11. Sınıf Matematik Logaritma Testleri

Doğru cevap: A

Seçenek A’daki değerin doğru olup olmadığını kontrol edelim ve denklemi çözelim. Verilen denklem: log 2 ( x - 1 ) + log 2 ( x + 1 ) = 3 Logaritmanın tanım koşulu (içler pozitif olmalı): x - 1 > 0 x + 1 > 0 x > 1 Logaritma kuralı ile toplayalım: log 2 ( x - 1 ) + log 2 ( x + 1 ) = log 2 ( ( x - 1 ) ( x + 1 ) ) Bu durumda denklem: log 2 ( ( x - 1 ) ( x + 1 ) ) = 3 Logaritmanın tanımına göre: ( x - 1 ) ( x + 1 ) = 2 3 Sağ tarafı hesaplayalım: 2 3 = 8 Sol tarafı açalım (farkların çarpımı): ( x - 1 ) ( x + 1 ) = x 2 - 1 Denklemi çözelim: x 2 - 1 = 8 x 2 = 9 x = ± 3 Tanım koşuluna göre x > 1 olmalı. Bu nedenle: x = 3 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

1. Çözüm: Seçenek A’daki değerin doğru olup olmadığını kontrol edelim ve denklemi çözelim. Verilen denklem: log 2 ( x - 1 ) + log 2 ( x + 1 ) = 3 Logaritmanın tanım koşulu (içler pozitif olmalı): x - 1 > 0 x + 1 > 0 x > 1 Logaritma kuralı ile toplayalım: log 2 ( x - 1 ) + log 2 ( x + 1 ) = log 2 ( ( x - 1 ) ( x + 1 ) ) Bu durumda denklem: log 2 ( ( x - 1 ) ( x + 1 ) ) = 3 Logaritmanın tanımına göre: ( x - 1 ) ( x + 1 ) = 2 3 Sağ tarafı hesaplayalım: 2 3 = 8 Sol tarafı açalım (farkların çarpımı): ( x - 1 ) ( x + 1 ) = x 2 - 1 Denklemi çözelim: x 2 - 1 = 8 x 2 = 9 x = ± 3 Tanım koşuluna göre x > 1 olmalı. Bu nedenle: x = 3 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

Doğru cevap: B

1) Önce tanım kümesini kontrol edelim. Logaritmanın içi pozitif olmalı: x - 1 > 0 x > 1 2) Verilen denklem: log 2 ( x - 1 ) + log 4 ( x - 1 ) = 3 3) Tabanı 2 yapmak için taban değiştirme kullanalım: log 4 ( x - 1 ) = log 2 ( x - 1 ) log 2 ( 4 ) 4) Aşağıdaki değeri hesaplayalım: log 2 ( 4 ) = 2 Bunu yerine yazınca: log 4 ( x - 1 ) = log 2 ( x - 1 ) 2 5) Kısaltmak için: t = log 2 ( x - 1 ) Denklem: t + t 2 = 3 6) Çözelim: 3 2 t = 3 t = 2 7) Geri yerine yazalım: log 2 ( x - 1 ) = 2 x - 1 = 2 2 x - 1 = 4 x = 5 8) Sonuç ve şık kontrolü: x = 5 Buna göre doğru cevap B şıkkıdır.

1. Çözüm: 1) Önce tanım kümesini kontrol edelim. Logaritmanın içi pozitif olmalı: x - 1 > 0 x > 1 2) Verilen denklem: log 2 ( x - 1 ) + log 4 ( x - 1 ) = 3 3) Tabanı 2 yapmak için taban değiştirme kullanalım: log 4 ( x - 1 ) = log 2 ( x - 1 ) log 2 ( 4 ) 4) Aşağıdaki değeri hesaplayalım: log 2 ( 4 ) = 2 Bunu yerine yazınca: log 4 ( x - 1 ) = log 2 ( x - 1 ) 2 5) Kısaltmak için: t = log 2 ( x - 1 ) Denklem: t + t 2 = 3 6) Çözelim: 3 2 t = 3 t = 2 7) Geri yerine yazalım: log 2 ( x - 1 ) = 2 x - 1 = 2 2 x - 1 = 4 x = 5 8) Sonuç ve şık kontrolü: x = 5 Buna göre doğru cevap B şıkkıdır.

Doğru cevap: B

İfadeyi iki ayrı logaritma olarak ele alalım ve içlerini tabanla aynı olacak şekilde üs biçiminde yazalım. 8 = 2 3 4 = 2 2 Şimdi logaritma kuralını kullanalım: log 2 ( 8 ) = log 2 ( 2 3 ) = 3 log 2 ( 4 ) = log 2 ( 2 2 ) = 2 Toplayalım: log 2 ( 8 ) + log 2 ( 4 ) = 3 + 2 = 5 Sonuç seçeneklerdeki değerle karşılaştırılırsa doğru seçenek B ’dir.

