10. Sınıf Matematik Polinomlar Test Çöz

1. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki polinom için $(x - 1)$ bir çarpansa $a$ kaçtır?
$P (x) = x^{3} - 2 x^{2} + a x + 3$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Verilen polinom: P ( x ) = x 3 − 2 x 2 + a x + 3 Eğer ( x − 1 ) bir çarpansa, kalan teoremine göre P ( 1 ) = 0 Şimdi polinomda x = 1 yazalım: P ( 1 ) = 1 3 − 2 1 2 + a ⋅ 1 + 3 Basitleştirelim: P ( 1 ) = 1 − 2 + a + 3 P ( 1 ) = a + 2 Çarpan şartından dolayı a + 2 = 0 Buradan a = − 2 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

Çözüm: Verilen polinom: P ( x ) = x 3 − 2 x 2 + a x + 3 Eğer ( x − 1 ) bir çarpansa, kalan teoremine göre P ( 1 ) = 0 Şimdi polinomda x = 1 yazalım: P ( 1 ) = 1 3 − 2 1 2 + a ⋅ 1 + 3 Basitleştirelim: P ( 1 ) = 1 − 2 + a + 3 P ( 1 ) = a + 2 Çarpan şartından dolayı a + 2 = 0 Buradan a = − 2 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

Verilen polinom:

P (x) = x^{3} - 2 x^{2} + a x + 3

Eğer

(x - 1)

bir çarpansa, kalan teoremine göre

P (1) = 0

Şimdi polinomda

x = 1

yazalım:

P (1) = 1^{3} - 2 1^{2} + a \cdot 1 + 3

Basitleştirelim:

P (1) = 1 - 2 + a + 3

P (1) = a + 2

Çarpan şartından dolayı

a + 2 = 0

Buradan

a = - 2

Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşulları sağlayan dördüncü dereceden $P (x)$ polinomunda $P (0)$ kaçtır?
$P (1) = 0$
$P (- 1) = 0$
$P (2) = 0$
$P (x)$ polinomunun $x^{2} + 1$ ile bölümünden kalan $3 x + 1$ olsun.

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Verilen köklerden dördüncü dereceden polinomu şu biçimde yazarız: P ( x ) = ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x - 2 ) ( m x + n ) Bölme algoritmasına göre, kalan bilgisi şu anlama gelir: P ( x ) = ( x 2 + 1 ) Q ( x ) + ( 3 x + 1 ) Buradan özellikle, bölenin kökleri için değerler elde ederiz: P ( i ) = 3 i + 1 Şimdi çarpanlı biçimde i yazalım: P ( i ) = ( i - 1 ) ( i + 1 ) ( i - 2 ) ( m i + n ) İlk iki çarpanı birleştirelim: ( i - 1 ) ( i + 1 ) = i 2 - 1 = - 1 - 1 = - 2 Dolayısıyla: P ( i ) = ( - 2 ) ( i - 2 ) ( m i + n ) ve bu değer, kalan bilgisinden şu olmalıdır: ( - 2 ) ( i - 2 ) ( m i + n ) = 3 i + 1 Önce baştaki sabit çarpımı sadeleştirelim: ( - 2 ) ( i - 2 ) = - 2 i + 4 = 4 - 2 i Böylece denklem: ( 4 - 2 i ) ( n + m i ) = 1 + 3 i Çarpımı açalım ve gerçel-sanal kısımları ayıralım: ( 4 - 2 i ) ( n + m i ) = 4 n + 4 m i - 2 n i - 2 m i 2 = 4 n + 4 m i - 2 n i + 2 m = ( 4 n + 2 m ) + ( 4 m - 2 n ) i Bu ifade 1+3i olduğuna göre katsayıları eşitleriz: 4 n + 2 m = 1 4 m - 2 n = 3 Sistemi çözelim: 2 m = 1 - 4 n m = 1 - 4 n 2 4 × 1 - 4 n 2 - 2 n = 3 2 ( 1 - 4 n ) - 2 n = 3 2 - 8 n - 2 n = 3 - 10 n = 1 n = - 1 10 m = 1 - 4 ( - 1 10 ) 2 = 1 + 4 10 2 = 14 10 2 = 7 10 Şimdi P(0) hesaplayalım: P ( 0 ) = ( 0 - 1 ) ( 0 + 1 ) ( 0 - 2 ) ( m × 0 + n ) P ( 0 ) = ( - 1 ) ( 1 ) ( - 2 ) ( n ) = 2 n P ( 0 ) = 2 × ( - 1 10 ) = - 1 5 Sonuç: P ( 0 ) = - 1 5 Doğru seçenek, verilen şıklara göre B ’dir.

