10. Sınıf Matematik

10. Sınıf Matematik Polinomlar Testleri

Polinomlar konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

Polinomları derece, katsayı ve işlemlerle öğren

Polinomlar konusu, değişkenlerin doğal sayı kuvvetleriyle oluşturulan cebirsel ifadeleri incelemeyi öğretir.

Bu çalışma; polinomun derecesini, katsayılarını, sabit terimini, polinomlarda işlemleri, değer bulmayı ve bölme ilişkilerini pekiştirir.

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

Polinomun derece ve katsayılarını belirler.
Polinomlarda toplama, çıkarma ve çarpma yapar.
Bir polinomun belirli bir değerdeki sonucunu hesaplar.
Polinom bölmesi ve kalan ilişkisini yorumlar.

Sık karıştırılan noktalar

Polinomda değişkenin kuvvetleri negatif veya kesirli olamaz. Sıfır katsayılı terimler dereceyi belirlemez.

Verimli çalışma yolu

Önce terimleri büyük kuvvetten küçüğe sırala, sonra benzer terimleri birleştir ve dereceyi kontrol et.

Test seç

6 Test

1. Test 2. Test 3. Test 4. Test 5. Test 6. Test

6. Test

10. Sınıf Matematik Polinomlar Testleri

Polinomlar konusu 6. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru

0/10 Soru0 %

Doğru 0

Yanlış 0

Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

$P (x) = \sum_{k = 0}^{2025} x^{k}$ polinomunun $x^{2} + x + 1$ ile bölümünden kalan nedir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Verilen polinom: P ( x ) = ∑ k = 0 2025 x k Bölen: x 2 + x + 1 1) Mod alma fikri: Bölenin sıfır yaptığı eşitlikten yararlanacağız. x 2 + x + 1 = 0 Buradan: x 2 = − x − 1 2) Ayrıca şu çarpanlara ayırmayı kullanırız: x 3 − 1 = ( x − 1 ) ( x 2 + x + 1 ) Dolayısıyla, bölen ile bölümden kalanda şu denkliği kullanabiliriz: x 3 ≡ 1 3) Bu durumda kuvvetleri 3'e göre sadeleştiririz: x 3 t ≡ 1, x 3 t + 1 ≡ x, x 3 t + 2 ≡ x 2 4) Şimdi terimleri 3'e göre gruplandıralım. Üst sınırın 3'e bölünebilir olduğunu not edelim: 2025 = 3 ⋅ 675 Üsler: - 0 mod 3 olanlar: 0, 3, 6, …, 2025 Bu terim sayısı: 675 + 1 = 676 - 1 mod 3 olanlar: 1, 4, 7, …, 2023 Bu terim sayısı: 675 - 2 mod 3 olanlar: 2, 5, 8, …, 2024 Bu terim sayısı: 675 5) O hâlde polinomun bölen ile bölümünden kalanına denk ifade: P ( x ) ≡ 676 ⋅ 1 + 675 ⋅ x + 675 ⋅ x 2 6) Şimdi dereceyi 2'den küçük yapmak için x 2 = − x − 1 kullanılır: P ( x ) ≡ 676 + 675 x + 675 ( − x − 1 ) P ( x ) ≡ 676 + 675 x − 675 x − 675 P ( x ) ≡ 1 Sonuç: Kalan 1 Bu nedenle doğru seçenek D1000 'dir.

Çözüm: Verilen polinom: P ( x ) = ∑ k = 0 2025 x k Bölen: x 2 + x + 1 1) Mod alma fikri: Bölenin sıfır yaptığı eşitlikten yararlanacağız. x 2 + x + 1 = 0 Buradan: x 2 = − x − 1 2) Ayrıca şu çarpanlara ayırmayı kullanırız: x 3 − 1 = ( x − 1 ) ( x 2 + x + 1 ) Dolayısıyla, bölen ile bölümden kalanda şu denkliği kullanabiliriz: x 3 ≡ 1 3) Bu durumda kuvvetleri 3'e göre sadeleştiririz: x 3 t ≡ 1, x 3 t + 1 ≡ x, x 3 t + 2 ≡ x 2 4) Şimdi terimleri 3'e göre gruplandıralım. Üst sınırın 3'e bölünebilir olduğunu not edelim: 2025 = 3 ⋅ 675 Üsler: - 0 mod 3 olanlar: 0, 3, 6, …, 2025 Bu terim sayısı: 675 + 1 = 676 - 1 mod 3 olanlar: 1, 4, 7, …, 2023 Bu terim sayısı: 675 - 2 mod 3 olanlar: 2, 5, 8, …, 2024 Bu terim sayısı: 675 5) O hâlde polinomun bölen ile bölümünden kalanına denk ifade: P ( x ) ≡ 676 ⋅ 1 + 675 ⋅ x + 675 ⋅ x 2 6) Şimdi dereceyi 2'den küçük yapmak için x 2 = − x − 1 kullanılır: P ( x ) ≡ 676 + 675 x + 675 ( − x − 1 ) P ( x ) ≡ 676 + 675 x − 675 x − 675 P ( x ) ≡ 1 Sonuç: Kalan 1 Bu nedenle doğru seçenek D1000 'dir.

Verilen polinom:

P (x) = \sum_{k = 0}^{2025} x^{k}

Bölen:

x^{2} + x + 1

1) Mod alma fikri: Bölenin sıfır yaptığı eşitlikten yararlanacağız.

x^{2} + x + 1 = 0

Buradan:

x^{2} = - x - 1

2) Ayrıca şu çarpanlara ayırmayı kullanırız:

x^{3} - 1 = (x - 1) (x^{2} + x + 1)

Dolayısıyla, bölen ile bölümden kalanda şu denkliği kullanabiliriz:

x^{3} \equiv 1

3) Bu durumda kuvvetleri 3'e göre sadeleştiririz:

x^{3 t} \equiv 1, x^{3 t + 1} \equiv x, x^{3 t + 2} \equiv x^{2}

4) Şimdi terimleri 3'e göre gruplandıralım. Üst sınırın 3'e bölünebilir olduğunu not edelim:

2025 = 3 \cdot 675

Üsler:

- 0 mod 3 olanlar: $0, 3, 6, \dots, 2025$

Bu terim sayısı:

675 + 1 = 676

- 1 mod 3 olanlar: $1, 4, 7, \dots, 2023$

Bu terim sayısı:

