10. Sınıf Matematik Polinomlar Testleri

Doğru cevap: C

Verilenlere göre şıkkıC17 (18) doğrudur. (Aşağıda tek bir değer bulunabilmesi için en küçük dereceli/başka çarpanı olmayan monik polinom alınır; aksi halde P ( 4 ) sabit kalmaz.) 1) P ( 1 ) = 0, P ( 2 ) = 0, P ( 3 ) = 0 olduğundan P ( x ) = ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) Q ( x ) şeklinde yazılabilir. 2) P ( 0 ) = 6 verisini kullanalım: P ( 0 ) = ( 0 − 1 ) ( 0 − 2 ) ( 0 − 3 ) Q ( 0 ) 6 = ( −1 ) ( −2 ) ( −3 ) Q ( 0 ) = −6 Q ( 0 ) Q ( 0 ) = −1 3) Sorunun tek bir cevabı olması için en küçük dereceli (başka çarpanı olmayan) monik seçim yapılır. Bu durumda Q ( x ) monik olup Q ( 0 ) = −1 koşulunu en basit şekilde sağlayan Q ( x ) = x − 1 olur. Böylece P ( x ) = ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − 1 ) P ( x ) = ( x − 1 ) ( x − 1 ) 1 ( x − 2 ) ( x − 3 ) yani P ( x ) = ( x − 1 ) 2 ( x − 2 ) ( x − 3 ) 4) Şimdi P ( 4 ) hesaplayalım: P ( 4 ) = ( 4 − 1 ) 2 ( 4 − 2 ) ( 4 − 3 ) P ( 4 ) = 3 2 ⋅ 2 ⋅ 1 = 18 Sonuç: P ( 4 ) = 18 olduğu için doğru seçenek C933 ’dir.

1. Çözüm: Verilenlere göre şıkkıC17 (18) doğrudur. (Aşağıda tek bir değer bulunabilmesi için en küçük dereceli/başka çarpanı olmayan monik polinom alınır; aksi halde P ( 4 ) sabit kalmaz.) 1) P ( 1 ) = 0, P ( 2 ) = 0, P ( 3 ) = 0 olduğundan P ( x ) = ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) Q ( x ) şeklinde yazılabilir. 2) P ( 0 ) = 6 verisini kullanalım: P ( 0 ) = ( 0 − 1 ) ( 0 − 2 ) ( 0 − 3 ) Q ( 0 ) 6 = ( −1 ) ( −2 ) ( −3 ) Q ( 0 ) = −6 Q ( 0 ) Q ( 0 ) = −1 3) Sorunun tek bir cevabı olması için en küçük dereceli (başka çarpanı olmayan) monik seçim yapılır. Bu durumda Q ( x ) monik olup Q ( 0 ) = −1 koşulunu en basit şekilde sağlayan Q ( x ) = x − 1 olur. Böylece P ( x ) = ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − 1 ) P ( x ) = ( x − 1 ) ( x − 1 ) 1 ( x − 2 ) ( x − 3 ) yani P ( x ) = ( x − 1 ) 2 ( x − 2 ) ( x − 3 ) 4) Şimdi P ( 4 ) hesaplayalım: P ( 4 ) = ( 4 − 1 ) 2 ( 4 − 2 ) ( 4 − 3 ) P ( 4 ) = 3 2 ⋅ 2 ⋅ 1 = 18 Sonuç: P ( 4 ) = 18 olduğu için doğru seçenek C933 ’dir.

Doğru cevap: D

Verilen polinom: P ( x ) = x 3 − 2 x 2 + a x + 1 Bölünebilme koşulu: x − 1 ile tam bölünüyorsa kalan teoremine göre P ( 1 ) = 0 Şimdi polinomda yerine koyma yapalım: P ( 1 ) = 1 3 − 2 1 2 + a · 1 + 1 Sadeleştirelim: P ( 1 ) = 1 − 2 + a + 1 Bölünebilme için bu değer sıfır olmalı: 1 − 2 + a + 1 = 0 Toplayalım: a = 0 Sonuç: Doğru cevap D323 şıkkıdır. a = 0

