10. Sınıf Matematik Polinomlar Testleri

Doğru cevap: D

1) Cevap kontrolü Verilen koşullara göre kalan polinomun (derecesi 5’ten küçük) değerleri P ( 1 ) = 2 P ( 2 ) = 3 P ( 3 ) = 4 P ( 4 ) = 5 P ( 5 ) = 6 Bu değerleri sağlayan kalan x + 1 olur; dolayısıyla doğru seçenek D202 ’dir. 2) Bölme algoritmasıyla kalan fikri Şu böleni tanımlayalım: D ( x ) = ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − 4 ) ( x − 5 ) Polinom bölmesine göre P ( x ) = D ( x ) ⋅ K ( x ) + R ( x ) olacak şekilde bir K ( x ) ve derecece deg ( R ) < 5 olan tek bir R ( x ) vardır (kalan tektir). 3) Kalanın değerlerini bulma Bölenin kökleri 1, 2, 3, 4, 5 olduğu için her a ∈ { 1, 2, 3, 4, 5 } için D ( a ) = 0 olur. O hâlde bölme eşitliğinde P ( a ) = R ( a ) elde edilir. Yani R ( 1 ) = 2 R ( 2 ) = 3 R ( 3 ) = 4 R ( 4 ) = 5 R ( 5 ) = 6 4) Aday kalanı bulma (örüntü) Verilen değerler R ( 1 ) = 1 + 1 R ( 2 ) = 2 + 1 R ( 3 ) = 3 + 1 şeklinde gidiyor. Bu da kalan için güçlü bir aday verir: R ( x ) = x + 1 5) Adayın gerçekten kalan olduğunu ispat Şu polinomu tanımlayalım: Q ( x ) = P ( x ) − ( x + 1 ) Verilenlere göre Q ( 1 ) = P ( 1 ) − ( 1 + 1 ) = 0 Q ( 2 ) = P ( 2 ) − ( 2 + 1 ) = 0 Q ( 3 ) = P ( 3 ) − ( 3 + 1 ) = 0 Q ( 4 ) = P ( 4 ) − ( 4 + 1 ) = 0 Q ( 5 ) = P ( 5 ) − ( 5 + 1 ) = 0 Yani Q ( x ) polinomunun kökleri 1, 2, 3, 4, 5 olur. Bu nedenle ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − 4 ) ( x − 5 ) ifadesi Q ( x ) yi böler. Dolayısıyla P ( x ) nin bu bölenle bölümünden kalan gerçekten x + 1 olur. 6) Sonuç Doğru cevap: D1545 x + 1

1. Çözüm: 1) Cevap kontrolü Verilen koşullara göre kalan polinomun (derecesi 5’ten küçük) değerleri P ( 1 ) = 2 P ( 2 ) = 3 P ( 3 ) = 4 P ( 4 ) = 5 P ( 5 ) = 6 Bu değerleri sağlayan kalan x + 1 olur; dolayısıyla doğru seçenek D202 ’dir. 2) Bölme algoritmasıyla kalan fikri Şu böleni tanımlayalım: D ( x ) = ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − 4 ) ( x − 5 ) Polinom bölmesine göre P ( x ) = D ( x ) ⋅ K ( x ) + R ( x ) olacak şekilde bir K ( x ) ve derecece deg ( R ) < 5 olan tek bir R ( x ) vardır (kalan tektir). 3) Kalanın değerlerini bulma Bölenin kökleri 1, 2, 3, 4, 5 olduğu için her a ∈ { 1, 2, 3, 4, 5 } için D ( a ) = 0 olur. O hâlde bölme eşitliğinde P ( a ) = R ( a ) elde edilir. Yani R ( 1 ) = 2 R ( 2 ) = 3 R ( 3 ) = 4 R ( 4 ) = 5 R ( 5 ) = 6 4) Aday kalanı bulma (örüntü) Verilen değerler R ( 1 ) = 1 + 1 R ( 2 ) = 2 + 1 R ( 3 ) = 3 + 1 şeklinde gidiyor. Bu da kalan için güçlü bir aday verir: R ( x ) = x + 1 5) Adayın gerçekten kalan olduğunu ispat Şu polinomu tanımlayalım: Q ( x ) = P ( x ) − ( x + 1 ) Verilenlere göre Q ( 1 ) = P ( 1 ) − ( 1 + 1 ) = 0 Q ( 2 ) = P ( 2 ) − ( 2 + 1 ) = 0 Q ( 3 ) = P ( 3 ) − ( 3 + 1 ) = 0 Q ( 4 ) = P ( 4 ) − ( 4 + 1 ) = 0 Q ( 5 ) = P ( 5 ) − ( 5 + 1 ) = 0 Yani Q ( x ) polinomunun kökleri 1, 2, 3, 4, 5 olur. Bu nedenle ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − 4 ) ( x − 5 ) ifadesi Q ( x ) yi böler. Dolayısıyla P ( x ) nin bu bölenle bölümünden kalan gerçekten x + 1 olur. 6) Sonuç Doğru cevap: D1545 x + 1

