10. Sınıf Matematik Permutasyon ve Kombinasyon Testleri

Doğru cevap: A

"MATEMATIK" kelimesindeki harf sayısı ve tekrar edenler: 9 Tekrarlar: M: 2, A: 2, T: 2, E: 1, I: 1, K: 1 Sesli harfler ve sessiz harfler: Sesliler: A, A, E, I 4 Sessizler: M, M, T, T, K 5 Önce sessiz harfleri kendi aralarında dizeriz. (M ve T harfleri ikişer kez tekrar ediyor.) 5! 2! 2! = 30 Sessizler dizilince aralarına ve uçlara sesli yerleştirmek için boşluk sayısı: 5 + 1 = 6 Seslilerin yan yana gelmemesi için bu altı boşluğun dördü seçilir. ( 6   boşluktan   4   seçim ) ( 6 seçim 4 ) = 6! 4! 2! = 15 Seçilen boşluklara sesli harflerin kendi aralarındaki dizilişi (A iki kez tekrar eder): 4! 2! = 12 Toplam istenen diziliş sayısı: 30 × 15 × 12 = 5400 Sonuç: Doğru seçenek A olup değer: 5400

1. Çözüm: "MATEMATIK" kelimesindeki harf sayısı ve tekrar edenler: 9 Tekrarlar: M: 2, A: 2, T: 2, E: 1, I: 1, K: 1 Sesli harfler ve sessiz harfler: Sesliler: A, A, E, I 4 Sessizler: M, M, T, T, K 5 Önce sessiz harfleri kendi aralarında dizeriz. (M ve T harfleri ikişer kez tekrar ediyor.) 5! 2! 2! = 30 Sessizler dizilince aralarına ve uçlara sesli yerleştirmek için boşluk sayısı: 5 + 1 = 6 Seslilerin yan yana gelmemesi için bu altı boşluğun dördü seçilir. ( 6   boşluktan   4   seçim ) ( 6 seçim 4 ) = 6! 4! 2! = 15 Seçilen boşluklara sesli harflerin kendi aralarındaki dizilişi (A iki kez tekrar eder): 4! 2! = 12 Toplam istenen diziliş sayısı: 30 × 15 × 12 = 5400 Sonuç: Doğru seçenek A olup değer: 5400

Doğru cevap: C

Aranan: Dizilişlerde A harfleri yan yana olacak, fakat T harfleri yan yana olmayacak. Önce kelimedeki tekrar eden harfleri belirleyelim: MATEMATIK: A = 2, T = 2, M = 2 A harfleri yan yana isteniyor. Bu yüzden AA ’yı tek bir blok kabul edelim. Bu durumda yerleştirilecek birimler: AA, T, T, M, M, E, I, K Toplam sekiz birim var; burada T iki kez, M iki kez tekrar ediyor. A’lar zaten blok içinde. A’lar yan yana olacak şekilde tüm diziliş sayısı: 8! 2! 2! = 10080 Şimdi bu dizilişlerin içinden T ’lerin de yan yana olduğu durumları çıkaracağız (çünkü T yan yana olmayacak ). Hem AA blok, hem de TT blok kabul edelim. Yerleştirilecek birimler: AA, TT, M, M, E, I, K Toplam yedi birim var ve sadece M iki kez tekrar ediyor. Bu yüzden: 7! 2! = 2520 İstenen (A yan yana) ve (T yan yana değil) sayısı: 10080 - 2520 = 7560 Sonuç: Doğru cevap C şıkkıdır.

1. Çözüm: Aranan: Dizilişlerde A harfleri yan yana olacak, fakat T harfleri yan yana olmayacak. Önce kelimedeki tekrar eden harfleri belirleyelim: MATEMATIK: A = 2, T = 2, M = 2 A harfleri yan yana isteniyor. Bu yüzden AA ’yı tek bir blok kabul edelim. Bu durumda yerleştirilecek birimler: AA, T, T, M, M, E, I, K Toplam sekiz birim var; burada T iki kez, M iki kez tekrar ediyor. A’lar zaten blok içinde. A’lar yan yana olacak şekilde tüm diziliş sayısı: 8! 2! 2! = 10080 Şimdi bu dizilişlerin içinden T ’lerin de yan yana olduğu durumları çıkaracağız (çünkü T yan yana olmayacak ). Hem AA blok, hem de TT blok kabul edelim. Yerleştirilecek birimler: AA, TT, M, M, E, I, K Toplam yedi birim var ve sadece M iki kez tekrar ediyor. Bu yüzden: 7! 2! = 2520 İstenen (A yan yana) ve (T yan yana değil) sayısı: 10080 - 2520 = 7560 Sonuç: Doğru cevap C şıkkıdır.