1. Çözüm: Verilen polinom: P ( x ) = x 3 − 2 x 2 + a x + 1 Bölünebilme koşulu: x − 1 ile tam bölünüyorsa kalan teoremine göre P ( 1 ) = 0 Şimdi polinomda yerine koyma yapalım: P ( 1 ) = 1 3 − 2 1 2 + a · 1 + 1 Sadeleştirelim: P ( 1 ) = 1 − 2 + a + 1 Bölünebilme için bu değer sıfır olmalı: 1 − 2 + a + 1 = 0 Toplayalım: a = 0 Sonuç: Doğru cevap D323 şıkkıdır. a = 0

Doğru cevap: A

Doğru şık kontrolü: Hesaplayınca cevap A çıkıyor. Polinomun derecesi en fazla 3 olduğundan genel biçimi alalım: P ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d Verilen değerleri yerine yazalım: P ( 1 ) = 2  ⇒  a + b + c + d = 2 P ( - 1 ) = 0  ⇒  - a + b - c + d = 0 P ( i ) = 1  ⇒  a i 3 + b i 2 + c i + d = 1 P ( - i ) = 3  ⇒  a - i 3 + b - i 2 + c ( - i ) + d = 3 İlk iki denklemi toplayıp çıkararak sadeleştirelim: ( a + b + c + d ) + ( - a + b - c + d ) = 2 + 0 2 b + 2 d = 2  ⇒  b + d = 1 ( a + b + c + d ) - ( - a + b - c + d ) = 2 - 0 2 a + 2 c = 2  ⇒  a + c = 1 Bunlardan: d = 1 - b c = 1 - a Şimdi i ve -i için olan denklemleri, i kuvvetlerini kullanarak yazalım: i 2 = - 1 i 3 = - i - i 2 = - 1 - i 3 = i Bu durumda: P ( i ) = - a i - b + c i + d = 1 P ( - i ) = a i - b - c i + d = 3 d = 1 - b ve c = 1 - a yazıp düzenleyelim: ( 1 - b ) - b + i ( 1 - a - a ) = 1 1 - 2 b + i ( 1 - 2 a ) = 1 - 2 b + i ( 1 - 2 a ) = 0 2 b = i ( 1 - 2 a ) Diğer denkleme de aynı işlemi uygulayalım: ( 1 - b ) - b + i ( a - ( 1 - a ) ) = 3 1 - 2 b + i ( 2 a - 1 ) = 3 - 2 b + i ( 2 a - 1 ) = 2 2 b = i ( 2 a - 1 ) - 2 İki farklı 2b ifadesini eşitleyelim: i ( 1 - 2 a ) = i ( 2 a - 1 ) - 2 - i ( 2 a - 1 ) = i ( 2 a - 1 ) - 2 - 2 i ( 2 a - 1 ) = - 2 i ( 2 a - 1 ) = 1 2 a - 1 = 1 i 1 i = - i 2 a - 1 = - i  ⇒  a = 1 - i 2 Buradan c: c = 1 - a = 1 - 1 - i 2 = 1 + i 2 2b = i(1 - 2a) denkleminden b: 2 a = 1 - i 1 - 2 a = i 2 b = i × i = - 1  ⇒  b = - 1 2 Son olarak d = 1 - b: d = 1 - ( - 1 2 ) = 3 2 P ( 0 ) = d = 3 2 Sonuç: Doğru cevap A.

