10. Sınıf Matematik Polinomlar Testleri

Doğru cevap: A

Verilen koşullardan, polinomun iki kökü olduğu anlaşılır: P ( 1 ) = 0 P ( - 2 ) = 0 Bu nedenle polinom şu şekilde çarpanlara ayrılabilir (üçüncü kökü bilinmiyor diyelim): P ( x ) = ( x - 1 ) ( x + 2 ) ( x - r ) Sabit terim, bu çarpanların sabit terimlerinin çarpımıdır ve soruda sabit terim 6 verilmiş: ( - 1 ) ( 2 ) ( - r ) = 6 2 $r = 6$$r = 3$Demek ki üçüncü kök de 3 olduğundan istenen değer: P ( 3 ) = 0 Sonuç: Doğru seçenek A413’dir.

1. Çözüm: Verilen koşullardan, polinomun iki kökü olduğu anlaşılır: P ( 1 ) = 0 P ( - 2 ) = 0 Bu nedenle polinom şu şekilde çarpanlara ayrılabilir (üçüncü kökü bilinmiyor diyelim): P ( x ) = ( x - 1 ) ( x + 2 ) ( x - r ) Sabit terim, bu çarpanların sabit terimlerinin çarpımıdır ve soruda sabit terim 6 verilmiş: ( - 1 ) ( 2 ) ( - r ) = 6 2 $r = 6$$r = 3$Demek ki üçüncü kök de 3 olduğundan istenen değer: P ( 3 ) = 0 Sonuç: Doğru seçenek A413’dir.

Doğru cevap: B

Bölme işlemi ( x - 2 ) ile yapıldığı için Kalan Teoremi ni kullanırız. Kalan Teoremi: Bir polinomun ( x - a ) ile bölümünden kalan P ( a ) değerine eşittir. Burada $a = 2$olduğundan kalan P ( 2 ) olacaktır. Verilen polinom: P ( x ) = x 3 - 4 x 2 + x + 6 Şimdi $x = 2$yazalım: P ( 2 ) = 2 3 - 4 2 2 + 2 + 6 Üslü ifadeleri hesaplayalım: P ( 2 ) = 8 - 4 · 4 + 2 + 6 Çarpma işlemini yapalım: P ( 2 ) = 8 - 16 + 2 + 6 Toplayıp çıkaralım: P ( 2 ) = 0 Demek ki ( x - 2 ) ile bölümünden kalan 0 olur. Şıklarda 0 değeri şıkkıB514dır. Dolayısıyla doğru cevap B538 ve bu kontrol sonucu A doğrudur.

1. Çözüm: Bölme işlemi ( x - 2 ) ile yapıldığı için Kalan Teoremi ni kullanırız. Kalan Teoremi: Bir polinomun ( x - a ) ile bölümünden kalan P ( a ) değerine eşittir. Burada $a = 2$olduğundan kalan P ( 2 ) olacaktır. Verilen polinom: P ( x ) = x 3 - 4 x 2 + x + 6 Şimdi $x = 2$yazalım: P ( 2 ) = 2 3 - 4 2 2 + 2 + 6 Üslü ifadeleri hesaplayalım: P ( 2 ) = 8 - 4 · 4 + 2 + 6 Çarpma işlemini yapalım: P ( 2 ) = 8 - 16 + 2 + 6 Toplayıp çıkaralım: P ( 2 ) = 0 Demek ki ( x - 2 ) ile bölümünden kalan 0 olur. Şıklarda 0 değeri şıkkıB514dır. Dolayısıyla doğru cevap B538 ve bu kontrol sonucu A doğrudur.

Doğru cevap: C

Bölme işleminde kalan ikinci dereceden olduğundan, ilgili bölenin köklerinde kalan polinomunun değeri, verilen polinomun değeriyle aynıdır. Kalan: r ( x ) = a x 2 + b x + c Bölenin kökleri: $x = 1$, x = − 1, $x = 2$Bu nedenle: r ( 1 ) = f ( 1 ) = 3 r ( − 1 ) = f ( − 1 ) = 1 r ( 2 ) = f ( 2 ) = 4 Şimdi bu değerleri r(x) içinde yazalım: r ( 1 ) = a + b + $c = 3$r ( − 1 ) = a − b + $c = 1$r ( 2 ) = 4 a + 2 b + $c = 4$İlk iki denklemi çıkaralım: ( a + b + c ) − ( a − b + c ) = 3 − 1 2 $b = 2$$b = 1$Bu değeri birinci ve üçüncü denklemde kullanalım: a + 1 + $c = 3$a + $c = 2$4 a + 2 + $c = 4$4 a + $c = 2$Şimdi iki denklemi çıkaralım: ( 4 a + c ) − ( a + c ) = 2 − 2 3 $a = 0$$a = 0$Böylece: a + $c = 2$0 + $c = 2$$c = 2$İstenen değer: r ( 0 ) = c r ( 0 ) = 2 Dolayısıyla doğru seçenek: C826