Doğru cevap: A

1) Verilen polinom: P ( x ) = x 3 + a x 2 + b x + 1 2) x - 1 çarpanı olduğundan kalan teoremine göre: P ( 1 ) = 0 3) P ( 1 ) hesaplayalım: P ( 1 ) = 1 3 + a 1 2 + b · 1 + 1 P ( 1 ) = 1 + a + b + 1 1 + a + b + 1 = 0 a + b = - 2 4) x + 1 ile bölünce kalan 4 olduğundan: P ( - 1 ) = 4 5) P ( - 1 ) hesaplayalım: P ( - 1 ) = - 1 3 + a - 1 2 + b · - 1 + 1 P ( - 1 ) = - 1 + a - b + 1 P ( - 1 ) = a - b a - b = 4 6) Sistem: a + b = - 2 a - b = 4 Toplayalım: ( a + b ) + ( a - b ) = - 2 + 4 2 a = 2 a = 1 Sonra a + b = - 2 içine yazalım: 1 + b = - 2 b = - 3 7) İstenen değer: a + b = 1 + - 3 a + b = - 2 Bu değer şıklarda A seçeneğidir; dolayısıyla doğru cevap A dır.

1. Çözüm: 1) Verilen polinom: P ( x ) = x 3 + a x 2 + b x + 1 2) x - 1 çarpanı olduğundan kalan teoremine göre: P ( 1 ) = 0 3) P ( 1 ) hesaplayalım: P ( 1 ) = 1 3 + a 1 2 + b · 1 + 1 P ( 1 ) = 1 + a + b + 1 1 + a + b + 1 = 0 a + b = - 2 4) x + 1 ile bölünce kalan 4 olduğundan: P ( - 1 ) = 4 5) P ( - 1 ) hesaplayalım: P ( - 1 ) = - 1 3 + a - 1 2 + b · - 1 + 1 P ( - 1 ) = - 1 + a - b + 1 P ( - 1 ) = a - b a - b = 4 6) Sistem: a + b = - 2 a - b = 4 Toplayalım: ( a + b ) + ( a - b ) = - 2 + 4 2 a = 2 a = 1 Sonra a + b = - 2 içine yazalım: 1 + b = - 2 b = - 3 7) İstenen değer: a + b = 1 + - 3 a + b = - 2 Bu değer şıklarda A seçeneğidir; dolayısıyla doğru cevap A dır.

Doğru cevap: B

Verilen koşulu polinomda yerine yazacağız. 1) Polinom ve verilen değer: P ( x ) = x 3 - 3 x 2 + a x + 2 P ( 1 ) = 0 2) P(1) değerini hesaplayalım: P ( 1 ) = 1 3 - 3 1 2 + a · 1 + 2 3) Basitleştirelim: P ( 1 ) = 1 - 3 + a + 2 4) Verilen koşula göre bu ifade 0 'a eşit olmalı: 1 - 3 + a + 2 = 0 5) Sayıları toplayalım: a + ( 1 - 3 + 2 ) = 0 a + 0 = 0 6) Buradan a bulunur: a = 0 Sonuç: Doğru cevap B384 şıkkıdır.