1. Çözüm: Doğru şık kontrolü: Hesaplayınca cevap A çıkıyor. Polinomun derecesi en fazla 3 olduğundan genel biçimi alalım: P ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d Verilen değerleri yerine yazalım: P ( 1 ) = 2  ⇒  a + b + c + d = 2 P ( - 1 ) = 0  ⇒  - a + b - c + d = 0 P ( i ) = 1  ⇒  a i 3 + b i 2 + c i + d = 1 P ( - i ) = 3  ⇒  a - i 3 + b - i 2 + c ( - i ) + d = 3 İlk iki denklemi toplayıp çıkararak sadeleştirelim: ( a + b + c + d ) + ( - a + b - c + d ) = 2 + 0 2 b + 2 d = 2  ⇒  b + d = 1 ( a + b + c + d ) - ( - a + b - c + d ) = 2 - 0 2 a + 2 c = 2  ⇒  a + c = 1 Bunlardan: d = 1 - b c = 1 - a Şimdi i ve -i için olan denklemleri, i kuvvetlerini kullanarak yazalım: i 2 = - 1 i 3 = - i - i 2 = - 1 - i 3 = i Bu durumda: P ( i ) = - a i - b + c i + d = 1 P ( - i ) = a i - b - c i + d = 3 d = 1 - b ve c = 1 - a yazıp düzenleyelim: ( 1 - b ) - b + i ( 1 - a - a ) = 1 1 - 2 b + i ( 1 - 2 a ) = 1 - 2 b + i ( 1 - 2 a ) = 0 2 b = i ( 1 - 2 a ) Diğer denkleme de aynı işlemi uygulayalım: ( 1 - b ) - b + i ( a - ( 1 - a ) ) = 3 1 - 2 b + i ( 2 a - 1 ) = 3 - 2 b + i ( 2 a - 1 ) = 2 2 b = i ( 2 a - 1 ) - 2 İki farklı 2b ifadesini eşitleyelim: i ( 1 - 2 a ) = i ( 2 a - 1 ) - 2 - i ( 2 a - 1 ) = i ( 2 a - 1 ) - 2 - 2 i ( 2 a - 1 ) = - 2 i ( 2 a - 1 ) = 1 2 a - 1 = 1 i 1 i = - i 2 a - 1 = - i  ⇒  a = 1 - i 2 Buradan c: c = 1 - a = 1 - 1 - i 2 = 1 + i 2 2b = i(1 - 2a) denkleminden b: 2 a = 1 - i 1 - 2 a = i 2 b = i × i = - 1  ⇒  b = - 1 2 Son olarak d = 1 - b: d = 1 - ( - 1 2 ) = 3 2 P ( 0 ) = d = 3 2 Sonuç: Doğru cevap A.

Doğru cevap: B

Verilen monik polinom için istenen değer sabit terimdir. P ( 0 ) = c Verilen değerleri yerine yazıp denklem sistemi kuracağız. P ( x ) = x 3 + a x 2 + b x + c P ( 1 ) = 2 koşulundan: 1 3 + a 1 2 + b + c = 2 1 + a + b + c = 2 a + b + c = 1 P ( 2 ) = 5 koşulundan: 2 3 + a 2 2 + b ( 2 ) + c = 5 8 + 4 a + 2 b + c = 5 4 a + 2 b + c = - 3 P ( 3 ) = 10 koşulundan: 3 3 + a 3 2 + b ( 3 ) + c = 10 27 + 9 a + 3 b + c = 10 9 a + 3 b + c = - 17 Sistemi çözmek için c terimini yok edelim. İkinci denklemden birinci denklemi çıkaralım: ( 4 a + 2 b + c ) - ( a + b + c ) = - 3 - 1 3 a + b = - 4 Üçüncü denklemden birinci denklemi çıkaralım: ( 9 a + 3 b + c ) - ( a + b + c ) = - 17 - 1 8 a + 2 b = - 18 4 a + b = - 9 Şimdi iki bilinmeyenli sistemi çözelim: 3 a + b = - 4 4 a + b = - 9 İkinci denklemden birinci denklemi çıkaralım: ( 4 a + b ) - ( 3 a + b ) = - 9 - ( - 4 ) a = - 5 a = - 5 değerini 3 a + b = - 4 denkleminde yerine yazalım: 3 ( - 5 ) + b = - 4 - 15 + b = - 4 b = 11 Şimdi a + b + c = 1 denkleminden c yi bulalım: - 5 + 11 + c = 1 6 + c = 1 c = - 5 İstenen: P ( 0 ) = c = - 5 Doğru seçenek B ’dir.