Doğru cevap: A

1) Kelime: MATEMATIK. Toplam harf sayısı 9’dur. Tekrarlı harfler: M: 2, A: 2, T: 2, E: 1, I: 1, K: 1 2) Sesli harfler: A, A, E, I (toplam 4). Sessiz harfler: M, M, T, T, K (toplam 5). 3) Önce sessiz harfleri kendi aralarında dizelim (tekrarlı permütasyon): 5! 2! 2! = 30 4) Bu 5 sessiz harf dizildiğinde, sesli harfleri yerleştirebileceğimiz aralık (boşluk) sayısı 6 olur (baş, aralar ve son): _ C _ C _ C _ C _ C _ 1 2 3 4 5 6 5) “Sesli harfler yan yana gelmesin” şartı için 4 sesli harfi bu 6 boşluğun 4 tanesine yerleştirmeliyiz. Boşluk seçimi: 6! 4! 2! = 15 6) Seçilen 4 boşluğa sesli harfleri (A, A, E, I) kendi aralarında dizelim (A’lar aynı): 4! 2! = 12 7) Toplam diziliş sayısı = (sessiz diziliş) × (boşluk seçimi) × (sesli diziliş): 30 × 15 × 12 = 5400 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

1. Çözüm: 1) Kelime: MATEMATIK. Toplam harf sayısı 9’dur. Tekrarlı harfler: M: 2, A: 2, T: 2, E: 1, I: 1, K: 1 2) Sesli harfler: A, A, E, I (toplam 4). Sessiz harfler: M, M, T, T, K (toplam 5). 3) Önce sessiz harfleri kendi aralarında dizelim (tekrarlı permütasyon): 5! 2! 2! = 30 4) Bu 5 sessiz harf dizildiğinde, sesli harfleri yerleştirebileceğimiz aralık (boşluk) sayısı 6 olur (baş, aralar ve son): _ C _ C _ C _ C _ C _ 1 2 3 4 5 6 5) “Sesli harfler yan yana gelmesin” şartı için 4 sesli harfi bu 6 boşluğun 4 tanesine yerleştirmeliyiz. Boşluk seçimi: 6! 4! 2! = 15 6) Seçilen 4 boşluğa sesli harfleri (A, A, E, I) kendi aralarında dizelim (A’lar aynı): 4! 2! = 12 7) Toplam diziliş sayısı = (sessiz diziliş) × (boşluk seçimi) × (sesli diziliş): 30 × 15 × 12 = 5400 Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

Doğru cevap: B

Önce Kimya–Biyoloji–Tarih kitaplarının yan yana olma şartını tek bir “blok” gibi düşünelim. Bu blok (KBT bloğu) kendi içinde her sırada olabilir. Bu yüzden blok içi diziliş sayısı: 3! = 6 KBT bloğunu tek bir nesne sayarsak, rafta yerleştirilecek toplam nesne sayısı yedi olur (KBT bloğu + diğer altı farklı kitap). Bu durumda (Matematik–Fizik yan yana gelme şartını henüz uygulamadan) diziliş sayısı: 7! ⋅ 3! = 5040 ⋅ 6 = 30240 Şimdi bu dizilişlerin içinden Matematik ile Fizik’in yan yana geldiği “istenmeyen” durumları çıkaralım. Matematik ve Fizik yan yana olsun diye bu ikisini de bir blok (MF bloğu) gibi düşünürüz. Bu blok kendi içinde iki farklı sırada olabilir: 2! = 2 Bu kez rafta yerleştirilecek nesneler: KBT bloğu, MF bloğu ve kalan dört kitap olmak üzere toplam altı nesnedir. İstenmeyen diziliş sayısı: 6! ⋅ 3! ⋅ 2! = 720 ⋅ 6 ⋅ 2 = 8640 İstenen diziliş sayısı = (KBT yan yana olan tüm durumlar) − (bunların içindeki MF yan yana olanlar): 30240 - 8640 = 21600 Sonuç: 21600 Doğru cevap B ’dir.