675

- 2 mod 3 olanlar: $2, 5, 8, \dots, 2024$

Bu terim sayısı:

675

5) O hâlde polinomun bölen ile bölümünden kalanına denk ifade:

P (x) \equiv 676 \cdot 1 + 675 \cdot x + 675 \cdot x^{2}

6) Şimdi dereceyi 2'den küçük yapmak için $x^{2} = - x - 1$ kullanılır:

P (x) \equiv 676 + 675 x + 675 (- x - 1)

P (x) \equiv 676 + 675 x - 675 x - 675

P (x) \equiv 1

Sonuç: Kalan

1

Bu nedenle doğru seçenek B'dir.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Gerçek katsayılı ve derecesi en fazla $3$ olan $P (x)$ polinomu için
$P (0) = 1$
$P (1) = 2$
$P (- 1) = 2$
$P (2) = 5$
Buna göre $P (i)$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Polinomun derecesi en fazla üçüncü derece olduğundan genel biçimini alalım: P ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d Verilen değerlerden denklemler yazalım. Önce P ( 0 ) = 1 olduğuna göre d = 1 Şimdi diğer koşulları kullanalım: P ( 1 ) = a + b + c + d = 2 Buradan a + b + c = 1 elde edilir. Diğer koşul: P ( - 1 ) = - a + b - c + d = 2 Buradan - a + b - c = 1 Son koşul: P ( 2 ) = 8 a + 4 b + 2 c + d = 5 Buradan 8 a + 4 b + 2 c = 4 ve ikiye bölerek 4 a + 2 b + c = 2 Şimdi a + b + c = 1 ve - a + b - c = 1 denklemlerini toplayalım: 2 b = 2 Buradan b = 1 bulunur. Şimdi a + b + c = 1 içinde b = 1 yazalım: a + 1 + c = 1 Buradan a + c = 0 yani c = - a Şimdi 4 a + 2 b + c = 2 denkleminde b = 1 ve c = - a kullanalım: 4 a + 2 + - a = 2 Buradan 3 a = 0 ve dolayısıyla a = 0 bulunur. O hâlde c = 0 ve daha önce bulduğumuz d = 1 ile polinom P ( x ) = x 2 + 1 olur. Şimdi istenen değeri hesaplayalım: P ( i ) = i 2 + 1 = - 1 + 1 = 0 Sonuç: P ( i ) = 0 Doğru seçenek, verilen şıklara göre A seçeneğidir.

Çözüm: Polinomun derecesi en fazla üçüncü derece olduğundan genel biçimini alalım: P ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d Verilen değerlerden denklemler yazalım. Önce P ( 0 ) = 1 olduğuna göre d = 1 Şimdi diğer koşulları kullanalım: P ( 1 ) = a + b + c + d = 2 Buradan a + b + c = 1 elde edilir. Diğer koşul: P ( - 1 ) = - a + b - c + d = 2 Buradan - a + b - c = 1 Son koşul: P ( 2 ) = 8 a + 4 b + 2 c + d = 5 Buradan 8 a + 4 b + 2 c = 4 ve ikiye bölerek 4 a + 2 b + c = 2 Şimdi a + b + c = 1 ve - a + b - c = 1 denklemlerini toplayalım: 2 b = 2 Buradan b = 1 bulunur. Şimdi a + b + c = 1 içinde b = 1 yazalım: a + 1 + c = 1 Buradan a + c = 0 yani c = - a Şimdi 4 a + 2 b + c = 2 denkleminde b = 1 ve c = - a kullanalım: 4 a + 2 + - a = 2 Buradan 3 a = 0 ve dolayısıyla a = 0 bulunur. O hâlde c = 0 ve daha önce bulduğumuz d = 1 ile polinom P ( x ) = x 2 + 1 olur. Şimdi istenen değeri hesaplayalım: P ( i ) = i 2 + 1 = - 1 + 1 = 0 Sonuç: P ( i ) = 0 Doğru seçenek, verilen şıklara göre A seçeneğidir.

Polinomun derecesi en fazla üçüncü derece olduğundan genel biçimini alalım:

P (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

Verilen değerlerden denklemler yazalım.

Önce

P (0) = 1

olduğuna göre

d = 1

Şimdi diğer koşulları kullanalım:

P (1) = a + b + c + d = 2

Buradan

a + b + c = 1

elde edilir.

Diğer koşul:

P (- 1) = - a + b - c + d = 2

Buradan

- a + b - c = 1

Son koşul:

P (2) = 8 a + 4 b + 2 c + d = 5

Buradan

8 a + 4 b + 2 c = 4

ve ikiye bölerek

4 a + 2 b + c = 2

Şimdi

a + b + c = 1

- a + b - c = 1

denklemlerini toplayalım:

2 b = 2

Buradan

b = 1

bulunur.

Şimdi

a + b + c = 1

içinde

b = 1

yazalım:

a + 1 + c = 1

Buradan

a + c = 0

yani

c = - a

Şimdi

4 a + 2 b + c = 2

denkleminde

b = 1

c = - a

kullanalım:

4 a + 2 + - a = 2

Buradan

3 a = 0

ve dolayısıyla

a = 0

bulunur. O hâlde

c = 0

ve daha önce bulduğumuz

d = 1

ile polinom

P (x) = x^{2} + 1

olur.

Şimdi istenen değeri hesaplayalım:

P (i) = i^{2} + 1 = - 1 + 1 = 0

Sonuç:

P (i) = 0

Doğru seçenek, verilen şıklara göre A seçeneğidir.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşulları sağlayan gerçek katsayılı polinom için $P (- 1)$ değerini bulun.
$P (x) = x^{4} P (\frac{1}{x})$
$P (0) = 1$
$P (1) = 5$
$P (2) = 41$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Verilen koşul, polinomun ters değişkenle (karşılıklı) simetrik olduğunu söyler: P ( x ) = x 4 P ( 1 x ) Bu tip polinomlar için katsayılar baştan ve sondan aynı olacak şekilde yazılabilir. Bu yüzden genel biçim: P ( x ) = a x 4 + b x 3 + c x 2 + b x + a Şimdi verilen değerlerden yararlanalım. Önce: P ( 0 ) = a = 1 Böylece polinom: P ( x ) = x 4 + b x 3 + c x 2 + b x + 1 Şimdi: P ( 1 ) = 5 Yerine yazalım: 1 + b + c + b + 1 = 5 Buradan: 2 b + c = 3 Şimdi: P ( 2 ) = 41 Yerine yazalım: 2 4 + b 2 3 + c 2 2 + b · 2 + 1 = 41 Düzenleyelim: 16 + 8 b + 4 c + 2 b + 1 = 41 Buradan: 10 b + 4 c = 24 Şimdi şu iki denklemi çözelim: 2 b + c = 3 10 b + 4 c = 24 İlk denklemi kullanarak: c = 3 - 2 b Bunu ikinci denklemde yerine koyalım: 10 b + 4 ( 3 - 2 b ) = 24 Açalım: 10 b + 12 - 8 b = 24 Buradan: 2 b = 12 b = 6 Sonra: c = 3 - 2 · 6 = - 9 Polinomumuz: P ( x ) = x 4 + 6 x 3 - 9 x 2 + 6 x + 1 İstenen değeri bulalım: P ( - 1 ) = ( - 1 ) 4 + 6 ( - 1 ) 3 - 9 ( - 1 ) 2 + 6 ( - 1 ) + 1 P ( - 1 ) = 1 - 6 - 9 - 6 + 1 = - 19 Sonuç: P ( - 1 ) = - 19 Bu değer şıklarda A ile aynıdır; doğru cevap B1069 ’dır.

Çözüm: Verilen koşul, polinomun ters değişkenle (karşılıklı) simetrik olduğunu söyler: P ( x ) = x 4 P ( 1 x ) Bu tip polinomlar için katsayılar baştan ve sondan aynı olacak şekilde yazılabilir. Bu yüzden genel biçim: P ( x ) = a x 4 + b x 3 + c x 2 + b x + a Şimdi verilen değerlerden yararlanalım. Önce: P ( 0 ) = a = 1 Böylece polinom: P ( x ) = x 4 + b x 3 + c x 2 + b x + 1 Şimdi: P ( 1 ) = 5 Yerine yazalım: 1 + b + c + b + 1 = 5 Buradan: 2 b + c = 3 Şimdi: P ( 2 ) = 41 Yerine yazalım: 2 4 + b 2 3 + c 2 2 + b · 2 + 1 = 41 Düzenleyelim: 16 + 8 b + 4 c + 2 b + 1 = 41 Buradan: 10 b + 4 c = 24 Şimdi şu iki denklemi çözelim: 2 b + c = 3 10 b + 4 c = 24 İlk denklemi kullanarak: c = 3 - 2 b Bunu ikinci denklemde yerine koyalım: 10 b + 4 ( 3 - 2 b ) = 24 Açalım: 10 b + 12 - 8 b = 24 Buradan: 2 b = 12 b = 6 Sonra: c = 3 - 2 · 6 = - 9 Polinomumuz: P ( x ) = x 4 + 6 x 3 - 9 x 2 + 6 x + 1 İstenen değeri bulalım: P ( - 1 ) = ( - 1 ) 4 + 6 ( - 1 ) 3 - 9 ( - 1 ) 2 + 6 ( - 1 ) + 1 P ( - 1 ) = 1 - 6 - 9 - 6 + 1 = - 19 Sonuç: P ( - 1 ) = - 19 Bu değer şıklarda A ile aynıdır; doğru cevap B1069 ’dır.

Verilen koşul, polinomun ters değişkenle (karşılıklı) simetrik olduğunu söyler:

P (x) = x^{4} P (\frac{1}{x})

Bu tip polinomlar için katsayılar baştan ve sondan aynı olacak şekilde yazılabilir. Bu yüzden genel biçim:

P (x) = a x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + b x + a

Şimdi verilen değerlerden yararlanalım. Önce:

P (0) = a = 1

Böylece polinom:

P (x) = x^{4} + b x^{3} + c x^{2} + b x + 1

Şimdi:

P (1) = 5

Yerine yazalım:

1 + b + c + b + 1 = 5

Buradan:

2 b + c = 3

Şimdi:

P (2) = 41

Yerine yazalım:

2^{4} + b 2^{3} + c 2^{2} + b \cdot 2 + 1 = 41

Düzenleyelim:

16 + 8 b + 4 c + 2 b + 1 = 41

Buradan:

10 b + 4 c = 24

Şimdi şu iki denklemi çözelim:

\{\begin{matrix} 2 b + c = 3 \\ 10 b + 4 c = 24 \end{matrix}\}

İlk denklemi kullanarak:

c = 3 - 2 b

Bunu ikinci denklemde yerine koyalım:

10 b + 4 (3 - 2 b) = 24

Açalım:

10 b + 12 - 8 b = 24

Buradan:

2 b = 12

b = 6

Sonra:

c = 3 - 2 \cdot 6 = - 9

Polinomumuz:

P (x) = x^{4} + 6 x^{3} - 9 x^{2} + 6 x + 1

İstenen değeri bulalım:

P (- 1) = (^{- 1) 4} + 6 (^{- 1) 3} - 9 (^{- 1) 2} + 6 (- 1) + 1

P (- 1) = 1 - 6 - 9 - 6 + 1 = - 19

Sonuç:

P (- 1) = - 19

Bu değer şıklarda A ile aynıdır; doğru cevap A’dır.

4. SoruÇoktan Seçmeli

$P (x)$ polinomunun derecesi $3$ ve baş katsayısı $1$ olsun.
$P (1) = 1$ , $P (2) = 4$ , $P (3) = 9$ verildiğine göre $P (0)$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Soruda verilen değerlere göre, şıkkıC31 (−6) doğru mu kontrol edeceğiz. Önce, verilen değerlerin kare sayılarla uyumuna dikkat edelim: P ( 1 ) = 1 P ( 2 ) = 4 P ( 3 ) = 9 Bu değerler sırasıyla 1 2, 2 2, 3 2 olduğundan, x 2 ile kıyaslamak mantıklıdır. Şimdi yeni bir polinom tanımlayalım: Q ( x ) = P ( x ) - x 2 Bu durumda verilen noktalar için: Q ( 1 ) = P ( 1 ) - 1 2 = 1 - 1 = 0 Q ( 2 ) = P ( 2 ) - 2 2 = 4 - 4 = 0 Q ( 3 ) = P ( 3 ) - 3 2 = 9 - 9 = 0 Yani Q ( x ) polinomunun kökleri x = 1, 2, 3 olur. Ayrıca P ( x ) üçüncü dereceden ve baş katsayısı 1 (monik) olduğundan, Q ( x ) = P ( x ) - x 2 ifadesinde en yüksek dereceli terim yine x 3 olacağından Q da monik üçüncü dereceden bir polinomdur. Bu yüzden: Q ( x ) = ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) Şimdi açalım: ( x - 1 ) ( x - 2 ) = x 2 - 3 x + 2 ( x 2 - 3 x + 2 ) ( x - 3 ) = x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6 Dolayısıyla: Q ( x ) = x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6 Tanım gereği P ( x ) = Q ( x ) + x 2 olduğundan: P ( x ) = ( x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6 ) + x 2 P ( x ) = x 3 - 5 x 2 + 11 x - 6 Şimdi istenen değeri bulalım: P ( 0 ) = 0 3 - 5 0 2 + 11 · 0 - 6 = - 6 Sonuç: P ( 0 ) = - 6 Bu da şıkkıC1123dır. (A doğru)