1. Çözüm: Bölme işleminde kalan ikinci dereceden olduğundan, ilgili bölenin köklerinde kalan polinomunun değeri, verilen polinomun değeriyle aynıdır. Kalan: r ( x ) = a x 2 + b x + c Bölenin kökleri: $x = 1$, x = − 1, $x = 2$Bu nedenle: r ( 1 ) = f ( 1 ) = 3 r ( − 1 ) = f ( − 1 ) = 1 r ( 2 ) = f ( 2 ) = 4 Şimdi bu değerleri r(x) içinde yazalım: r ( 1 ) = a + b + $c = 3$r ( − 1 ) = a − b + $c = 1$r ( 2 ) = 4 a + 2 b + $c = 4$İlk iki denklemi çıkaralım: ( a + b + c ) − ( a − b + c ) = 3 − 1 2 $b = 2$$b = 1$Bu değeri birinci ve üçüncü denklemde kullanalım: a + 1 + $c = 3$a + $c = 2$4 a + 2 + $c = 4$4 a + $c = 2$Şimdi iki denklemi çıkaralım: ( 4 a + c ) − ( a + c ) = 2 − 2 3 $a = 0$$a = 0$Böylece: a + $c = 2$0 + $c = 2$$c = 2$İstenen değer: r ( 0 ) = c r ( 0 ) = 2 Dolayısıyla doğru seçenek: C826

Doğru cevap: D

Verilen polinom: P ( x ) = x 3 - 2 x + 1 Önce istenen toplamı yazalım: P ( 2 ) + P ( - 1 ) Birinci değer: P ( 2 ) = 2 3 - 2 × 2 + 1 P ( 2 ) = $8 - 4 + 1 = 5$ İkinci değer: P ( - 1 ) = ( - 1 ) 3 - 2 × ( - 1 ) + 1 P ( - 1 ) = - $1 + 2 + 1 = 2$ Toplayalım: P ( 2 ) + P ( - 1 ) = $5 + 2 = 7$ Sonuç 7 olduğundan doğru seçenek D ’dir.

1. Çözüm: Verilen polinom: P ( x ) = x 3 - 2 x + 1 Önce istenen toplamı yazalım: P ( 2 ) + P ( - 1 ) Birinci değer: P ( 2 ) = 2 3 - 2 × 2 + 1 P ( 2 ) = $8 - 4 + 1 = 5$ İkinci değer: P ( - 1 ) = ( - 1 ) 3 - 2 × ( - 1 ) + 1 P ( - 1 ) = - $1 + 2 + 1 = 2$ Toplayalım: P ( 2 ) + P ( - 1 ) = $5 + 2 = 7$ Sonuç 7 olduğundan doğru seçenek D ’dir.

Doğru cevap: A

Verilen polinom: P ( x ) = x 3 + 2 x 2 + a x + b Kalan teoremi gereği, x−1 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre: P ( 1 ) = 4 Önce P(1) hesaplayalım: P ( 1 ) = 1 3 + 2 1 2 + a · 1 + b Düzenleyelim: 1 + 2 + a + $b = 4$Buradan: a + $b = 1$Ayrıca x+1 ile bölümünden kalan 0 olduğuna göre: P ( − 1 ) = 0 Şimdi P(−1) hesaplayalım: P ( − 1 ) = − 1 3 + 2 − 1 2 + a · − 1 + b Düzenleyelim: − 1 + 2 − a + $b = 0$Buradan: 1 − a + $b = 0$Sonuç: b − a = − 1 İstenen ifade zaten ilk koşuldan bulundu: a + $b = 1$Dolayısıyla doğru seçenek A505 'dir (1).

1. Çözüm: Verilen polinom: P ( x ) = x 3 + 2 x 2 + a x + b Kalan teoremi gereği, x−1 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre: P ( 1 ) = 4 Önce P(1) hesaplayalım: P ( 1 ) = 1 3 + 2 1 2 + a · 1 + b Düzenleyelim: 1 + 2 + a + $b = 4$Buradan: a + $b = 1$Ayrıca x+1 ile bölümünden kalan 0 olduğuna göre: P ( − 1 ) = 0 Şimdi P(−1) hesaplayalım: P ( − 1 ) = − 1 3 + 2 − 1 2 + a · − 1 + b Düzenleyelim: − 1 + 2 − a + $b = 0$Buradan: 1 − a + $b = 0$Sonuç: b − a = − 1 İstenen ifade zaten ilk koşuldan bulundu: a + $b = 1$Dolayısıyla doğru seçenek A505 'dir (1).