1. Çözüm: İfadeyi iki ayrı logaritma olarak ele alalım ve içlerini tabanla aynı olacak şekilde üs biçiminde yazalım. 8 = 2 3 4 = 2 2 Şimdi logaritma kuralını kullanalım: log 2 ( 8 ) = log 2 ( 2 3 ) = 3 log 2 ( 4 ) = log 2 ( 2 2 ) = 2 Toplayalım: log 2 ( 8 ) + log 2 ( 4 ) = 3 + 2 = 5 Sonuç seçeneklerdeki değerle karşılaştırılırsa doğru seçenek B ’dir.

Doğru cevap: A

Verilen ifade: log 2 8 + log 2 1 4 1. adım: İlk logaritmayı hesaplayalım. 8 = 2 3 log 2 8 = 3 2. adım: İkinci logaritmayı hesaplayalım. 1 4 = 1 2 2 = 2 - 2 log 2 1 4 = log 2 2 - 2 = - 2 3. adım: Toplayalım. log 2 8 + log 2 1 4 = 3 + - 2 = 1 Sonuç: 1 Doğru seçenek: A

1. Çözüm: Verilen ifade: log 2 8 + log 2 1 4 1. adım: İlk logaritmayı hesaplayalım. 8 = 2 3 log 2 8 = 3 2. adım: İkinci logaritmayı hesaplayalım. 1 4 = 1 2 2 = 2 - 2 log 2 1 4 = log 2 2 - 2 = - 2 3. adım: Toplayalım. log 2 8 + log 2 1 4 = 3 + - 2 = 1 Sonuç: 1 Doğru seçenek: A

Doğru cevap: B

Denklem: log x 16 + log 2 x = 5 Taban değiştirme ile ilk terimi 2 tabanına çevirerek yazalım: log x 16 = log 2 16 log 2 x Şimdi yeni bir değişken tanımlayalım: t = log 2 x Buna göre: log 2 16 = 4 log x 16 = 4 t Denklem bu halde: 4 t + t = 5 Her iki tarafı t ile çarpalım: 4 + t 2 = 5 t Standart ikinci derece denklem formuna getirelim: t 2 - 5 t + 4 = 0 Çarpanlara ayıralım: t - 1 t - 4 = 0 Buradan: t = 1   veya   t = 4 Tanıma geri dönelim: log 2 x = 1   ise   x = 2 1 = 2 log 2 x = 4   ise   x = 2 4 = 16 Çözümlerin toplamı: 2 + 16 = 18 Sonuç 18 olduğundan doğru seçenek B 'dir.

1. Çözüm: Denklem: log x 16 + log 2 x = 5 Taban değiştirme ile ilk terimi 2 tabanına çevirerek yazalım: log x 16 = log 2 16 log 2 x Şimdi yeni bir değişken tanımlayalım: t = log 2 x Buna göre: log 2 16 = 4 log x 16 = 4 t Denklem bu halde: 4 t + t = 5 Her iki tarafı t ile çarpalım: 4 + t 2 = 5 t Standart ikinci derece denklem formuna getirelim: t 2 - 5 t + 4 = 0 Çarpanlara ayıralım: t - 1 t - 4 = 0 Buradan: t = 1   veya   t = 4 Tanıma geri dönelim: log 2 x = 1   ise   x = 2 1 = 2 log 2 x = 4   ise   x = 2 4 = 16 Çözümlerin toplamı: 2 + 16 = 18 Sonuç 18 olduğundan doğru seçenek B 'dir.

Doğru cevap: B

İfadedeki her logaritmayı ayrı ayrı hesaplayalım. log 2 ( 8 ) + log 4 ( 16 ) Birinci terim için, tabanın hangi kuvvetinin içeriği verdiğini buluruz. 2 3 = 8 log 2 ( 8 ) = 3 İkinci terim için aynı yöntemi uygularız. 4 2 = 16 log 4 ( 16 ) = 2 Şimdi iki sonucu toplayalım. log 2 ( 8 ) + log 4 ( 16 ) = 3 + 2 = 5 Sonuç şıklarda B seçeneğiyle aynıdır; bu nedenle doğru cevap B’dir. 5

1. Çözüm: İfadedeki her logaritmayı ayrı ayrı hesaplayalım. log 2 ( 8 ) + log 4 ( 16 ) Birinci terim için, tabanın hangi kuvvetinin içeriği verdiğini buluruz. 2 3 = 8 log 2 ( 8 ) = 3 İkinci terim için aynı yöntemi uygularız. 4 2 = 16 log 4 ( 16 ) = 2 Şimdi iki sonucu toplayalım. log 2 ( 8 ) + log 4 ( 16 ) = 3 + 2 = 5 Sonuç şıklarda B seçeneğiyle aynıdır; bu nedenle doğru cevap B’dir. 5