1. Çözüm: Verilen koşulu polinomda yerine yazacağız. 1) Polinom ve verilen değer: P ( x ) = x 3 - 3 x 2 + a x + 2 P ( 1 ) = 0 2) P(1) değerini hesaplayalım: P ( 1 ) = 1 3 - 3 1 2 + a · 1 + 2 3) Basitleştirelim: P ( 1 ) = 1 - 3 + a + 2 4) Verilen koşula göre bu ifade 0 'a eşit olmalı: 1 - 3 + a + 2 = 0 5) Sayıları toplayalım: a + ( 1 - 3 + 2 ) = 0 a + 0 = 0 6) Buradan a bulunur: a = 0 Sonuç: Doğru cevap B384 şıkkıdır.

Doğru cevap: C

Verilen değerler, 1 5, 2 5, 3 5, 4 5, 5 5 ile aynıdır. Bu yüzden fark polinomu tanımlayalım: Q ( x ) = P ( x ) - x 5 Bu durumda: Q ( 1 ) = P ( 1 ) - 1 5 = 1 - 1 = 0 Q ( 2 ) = P ( 2 ) - 2 5 = 32 - 32 = 0 Q ( 3 ) = P ( 3 ) - 3 5 = 243 - 243 = 0 Q ( 4 ) = P ( 4 ) - 4 5 = 1024 - 1024 = 0 Q ( 5 ) = P ( 5 ) - 5 5 = 3125 - 3125 = 0 Yani 1, 2, 3, 4, 5 sayıları Q ( x ) polinomunun kökleridir. Bu nedenle Q ( x ) şu şekilde yazılır: Q ( x ) = k ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 4 ) ( x - 5 ) Dolayısıyla: P ( x ) = x 5 + k ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 4 ) ( x - 5 ) P ( 6 ) = 0 koşulunu kullanalım: 0 = 6 5 + k ( 6 - 1 ) ( 6 - 2 ) ( 6 - 3 ) ( 6 - 4 ) ( 6 - 5 ) Buradan: 0 = 7776 + k ( 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ) = 7776 + 120 k Dolayısıyla: k = - 7776 120 = - 324 5 Şimdi P ( 0 ) değerini bulalım: P ( 0 ) = 0 5 + k ( 0 - 1 ) ( 0 - 2 ) ( 0 - 3 ) ( 0 - 4 ) ( 0 - 5 ) Çarpım: ( - 1 ) ( - 2 ) ( - 3 ) ( - 4 ) ( - 5 ) = - 120 O hâlde: P ( 0 ) = k ( - 120 ) = - 120 ⋅ ( - 7776 120 ) = 7776 Sonuç: P ( 0 ) = 7776 bulunur. Doğru seçenek C1046 ’dır.

1. Çözüm: Verilen değerler, 1 5, 2 5, 3 5, 4 5, 5 5 ile aynıdır. Bu yüzden fark polinomu tanımlayalım: Q ( x ) = P ( x ) - x 5 Bu durumda: Q ( 1 ) = P ( 1 ) - 1 5 = 1 - 1 = 0 Q ( 2 ) = P ( 2 ) - 2 5 = 32 - 32 = 0 Q ( 3 ) = P ( 3 ) - 3 5 = 243 - 243 = 0 Q ( 4 ) = P ( 4 ) - 4 5 = 1024 - 1024 = 0 Q ( 5 ) = P ( 5 ) - 5 5 = 3125 - 3125 = 0 Yani 1, 2, 3, 4, 5 sayıları Q ( x ) polinomunun kökleridir. Bu nedenle Q ( x ) şu şekilde yazılır: Q ( x ) = k ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 4 ) ( x - 5 ) Dolayısıyla: P ( x ) = x 5 + k ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 4 ) ( x - 5 ) P ( 6 ) = 0 koşulunu kullanalım: 0 = 6 5 + k ( 6 - 1 ) ( 6 - 2 ) ( 6 - 3 ) ( 6 - 4 ) ( 6 - 5 ) Buradan: 0 = 7776 + k ( 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 ) = 7776 + 120 k Dolayısıyla: k = - 7776 120 = - 324 5 Şimdi P ( 0 ) değerini bulalım: P ( 0 ) = 0 5 + k ( 0 - 1 ) ( 0 - 2 ) ( 0 - 3 ) ( 0 - 4 ) ( 0 - 5 ) Çarpım: ( - 1 ) ( - 2 ) ( - 3 ) ( - 4 ) ( - 5 ) = - 120 O hâlde: P ( 0 ) = k ( - 120 ) = - 120 ⋅ ( - 7776 120 ) = 7776 Sonuç: P ( 0 ) = 7776 bulunur. Doğru seçenek C1046 ’dır.