1. Çözüm: Verilen monik polinom için istenen değer sabit terimdir. P ( 0 ) = c Verilen değerleri yerine yazıp denklem sistemi kuracağız. P ( x ) = x 3 + a x 2 + b x + c P ( 1 ) = 2 koşulundan: 1 3 + a 1 2 + b + c = 2 1 + a + b + c = 2 a + b + c = 1 P ( 2 ) = 5 koşulundan: 2 3 + a 2 2 + b ( 2 ) + c = 5 8 + 4 a + 2 b + c = 5 4 a + 2 b + c = - 3 P ( 3 ) = 10 koşulundan: 3 3 + a 3 2 + b ( 3 ) + c = 10 27 + 9 a + 3 b + c = 10 9 a + 3 b + c = - 17 Sistemi çözmek için c terimini yok edelim. İkinci denklemden birinci denklemi çıkaralım: ( 4 a + 2 b + c ) - ( a + b + c ) = - 3 - 1 3 a + b = - 4 Üçüncü denklemden birinci denklemi çıkaralım: ( 9 a + 3 b + c ) - ( a + b + c ) = - 17 - 1 8 a + 2 b = - 18 4 a + b = - 9 Şimdi iki bilinmeyenli sistemi çözelim: 3 a + b = - 4 4 a + b = - 9 İkinci denklemden birinci denklemi çıkaralım: ( 4 a + b ) - ( 3 a + b ) = - 9 - ( - 4 ) a = - 5 a = - 5 değerini 3 a + b = - 4 denkleminde yerine yazalım: 3 ( - 5 ) + b = - 4 - 15 + b = - 4 b = 11 Şimdi a + b + c = 1 denkleminden c yi bulalım: - 5 + 11 + c = 1 6 + c = 1 c = - 5 İstenen: P ( 0 ) = c = - 5 Doğru seçenek B ’dir.

Doğru cevap: C

Kontrol: Doğru seçenek C9 (yani kalan polinomunun sabit terimi 1 ). Bölme işlemi P ( x ) = ( x 3 − 1 ) Q ( x ) + R ( x ) şeklindedir. Bu yüzden deg ( R ) ≤ 2 olur. Bu nedenle kalanı genel biçimde yazalım: R ( x ) = a x 2 + b x + c Verilen koşulları bu biçime uygularsak: R ( 1 ) = a + b + c = 0 R ( ω ) = a ω 2 + b ω + c = 1 R ( ω 2 ) = a ω 2 2 + b ω 2 + c = 2 Burada ω 3 = 1 olduğundan ω 2 2 = ω 4 = ω yazarız. Böylece üçüncü denklem a ω + b ω 2 + c = 2 olur. Birinci denklemden c = − a − b bulunur. Bunu diğer iki denkleme yazalım: a ω 2 + b ω − a − b = 1 a ω + b ω 2 − a − b = 2 Yani a ( ω 2 − 1 ) + b ( ω − 1 ) = 1 a ( ω − 1 ) + b ( ω 2 − 1 ) = 2 Bu iki denklemi taraf tarafa toplayalım: a ( ω 2 + ω − 2 ) + b ( ω + ω 2 − 2 ) = 3 Ortak parantez alırsak: ( a + b ) ( ω + ω 2 − 2 ) = 3 Verilen ω 2 + ω + 1 = 0 eşitliğinden ω + ω 2 = − 1 olur. Dolayısıyla ω + ω 2 − 2 = − 3 ve ( a + b ) ( − 3 ) = 3 buradan a + b = − 1 Şimdi c = − a − b olduğundan c = − ( a + b ) = − ( − 1 ) = 1 buluruz. İstenen değer: R ( 0 ) = c = 1 Sonuç: Doğru cevap C1426.

1. Çözüm: Kontrol: Doğru seçenek C9 (yani kalan polinomunun sabit terimi 1 ). Bölme işlemi P ( x ) = ( x 3 − 1 ) Q ( x ) + R ( x ) şeklindedir. Bu yüzden deg ( R ) ≤ 2 olur. Bu nedenle kalanı genel biçimde yazalım: R ( x ) = a x 2 + b x + c Verilen koşulları bu biçime uygularsak: R ( 1 ) = a + b + c = 0 R ( ω ) = a ω 2 + b ω + c = 1 R ( ω 2 ) = a ω 2 2 + b ω 2 + c = 2 Burada ω 3 = 1 olduğundan ω 2 2 = ω 4 = ω yazarız. Böylece üçüncü denklem a ω + b ω 2 + c = 2 olur. Birinci denklemden c = − a − b bulunur. Bunu diğer iki denkleme yazalım: a ω 2 + b ω − a − b = 1 a ω + b ω 2 − a − b = 2 Yani a ( ω 2 − 1 ) + b ( ω − 1 ) = 1 a ( ω − 1 ) + b ( ω 2 − 1 ) = 2 Bu iki denklemi taraf tarafa toplayalım: a ( ω 2 + ω − 2 ) + b ( ω + ω 2 − 2 ) = 3 Ortak parantez alırsak: ( a + b ) ( ω + ω 2 − 2 ) = 3 Verilen ω 2 + ω + 1 = 0 eşitliğinden ω + ω 2 = − 1 olur. Dolayısıyla ω + ω 2 − 2 = − 3 ve ( a + b ) ( − 3 ) = 3 buradan a + b = − 1 Şimdi c = − a − b olduğundan c = − ( a + b ) = − ( − 1 ) = 1 buluruz. İstenen değer: R ( 0 ) = c = 1 Sonuç: Doğru cevap C1426.