Çözüm: Verilen köklerden dördüncü dereceden polinomu şu biçimde yazarız: P ( x ) = ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x - 2 ) ( m x + n ) Bölme algoritmasına göre, kalan bilgisi şu anlama gelir: P ( x ) = ( x 2 + 1 ) Q ( x ) + ( 3 x + 1 ) Buradan özellikle, bölenin kökleri için değerler elde ederiz: P ( i ) = 3 i + 1 Şimdi çarpanlı biçimde i yazalım: P ( i ) = ( i - 1 ) ( i + 1 ) ( i - 2 ) ( m i + n ) İlk iki çarpanı birleştirelim: ( i - 1 ) ( i + 1 ) = i 2 - 1 = - 1 - 1 = - 2 Dolayısıyla: P ( i ) = ( - 2 ) ( i - 2 ) ( m i + n ) ve bu değer, kalan bilgisinden şu olmalıdır: ( - 2 ) ( i - 2 ) ( m i + n ) = 3 i + 1 Önce baştaki sabit çarpımı sadeleştirelim: ( - 2 ) ( i - 2 ) = - 2 i + 4 = 4 - 2 i Böylece denklem: ( 4 - 2 i ) ( n + m i ) = 1 + 3 i Çarpımı açalım ve gerçel-sanal kısımları ayıralım: ( 4 - 2 i ) ( n + m i ) = 4 n + 4 m i - 2 n i - 2 m i 2 = 4 n + 4 m i - 2 n i + 2 m = ( 4 n + 2 m ) + ( 4 m - 2 n ) i Bu ifade 1+3i olduğuna göre katsayıları eşitleriz: 4 n + 2 m = 1 4 m - 2 n = 3 Sistemi çözelim: 2 m = 1 - 4 n m = 1 - 4 n 2 4 × 1 - 4 n 2 - 2 n = 3 2 ( 1 - 4 n ) - 2 n = 3 2 - 8 n - 2 n = 3 - 10 n = 1 n = - 1 10 m = 1 - 4 ( - 1 10 ) 2 = 1 + 4 10 2 = 14 10 2 = 7 10 Şimdi P(0) hesaplayalım: P ( 0 ) = ( 0 - 1 ) ( 0 + 1 ) ( 0 - 2 ) ( m × 0 + n ) P ( 0 ) = ( - 1 ) ( 1 ) ( - 2 ) ( n ) = 2 n P ( 0 ) = 2 × ( - 1 10 ) = - 1 5 Sonuç: P ( 0 ) = - 1 5 Doğru seçenek, verilen şıklara göre B ’dir.

Verilen köklerden dördüncü dereceden polinomu şu biçimde yazarız:

P (x) = (x - 1) (x + 1) (x - 2) (m x + n)

Bölme algoritmasına göre, kalan bilgisi şu anlama gelir:

P (x) = (x^{2} + 1) Q (x) + (3 x + 1)

Buradan özellikle, bölenin kökleri için değerler elde ederiz:

P (i) = 3 i + 1

Şimdi çarpanlı biçimde $i$ yazalım:

P (i) = (i - 1) (i + 1) (i - 2) (m i + n)

İlk iki çarpanı birleştirelim:

(i - 1) (i + 1) = i^{2} - 1 = - 1 - 1 = - 2

Dolayısıyla:

P (i) = (- 2) (i - 2) (m i + n)

ve bu değer, kalan bilgisinden şu olmalıdır:

(- 2) (i - 2) (m i + n) = 3 i + 1

Önce baştaki sabit çarpımı sadeleştirelim:

(- 2) (i - 2) = - 2 i + 4 = 4 - 2 i

Böylece denklem:

(4 - 2 i) (n + m i) = 1 + 3 i

Çarpımı açalım ve gerçel-sanal kısımları ayıralım:

(4 - 2 i) (n + m i) = 4 n + 4 m i - 2 n i - 2 m i^{2}

= 4 n + 4 m i - 2 n i + 2 m

= (4 n + 2 m) + (4 m - 2 n) i

Bu ifade $1+3i$ olduğuna göre katsayıları eşitleriz:

4 n + 2 m = 1

4 m - 2 n = 3

Sistemi çözelim:

2 m = 1 - 4 n

m = \frac{1 - 4 n}{2}

4 \times \frac{1 - 4 n}{2} - 2 n = 3

2 (1 - 4 n) - 2 n = 3

2 - 8 n - 2 n = 3

- 10 n = 1

n = - \frac{1}{10}

m = \frac{1 - 4 (- \frac{1}{10})}{2} = \frac{1 + \frac{4}{10}}{2} = \frac{\frac{14}{10}}{2} = \frac{7}{10}

Şimdi $P(0)$ hesaplayalım:

P (0) = (0 - 1) (0 + 1) (0 - 2) (m \times 0 + n)

P (0) = (- 1) (1) (- 2) (n) = 2 n

P (0) = 2 \times (- \frac{1}{10}) = - \frac{1}{5}

Sonuç:

P (0) = - \frac{1}{5}

Doğru seçenek, verilen şıklara göre B’dir.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki polinom için
$P (x) = x^{3} - 2 x^{2} + a x + b$
koşulları sağlanıyor:
$P (1) = 0$
$P (2) = 0$
$a \times b$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

4. SoruÇoktan Seçmeli

$P (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} + k x + 4$
$P (1) = 0$
$k = ?$

Lütfen önce bir cevap seç.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Baş katsayısı $1$ olan üçüncü dereceden $P (x)$ polinomu için $P (1) = 0$ , $P (2) = 0$ ve $P' (1) = 3$ veriliyor. $P (0)$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki polinomun
$P (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + x - 5$
ifadesinin $x - 2$ ile bölümünden kalan kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

7. SoruÇoktan Seçmeli

$P (x)$ birimi katsayılı üçüncü dereceden bir polinom olsun.
$P (1) = 2$ , $P (- 1) = 0$ , $P (2) = 6$ olduğuna göre $P (x)$ polinomunun $x^{2} + 1$ ile bölümünden kalan nedir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Bölme işleminde kalan, bölenin derecesinden küçük dereceli olmalıdır; bu nedenle kalan birinci dereceden alınır. Kalanı aşağıdaki gibi yazalım: R ( x ) = a x + b Polinom bölme algoritmasına göre: P ( x ) = ( x 2 + 1 ) Q ( x ) + R ( x ) Verilen polinom üçüncü dereceden ve birim katsayılı olduğundan, bölüm birinci dereceden ve birim katsayılı olur: Q ( x ) = x + k Bu halde polinomu açalım: P ( x ) = ( x 2 + 1 ) ( x + k ) + a x + b P ( x ) = x 3 + k x 2 + x + k + a x + b P ( x ) = x 3 + k x 2 + ( a + 1 ) x + ( k + b ) Şimdi verilen değerleri yerine yazıp denklem sistemi oluşturalım. Birinci koşul: P ( 1 ) = 2 1 + k + ( a + 1 ) + k + b = 2 2 k + a + b = 0 İkinci koşul: P ( - 1 ) = 0 - 1 + k + ( - 1 ) ( a + 1 ) + k + b = 0 - 1 + k - a - 1 + k + b = 0 2 k - a + b = 2 Üçüncü koşul: P ( 2 ) = 6 8 + 4 k + 2 ( a + 1 ) + k + b = 6 5 k + 2 a + b = - 4 Şimdi sistemi çözelim. İlk iki denklemi çıkaralım: ( 2 k + a + b ) - ( 2 k - a + b ) = 0 - 2 2 a = - 2 a = - 1 Bu değeri birinci denklemde kullanalım: 2 k + ( - 1 ) + b = 0 b = 1 - 2 k Bunu üçüncü denklemde kullanalım: 5 k + 2 ( - 1 ) + ( 1 - 2 k ) = - 4 3 k - 1 = - 4 3 k = - 3 k = - 1 Son olarak kalan katsayılarını yazalım: b = 1 - 2 ( - 1 ) b = 3 Buna göre kalan: R ( x ) = - x + 3 Dolayısıyla doğru seçenek kontrolü: - x + 3 Bu ifade B şıkkı ile aynıdır; doğru cevap B’dir.