Doğru cevap: B

Verilen değerlerden, polinomdan bir ikinci derece ifade çıkararak geriye kalan kısmın köklerini kullanacağız. Önce yardımcı polinomu tanımlayalım: Q ( x ) = P ( x ) - x 2 Verilen noktalarda yardımcı polinomun değerlerini hesaplayalım: Q ( 1 ) = P ( 1 ) - 1 $2 = 1$ - $1 = 0$ Q ( 2 ) = P ( 2 ) - 2 $2 = 4$ - $4 = 0$ Q ( 3 ) = P ( 3 ) - 3 $2 = 9$ - $9 = 0$ Buradan yardımcı polinomun kökleri elde edilir. Ayrıca P üçüncü derece olduğundan Q da en fazla üçüncü derecedir. O hâlde: Q ( x ) = k ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) Şimdi P(4)=0 bilgisini kullanalım. Önce P ifadesini Q ile yazalım: P ( x ) = x 2 + Q ( x ) = x 2 + k ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) $x=4$için yerine yazalım: P ( 4 ) = 4 2 + k ( 4 - 1 ) ( 4 - 2 ) ( 4 - 3 ) $0 = 16$ + k ( 3 ) ( 2 ) ( 1 ) $0 = 16$ + 6 k k = - 16 6 = - 8 3 İstenen değer için $x=0$yazalım: P ( 0 ) = 0 2 + k ( 0 - 1 ) ( 0 - 2 ) ( 0 - 3 ) P ( 0 ) = k ( - 1 ) ( - 2 ) ( - 3 ) P ( 0 ) = k ( - 6 ) P ( 0 ) = - 8 3 ⋅ ( - 6 ) = 16 Bulunan değer şıklardaki seçeneğiB972 ile aynıdır: P ( 0 ) = 16 Sonuç: Doğru cevap B1016 seçeneğidir.

1. Çözüm: Verilen değerlerden, polinomdan bir ikinci derece ifade çıkararak geriye kalan kısmın köklerini kullanacağız. Önce yardımcı polinomu tanımlayalım: Q ( x ) = P ( x ) - x 2 Verilen noktalarda yardımcı polinomun değerlerini hesaplayalım: Q ( 1 ) = P ( 1 ) - 1 $2 = 1$ - $1 = 0$ Q ( 2 ) = P ( 2 ) - 2 $2 = 4$ - $4 = 0$ Q ( 3 ) = P ( 3 ) - 3 $2 = 9$ - $9 = 0$ Buradan yardımcı polinomun kökleri elde edilir. Ayrıca P üçüncü derece olduğundan Q da en fazla üçüncü derecedir. O hâlde: Q ( x ) = k ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) Şimdi P(4)=0 bilgisini kullanalım. Önce P ifadesini Q ile yazalım: P ( x ) = x 2 + Q ( x ) = x 2 + k ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) $x=4$için yerine yazalım: P ( 4 ) = 4 2 + k ( 4 - 1 ) ( 4 - 2 ) ( 4 - 3 ) $0 = 16$ + k ( 3 ) ( 2 ) ( 1 ) $0 = 16$ + 6 k k = - 16 6 = - 8 3 İstenen değer için $x=0$yazalım: P ( 0 ) = 0 2 + k ( 0 - 1 ) ( 0 - 2 ) ( 0 - 3 ) P ( 0 ) = k ( - 1 ) ( - 2 ) ( - 3 ) P ( 0 ) = k ( - 6 ) P ( 0 ) = - 8 3 ⋅ ( - 6 ) = 16 Bulunan değer şıklardaki seçeneğiB972 ile aynıdır: P ( 0 ) = 16 Sonuç: Doğru cevap B1016 seçeneğidir.

Doğru cevap: C

1) Kalan teoremi: P ( 1 ) = 4 P ( - 1 ) = 0 2) Önce yerine yazalım: P ( 1 ) = 1 4 - 3 1 3 + a 1 2 + b 1 + 5 P ( 1 ) = 1 - 3 + a + b + 5 P ( 1 ) = a + b + 3 a + b + $3 = 4$ a + $b = 1$3) Şimdi yerine yazalım: P ( - 1 ) = - 1 4 - 3 - 1 3 + a - 1 2 + b - 1 + 5 P ( - 1 ) = 1 - 3 ( - 1 ) + a + - b + 5 P ( - 1 ) = 1 + 3 + a - b + 5 P ( - 1 ) = 9 + a - b 9 + a - $b = 0$a - b = - 9 b - $a = 9$4) Sonuç ve şık kontrolü: b - $a = 9$Doğru cevap C419’dır.