Doğru cevap: D

Verilen polinomu çift ve tek kuvvetli terimler olarak ayıralım. P ( x ) = x 4 + p x 3 + q x 2 + r x + s Çift kısım ve tek kısım tanımlayalım. E ( x ) = x 4 + q x 2 + s O ( x ) = p x 3 + r x P ( x ) = E ( x ) + O ( x ) Verilen değerleri kullanarak aynı noktadaki toplam ve farktan çift/tek kısımları bulalım. P ( 1 ) = 10, P ( - 1 ) = 2 E ( 1 ) = P ( 1 ) + P ( - 1 ) 2 = 10 + 2 2 = 6 O ( 1 ) = P ( 1 ) - P ( - 1 ) 2 = 10 - 2 2 = 4 P ( 2 ) = 34, P ( - 2 ) = 10 E ( 2 ) = P ( 2 ) + P ( - 2 ) 2 = 34 + 10 2 = 22 O ( 2 ) = P ( 2 ) - P ( - 2 ) 2 = 34 - 10 2 = 12 Şimdi çift kısımdan sabit terimi bulalım. E ( 1 ) = 1 4 + q 1 2 + s = 6 1 + q + s = 6 q + s = 5 E ( 2 ) = 2 4 + q 2 2 + s = 22 16 + 4 q + s = 22 4 q + s = 6 Bu iki denklemi çıkaralım. ( 4 q + s ) - ( q + s ) = 6 - 5 3 q = 1 q = 1 3 Bunu yerine koyarak sabit terimi bulalım. s = 5 - 1 3 = 14 3 Sonuç: Sabit terim 14 3 olduğundan doğru seçenek D885’dır.

1. Çözüm: Verilen polinomu çift ve tek kuvvetli terimler olarak ayıralım. P ( x ) = x 4 + p x 3 + q x 2 + r x + s Çift kısım ve tek kısım tanımlayalım. E ( x ) = x 4 + q x 2 + s O ( x ) = p x 3 + r x P ( x ) = E ( x ) + O ( x ) Verilen değerleri kullanarak aynı noktadaki toplam ve farktan çift/tek kısımları bulalım. P ( 1 ) = 10, P ( - 1 ) = 2 E ( 1 ) = P ( 1 ) + P ( - 1 ) 2 = 10 + 2 2 = 6 O ( 1 ) = P ( 1 ) - P ( - 1 ) 2 = 10 - 2 2 = 4 P ( 2 ) = 34, P ( - 2 ) = 10 E ( 2 ) = P ( 2 ) + P ( - 2 ) 2 = 34 + 10 2 = 22 O ( 2 ) = P ( 2 ) - P ( - 2 ) 2 = 34 - 10 2 = 12 Şimdi çift kısımdan sabit terimi bulalım. E ( 1 ) = 1 4 + q 1 2 + s = 6 1 + q + s = 6 q + s = 5 E ( 2 ) = 2 4 + q 2 2 + s = 22 16 + 4 q + s = 22 4 q + s = 6 Bu iki denklemi çıkaralım. ( 4 q + s ) - ( q + s ) = 6 - 5 3 q = 1 q = 1 3 Bunu yerine koyarak sabit terimi bulalım. s = 5 - 1 3 = 14 3 Sonuç: Sabit terim 14 3 olduğundan doğru seçenek D885’dır.