Çözüm: Bölme işleminde kalan, bölenin derecesinden küçük dereceli olmalıdır; bu nedenle kalan birinci dereceden alınır. Kalanı aşağıdaki gibi yazalım: R ( x ) = a x + b Polinom bölme algoritmasına göre: P ( x ) = ( x 2 + 1 ) Q ( x ) + R ( x ) Verilen polinom üçüncü dereceden ve birim katsayılı olduğundan, bölüm birinci dereceden ve birim katsayılı olur: Q ( x ) = x + k Bu halde polinomu açalım: P ( x ) = ( x 2 + 1 ) ( x + k ) + a x + b P ( x ) = x 3 + k x 2 + x + k + a x + b P ( x ) = x 3 + k x 2 + ( a + 1 ) x + ( k + b ) Şimdi verilen değerleri yerine yazıp denklem sistemi oluşturalım. Birinci koşul: P ( 1 ) = 2 1 + k + ( a + 1 ) + k + b = 2 2 k + a + b = 0 İkinci koşul: P ( - 1 ) = 0 - 1 + k + ( - 1 ) ( a + 1 ) + k + b = 0 - 1 + k - a - 1 + k + b = 0 2 k - a + b = 2 Üçüncü koşul: P ( 2 ) = 6 8 + 4 k + 2 ( a + 1 ) + k + b = 6 5 k + 2 a + b = - 4 Şimdi sistemi çözelim. İlk iki denklemi çıkaralım: ( 2 k + a + b ) - ( 2 k - a + b ) = 0 - 2 2 a = - 2 a = - 1 Bu değeri birinci denklemde kullanalım: 2 k + ( - 1 ) + b = 0 b = 1 - 2 k Bunu üçüncü denklemde kullanalım: 5 k + 2 ( - 1 ) + ( 1 - 2 k ) = - 4 3 k - 1 = - 4 3 k = - 3 k = - 1 Son olarak kalan katsayılarını yazalım: b = 1 - 2 ( - 1 ) b = 3 Buna göre kalan: R ( x ) = - x + 3 Dolayısıyla doğru seçenek kontrolü: - x + 3 Bu ifade B şıkkı ile aynıdır; doğru cevap B’dir.

Bölme işleminde kalan, bölenin derecesinden küçük dereceli olmalıdır; bu nedenle kalan birinci dereceden alınır.

Kalanı aşağıdaki gibi yazalım:

R (x) = a x + b

Polinom bölme algoritmasına göre:

P (x) = (x^{2} + 1) Q (x) + R (x)

Verilen polinom üçüncü dereceden ve birim katsayılı olduğundan, bölüm birinci dereceden ve birim katsayılı olur:

Q (x) = x + k

Bu halde polinomu açalım:

P (x) = (x^{2} + 1) (x + k) + a x + b

P (x) = x^{3} + k x^{2} + x + k + a x + b

P (x) = x^{3} + k x^{2} + (a + 1) x + (k + b)

Şimdi verilen değerleri yerine yazıp denklem sistemi oluşturalım.