Doğru cevap: D

Verilen polinom: P ( x ) = x 2 + a x + b Birinci koşulu yerine yazalım: P ( 1 ) = 1 2 + a ⋅ 1 + b = 3 Buradan elde edilen denklem: a + b = 2 İkinci koşulu yerine yazalım: P ( 2 ) = 2 2 + a ⋅ 2 + b = 8 Buradan elde edilen denklem: 4 + 2 a + b = 8 Sadeleştirirsek: 2 a + b = 4 Şimdi iki denklemi taraf tarafa çıkaralım: ( 2 a + b ) − ( a + b ) = 4 − 2 Buradan: a = 2 Şimdi a + b = 2 denkleminde yerine koyup b 'yi bulalım: 2 + b = 2 Buradan: b = 0 Artık P(3) 'ü bulalım: P ( 3 ) = 3 2 + a ⋅ 3 + b Bulduğumuz a ve b değerlerini yerine yazalım: P ( 3 ) = 9 + 2 ⋅ 3 + 0 Sonuç: P ( 3 ) = 15 Bu değer şıklarda seçeneğiD645ne karşılık geldiği için, doğru cevap D681'dir.

1. Çözüm: Verilen polinom: P ( x ) = x 2 + a x + b Birinci koşulu yerine yazalım: P ( 1 ) = 1 2 + a ⋅ 1 + b = 3 Buradan elde edilen denklem: a + b = 2 İkinci koşulu yerine yazalım: P ( 2 ) = 2 2 + a ⋅ 2 + b = 8 Buradan elde edilen denklem: 4 + 2 a + b = 8 Sadeleştirirsek: 2 a + b = 4 Şimdi iki denklemi taraf tarafa çıkaralım: ( 2 a + b ) − ( a + b ) = 4 − 2 Buradan: a = 2 Şimdi a + b = 2 denkleminde yerine koyup b 'yi bulalım: 2 + b = 2 Buradan: b = 0 Artık P(3) 'ü bulalım: P ( 3 ) = 3 2 + a ⋅ 3 + b Bulduğumuz a ve b değerlerini yerine yazalım: P ( 3 ) = 9 + 2 ⋅ 3 + 0 Sonuç: P ( 3 ) = 15 Bu değer şıklarda seçeneğiD645ne karşılık geldiği için, doğru cevap D681'dir.

Doğru cevap: A

Verilen polinom: P ( x ) = x 3 - 2 x 2 + a x + 1 Eğer x - 1 bir çarpansa, Çarpan Teoremi’ne göre: P ( 1 ) = 0 Şimdi x = 1 yazalım: P ( 1 ) = 1 3 - 2 1 2 + a ⋅ 1 + 1 Sadeleştirelim: P ( 1 ) = 1 - 2 + a + 1 P ( 1 ) = a Çarpan teoremine göre P ( 1 ) = 0 olmalıydı. O hâlde: a = 0 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

1. Çözüm: Verilen polinom: P ( x ) = x 3 - 2 x 2 + a x + 1 Eğer x - 1 bir çarpansa, Çarpan Teoremi’ne göre: P ( 1 ) = 0 Şimdi x = 1 yazalım: P ( 1 ) = 1 3 - 2 1 2 + a ⋅ 1 + 1 Sadeleştirelim: P ( 1 ) = 1 - 2 + a + 1 P ( 1 ) = a Çarpan teoremine göre P ( 1 ) = 0 olmalıydı. O hâlde: a = 0 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