Doğru cevap: A

Denklem: log 3 x - 1 + log 3 x - 3 = 2 1) Tanım kümesi (logaritmanın içi pozitif olmalı): x - 1 > 0 x - 3 > 0 x > 3 2) Logaritma toplama kuralı ile birleştirelim: log 3 ( x - 1 ) ( x - 3 ) = 2 3) Logaritmanın tanımına göre eşitliği üstel forma çevirelim: ( x - 1 ) ( x - 3 ) = 3 2 ( x - 1 ) ( x - 3 ) = 9 4) Çarpımı açıp denklem oluşturalım: x ² - 4 x + 3 = 9 x ² - 4 x - 6 = 0 5) İkinci dereceden denklemi çözelim: x = 4 ± 4 2 - 4 · 1 · ( - 6 ) 2 x = 4 ± 16 + 24 2 x = 4 ± 40 2 x = 4 ± 2 10 2 x = 2 ± 10 6) Tanım koşuluna göre uygun kökü seçelim: x > 3 2 + 10 > 3 2 - 10 < 3 Sonuç: Çözüm x = 2 + 10 Doğru şık kontrolü: Bu değer A şıkkıdır.

1. Çözüm: Denklem: log 3 x - 1 + log 3 x - 3 = 2 1) Tanım kümesi (logaritmanın içi pozitif olmalı): x - 1 > 0 x - 3 > 0 x > 3 2) Logaritma toplama kuralı ile birleştirelim: log 3 ( x - 1 ) ( x - 3 ) = 2 3) Logaritmanın tanımına göre eşitliği üstel forma çevirelim: ( x - 1 ) ( x - 3 ) = 3 2 ( x - 1 ) ( x - 3 ) = 9 4) Çarpımı açıp denklem oluşturalım: x ² - 4 x + 3 = 9 x ² - 4 x - 6 = 0 5) İkinci dereceden denklemi çözelim: x = 4 ± 4 2 - 4 · 1 · ( - 6 ) 2 x = 4 ± 16 + 24 2 x = 4 ± 40 2 x = 4 ± 2 10 2 x = 2 ± 10 6) Tanım koşuluna göre uygun kökü seçelim: x > 3 2 + 10 > 3 2 - 10 < 3 Sonuç: Çözüm x = 2 + 10 Doğru şık kontrolü: Bu değer A şıkkıdır.

Doğru cevap: A

Cevap kontrolü: Denklem sağlanıyorsa doğru seçenek A olmalıdır. 1) Tanım kümesi (logaritmanın içi pozitif olmalı): x - 1 > 0 x - 3 > 0 Buradan: x > 3 2) Logaritma toplama kuralı: log 2 ( a ) + log 2 ( b ) = log 2 ( a ⋅ b ) 3) Kuralı denkleme uygula: log 2 ( x - 1 ) + log 2 ( x - 3 ) = 3 log 2 ( ( x - 1 ) ⋅ ( x - 3 ) ) = 3 4) Logaritma tanımı (taban 2): log 2 ( M ) = 3 ⇔ M = 2 3 Burada: ( x - 1 ) ⋅ ( x - 3 ) = 2 3 ( x - 1 ) ⋅ ( x - 3 ) = 8 5) Çarpımı aç ve denklemi düzenle: ( x - 1 ) ( x - 3 ) = 8 x 2 - 4 x + 3 = 8 x 2 - 4 x - 5 = 0 6) İkinci dereceden denklemi çarpanlara ayır: x 2 - 4 x - 5 = 0 ( x - 5 ) ( x + 1 ) = 0 7) Kökleri bul: x - 5 = 0 ⇒ x = 5 x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 8) Tanım kümesi kontrolü: x > 3 Bu koşulu sağlayan tek kök: x = 5 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır. x = 5

1. Çözüm: Cevap kontrolü: Denklem sağlanıyorsa doğru seçenek A olmalıdır. 1) Tanım kümesi (logaritmanın içi pozitif olmalı): x - 1 > 0 x - 3 > 0 Buradan: x > 3 2) Logaritma toplama kuralı: log 2 ( a ) + log 2 ( b ) = log 2 ( a ⋅ b ) 3) Kuralı denkleme uygula: log 2 ( x - 1 ) + log 2 ( x - 3 ) = 3 log 2 ( ( x - 1 ) ⋅ ( x - 3 ) ) = 3 4) Logaritma tanımı (taban 2): log 2 ( M ) = 3 ⇔ M = 2 3 Burada: ( x - 1 ) ⋅ ( x - 3 ) = 2 3 ( x - 1 ) ⋅ ( x - 3 ) = 8 5) Çarpımı aç ve denklemi düzenle: ( x - 1 ) ( x - 3 ) = 8 x 2 - 4 x + 3 = 8 x 2 - 4 x - 5 = 0 6) İkinci dereceden denklemi çarpanlara ayır: x 2 - 4 x - 5 = 0 ( x - 5 ) ( x + 1 ) = 0 7) Kökleri bul: x - 5 = 0 ⇒ x = 5 x + 1 = 0 ⇒ x = - 1 8) Tanım kümesi kontrolü: x > 3 Bu koşulu sağlayan tek kök: x = 5 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır. x = 5

