10. Sınıf Matematik Polinomlar Testleri

Doğru cevap: A

Verilen polinom: P ( x ) = x 3 − 2 x 2 + a x + 3 Eğer ( x − 1 ) bir çarpansa, kalan teoremine göre P ( 1 ) = 0 Şimdi polinomda $x = 1$yazalım: P ( 1 ) = 1 3 − 2 1 2 + a ⋅ 1 + 3 Basitleştirelim: P ( 1 ) = 1 − 2 + a + 3 P ( 1 ) = a + 2 Çarpan şartından dolayı a + $2 = 0$ Buradan a = − 2 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

1. Çözüm: Verilen polinom: P ( x ) = x 3 − 2 x 2 + a x + 3 Eğer ( x − 1 ) bir çarpansa, kalan teoremine göre P ( 1 ) = 0 Şimdi polinomda $x = 1$yazalım: P ( 1 ) = 1 3 − 2 1 2 + a ⋅ 1 + 3 Basitleştirelim: P ( 1 ) = 1 − 2 + a + 3 P ( 1 ) = a + 2 Çarpan şartından dolayı a + $2 = 0$ Buradan a = − 2 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

Doğru cevap: B

Verilen köklerden dördüncü dereceden polinomu şu biçimde yazarız: P ( x ) = ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x - 2 ) ( m x + n ) Bölme algoritmasına göre, kalan bilgisi şu anlama gelir: P ( x ) = ( x 2 + 1 ) Q ( x ) + ( 3 x + 1 ) Buradan özellikle, bölenin kökleri için değerler elde ederiz: P ( i ) = 3 i + 1 Şimdi çarpanlı biçimde i yazalım: P ( i ) = ( i - 1 ) ( i + 1 ) ( i - 2 ) ( m i + n ) İlk iki çarpanı birleştirelim: ( i - 1 ) ( i + 1 ) = i 2 - 1 = - 1 - 1 = - 2 Dolayısıyla: P ( i ) = ( - 2 ) ( i - 2 ) ( m i + n ) ve bu değer, kalan bilgisinden şu olmalıdır: ( - 2 ) ( i - 2 ) ( m i + n ) = 3 i + 1 Önce baştaki sabit çarpımı sadeleştirelim: ( - 2 ) ( i - 2 ) = - 2 i + $4 = 4$ - 2 i Böylece denklem: ( 4 - 2 i ) ( n + m i ) = 1 + 3 i Çarpımı açalım ve gerçel-sanal kısımları ayıralım: ( 4 - 2 i ) ( n + m i ) = 4 n + 4 m i - 2 n i - 2 m i $2 = 4$ n + 4 m i - 2 n i + 2 m = ( 4 n + 2 m ) + ( 4 m - 2 n ) i Bu ifade 1+3i olduğuna göre katsayıları eşitleriz: 4 n + 2 $m = 1$4 m - 2 $n = 3$Sistemi çözelim: 2 $m = 1 - 4$n $m = 1 - 4$n 2 4 × 1 - 4 n 2 - 2 $n = 3$2 ( 1 - 4 n ) - 2 $n = 3$2 - 8 n - 2 $n = 3 - 10$$n = 1$n = - 1 10 $m = 1 - 4$( - 1 10 ) $2 = 1$ + 4 10 $2 = 14$ 10 $2 = 7$ 10 Şimdi P(0) hesaplayalım: P ( 0 ) = ( 0 - 1 ) ( 0 + 1 ) ( 0 - 2 ) ( m × 0 + n ) P ( 0 ) = ( - 1 ) ( 1 ) ( - 2 ) ( n ) = 2 n P ( 0 ) = 2 × ( - 1 10 ) = - 1 5 Sonuç: P ( 0 ) = - 1 5 Doğru seçenek, verilen şıklara göre B ’dir.