Birinci koşul:

P (1) = 2

1 + k + (a + 1) + k + b = 2

2 k + a + b = 0

İkinci koşul:

P (- 1) = 0

- 1 + k + (- 1) (a + 1) + k + b = 0

- 1 + k - a - 1 + k + b = 0

2 k - a + b = 2

Üçüncü koşul:

P (2) = 6

8 + 4 k + 2 (a + 1) + k + b = 6

5 k + 2 a + b = - 4

Şimdi sistemi çözelim. İlk iki denklemi çıkaralım:

(2 k + a + b) - (2 k - a + b) = 0 - 2

2 a = - 2

a = - 1

Bu değeri birinci denklemde kullanalım:

2 k + (- 1) + b = 0

b = 1 - 2 k

Bunu üçüncü denklemde kullanalım:

5 k + 2 (- 1) + (1 - 2 k) = - 4

3 k - 1 = - 4

3 k = - 3

k = - 1

Son olarak kalan katsayılarını yazalım:

b = 1 - 2 (- 1)

b = 3

Buna göre kalan:

R (x) = - x + 3

Dolayısıyla doğru seçenek kontrolü:

- x + 3

Bu ifade B şıkkı ile aynıdır; doğru cevap B’dir.

8. SoruÇoktan Seçmeli

$P (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 5$ polinomunun $x - 2$ ile bölümünden kalan kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

9. SoruÇoktan Seçmeli

$P (x) = x^{3} - 3 x^{2} + a x + 2$ polinomu $x - 2$ ile tam bölünebiliyor.
Buna göre $a$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıda verilen
$P (x) = x^{3} - 3 x^{2} + a x + 2$
polinomu
$x - 1$
ile tam bölünebiliyorsa
$a$
kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

10. Sınıf Matematik Polinomlar Testleri

Polinomları derece, katsayı ve işlemlerle öğren

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

Sık karıştırılan noktalar

Verimli çalışma yolu

10. Sınıf Matematik Polinomlar Testleri

Aşağıdaki polinom için $(x - 1)$ bir çarpansa $a$ kaçtır?
$P (x) = x^{3} - 2 x^{2} + a x + 3$

Aşağıdaki koşulları sağlayan dördüncü dereceden $P (x)$ polinomunda $P (0)$ kaçtır?
$P (1) = 0$
$P (- 1) = 0$
$P (2) = 0$
$P (x)$ polinomunun $x^{2} + 1$ ile bölümünden kalan $3 x + 1$ olsun.

Aşağıdaki polinom için
$P (x) = x^{3} - 2 x^{2} + a x + b$
koşulları sağlanıyor:
$P (1) = 0$
$P (2) = 0$
$a \times b$ kaçtır?

$P (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} + k x + 4$
$P (1) = 0$
$k = ?$

Baş katsayısı $1$ olan üçüncü dereceden $P (x)$ polinomu için $P (1) = 0$ , $P (2) = 0$ ve $P' (1) = 3$ veriliyor. $P (0)$ kaçtır?

Aşağıdaki polinomun
$P (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + x - 5$
ifadesinin $x - 2$ ile bölümünden kalan kaçtır?

$P (x)$ birimi katsayılı üçüncü dereceden bir polinom olsun.
$P (1) = 2$ , $P (- 1) = 0$ , $P (2) = 6$ olduğuna göre $P (x)$ polinomunun $x^{2} + 1$ ile bölümünden kalan nedir?

$P (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 5$ polinomunun $x - 2$ ile bölümünden kalan kaçtır?

$P (x) = x^{3} - 3 x^{2} + a x + 2$ polinomu $x - 2$ ile tam bölünebiliyor.
Buna göre $a$ kaçtır?