Çözüm: Soruda verilen değerlere göre, şıkkıC31 (−6) doğru mu kontrol edeceğiz. Önce, verilen değerlerin kare sayılarla uyumuna dikkat edelim: P ( 1 ) = 1 P ( 2 ) = 4 P ( 3 ) = 9 Bu değerler sırasıyla 1 2, 2 2, 3 2 olduğundan, x 2 ile kıyaslamak mantıklıdır. Şimdi yeni bir polinom tanımlayalım: Q ( x ) = P ( x ) - x 2 Bu durumda verilen noktalar için: Q ( 1 ) = P ( 1 ) - 1 2 = 1 - 1 = 0 Q ( 2 ) = P ( 2 ) - 2 2 = 4 - 4 = 0 Q ( 3 ) = P ( 3 ) - 3 2 = 9 - 9 = 0 Yani Q ( x ) polinomunun kökleri x = 1, 2, 3 olur. Ayrıca P ( x ) üçüncü dereceden ve baş katsayısı 1 (monik) olduğundan, Q ( x ) = P ( x ) - x 2 ifadesinde en yüksek dereceli terim yine x 3 olacağından Q da monik üçüncü dereceden bir polinomdur. Bu yüzden: Q ( x ) = ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) Şimdi açalım: ( x - 1 ) ( x - 2 ) = x 2 - 3 x + 2 ( x 2 - 3 x + 2 ) ( x - 3 ) = x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6 Dolayısıyla: Q ( x ) = x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6 Tanım gereği P ( x ) = Q ( x ) + x 2 olduğundan: P ( x ) = ( x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6 ) + x 2 P ( x ) = x 3 - 5 x 2 + 11 x - 6 Şimdi istenen değeri bulalım: P ( 0 ) = 0 3 - 5 0 2 + 11 · 0 - 6 = - 6 Sonuç: P ( 0 ) = - 6 Bu da şıkkıC1123dır. (A doğru)

Soruda verilen değerlere göre, şıkkıC87 (−6) doğru mu kontrol edeceğiz.

Önce, verilen değerlerin kare sayılarla uyumuna dikkat edelim:

P (1) = 1

P (2) = 4

P (3) = 9

Bu değerler sırasıyla

1^{2}, 2^{2}, 3^{2}

olduğundan, $x^{2}$ ile kıyaslamak mantıklıdır.

Şimdi yeni bir polinom tanımlayalım:

Q (x) = P (x) - x^{2}

Bu durumda verilen noktalar için:

Q (1) = P (1) - 1^{2} = 1 - 1 = 0

Q (2) = P (2) - 2^{2} = 4 - 4 = 0

Q (3) = P (3) - 3^{2} = 9 - 9 = 0

Yani $Q (x)$ polinomunun kökleri

x = 1, 2, 3

olur.

Ayrıca $P (x)$ üçüncü dereceden ve baş katsayısı 1 (monik) olduğundan,

Q (x) = P (x) - x^{2}

ifadesinde en yüksek dereceli terim yine

x^{3}

olacağından $Q$ da monik üçüncü dereceden bir polinomdur. Bu yüzden:

Q (x) = (x - 1) (x - 2) (x - 3)

Şimdi açalım:

(x - 1) (x - 2) = x^{2} - 3 x + 2

(x^{2} - 3 x + 2) (x - 3) = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6

Dolayısıyla:

Q (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6

Tanım gereği

P (x) = Q (x) + x^{2}

olduğundan:

P (x) = (x^{3} - 6 x^{2} + 11 x - 6) + x^{2}

P (x) = x^{3} - 5 x^{2} + 11 x - 6

Şimdi istenen değeri bulalım:

P (0) = 0^{3} - 5 0^{2} + 11 \cdot 0 - 6 = - 6

Sonuç:

P (0) = - 6

Bu da şıkkıC5463dır. (A doğru)

5. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki bölme işleminde kalanı bulunuz:
$x^{7}$ ifadesinin $(x - 1) (x + 1) (x - 2)$ ifadesine bölümünden kalan.

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Bölen ifadeyi açalım: ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x - 2 ) Önce ilk iki çarpanı çarpalım: ( x - 1 ) ( x + 1 ) = x 2 - 1 Şimdi tamamını açalım: ( x 2 - 1 ) ( x - 2 ) = x 3 - 2 x 2 - x + 2 Bölenin derecesi 3 olduğu için kalan en fazla 2. dereceden olur. Kalanı şu şekilde yazalım: R ( x ) = a x 2 + b x + c Bölenin kökleri 1, −1, 2 olduğundan (kalan teoremi), bu noktalarda kalan değeri, bölünenin değerine eşittir: 1) x = 1 için: R ( 1 ) = 1 7 = 1 a + b + c = 1 2) x = −1 için: R ( - 1 ) = - 1 7 = - 1 a - b + c = - 1 3) x = 2 için: R ( 2 ) = 2 7 = 128 4 a + 2 b + c = 128 Şimdi denklemleri çözelim. İlk iki denklemi çıkaralım: ( a + b + c ) - ( a - b + c ) = 1 - ( - 1 ) 2 b = 2 ⇒ b = 1 Şimdi a + b + c = 1 denkleminde b = 1 yerine yazalım: a + 1 + c = 1 ⇒ a + c = 0 ⇒ c = - a Son olarak 4a + 2b + c = 128 denkleminde b = 1 ve c = −a yerine yazalım: 4 a + 2 ⋅ 1 + ( - a ) = 128 3 a + 2 = 128 ⇒ 3 a = 126 ⇒ a = 42 c = - a = - 42 Buna göre kalan: R ( x ) = 42 x 2 + x - 42 Bu ifade şıklardan A ile aynıdır. Yani doğru cevap D1045.