1. Çözüm: Verilen köklerden dördüncü dereceden polinomu şu biçimde yazarız: P ( x ) = ( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x - 2 ) ( m x + n ) Bölme algoritmasına göre, kalan bilgisi şu anlama gelir: P ( x ) = ( x 2 + 1 ) Q ( x ) + ( 3 x + 1 ) Buradan özellikle, bölenin kökleri için değerler elde ederiz: P ( i ) = 3 i + 1 Şimdi çarpanlı biçimde i yazalım: P ( i ) = ( i - 1 ) ( i + 1 ) ( i - 2 ) ( m i + n ) İlk iki çarpanı birleştirelim: ( i - 1 ) ( i + 1 ) = i 2 - 1 = - 1 - 1 = - 2 Dolayısıyla: P ( i ) = ( - 2 ) ( i - 2 ) ( m i + n ) ve bu değer, kalan bilgisinden şu olmalıdır: ( - 2 ) ( i - 2 ) ( m i + n ) = 3 i + 1 Önce baştaki sabit çarpımı sadeleştirelim: ( - 2 ) ( i - 2 ) = - 2 i + $4 = 4$ - 2 i Böylece denklem: ( 4 - 2 i ) ( n + m i ) = 1 + 3 i Çarpımı açalım ve gerçel-sanal kısımları ayıralım: ( 4 - 2 i ) ( n + m i ) = 4 n + 4 m i - 2 n i - 2 m i $2 = 4$ n + 4 m i - 2 n i + 2 m = ( 4 n + 2 m ) + ( 4 m - 2 n ) i Bu ifade 1+3i olduğuna göre katsayıları eşitleriz: 4 n + 2 $m = 1$4 m - 2 $n = 3$Sistemi çözelim: 2 $m = 1 - 4$n $m = 1 - 4$n 2 4 × 1 - 4 n 2 - 2 $n = 3$2 ( 1 - 4 n ) - 2 $n = 3$2 - 8 n - 2 $n = 3 - 10$$n = 1$n = - 1 10 $m = 1 - 4$( - 1 10 ) $2 = 1$ + 4 10 $2 = 14$ 10 $2 = 7$ 10 Şimdi P(0) hesaplayalım: P ( 0 ) = ( 0 - 1 ) ( 0 + 1 ) ( 0 - 2 ) ( m × 0 + n ) P ( 0 ) = ( - 1 ) ( 1 ) ( - 2 ) ( n ) = 2 n P ( 0 ) = 2 × ( - 1 10 ) = - 1 5 Sonuç: P ( 0 ) = - 1 5 Doğru seçenek, verilen şıklara göre B ’dir.

Doğru cevap: A

Şık kontrolü için önce verilen koşullardan a ve b değerlerini bulalım. Verilen polinom: P ( x ) = x 3 - 2 x 2 + a x + b Birinci koşulu uygulayalım: P ( 1 ) = 0 Yerine koyma: 1 3 - 2 1 2 + a × 1 + $b = 0$Düzenleme: - 1 + a + $b = 0$Buradan: a + $b = 1$İkinci koşulu uygulayalım: P ( 2 ) = 0 Yerine koyma: 2 3 - 2 2 2 + a × 2 + $b = 0$İlk iki terim birbirini götürür: 0 + 2 a + $b = 0$Buradan: 2 a + $b = 0$İki denklemi birlikte çözelim. İkinci denklemden: b = - 2 a Bunu birinci denklemde yerine koyalım: a + ( - 2 a ) = 1 Düzenleme: - $a = 1$Buradan: a = - 1 Şimdi b değerini bulalım: b = - 2 × ( - 1 ) $b = 2$İstenen çarpım: a × b = ( - 1 ) × 2 a × b = - 2 Sonuç - 2 olduğu için doğru cevap A şıkkıdır.

1. Çözüm: Şık kontrolü için önce verilen koşullardan a ve b değerlerini bulalım. Verilen polinom: P ( x ) = x 3 - 2 x 2 + a x + b Birinci koşulu uygulayalım: P ( 1 ) = 0 Yerine koyma: 1 3 - 2 1 2 + a × 1 + $b = 0$Düzenleme: - 1 + a + $b = 0$Buradan: a + $b = 1$İkinci koşulu uygulayalım: P ( 2 ) = 0 Yerine koyma: 2 3 - 2 2 2 + a × 2 + $b = 0$İlk iki terim birbirini götürür: 0 + 2 a + $b = 0$Buradan: 2 a + $b = 0$İki denklemi birlikte çözelim. İkinci denklemden: b = - 2 a Bunu birinci denklemde yerine koyalım: a + ( - 2 a ) = 1 Düzenleme: - $a = 1$Buradan: a = - 1 Şimdi b değerini bulalım: b = - 2 × ( - 1 ) $b = 2$İstenen çarpım: a × b = ( - 1 ) × 2 a × b = - 2 Sonuç - 2 olduğu için doğru cevap A şıkkıdır.

Doğru cevap: C

Verilen polinom: P ( x ) = 2 x 3 − 5 x 2 + k x + 4 Koşul: P ( 1 ) = 0 Yerine koyma: P ( 1 ) = 2 1 3 − 5 1 2 + k ⋅ 1 + 4 Üsleri sadeleştirme: P ( 1 ) = 2 − 5 + k + 4 Sabit terimleri toplama: P ( 1 ) = 1 + k Koşulu uygulama: 1 + $k = 0$Buradan: k = − 1 Doğru seçenek kontrolü: Bulunan değer: − 1 Bu değer şıklarda C seçeneğidir; yani C doğrudur.