1. Çözüm: Önce Kimya–Biyoloji–Tarih kitaplarının yan yana olma şartını tek bir “blok” gibi düşünelim. Bu blok (KBT bloğu) kendi içinde her sırada olabilir. Bu yüzden blok içi diziliş sayısı: 3! = 6 KBT bloğunu tek bir nesne sayarsak, rafta yerleştirilecek toplam nesne sayısı yedi olur (KBT bloğu + diğer altı farklı kitap). Bu durumda (Matematik–Fizik yan yana gelme şartını henüz uygulamadan) diziliş sayısı: 7! ⋅ 3! = 5040 ⋅ 6 = 30240 Şimdi bu dizilişlerin içinden Matematik ile Fizik’in yan yana geldiği “istenmeyen” durumları çıkaralım. Matematik ve Fizik yan yana olsun diye bu ikisini de bir blok (MF bloğu) gibi düşünürüz. Bu blok kendi içinde iki farklı sırada olabilir: 2! = 2 Bu kez rafta yerleştirilecek nesneler: KBT bloğu, MF bloğu ve kalan dört kitap olmak üzere toplam altı nesnedir. İstenmeyen diziliş sayısı: 6! ⋅ 3! ⋅ 2! = 720 ⋅ 6 ⋅ 2 = 8640 İstenen diziliş sayısı = (KBT yan yana olan tüm durumlar) − (bunların içindeki MF yan yana olanlar): 30240 - 8640 = 21600 Sonuç: 21600 Doğru cevap B ’dir.

Doğru cevap: A

Dört kadın yan yana oturmayacağı için (toplam 4 kadın ve 4 erkek olduğundan) yuvarlak masada oturuş zorunlu olarak kadın-erkek şeklinde dönüşümlü (alternatif) olur. Yani önce erkekleri yerleştirip, aralarındaki 4 boşluğa kadınları yerleştireceğiz. 1) Erkekleri (4 farklı erkek) yuvarlak masada dizelim Yuvarlak masada dönmeler aynı sayıldığı için erkeklerin dairesel dizilişi: ( 4 − 1 )! = 6 2) Kadınları yerleştirelim Erkekler yerleşince, her iki erkek arasındaki 4 boşluğa kadınlar zorunlu olarak birer tane oturur. 4 kadın kendi aralarında: 4! = 24 3) (A ve B şartı olmadan) toplam oturuş 6 × 24 = 144 4) A ve B adlı iki erkeğin yan yana gelmeme şartını uygulayalım Önce A ile B yan yana gelecek şekilde erkek dizilişlerini sayalım. A-B’yi bir blok düşünürsek, (AB bloğu, diğer iki erkek) toplam 3 nesne dairesel dizilir; ayrıca blok içinde AB veya BA olabilir: 2 × ( 3 − 1 )! = 4 O hâlde A ile B yan yana olmayacak erkek dizilişi sayısı: 6 − 4 = 2 5) Sonuç Her uygun erkek dizilişi için kadınlar yine 24 şekilde yerleşir: 2 × 24 = 48 Doğru cevap A şıkkıdır.

1. Çözüm: Dört kadın yan yana oturmayacağı için (toplam 4 kadın ve 4 erkek olduğundan) yuvarlak masada oturuş zorunlu olarak kadın-erkek şeklinde dönüşümlü (alternatif) olur. Yani önce erkekleri yerleştirip, aralarındaki 4 boşluğa kadınları yerleştireceğiz. 1) Erkekleri (4 farklı erkek) yuvarlak masada dizelim Yuvarlak masada dönmeler aynı sayıldığı için erkeklerin dairesel dizilişi: ( 4 − 1 )! = 6 2) Kadınları yerleştirelim Erkekler yerleşince, her iki erkek arasındaki 4 boşluğa kadınlar zorunlu olarak birer tane oturur. 4 kadın kendi aralarında: 4! = 24 3) (A ve B şartı olmadan) toplam oturuş 6 × 24 = 144 4) A ve B adlı iki erkeğin yan yana gelmeme şartını uygulayalım Önce A ile B yan yana gelecek şekilde erkek dizilişlerini sayalım. A-B’yi bir blok düşünürsek, (AB bloğu, diğer iki erkek) toplam 3 nesne dairesel dizilir; ayrıca blok içinde AB veya BA olabilir: 2 × ( 3 − 1 )! = 4 O hâlde A ile B yan yana olmayacak erkek dizilişi sayısı: 6 − 4 = 2 5) Sonuç Her uygun erkek dizilişi için kadınlar yine 24 şekilde yerleşir: 2 × 24 = 48 Doğru cevap A şıkkıdır.