Doğru cevap: B

Verilen denklem: log 2 ( x ) + log x ( 2 ) = 5 2 Dönüşüm için a = log 2 ( x ) tanımlayalım. Logaritma özelliğine göre (taban ve argüman yer değiştirirse tersine döner): log x ( 2 ) = 1 log 2 ( x ) = 1 a Denklem bu durumda: a + 1 a = 5 2 Her iki tarafı 2 a ile çarpalım: 2 a ⋅ a + 2 a ⋅ 1 a = 2 a ⋅ 5 2 Sadeleştirince: 2 a 2 + 2 = 5 a Standart forma getirelim: 2 a 2 - 5 a + 2 = 0 Çarpanlara ayıralım: ( 2 a - 1 ) ( a - 2 ) = 0 Buradan a = 1 2 veya a = 2 Şimdi a = log 2 ( x ) olduğundan, x = 2 a yazarız. 1) a = 1 2 ise: x = 2 1 2 Bu değer pozitif tam sayı değildir. 2) a = 2 ise: x = 2 2 = 4 Sonuç: Pozitif tam sayı koşulunu sağlayan tek değer x = 4 olur. Dolayısıyla doğru seçenek B 'dir.

1. Çözüm: Verilen denklem: log 2 ( x ) + log x ( 2 ) = 5 2 Dönüşüm için a = log 2 ( x ) tanımlayalım. Logaritma özelliğine göre (taban ve argüman yer değiştirirse tersine döner): log x ( 2 ) = 1 log 2 ( x ) = 1 a Denklem bu durumda: a + 1 a = 5 2 Her iki tarafı 2 a ile çarpalım: 2 a ⋅ a + 2 a ⋅ 1 a = 2 a ⋅ 5 2 Sadeleştirince: 2 a 2 + 2 = 5 a Standart forma getirelim: 2 a 2 - 5 a + 2 = 0 Çarpanlara ayıralım: ( 2 a - 1 ) ( a - 2 ) = 0 Buradan a = 1 2 veya a = 2 Şimdi a = log 2 ( x ) olduğundan, x = 2 a yazarız. 1) a = 1 2 ise: x = 2 1 2 Bu değer pozitif tam sayı değildir. 2) a = 2 ise: x = 2 2 = 4 Sonuç: Pozitif tam sayı koşulunu sağlayan tek değer x = 4 olur. Dolayısıyla doğru seçenek B 'dir.

Doğru cevap: A

Önce tanım koşulunu yazalım: x - 1 > 0 x + 1 > 0 x > 1 Logaritma toplama kuralını uygulayalım: log 2 ( x - 1 ) + log 2 ( x + 1 ) = 3 log 2 ( ( x - 1 ) ( x + 1 ) ) = 3 Çarpımı düzenleyelim: log 2 ( x + 1 x - 1 ) = 3 log 2 ( x 2 - 1 ) = 3 Logaritmanın tanımına göre üstel forma geçelim: 2 3 = x 2 - 1 8 = x 2 - 1 Denklemi çözelim: x 2 = 9 x = 3  veya  x = - 3 Tanım koşuluna göre kontrol edelim: x > 1 x = 3  uygun,  x = - 3  uygun değil. Sonuç ve şık kontrolü: x = 3 Doğru cevap A şıkkıdır.

1. Çözüm: Önce tanım koşulunu yazalım: x - 1 > 0 x + 1 > 0 x > 1 Logaritma toplama kuralını uygulayalım: log 2 ( x - 1 ) + log 2 ( x + 1 ) = 3 log 2 ( ( x - 1 ) ( x + 1 ) ) = 3 Çarpımı düzenleyelim: log 2 ( x + 1 x - 1 ) = 3 log 2 ( x 2 - 1 ) = 3 Logaritmanın tanımına göre üstel forma geçelim: 2 3 = x 2 - 1 8 = x 2 - 1 Denklemi çözelim: x 2 = 9 x = 3  veya  x = - 3 Tanım koşuluna göre kontrol edelim: x > 1 x = 3  uygun,  x = - 3  uygun değil. Sonuç ve şık kontrolü: x = 3 Doğru cevap A şıkkıdır.