Doğru cevap: A

Bölme algoritmasına göre, kalan polinomu şöyle yazılır: R ( x ) = a x 2 + b x + c Verilen bölene tam bölünme şartından, 1, 2, 3 değerlerinde P ve kalan aynı değeri verir: R ( 1 ) = P ( 1 ) = 2 R ( 2 ) = P ( 2 ) = 3 R ( 3 ) = P ( 3 ) = 5 İstenen ifade a+b+c olduğuna göre, doğrudan R(1) hesaplanır: R ( 1 ) = a 1 2 + b 1 + c = a + b + c Ama zaten R(1)=2 verildiği için: a + b + c = 2 Sonuç: Doğru cevap A390 şıkkıdır.

1. Çözüm: Bölme algoritmasına göre, kalan polinomu şöyle yazılır: R ( x ) = a x 2 + b x + c Verilen bölene tam bölünme şartından, 1, 2, 3 değerlerinde P ve kalan aynı değeri verir: R ( 1 ) = P ( 1 ) = 2 R ( 2 ) = P ( 2 ) = 3 R ( 3 ) = P ( 3 ) = 5 İstenen ifade a+b+c olduğuna göre, doğrudan R(1) hesaplanır: R ( 1 ) = a 1 2 + b 1 + c = a + b + c Ama zaten R(1)=2 verildiği için: a + b + c = 2 Sonuç: Doğru cevap A390 şıkkıdır.

Doğru cevap: B

Verilen değerlerden yararlanarak sonlu farklar yöntemini kullanacağız. Derecesi 3 olan bir polinom için 3. farklar sabittir. Verilenler: P ( 1 ) = 1 P ( 2 ) = 4 P ( 3 ) = 15 P ( 4 ) = 40 Birinci farklar: Δ P 1 = P ( 2 ) - P ( 1 ) = 4 - 1 = 3 Δ P 2 = P ( 3 ) - P ( 2 ) = 15 - 4 = 11 Δ P 3 = P ( 4 ) - P ( 3 ) = 40 - 15 = 25 İkinci farklar: Δ P 2 1 = Δ P 2 - Δ P 1 = 11 - 3 = 8 Δ P 2 2 = Δ P 3 - Δ P 2 = 25 - 11 = 14 Üçüncü fark: Δ P 3 = Δ P 2 2 - Δ P 2 1 = 14 - 8 = 6 Derece 3 olduğundan bu değer sabit kalmalıdır. Şimdi geriye doğru giderek eksik olan değeri bulalım. Aşağıdaki tanımı yapalım: P ( 0 ) = a İlk farkın bir tanesi de: Δ P 0 = P ( 1 ) - P ( 0 ) = 1 - a Bu durumda ikinci farkın geriye uzantısı: Δ P 2 0 = Δ P 1 - Δ P 0 = 3 - ( 1 - a ) = 2 + a Üçüncü fark sabit olmalıydı ve zaten: Δ P 3 = 6 Bunu geriye doğru yazalım: Δ P 3 = Δ P 2 1 - Δ P 2 0 6 = 8 - ( 2 + a ) 6 = 6 - a Buradan: a = 0 Yani: P ( 0 ) = 0 Sonuç: Doğru cevap B925 şıkkıdır.

1. Çözüm: Verilen değerlerden yararlanarak sonlu farklar yöntemini kullanacağız. Derecesi 3 olan bir polinom için 3. farklar sabittir. Verilenler: P ( 1 ) = 1 P ( 2 ) = 4 P ( 3 ) = 15 P ( 4 ) = 40 Birinci farklar: Δ P 1 = P ( 2 ) - P ( 1 ) = 4 - 1 = 3 Δ P 2 = P ( 3 ) - P ( 2 ) = 15 - 4 = 11 Δ P 3 = P ( 4 ) - P ( 3 ) = 40 - 15 = 25 İkinci farklar: Δ P 2 1 = Δ P 2 - Δ P 1 = 11 - 3 = 8 Δ P 2 2 = Δ P 3 - Δ P 2 = 25 - 11 = 14 Üçüncü fark: Δ P 3 = Δ P 2 2 - Δ P 2 1 = 14 - 8 = 6 Derece 3 olduğundan bu değer sabit kalmalıdır. Şimdi geriye doğru giderek eksik olan değeri bulalım. Aşağıdaki tanımı yapalım: P ( 0 ) = a İlk farkın bir tanesi de: Δ P 0 = P ( 1 ) - P ( 0 ) = 1 - a Bu durumda ikinci farkın geriye uzantısı: Δ P 2 0 = Δ P 1 - Δ P 0 = 3 - ( 1 - a ) = 2 + a Üçüncü fark sabit olmalıydı ve zaten: Δ P 3 = 6 Bunu geriye doğru yazalım: Δ P 3 = Δ P 2 1 - Δ P 2 0 6 = 8 - ( 2 + a ) 6 = 6 - a Buradan: a = 0 Yani: P ( 0 ) = 0 Sonuç: Doğru cevap B925 şıkkıdır.