Çözüm: Bölen ifadeyi açalım: ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x - 2 ) Önce ilk iki çarpanı çarpalım: ( x - 1 ) ( x + 1 ) = x 2 - 1 Şimdi tamamını açalım: ( x 2 - 1 ) ( x - 2 ) = x 3 - 2 x 2 - x + 2 Bölenin derecesi 3 olduğu için kalan en fazla 2. dereceden olur. Kalanı şu şekilde yazalım: R ( x ) = a x 2 + b x + c Bölenin kökleri 1, −1, 2 olduğundan (kalan teoremi), bu noktalarda kalan değeri, bölünenin değerine eşittir: 1) x = 1 için: R ( 1 ) = 1 7 = 1 a + b + c = 1 2) x = −1 için: R ( - 1 ) = - 1 7 = - 1 a - b + c = - 1 3) x = 2 için: R ( 2 ) = 2 7 = 128 4 a + 2 b + c = 128 Şimdi denklemleri çözelim. İlk iki denklemi çıkaralım: ( a + b + c ) - ( a - b + c ) = 1 - ( - 1 ) 2 b = 2 ⇒ b = 1 Şimdi a + b + c = 1 denkleminde b = 1 yerine yazalım: a + 1 + c = 1 ⇒ a + c = 0 ⇒ c = - a Son olarak 4a + 2b + c = 128 denkleminde b = 1 ve c = −a yerine yazalım: 4 a + 2 ⋅ 1 + ( - a ) = 128 3 a + 2 = 128 ⇒ 3 a = 126 ⇒ a = 42 c = - a = - 42 Buna göre kalan: R ( x ) = 42 x 2 + x - 42 Bu ifade şıklardan A ile aynıdır. Yani doğru cevap D1045.

Bölen ifadeyi açalım:

(x - 1) (x + 1) (x - 2)

Önce ilk iki çarpanı çarpalım:

(x - 1) (x + 1) = x^{2} - 1

Şimdi tamamını açalım:

(x^{2} - 1) (x - 2) = x^{3} - 2 x^{2} - x + 2

Bölenin derecesi 3 olduğu için kalan en fazla 2. dereceden olur. Kalanı şu şekilde yazalım:

R (x) = a x^{2} + b x + c

Bölenin kökleri 1, −1, 2 olduğundan (kalan teoremi), bu noktalarda kalan değeri, bölünenin değerine eşittir:

1) x = 1 için:

R (1) = 1^{7} = 1

a + b + c = 1

2) x = −1 için:

R (- 1) = {- 1}^{7} = - 1

a - b + c = - 1

3) x = 2 için:

R (2) = 2^{7} = 128

4 a + 2 b + c = 128

Şimdi denklemleri çözelim. İlk iki denklemi çıkaralım:

(a + b + c) - (a - b + c) = 1 - (- 1)

2 b = 2 \Rightarrow b = 1

Şimdi a + b + c = 1 denkleminde b = 1 yerine yazalım:

a + 1 + c = 1 \Rightarrow a + c = 0 \Rightarrow c = - a

Son olarak 4a + 2b + c = 128 denkleminde b = 1 ve c = −a yerine yazalım:

4 a + 2 \cdot 1 + (- a) = 128

3 a + 2 = 128 \Rightarrow 3 a = 126 \Rightarrow a = 42

c = - a = - 42

Buna göre kalan:

R (x) = 42 x^{2} + x - 42

Bu ifade şıklardan A ile aynıdır. Yani doğru cevap A.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Derecesi en fazla $4$ olan $P$ polinomu için aşağıdaki koşullar veriliyor:
$P (0) = 1$
$P (1) = 2$
$P (2) = 4$
$P (3) = 8$
$P (4) = 16$
Buna göre $P (5)$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Verilen değerler: P ( 0 ) = 1 P ( 1 ) = 2 P ( 2 ) = 4 P ( 3 ) = 8 P ( 4 ) = 16 Derece en fazla 4 olduğundan, ardışık değerlerin sonlu fark tablosunda 5. farklar sıfır olmalı; dolayısıyla 4. farklar sabittir. Önce 1. farkları hesaplayalım: Δ 0 = P ( 1 ) - P ( 0 ) = 2 - 1 = 1 Δ 1 = P ( 2 ) - P ( 1 ) = 4 - 2 = 2 Δ 2 = P ( 3 ) - P ( 2 ) = 8 - 4 = 4 Δ 3 = P ( 4 ) - P ( 3 ) = 16 - 8 = 8 Şimdi 2. farklar: Δ ^ 2 0 = 2 - 1 = 1 Δ ^ 2 1 = 4 - 2 = 2 Δ ^ 2 2 = 8 - 4 = 4 3. farklar: Δ ^ 3 0 = 2 - 1 = 1 Δ ^ 3 1 = 4 - 2 = 2 4. fark: Δ ^ 4 0 = 2 - 1 = 1 Derece en fazla 4 olduğundan 4. farklar sabit kalır. Bu yüzden bir sonraki 4. fark da: Δ ^ 4 1 = 1 Şimdi tablonun devamını (geri toplayarak) bulalım: Önce yeni 3. fark: Δ ^ 3 2 = Δ ^ 3 1 + Δ ^ 4 1 = 2 + 1 = 3 Sonra yeni 2. fark: Δ ^ 2 3 = Δ ^ 2 2 + Δ ^ 3 2 = 4 + 3 = 7 Sonra yeni 1. fark: Δ 4 = Δ 3 + Δ ^ 2 3 = 8 + 7 = 15 Son olarak yeni değer: P ( 5 ) = P ( 4 ) + Δ 4 = 16 + 15 = 31 Bu durumda doğru seçenek A1085 ’dir.