1. Çözüm: Verilen polinom: P ( x ) = 2 x 3 − 5 x 2 + k x + 4 Koşul: P ( 1 ) = 0 Yerine koyma: P ( 1 ) = 2 1 3 − 5 1 2 + k ⋅ 1 + 4 Üsleri sadeleştirme: P ( 1 ) = 2 − 5 + k + 4 Sabit terimleri toplama: P ( 1 ) = 1 + k Koşulu uygulama: 1 + $k = 0$Buradan: k = − 1 Doğru seçenek kontrolü: Bulunan değer: − 1 Bu değer şıklarda C seçeneğidir; yani C doğrudur.

Doğru cevap: A

Verilenlere göre baş katsayısı 1 olan üçüncü dereceden polinomun iki kökü 1 ve 2 olduğundan şu şekilde yazabiliriz: P ( x ) = ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - a ) Türev için, köklerde kullanılan şu özelliği uygulayalım: Eğer P ( x ) = ∏ i ( x - r i ) ise, basit bir kök için P ′ ( r k ) = ∏ i ≠ k ( r k - r i ) Burada köklerden biri 1 olduğuna göre, türev değeri şu olur: P ′ ( 1 ) = ( 1 - 2 ) ( 1 - a ) Verilen koşula göre bunu 3 'e eşitleriz: ( 1 - 2 ) ( 1 - a ) = 3 Düzenleyelim: ( - 1 ) ( 1 - a ) = 3 a - $1 = 3$ $a = 4$Şimdi polinomu yazıp 0 'daki değerini bulalım: P ( x ) = ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 4 ) P ( 0 ) = ( 0 - 1 ) ( 0 - 2 ) ( 0 - 4 ) P ( 0 ) = ( - 1 ) ( - 2 ) ( - 4 ) = - 8 Sonuç olarak doğru seçenek A 'dır.

1. Çözüm: Verilenlere göre baş katsayısı 1 olan üçüncü dereceden polinomun iki kökü 1 ve 2 olduğundan şu şekilde yazabiliriz: P ( x ) = ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - a ) Türev için, köklerde kullanılan şu özelliği uygulayalım: Eğer P ( x ) = ∏ i ( x - r i ) ise, basit bir kök için P ′ ( r k ) = ∏ i ≠ k ( r k - r i ) Burada köklerden biri 1 olduğuna göre, türev değeri şu olur: P ′ ( 1 ) = ( 1 - 2 ) ( 1 - a ) Verilen koşula göre bunu 3 'e eşitleriz: ( 1 - 2 ) ( 1 - a ) = 3 Düzenleyelim: ( - 1 ) ( 1 - a ) = 3 a - $1 = 3$ $a = 4$Şimdi polinomu yazıp 0 'daki değerini bulalım: P ( x ) = ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 4 ) P ( 0 ) = ( 0 - 1 ) ( 0 - 2 ) ( 0 - 4 ) P ( 0 ) = ( - 1 ) ( - 2 ) ( - 4 ) = - 8 Sonuç olarak doğru seçenek A 'dır.

Doğru cevap: A

Bölen ifade x − 2 olduğuna göre kalan teoremi uygulanır. Verilen polinom: P ( x ) = 2 x 3 - 3 x 2 + x - 5 Bölen: x - 2 Kalan teoremine göre, x − 2 ile bölümden kalan: $R = P$( 2 ) P ( 2 ) = 2 ⋅ 2 3 - 3 ⋅ 2 2 + 2 - 5 P ( 2 ) = 2 ⋅ 8 - 3 ⋅ 4 + 2 - 5 P ( 2 ) = 16 - 12 + 2 - 5 P ( 2 ) = 4 + 2 - 5 P ( 2 ) = 6 - 5 P ( 2 ) = 1 Sonuç: Kalan A şıkkı dır.

1. Çözüm: Bölen ifade x − 2 olduğuna göre kalan teoremi uygulanır. Verilen polinom: P ( x ) = 2 x 3 - 3 x 2 + x - 5 Bölen: x - 2 Kalan teoremine göre, x − 2 ile bölümden kalan: $R = P$( 2 ) P ( 2 ) = 2 ⋅ 2 3 - 3 ⋅ 2 2 + 2 - 5 P ( 2 ) = 2 ⋅ 8 - 3 ⋅ 4 + 2 - 5 P ( 2 ) = 16 - 12 + 2 - 5 P ( 2 ) = 4 + 2 - 5 P ( 2 ) = 6 - 5 P ( 2 ) = 1 Sonuç: Kalan A şıkkı dır.