1. Çözüm: 1) Kalan teoremi: P ( 1 ) = 4 P ( - 1 ) = 0 2) Önce yerine yazalım: P ( 1 ) = 1 4 - 3 1 3 + a 1 2 + b 1 + 5 P ( 1 ) = 1 - 3 + a + b + 5 P ( 1 ) = a + b + 3 a + b + $3 = 4$ a + $b = 1$3) Şimdi yerine yazalım: P ( - 1 ) = - 1 4 - 3 - 1 3 + a - 1 2 + b - 1 + 5 P ( - 1 ) = 1 - 3 ( - 1 ) + a + - b + 5 P ( - 1 ) = 1 + 3 + a - b + 5 P ( - 1 ) = 9 + a - b 9 + a - $b = 0$a - b = - 9 b - $a = 9$4) Sonuç ve şık kontrolü: b - $a = 9$Doğru cevap C419’dır.

Doğru cevap: D

Çözüm üretilemedi

1. Çözüm: Çözüm üretilemedi

Doğru cevap: A

Önce verilen polinomu ve koşulu yazalım: P ( x ) = x 3 - 2 x 2 + a x + 1 P ( 1 ) = 0 Şimdi $x = 1$değerini polinomda yerine yazalım: P ( 1 ) = 1 3 - 2 1 2 + a ⋅ 1 + 1 Kuvvetleri ve çarpmaları sadeleştirelim: P ( 1 ) = 1 - 2 + a + 1 Verilen koşula göre bu ifade 0 'a eşit olmalı: 1 - 2 + a + $1 = 0$ Sabit terimleri toplayalım: ( 1 - 2 + 1 ) + $a = 0$0 + $a = 0$Buradan a bulunur: $a = 0$Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır. 0

1. Çözüm: Önce verilen polinomu ve koşulu yazalım: P ( x ) = x 3 - 2 x 2 + a x + 1 P ( 1 ) = 0 Şimdi $x = 1$değerini polinomda yerine yazalım: P ( 1 ) = 1 3 - 2 1 2 + a ⋅ 1 + 1 Kuvvetleri ve çarpmaları sadeleştirelim: P ( 1 ) = 1 - 2 + a + 1 Verilen koşula göre bu ifade 0 'a eşit olmalı: 1 - 2 + a + $1 = 0$ Sabit terimleri toplayalım: ( 1 - 2 + 1 ) + $a = 0$0 + $a = 0$Buradan a bulunur: $a = 0$Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır. 0

Doğru cevap: B

1) Şık kontrolü: seçeneğiB17nin doğru olup olmadığını kontrol etmek için Kalan Teoremi kullanılır. 2) Kalan Teoremi: Bir polinomun (x−2) çarpanı olması, P(2)=0 olması demektir. P ( 2 ) = 0 3) Polinomda yerine koyma: P ( x ) = x 3 − 2 x 2 + a x + 6 P ( 2 ) = 2 3 − 2 2 2 + a · 2 + 6 4) Hesaplama ve sadeleştirme: P ( 2 ) = 8 − 8 + 2 a + 6 P ( 2 ) = 2 a + 6 5) Kalanın sıfır olması şartını uygulama: 2 a + 6 = 0 2 a = − 6 a = − 3 6) Sonuç: Doğru cevap B437 şıkkıdır. a = − 3

1. Çözüm: 1) Şık kontrolü: seçeneğiB17nin doğru olup olmadığını kontrol etmek için Kalan Teoremi kullanılır. 2) Kalan Teoremi: Bir polinomun (x−2) çarpanı olması, P(2)=0 olması demektir. P ( 2 ) = 0 3) Polinomda yerine koyma: P ( x ) = x 3 − 2 x 2 + a x + 6 P ( 2 ) = 2 3 − 2 2 2 + a · 2 + 6 4) Hesaplama ve sadeleştirme: P ( 2 ) = 8 − 8 + 2 a + 6 P ( 2 ) = 2 a + 6 5) Kalanın sıfır olması şartını uygulama: 2 a + 6 = 0 2 a = − 6 a = − 3 6) Sonuç: Doğru cevap B437 şıkkıdır. a = − 3