Çözüm: Verilen değerler: P ( 0 ) = 1 P ( 1 ) = 2 P ( 2 ) = 4 P ( 3 ) = 8 P ( 4 ) = 16 Derece en fazla 4 olduğundan, ardışık değerlerin sonlu fark tablosunda 5. farklar sıfır olmalı; dolayısıyla 4. farklar sabittir. Önce 1. farkları hesaplayalım: Δ 0 = P ( 1 ) - P ( 0 ) = 2 - 1 = 1 Δ 1 = P ( 2 ) - P ( 1 ) = 4 - 2 = 2 Δ 2 = P ( 3 ) - P ( 2 ) = 8 - 4 = 4 Δ 3 = P ( 4 ) - P ( 3 ) = 16 - 8 = 8 Şimdi 2. farklar: Δ ^ 2 0 = 2 - 1 = 1 Δ ^ 2 1 = 4 - 2 = 2 Δ ^ 2 2 = 8 - 4 = 4 3. farklar: Δ ^ 3 0 = 2 - 1 = 1 Δ ^ 3 1 = 4 - 2 = 2 4. fark: Δ ^ 4 0 = 2 - 1 = 1 Derece en fazla 4 olduğundan 4. farklar sabit kalır. Bu yüzden bir sonraki 4. fark da: Δ ^ 4 1 = 1 Şimdi tablonun devamını (geri toplayarak) bulalım: Önce yeni 3. fark: Δ ^ 3 2 = Δ ^ 3 1 + Δ ^ 4 1 = 2 + 1 = 3 Sonra yeni 2. fark: Δ ^ 2 3 = Δ ^ 2 2 + Δ ^ 3 2 = 4 + 3 = 7 Sonra yeni 1. fark: Δ 4 = Δ 3 + Δ ^ 2 3 = 8 + 7 = 15 Son olarak yeni değer: P ( 5 ) = P ( 4 ) + Δ 4 = 16 + 15 = 31 Bu durumda doğru seçenek A1085 ’dir.

Verilen değerler:

P (0) = 1

P (1) = 2

P (2) = 4

P (3) = 8

P (4) = 16

Derece en fazla 4 olduğundan, ardışık değerlerin sonlu fark tablosunda 5. farklar sıfır olmalı; dolayısıyla 4. farklar sabittir.

Önce 1. farkları hesaplayalım:

Δ 0 = P (1) - P (0) = 2 - 1 = 1

Δ 1 = P (2) - P (1) = 4 - 2 = 2

Δ 2 = P (3) - P (2) = 8 - 4 = 4

Δ 3 = P (4) - P (3) = 16 - 8 = 8

Şimdi 2. farklar:

Δ^20 = 2 - 1 = 1

Δ^21 = 4 - 2 = 2

Δ^22 = 8 - 4 = 4

3. farklar:

Δ^30 = 2 - 1 = 1

Δ^31 = 4 - 2 = 2

4. fark:

Δ^40 = 2 - 1 = 1

Derece en fazla 4 olduğundan 4. farklar sabit kalır. Bu yüzden bir sonraki 4. fark da:

Δ^41 = 1

Şimdi tablonun devamını (geri toplayarak) bulalım:

Önce yeni 3. fark:

Δ^32 = Δ^31 + Δ^41 = 2 + 1 = 3

Sonra yeni 2. fark:

Δ^23 = Δ^22 + Δ^32 = 4 + 3 = 7

Sonra yeni 1. fark:

Δ 4 = Δ 3 + Δ^23 = 8 + 7 = 15

Son olarak yeni değer:

P (5) = P (4) + Δ 4 = 16 + 15 = 31

Bu durumda doğru seçenek C’dir.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşulları sağlayan, baş katsayısı $1$ olan üçüncü dereceden $P$ polinomu için $P (0)$ kaçtır?
$P (1) = 1$
$P (2) = 4$
$P (3) = 9$
$P (4) = 16$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

1) Verilen değerler şunu söylüyor: 1,2,3,4 için polinomun aldığı değerler karelerine eşit. P ( 1 ) = 1 = 1 2 P ( 2 ) = 4 = 2 2 P ( 3 ) = 9 = 3 2 P ( 4 ) = 16 = 4 2 2) Şimdi şu yardımcı polinomu tanımlayalım: R ( x ) = P ( x ) - x 2 3) P üçüncü dereceden ve baş katsayısı 1 olduğundan, R de üçüncü dereceden ve baş katsayısı 1 olan (yani sıfır olmayan) bir polinomdur. 4) Verilen eşitliklerden, R ’nin dört farklı kökü olduğu çıkar: R ( 1 ) = 0 R ( 2 ) = 0 R ( 3 ) = 0 R ( 4 ) = 0 5) Ancak sıfır olmayan üçüncü dereceden bir polinomun en fazla 3 farklı kökü olabilir. Dört farklı kök olması, R ’nin sıfır polinomu olmasını zorunlu kılar: R ( x ) = 0 6) Bu durumda P ( x ) = x 2 olur. Fakat bu polinomun üçüncü dereceden baş katsayısı 1 değildir (hatta üçüncü dereceden bile değildir). Çelişki. 7) Sonuç: Verilen koşulların tamamını sağlayan, baş katsayısı 1 olan üçüncü dereceden bir P polinomu yoktur. Dolayısıyla P(0) tek bir sayı olarak belirlenemez; bu yüzden şıkkıB963 (-6) doğru cevap değildir. Not: Eğer son koşul ( P ( 4 ) = 16 ) verilmemiş olsaydı, ilk üç koşul ve moniklikten P ( x ) = ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) bulunur ve bu durumda P ( 0 ) = - 6 yani A çıkardı. Ama verilen dört koşulla birlikte bu mümkün değildir.

Çözüm: 1) Verilen değerler şunu söylüyor: 1,2,3,4 için polinomun aldığı değerler karelerine eşit. P ( 1 ) = 1 = 1 2 P ( 2 ) = 4 = 2 2 P ( 3 ) = 9 = 3 2 P ( 4 ) = 16 = 4 2 2) Şimdi şu yardımcı polinomu tanımlayalım: R ( x ) = P ( x ) - x 2 3) P üçüncü dereceden ve baş katsayısı 1 olduğundan, R de üçüncü dereceden ve baş katsayısı 1 olan (yani sıfır olmayan) bir polinomdur. 4) Verilen eşitliklerden, R ’nin dört farklı kökü olduğu çıkar: R ( 1 ) = 0 R ( 2 ) = 0 R ( 3 ) = 0 R ( 4 ) = 0 5) Ancak sıfır olmayan üçüncü dereceden bir polinomun en fazla 3 farklı kökü olabilir. Dört farklı kök olması, R ’nin sıfır polinomu olmasını zorunlu kılar: R ( x ) = 0 6) Bu durumda P ( x ) = x 2 olur. Fakat bu polinomun üçüncü dereceden baş katsayısı 1 değildir (hatta üçüncü dereceden bile değildir). Çelişki. 7) Sonuç: Verilen koşulların tamamını sağlayan, baş katsayısı 1 olan üçüncü dereceden bir P polinomu yoktur. Dolayısıyla P(0) tek bir sayı olarak belirlenemez; bu yüzden şıkkıB963 (-6) doğru cevap değildir. Not: Eğer son koşul ( P ( 4 ) = 16 ) verilmemiş olsaydı, ilk üç koşul ve moniklikten P ( x ) = ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) bulunur ve bu durumda P ( 0 ) = - 6 yani A çıkardı. Ama verilen dört koşulla birlikte bu mümkün değildir.