Doğru cevap: B

Bölme işleminde kalan, bölenin derecesinden küçük dereceli olmalıdır; bu nedenle kalan birinci dereceden alınır. Kalanı aşağıdaki gibi yazalım: R ( x ) = a x + b Polinom bölme algoritmasına göre: P ( x ) = ( x 2 + 1 ) Q ( x ) + R ( x ) Verilen polinom üçüncü dereceden ve birim katsayılı olduğundan, bölüm birinci dereceden ve birim katsayılı olur: Q ( x ) = x + k Bu halde polinomu açalım: P ( x ) = ( x 2 + 1 ) ( x + k ) + a x + b P ( x ) = x 3 + k x 2 + x + k + a x + b P ( x ) = x 3 + k x 2 + ( a + 1 ) x + ( k + b ) Şimdi verilen değerleri yerine yazıp denklem sistemi oluşturalım. Birinci koşul: P ( 1 ) = 2 1 + k + ( a + 1 ) + k + $b = 2$2 k + a + $b = 0$İkinci koşul: P ( - 1 ) = 0 - 1 + k + ( - 1 ) ( a + 1 ) + k + $b = 0 - 1 + k - a - 1 + k + b$= 0 2 k - a + $b = 2$Üçüncü koşul: P ( 2 ) = 6 8 + 4 k + 2 ( a + 1 ) + k + $b = 6$5 k + 2 a + b = - 4 Şimdi sistemi çözelim. İlk iki denklemi çıkaralım: ( 2 k + a + b ) - ( 2 k - a + b ) = 0 - 2 2 a = - 2 a = - 1 Bu değeri birinci denklemde kullanalım: 2 k + ( - 1 ) + $b = 0$$b = 1 - 2$k Bunu üçüncü denklemde kullanalım: 5 k + 2 ( - 1 ) + ( 1 - 2 k ) = - 4 3 k - 1 = - 4 3 k = - 3 k = - 1 Son olarak kalan katsayılarını yazalım: $b = 1 - 2$( - 1 ) $b = 3$Buna göre kalan: R ( x ) = - x + 3 Dolayısıyla doğru seçenek kontrolü: - x + 3 Bu ifade B şıkkı ile aynıdır; doğru cevap B’dir.

1. Çözüm: Bölme işleminde kalan, bölenin derecesinden küçük dereceli olmalıdır; bu nedenle kalan birinci dereceden alınır. Kalanı aşağıdaki gibi yazalım: R ( x ) = a x + b Polinom bölme algoritmasına göre: P ( x ) = ( x 2 + 1 ) Q ( x ) + R ( x ) Verilen polinom üçüncü dereceden ve birim katsayılı olduğundan, bölüm birinci dereceden ve birim katsayılı olur: Q ( x ) = x + k Bu halde polinomu açalım: P ( x ) = ( x 2 + 1 ) ( x + k ) + a x + b P ( x ) = x 3 + k x 2 + x + k + a x + b P ( x ) = x 3 + k x 2 + ( a + 1 ) x + ( k + b ) Şimdi verilen değerleri yerine yazıp denklem sistemi oluşturalım. Birinci koşul: P ( 1 ) = 2 1 + k + ( a + 1 ) + k + $b = 2$2 k + a + $b = 0$İkinci koşul: P ( - 1 ) = 0 - 1 + k + ( - 1 ) ( a + 1 ) + k + $b = 0 - 1 + k - a - 1 + k + b$= 0 2 k - a + $b = 2$Üçüncü koşul: P ( 2 ) = 6 8 + 4 k + 2 ( a + 1 ) + k + $b = 6$5 k + 2 a + b = - 4 Şimdi sistemi çözelim. İlk iki denklemi çıkaralım: ( 2 k + a + b ) - ( 2 k - a + b ) = 0 - 2 2 a = - 2 a = - 1 Bu değeri birinci denklemde kullanalım: 2 k + ( - 1 ) + $b = 0$$b = 1 - 2$k Bunu üçüncü denklemde kullanalım: 5 k + 2 ( - 1 ) + ( 1 - 2 k ) = - 4 3 k - 1 = - 4 3 k = - 3 k = - 1 Son olarak kalan katsayılarını yazalım: $b = 1 - 2$( - 1 ) $b = 3$Buna göre kalan: R ( x ) = - x + 3 Dolayısıyla doğru seçenek kontrolü: - x + 3 Bu ifade B şıkkı ile aynıdır; doğru cevap B’dir.