Doğru cevap: B

Monik (baş katsayısı bir) üçüncü dereceden polinomu genel biçimde yazalım: P ( x ) = x 3 + a x 2 + b x + c Verilen değerlere göre sırasıyla denklemleri yazalım: P ( 1 ) = 2 1 + a + b + c = 2 a + b + c = 1 P ( 2 ) = 5 8 + 4 a + 2 b + c = 5 4 a + 2 b + c = - 3 P ( 3 ) = 10 27 + 9 a + 3 b + c = 10 9 a + 3 b + c = - 17 Şimdi sistemi çözelim. İkinci denklemden birinci denklemi çıkaralım: ( 4 a + 2 b + c ) - ( a + b + c ) = - 3 - 1 3 a + b = - 4 Üçüncü denklemden ikinci denklemi çıkaralım: ( 9 a + 3 b + c ) - ( 4 a + 2 b + c ) = - 17 - ( - 3 ) 5 a + b = - 14 Bu iki denklemi birbirinden çıkaralım: ( 5 a + b ) - ( 3 a + b ) = - 14 - ( - 4 ) 2 a = - 10 a = - 5 Bulduğumuz değeri 3a+b=-4 denkleminde yerine koyup b’yi bulalım: 3 ( - 5 ) + b = - 4 - 15 + b = - 4 b = 11 Son olarak a+b+c=1 denkleminden c’yi bulalım: - 5 + 11 + c = 1 6 + c = 1 c = - 5 İstenen değer P(0) olduğundan: P ( 0 ) = c = - 5 Bu değer şıklarla karşılaştırıldığında doğru seçenek B936 ’dır.

1. Çözüm: Monik (baş katsayısı bir) üçüncü dereceden polinomu genel biçimde yazalım: P ( x ) = x 3 + a x 2 + b x + c Verilen değerlere göre sırasıyla denklemleri yazalım: P ( 1 ) = 2 1 + a + b + c = 2 a + b + c = 1 P ( 2 ) = 5 8 + 4 a + 2 b + c = 5 4 a + 2 b + c = - 3 P ( 3 ) = 10 27 + 9 a + 3 b + c = 10 9 a + 3 b + c = - 17 Şimdi sistemi çözelim. İkinci denklemden birinci denklemi çıkaralım: ( 4 a + 2 b + c ) - ( a + b + c ) = - 3 - 1 3 a + b = - 4 Üçüncü denklemden ikinci denklemi çıkaralım: ( 9 a + 3 b + c ) - ( 4 a + 2 b + c ) = - 17 - ( - 3 ) 5 a + b = - 14 Bu iki denklemi birbirinden çıkaralım: ( 5 a + b ) - ( 3 a + b ) = - 14 - ( - 4 ) 2 a = - 10 a = - 5 Bulduğumuz değeri 3a+b=-4 denkleminde yerine koyup b’yi bulalım: 3 ( - 5 ) + b = - 4 - 15 + b = - 4 b = 11 Son olarak a+b+c=1 denkleminden c’yi bulalım: - 5 + 11 + c = 1 6 + c = 1 c = - 5 İstenen değer P(0) olduğundan: P ( 0 ) = c = - 5 Bu değer şıklarla karşılaştırıldığında doğru seçenek B936 ’dır.

Doğru cevap: C

Önce kalan teoremini kullanalım: Bir polinom (x−k) ile bölünürse kalan P(k) olur. Verilen polinom: P ( x ) = x 3 − 2 x 2 + a x + b Polinom (x−1) ile bölündüğünde kalan 3 olduğuna göre: P ( 1 ) = 3 Şimdi x=1 yazalım: P ( 1 ) = 1 3 − 2 1 2 + a · 1 + b Sadeleştirelim: P ( 1 ) = 1 − 2 + a + b = − 1 + a + b Bu değer 3’e eşit olduğundan: − 1 + a + b = 3 Buradan: a + b = 4 Dolayısıyla a+b değeri 4 bulunur ve doğru seçenek C’dir. Kontrol için ikinci bilgiyle de doğrulayalım: (x+1) ile bölününce kalan −1 ise: P ( − 1 ) = − 1 Hesaplayalım: P ( − 1 ) = − 1 3 − 2 − 1 2 + a ( − 1 ) + b Sadeleştirme: P ( − 1 ) = − 1 − 2 − a + b = − 3 − a + b Bu değer −1 olmalı: − 3 − a + b = − 1 Buradan: − a + b = 2 Bu da ilk bulduğumuz a+b=4 ile tutarlıdır. Sonuç: C seçeneği doğrudur.