1) Verilen değerler şunu söylüyor: 1,2,3,4 için polinomun aldığı değerler karelerine eşit.

P (1) = 1 = 1^{2}

P (2) = 4 = 2^{2}

P (3) = 9 = 3^{2}

P (4) = 16 = 4^{2}

2) Şimdi şu yardımcı polinomu tanımlayalım:

R (x) = P (x) - x^{2}

3) P üçüncü dereceden ve baş katsayısı 1 olduğundan, R de üçüncü dereceden ve baş katsayısı 1 olan (yani sıfır olmayan) bir polinomdur.

4) Verilen eşitliklerden, R’nin dört farklı kökü olduğu çıkar:

R (1) = 0

R (2) = 0

R (3) = 0

R (4) = 0

5) Ancak sıfır olmayan üçüncü dereceden bir polinomun en fazla 3 farklı kökü olabilir. Dört farklı kök olması, R’nin sıfır polinomu olmasını zorunlu kılar:

R (x) = 0

6) Bu durumda

P (x) = x^{2}

olur. Fakat bu polinomun üçüncü dereceden baş katsayısı 1 değildir (hatta üçüncü dereceden bile değildir). Çelişki.

7) Sonuç: Verilen koşulların tamamını sağlayan, baş katsayısı 1 olan üçüncü dereceden bir P polinomu yoktur. Dolayısıyla P(0) tek bir sayı olarak belirlenemez; bu yüzden şıkkıB2574 (-6) doğru cevap değildir.

Not: Eğer son koşul (

P (4) = 16

) verilmemiş olsaydı, ilk üç koşul ve moniklikten

P (x) = (x - 1) (x - 2) (x - 3)

bulunur ve bu durumda

P (0) = - 6

yani A çıkardı. Ama verilen dört koşulla birlikte bu mümkün değildir.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Gerçek katsayılı $P (x)$ polinomu aşağıdaki koşulları sağlıyor:
$P (1) = 1^{4}$
$P (2) = 2^{4}$
$P (3) = 3^{4}$
$P (4) = 4^{4}$
$P (0) = 48$
Buna göre $P (5)$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Verilen değerlere göre, dördüncü dereceden ifadeyi ayırmak için yeni bir polinom tanımlayalım: Q ( x ) = P ( x ) - x 4 Bu tanıma göre verilen noktalarda Q = 0 olur: Q ( 1 ) = P ( 1 ) - 1 4 = 0 Q ( 2 ) = P ( 2 ) - 2 4 = 0 Q ( 3 ) = P ( 3 ) - 3 4 = 0 Q ( 4 ) = P ( 4 ) - 4 4 = 0 Dolayısıyla Q ( x ) polinomunun kökleri bu dört değerdir; o hâlde şu biçimdedir: Q ( x ) = k ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 4 ) Şimdi P ( 0 ) = 48 verisini kullanalım. Tanımdan: Q ( 0 ) = P ( 0 ) - 0 4 = 48 Diğer yandan çarpanlı biçimden: Q ( 0 ) = k ( 0 - 1 ) ( 0 - 2 ) ( 0 - 3 ) ( 0 - 4 ) 48 = k ( - 1 ) ( - 2 ) ( - 3 ) ( - 4 ) = k ⋅ 24 k = 2 Artık P ( 5 ) değerini bulalım: Q ( 5 ) = 2 ( 5 - 1 ) ( 5 - 2 ) ( 5 - 3 ) ( 5 - 4 ) Q ( 5 ) = 2 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 48 Tanımdan P = x 4 + Q olduğuna göre: P ( 5 ) = 5 4 + Q ( 5 ) = 625 + 48 = 673 Sonuç 673 bulunduğu için doğru seçenek C 'dir; yani verilen C cevabı doğrudur.

Çözüm: Verilen değerlere göre, dördüncü dereceden ifadeyi ayırmak için yeni bir polinom tanımlayalım: Q ( x ) = P ( x ) - x 4 Bu tanıma göre verilen noktalarda Q = 0 olur: Q ( 1 ) = P ( 1 ) - 1 4 = 0 Q ( 2 ) = P ( 2 ) - 2 4 = 0 Q ( 3 ) = P ( 3 ) - 3 4 = 0 Q ( 4 ) = P ( 4 ) - 4 4 = 0 Dolayısıyla Q ( x ) polinomunun kökleri bu dört değerdir; o hâlde şu biçimdedir: Q ( x ) = k ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 4 ) Şimdi P ( 0 ) = 48 verisini kullanalım. Tanımdan: Q ( 0 ) = P ( 0 ) - 0 4 = 48 Diğer yandan çarpanlı biçimden: Q ( 0 ) = k ( 0 - 1 ) ( 0 - 2 ) ( 0 - 3 ) ( 0 - 4 ) 48 = k ( - 1 ) ( - 2 ) ( - 3 ) ( - 4 ) = k ⋅ 24 k = 2 Artık P ( 5 ) değerini bulalım: Q ( 5 ) = 2 ( 5 - 1 ) ( 5 - 2 ) ( 5 - 3 ) ( 5 - 4 ) Q ( 5 ) = 2 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 48 Tanımdan P = x 4 + Q olduğuna göre: P ( 5 ) = 5 4 + Q ( 5 ) = 625 + 48 = 673 Sonuç 673 bulunduğu için doğru seçenek C 'dir; yani verilen C cevabı doğrudur.