Doğru cevap: C

Önce bölme algoritmasına göre kalan polinomu tanımlayalım: P ( x ) = ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) Q ( x ) + R ( x ) Burada kalan polinomun derecesi bölenin derecesinden küçük olmalı: deg ( R ) < 3 Şimdi ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) ifadesinin köklerini kullanarak, bu noktalarda çarpanlı kısmın sıfır olacağını yazalım. Bu yüzden: R ( 1 ) = P ( 1 ) = 2 R ( 2 ) = P ( 2 ) = 5 R ( 3 ) = P ( 3 ) = 10 deg ( R ) < 3 olduğundan, R ( x ) en fazla ikinci dereceden olsun: R ( x ) = a x 2 + b x + c Verilen değerleri yerine yazıp denklem sistemi kuralım: a + b + c = 2 4 a + 2 b + c = 5 9 a + 3 b + c = 10 İkinci denklemden birinciyi çıkaralım: ( 4 a + 2 b + c ) - ( a + b + c ) = 5 - 2 3 a + b = 3 Üçüncü denklemden ikinciyi çıkaralım: ( 9 a + 3 b + c ) - ( 4 a + 2 b + c ) = 10 - 5 5 a + b = 5 Şimdi bu iki denklemi çıkaralım: ( 5 a + b ) - ( 3 a + b ) = 5 - 3 2 a = 2 a = 1 3 a + b = 3 içinde a = 1 yazalım: 3 + b = 3 b = 0 a + b + c = 2 içinde a = 1 ve b = 0 yazalım: 1 + 0 + c = 2 c = 1 Böylece kalan polinom: R ( x ) = x 2 + 1 Bu da şıklardan seçeneğiC1043dir. Dolayısıyla doğru cevap C1070 ’dır.

1. Çözüm: Önce bölme algoritmasına göre kalan polinomu tanımlayalım: P ( x ) = ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) Q ( x ) + R ( x ) Burada kalan polinomun derecesi bölenin derecesinden küçük olmalı: deg ( R ) < 3 Şimdi ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) ifadesinin köklerini kullanarak, bu noktalarda çarpanlı kısmın sıfır olacağını yazalım. Bu yüzden: R ( 1 ) = P ( 1 ) = 2 R ( 2 ) = P ( 2 ) = 5 R ( 3 ) = P ( 3 ) = 10 deg ( R ) < 3 olduğundan, R ( x ) en fazla ikinci dereceden olsun: R ( x ) = a x 2 + b x + c Verilen değerleri yerine yazıp denklem sistemi kuralım: a + b + c = 2 4 a + 2 b + c = 5 9 a + 3 b + c = 10 İkinci denklemden birinciyi çıkaralım: ( 4 a + 2 b + c ) - ( a + b + c ) = 5 - 2 3 a + b = 3 Üçüncü denklemden ikinciyi çıkaralım: ( 9 a + 3 b + c ) - ( 4 a + 2 b + c ) = 10 - 5 5 a + b = 5 Şimdi bu iki denklemi çıkaralım: ( 5 a + b ) - ( 3 a + b ) = 5 - 3 2 a = 2 a = 1 3 a + b = 3 içinde a = 1 yazalım: 3 + b = 3 b = 0 a + b + c = 2 içinde a = 1 ve b = 0 yazalım: 1 + 0 + c = 2 c = 1 Böylece kalan polinom: R ( x ) = x 2 + 1 Bu da şıklardan seçeneğiC1043dir. Dolayısıyla doğru cevap C1070 ’dır.