1. Çözüm: Önce kalan teoremini kullanalım: Bir polinom (x−k) ile bölünürse kalan P(k) olur. Verilen polinom: P ( x ) = x 3 − 2 x 2 + a x + b Polinom (x−1) ile bölündüğünde kalan 3 olduğuna göre: P ( 1 ) = 3 Şimdi x=1 yazalım: P ( 1 ) = 1 3 − 2 1 2 + a · 1 + b Sadeleştirelim: P ( 1 ) = 1 − 2 + a + b = − 1 + a + b Bu değer 3’e eşit olduğundan: − 1 + a + b = 3 Buradan: a + b = 4 Dolayısıyla a+b değeri 4 bulunur ve doğru seçenek C’dir. Kontrol için ikinci bilgiyle de doğrulayalım: (x+1) ile bölününce kalan −1 ise: P ( − 1 ) = − 1 Hesaplayalım: P ( − 1 ) = − 1 3 − 2 − 1 2 + a ( − 1 ) + b Sadeleştirme: P ( − 1 ) = − 1 − 2 − a + b = − 3 − a + b Bu değer −1 olmalı: − 3 − a + b = − 1 Buradan: − a + b = 2 Bu da ilk bulduğumuz a+b=4 ile tutarlıdır. Sonuç: C seçeneği doğrudur.

Doğru cevap: D

Bölme algoritmasına göre, P ( x ) = Q ( x ) ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) + 2 x Bölen 3. dereceden ve P ( x ) 4. dereceden olduğundan, bölüm 1. dereceden olmalı: Q ( x ) = a x + b Verilen P ( - 1 ) = 0 koşulunu kullanacağız. Önce çarpanı hesaplayalım: ( - 1 - 1 ) ( - 1 - 2 ) ( - 1 - 3 ) = ( - 2 ) ( - 3 ) ( - 4 ) = - 24 Şimdi x = - 1 yazalım: P ( - 1 ) = Q ( - 1 ) · ( - 24 ) + 2 ( - 1 ) 0 = - 24 Q ( - 1 ) - 2 Q ( - 1 ) = - 1 12 Ama Q ( x ) = a x + b olduğundan: Q ( - 1 ) = - a + b = - 1 12 Buradan tek bir ilişki çıkar: b - a = - 1 12 Şimdi P ( 4 ) hesaplayalım. Önce çarpan: ( 4 - 1 ) ( 4 - 2 ) ( 4 - 3 ) = 3 · 2 · 1 = 6 Dolayısıyla: P ( 4 ) = Q ( 4 ) · 6 + 2 · 4 P ( 4 ) = 6 ( 4 a + b ) + 8 Elimizde b - a = - 1 12 olduğundan b = a - 1 12 yazabiliriz: P ( 4 ) = 6 ( 4 a + a - 1 12 ) + 8 P ( 4 ) = 6 ( 5 a - 1 12 ) + 8 P ( 4 ) = 30 a - 1 2 + 8 = 30 a + 15 2 Sonuç: P ( 4 ) değeri a ’ya bağlıdır; yani verilen bilgilerle tek bir sayıya zorunlu olarak belirlenmez. Dolayısıyla “doğru cevap kesinlikle D’dir” denemez. Ancak ek olarak P ( x ) polinomunun baş katsayısının 1 (monik) olduğu varsayılırsa, o zaman a = 1 olur ve: P ( 4 ) = 30 · 1 + 15 2 = 75 2 Bu durumda seçenek B doğru olur.