Verilen değerlere göre, dördüncü dereceden ifadeyi ayırmak için yeni bir polinom tanımlayalım:

Q (x) = P (x) - x^{4}

Bu tanıma göre verilen noktalarda $Q = 0$ olur:

Q (1) = P (1) - 1^{4} = 0

Q (2) = P (2) - 2^{4} = 0

Q (3) = P (3) - 3^{4} = 0

Q (4) = P (4) - 4^{4} = 0

Dolayısıyla $Q (x)$ polinomunun kökleri bu dört değerdir; o hâlde şu biçimdedir:

Q (x) = k (x - 1) (x - 2) (x - 3) (x - 4)

Şimdi $P (0) = 48$ verisini kullanalım. Tanımdan:

Q (0) = P (0) - 0^{4} = 48

Diğer yandan çarpanlı biçimden:

Q (0) = k (0 - 1) (0 - 2) (0 - 3) (0 - 4)

48 = k (- 1) (- 2) (- 3) (- 4) = k \cdot 24

k = 2

Artık $P (5)$ değerini bulalım:

Q (5) = 2 (5 - 1) (5 - 2) (5 - 3) (5 - 4)

Q (5) = 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 48

Tanımdan $P = x^{4} + Q$ olduğuna göre:

P (5) = 5^{4} + Q (5) = 625 + 48 = 673

Sonuç $673$ bulunduğu için doğru seçenek C'dir; yani verilen C cevabı doğrudur.

9. SoruÇoktan Seçmeli

En fazla üçüncü dereceden $P (x)$ polinomu için
$P (0) = 1$ , $P (1) = 3$ , $P (2) = 11$ , $P (3) = 31$
Buna göre $P (4)$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Baş katsayısı bir olan dördüncü dereceden $P (x)$ polinomu $x^{2} + 1$ ile tam bölünmektedir. $P (1) = 3$ ve $P' (1) = 4$ olduğuna göre $P (- 1)$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Polinomlar Sık Sorulan Sorular

Polinomun derecesi nedir?

Sıfır olmayan katsayılı terimler arasındaki en büyük kuvvettir.

Sabit terim nedir?

Değişken içermeyen, polinomun x yerine 0 yazıldığında kalan terimidir.

Kalan teoremi ne işe yarar?

Bir polinomun x-a ile bölümünden kalanını P(a) değerini hesaplayarak bulmayı sağlar.

10. Sınıf Matematik Polinomlar Testleri

Polinomları derece, katsayı ve işlemlerle öğren

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

Sık karıştırılan noktalar

Verimli çalışma yolu

10. Sınıf Matematik Polinomlar Testleri

P(x)=∑k=02025xk polinomunun x2+x+1 ile bölümünden kalan nedir?

Gerçek katsayılı ve derecesi en fazla 3 olan P(x) polinomu içinP(0)=1P(1)=2P(-1)=2P(2)=5Buna göre P(i) kaçtır?

Aşağıdaki koşulları sağlayan gerçek katsayılı polinom için P(-1) değerini bulun.P(x)=x4P(1x)P(0)=1P(1)=5P(2)=41

P(x) polinomunun derecesi 3 ve baş katsayısı 1 olsun.P(1)=1, P(2)=4, P(3)=9 verildiğine göre P(0) kaçtır?

Aşağıdaki bölme işleminde kalanı bulunuz:x7 ifadesinin x-1x+1x-2 ifadesine bölümünden kalan.

Derecesi en fazla 4 olan P polinomu için aşağıdaki koşullar veriliyor:P(0)=1P(1)=2P(2)=4P(3)=8P(4)=16Buna göre P(5) kaçtır?

Aşağıdaki koşulları sağlayan, baş katsayısı 1 olan üçüncü dereceden P polinomu için P(0) kaçtır?P(1)=1P(2)=4P(3)=9P(4)=16

Gerçek katsayılı P(x) polinomu aşağıdaki koşulları sağlıyor:P(1)=14P(2)=24P(3)=34P(4)=44P(0)=48Buna göre P(5) kaçtır?

En fazla üçüncü dereceden P(x) polinomu içinP(0)=1, P(1)=3, P(2)=11, P(3)=31Buna göre P(4) kaçtır?

Baş katsayısı bir olan dördüncü dereceden Px polinomu x2+1 ile tam bölünmektedir. P1=3 ve P′1=4 olduğuna göre P-1 kaçtır?

Polinomlar Sık Sorulan Sorular

$P (x) = \sum_{k = 0}^{2025} x^{k}$ polinomunun $x^{2} + x + 1$ ile bölümünden kalan nedir?

Gerçek katsayılı ve derecesi en fazla $3$ olan $P (x)$ polinomu için
$P (0) = 1$
$P (1) = 2$
$P (- 1) = 2$
$P (2) = 5$
Buna göre $P (i)$ kaçtır?

Aşağıdaki koşulları sağlayan gerçek katsayılı polinom için $P (- 1)$ değerini bulun.
$P (x) = x^{4} P (\frac{1}{x})$
$P (0) = 1$
$P (1) = 5$
$P (2) = 41$

$P (x)$ polinomunun derecesi $3$ ve baş katsayısı $1$ olsun.
$P (1) = 1$ , $P (2) = 4$ , $P (3) = 9$ verildiğine göre $P (0)$ kaçtır?

Aşağıdaki bölme işleminde kalanı bulunuz:
$x^{7}$ ifadesinin $(x - 1) (x + 1) (x - 2)$ ifadesine bölümünden kalan.

Derecesi en fazla $4$ olan $P$ polinomu için aşağıdaki koşullar veriliyor:
$P (0) = 1$
$P (1) = 2$
$P (2) = 4$
$P (3) = 8$
$P (4) = 16$
Buna göre $P (5)$ kaçtır?

Aşağıdaki koşulları sağlayan, baş katsayısı $1$ olan üçüncü dereceden $P$ polinomu için $P (0)$ kaçtır?
$P (1) = 1$
$P (2) = 4$
$P (3) = 9$
$P (4) = 16$

Gerçek katsayılı $P (x)$ polinomu aşağıdaki koşulları sağlıyor:
$P (1) = 1^{4}$
$P (2) = 2^{4}$
$P (3) = 3^{4}$
$P (4) = 4^{4}$
$P (0) = 48$
Buna göre $P (5)$ kaçtır?

En fazla üçüncü dereceden $P (x)$ polinomu için
$P (0) = 1$ , $P (1) = 3$ , $P (2) = 11$ , $P (3) = 31$
Buna göre $P (4)$ kaçtır?

Baş katsayısı bir olan dördüncü dereceden $P (x)$ polinomu $x^{2} + 1$ ile tam bölünmektedir. $P (1) = 3$ ve $P' (1) = 4$ olduğuna göre $P (- 1)$ kaçtır?