Aşağıda verilen
$P (x) = x^{3} - 3 x^{2} + a x + 2$
polinomu
$x - 1$
ile tam bölünebiliyorsa
$a$
kaçtır?

Polinomlar Sık Sorulan Sorular

10. Sınıf Matematik Polinomlar Testleri

Polinomları derece, katsayı ve işlemlerle öğren

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

Sık karıştırılan noktalar

Verimli çalışma yolu

10. Sınıf Matematik Polinomlar Testleri

Aşağıdaki polinom için (x−1) bir çarpansa a kaçtır?P(x)=x3−2x2+ax+3

Aşağıdaki koşulları sağlayan dördüncü dereceden P(x) polinomunda P(0) kaçtır?P(1)=0P(-1)=0P(2)=0P(x) polinomunun x2+1 ile bölümünden kalan 3x+1 olsun.

Aşağıdaki polinom içinP(x)=x3-2x2+ax+bkoşulları sağlanıyor:P(1)=0P(2)=0a×b kaçtır?

P(x)=2x3−5x2+kx+4P(1)=0k=?

Baş katsayısı 1 olan üçüncü dereceden P(x) polinomu için P(1)=0, P(2)=0 ve P'(1)=3 veriliyor. P(0) kaçtır?

Aşağıdaki polinomunP(x)=2x3-3x2+x-5ifadesinin x-2 ile bölümünden kalan kaçtır?

P(x) birimi katsayılı üçüncü dereceden bir polinom olsun.P(1)=2, P(-1)=0, P(2)=6 olduğuna göre P(x) polinomunun x2+1 ile bölümünden kalan nedir?

P(x)=x3−2x2+3x−5 polinomunun x−2 ile bölümünden kalan kaçtır?

P(x)=x3-3x2+ax+2 polinomu x-2 ile tam bölünebiliyor.Buna göre a kaçtır?

Aşağıda verilenP(x)=x3-3x2+ax+2polinomux-1ile tam bölünebiliyorsaakaçtır?

Polinomlar Sık Sorulan Sorular

Aşağıdaki polinom için $(x - 1)$ bir çarpansa $a$ kaçtır?
$P (x) = x^{3} - 2 x^{2} + a x + 3$

Aşağıdaki koşulları sağlayan dördüncü dereceden $P (x)$ polinomunda $P (0)$ kaçtır?
$P (1) = 0$
$P (- 1) = 0$
$P (2) = 0$
$P (x)$ polinomunun $x^{2} + 1$ ile bölümünden kalan $3 x + 1$ olsun.

Aşağıdaki polinom için
$P (x) = x^{3} - 2 x^{2} + a x + b$
koşulları sağlanıyor:
$P (1) = 0$
$P (2) = 0$
$a \times b$ kaçtır?

$P (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} + k x + 4$
$P (1) = 0$
$k = ?$

Baş katsayısı $1$ olan üçüncü dereceden $P (x)$ polinomu için $P (1) = 0$ , $P (2) = 0$ ve $P' (1) = 3$ veriliyor. $P (0)$ kaçtır?

Aşağıdaki polinomun
$P (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + x - 5$
ifadesinin $x - 2$ ile bölümünden kalan kaçtır?

$P (x)$ birimi katsayılı üçüncü dereceden bir polinom olsun.
$P (1) = 2$ , $P (- 1) = 0$ , $P (2) = 6$ olduğuna göre $P (x)$ polinomunun $x^{2} + 1$ ile bölümünden kalan nedir?

$P (x) = x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 5$ polinomunun $x - 2$ ile bölümünden kalan kaçtır?

$P (x) = x^{3} - 3 x^{2} + a x + 2$ polinomu $x - 2$ ile tam bölünebiliyor.
Buna göre $a$ kaçtır?

Aşağıda verilen
$P (x) = x^{3} - 3 x^{2} + a x + 2$
polinomu
$x - 1$
ile tam bölünebiliyorsa
$a$
kaçtır?