1. Çözüm: Bölme algoritmasına göre, P ( x ) = Q ( x ) ( x - 1 ) ( x - 2 ) ( x - 3 ) + 2 x Bölen 3. dereceden ve P ( x ) 4. dereceden olduğundan, bölüm 1. dereceden olmalı: Q ( x ) = a x + b Verilen P ( - 1 ) = 0 koşulunu kullanacağız. Önce çarpanı hesaplayalım: ( - 1 - 1 ) ( - 1 - 2 ) ( - 1 - 3 ) = ( - 2 ) ( - 3 ) ( - 4 ) = - 24 Şimdi x = - 1 yazalım: P ( - 1 ) = Q ( - 1 ) · ( - 24 ) + 2 ( - 1 ) 0 = - 24 Q ( - 1 ) - 2 Q ( - 1 ) = - 1 12 Ama Q ( x ) = a x + b olduğundan: Q ( - 1 ) = - a + b = - 1 12 Buradan tek bir ilişki çıkar: b - a = - 1 12 Şimdi P ( 4 ) hesaplayalım. Önce çarpan: ( 4 - 1 ) ( 4 - 2 ) ( 4 - 3 ) = 3 · 2 · 1 = 6 Dolayısıyla: P ( 4 ) = Q ( 4 ) · 6 + 2 · 4 P ( 4 ) = 6 ( 4 a + b ) + 8 Elimizde b - a = - 1 12 olduğundan b = a - 1 12 yazabiliriz: P ( 4 ) = 6 ( 4 a + a - 1 12 ) + 8 P ( 4 ) = 6 ( 5 a - 1 12 ) + 8 P ( 4 ) = 30 a - 1 2 + 8 = 30 a + 15 2 Sonuç: P ( 4 ) değeri a ’ya bağlıdır; yani verilen bilgilerle tek bir sayıya zorunlu olarak belirlenmez. Dolayısıyla “doğru cevap kesinlikle D’dir” denemez. Ancak ek olarak P ( x ) polinomunun baş katsayısının 1 (monik) olduğu varsayılırsa, o zaman a = 1 olur ve: P ( 4 ) = 30 · 1 + 15 2 = 75 2 Bu durumda seçenek B doğru olur.

Doğru cevap: A

Verilen polinom: P ( x ) = x 3 - 3 x 2 + a x + b Koşullardan birincisini kullanalım: P ( 1 ) = 2 Polinomda yerine koyma: P ( 1 ) = 1 3 - 3 1 2 + a · 1 + b Düzenleyelim: 1 - 3 + a + b = 2 a + b - 2 = 2 a + b = 4 Şimdi ikinci koşulu kullanalım: P ( 2 ) = 0 Polinomda yerine koyma: P ( 2 ) = 2 3 - 3 2 2 + a · 2 + b Hesaplayıp düzenleyelim: 8 - 12 + 2 a + b = 0 - 4 + 2 a + b = 0 2 a + b = 4 Elimizde iki denklem var: a + b = 4 2 a + b = 4 İkinci denklemden birinci denklemi çıkaralım: ( 2 a + b ) - ( a + b ) = 4 - 4 a = 0 Sonuç: a = 0 Dolayısıyla doğru seçenek: A

1. Çözüm: Verilen polinom: P ( x ) = x 3 - 3 x 2 + a x + b Koşullardan birincisini kullanalım: P ( 1 ) = 2 Polinomda yerine koyma: P ( 1 ) = 1 3 - 3 1 2 + a · 1 + b Düzenleyelim: 1 - 3 + a + b = 2 a + b - 2 = 2 a + b = 4 Şimdi ikinci koşulu kullanalım: P ( 2 ) = 0 Polinomda yerine koyma: P ( 2 ) = 2 3 - 3 2 2 + a · 2 + b Hesaplayıp düzenleyelim: 8 - 12 + 2 a + b = 0 - 4 + 2 a + b = 0 2 a + b = 4 Elimizde iki denklem var: a + b = 4 2 a + b = 4 İkinci denklemden birinci denklemi çıkaralım: ( 2 a + b ) - ( a + b ) = 4 - 4 a = 0 Sonuç: a = 0 Dolayısıyla doğru seçenek: A