Doğru cevap: D

Bölenin derecesi 4 olduğu için kalan polinomunun derecesi 3’ten küçüktür. R ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d Verilen değerleri yerine yazalım: R ( 1 ) = a + b + c + d = 1 R ( 2 ) = 8 a + 4 b + 2 c + d = 2 R ( 3 ) = 27 a + 9 b + 3 c + d = 6 R ( 4 ) = 64 a + 16 b + 4 c + d = 24 Ardışık denklemleri çıkarıp d terimini yok edelim: ( 2 ) - ( 1 ): 7 a + 3 b + c = 1 ( 3 ) - ( 2 ): 19 a + 5 b + c = 4 ( 4 ) - ( 3 ): 37 a + 7 b + c = 18 Şimdi c terimini yok etmek için yine çıkaralım: ( 19 a + 5 b + c = 4 ) - ( 7 a + 3 b + c = 1 ) 12 a + 2 b = 3 6 a + b = 3 2 Benzer şekilde üçüncü ile ikinciyi çıkaralım: ( 37 a + 7 b + c = 18 ) - ( 19 a + 5 b + c = 4 ) 18 a + 2 b = 14 9 a + b = 7 Bu iki denklemi çıkarıp a ’yı bulalım: ( 9 a + b = 7 ) - ( 6 a + b = 3 2 ) 3 a = 11 2 a = 11 6 a ’yı yerine koyup b ’yi bulalım: 9 a + b = 7 b = 7 - 9 11 6 b = 42 6 - 99 6 = -57 6 = -19 2 Şimdi 7 a + 3 b + c = 1 denkleminden c ’yi bulalım: c = 1 - 7 11 6 - 3 -19 2 c = 1 - 77 6 + 57 2 c = 1 - 77 6 + 171 6 = 1 + 94 6 = 1 + 47 3 = 50 3 Son olarak R ( 1 ) = 1 denkleminden d ’yi bulalım: a + b + c + d = 1 d = 1 - a - b - c a + b + c = 11 6 + -19 2 + 50 3 a + b + c = 11 6 + -57 6 + 100 6 = 54 6 = 9 d = 1 - 9 = -8 İstenen değer: R ( 0 ) = d = -8 Buna göre doğru seçenek D1231’dır.

1. Çözüm: Bölenin derecesi 4 olduğu için kalan polinomunun derecesi 3’ten küçüktür. R ( x ) = a x 3 + b x 2 + c x + d Verilen değerleri yerine yazalım: R ( 1 ) = a + b + c + d = 1 R ( 2 ) = 8 a + 4 b + 2 c + d = 2 R ( 3 ) = 27 a + 9 b + 3 c + d = 6 R ( 4 ) = 64 a + 16 b + 4 c + d = 24 Ardışık denklemleri çıkarıp d terimini yok edelim: ( 2 ) - ( 1 ): 7 a + 3 b + c = 1 ( 3 ) - ( 2 ): 19 a + 5 b + c = 4 ( 4 ) - ( 3 ): 37 a + 7 b + c = 18 Şimdi c terimini yok etmek için yine çıkaralım: ( 19 a + 5 b + c = 4 ) - ( 7 a + 3 b + c = 1 ) 12 a + 2 b = 3 6 a + b = 3 2 Benzer şekilde üçüncü ile ikinciyi çıkaralım: ( 37 a + 7 b + c = 18 ) - ( 19 a + 5 b + c = 4 ) 18 a + 2 b = 14 9 a + b = 7 Bu iki denklemi çıkarıp a ’yı bulalım: ( 9 a + b = 7 ) - ( 6 a + b = 3 2 ) 3 a = 11 2 a = 11 6 a ’yı yerine koyup b ’yi bulalım: 9 a + b = 7 b = 7 - 9 11 6 b = 42 6 - 99 6 = -57 6 = -19 2 Şimdi 7 a + 3 b + c = 1 denkleminden c ’yi bulalım: c = 1 - 7 11 6 - 3 -19 2 c = 1 - 77 6 + 57 2 c = 1 - 77 6 + 171 6 = 1 + 94 6 = 1 + 47 3 = 50 3 Son olarak R ( 1 ) = 1 denkleminden d ’yi bulalım: a + b + c + d = 1 d = 1 - a - b - c a + b + c = 11 6 + -19 2 + 50 3 a + b + c = 11 6 + -57 6 + 100 6 = 54 6 = 9 d = 1 - 9 = -8 İstenen değer: R ( 0 ) = d = -8 Buna göre doğru seçenek D1231’dır.