 8 Sonuç: Doğru cevap B seçeneğidir. 8

1. Çözüm: Soru: Aşağıdaki denklem sağlandığında gerçek çözümlerin çarpımı kaçtır? log 2 ( x ) + log x ( 4 ) = 3 Tanım gereği logaritmaların tanımlı olması için: x > 0, x ≠ 1 Dönüşüm yapalım. Aşağıdaki değişkeni tanımlayalım: a = log 2 ( x ) Taban değiştirme ile ikinci terimi a cinsinden yazalım: log x ( 4 ) = log 2 ( 4 ) log 2 ( x ) = 2 a Denkleme yerleştirelim: a + 2 a = 3 Her tarafı a ile çarpıp ikinci dereceden denkleme geçelim ( a ≠ 0 çünkü x ≠ 1 ): a 2 + 2 = 3 a Düzenleyelim: a 2 - 3 a + 2 = 0 Çarpanlara ayıralım: ( a - 1 ) ( a - 2 ) = 0 Buradan a değerleri: a = 1 veya a = 2 a = log₂(x) olduğuna göre x değerlerini bulalım: log 2 ( x ) = 1 ⇒ x = 2 log 2 ( x ) = 2 ⇒ x = 4 Gerçek çözümlerin çarpımı: x _1 · x _2 = 2 · 4 = 8 Sonuç: Doğru cevap B seçeneğidir. 8