Doğru cevap: A

Önce D ve E yan yana olma şartını “blok” yaparak ele alalım. (DE) bloğu kendi içinde iki farklı sırada olabilir: 2 Bu bloğu tek bir nesne sayarsak; sıraya dizilecek nesneler şunlar olur: (DE) bloğu, A, B, C ve kalan dört öğrenci. Yani toplam nesne sayısı: 1 + 3 + 4 = 8 A, B, C öğrencilerinin hiçbir ikisi komşu olmayacağı için önce A, B, C dışındaki nesneleri dizelim: (DE) bloğu ve kalan dört öğrenci toplam beş nesnedir. Bunların dizilişi: 5! Bu beş nesne sıraya dizilince aralarında ve uçlarda yerleştirme boşlukları (aralıklar) oluşur. Beş nesne için boşluk sayısı: 5 + 1 = 6 A, B, C komşu olmayacağı için bu altı boşluktan üç farklı boşluk seçip her birine birini yerleştiririz. Boşluk seçimi: ( 6 3 ) Seçilen üç boşluğa A, B, C kendi aralarında: 3! şekilde yerleşir. Tüm çarpanları birleştirirsek toplam sıralama sayısı: 2 × 5! × ( 6 3 ) × 3! Şimdi hesaplayalım: 5! = 120 ( 6 3 ) = 20 3! = 6 2 × 120 × 20 × 6 = 28800 Bulunan değer şıklarla karşılaştırılırsa doğru cevap A şıkkıdır: 28800

1. Çözüm: Önce D ve E yan yana olma şartını “blok” yaparak ele alalım. (DE) bloğu kendi içinde iki farklı sırada olabilir: 2 Bu bloğu tek bir nesne sayarsak; sıraya dizilecek nesneler şunlar olur: (DE) bloğu, A, B, C ve kalan dört öğrenci. Yani toplam nesne sayısı: 1 + 3 + 4 = 8 A, B, C öğrencilerinin hiçbir ikisi komşu olmayacağı için önce A, B, C dışındaki nesneleri dizelim: (DE) bloğu ve kalan dört öğrenci toplam beş nesnedir. Bunların dizilişi: 5! Bu beş nesne sıraya dizilince aralarında ve uçlarda yerleştirme boşlukları (aralıklar) oluşur. Beş nesne için boşluk sayısı: 5 + 1 = 6 A, B, C komşu olmayacağı için bu altı boşluktan üç farklı boşluk seçip her birine birini yerleştiririz. Boşluk seçimi: ( 6 3 ) Seçilen üç boşluğa A, B, C kendi aralarında: 3! şekilde yerleşir. Tüm çarpanları birleştirirsek toplam sıralama sayısı: 2 × 5! × ( 6 3 ) × 3! Şimdi hesaplayalım: 5! = 120 ( 6 3 ) = 20 3! = 6 2 × 120 × 20 × 6 = 28800 Bulunan değer şıklarla karşılaştırılırsa doğru cevap A şıkkıdır: 28800

Doğru cevap: B

Çözüm üretilemedi

1. Çözüm: Çözüm üretilemedi

Doğru cevap: C

Kitaplar derse göre bitişik duracağı için her dersin kitaplarını birer blok gibi düşüneceğiz. Bloklar: M: 4   kitap F: 3   kitap E: 3   kitap Yani rafta yan yana dizilecek blok sayısı 3 tür: M, F, E. Koşul: Fizik blok (F) rafın iki ucunda olmayacak. 3 blok olduğuna göre F bloğu yalnızca ortada olabilir. Bu durumda blok sıralaması yalnızca şu iki şekilde olabilir: M - F - E E - F - M Blok   sıralama   sayısı = 2 Şimdi her bloğun kendi içinde kaç farklı dizilebileceğini bulalım (kitaplar kendi içinde serbest): M   bloğu: 4! F   bloğu: 3! E   bloğu: 3! Toplam diziliş sayısı, blok sıralaması ile blok içi permütasyonların çarpımıdır: Toplam = 2 × 4! × 3! × 3! = 2 × 24 × 6 × 6 = 2 × 864 = 1728 Sonuç: Doğru   cevap = 1728 Bu nedenle doğru seçenek C ’dir; C mi? Evet, C doğrudur.

1. Çözüm: Kitaplar derse göre bitişik duracağı için her dersin kitaplarını birer blok gibi düşüneceğiz. Bloklar: M: 4   kitap F: 3   kitap E: 3   kitap Yani rafta yan yana dizilecek blok sayısı 3 tür: M, F, E. Koşul: Fizik blok (F) rafın iki ucunda olmayacak. 3 blok olduğuna göre F bloğu yalnızca ortada olabilir. Bu durumda blok sıralaması yalnızca şu iki şekilde olabilir: M - F - E E - F - M Blok   sıralama   sayısı = 2 Şimdi her bloğun kendi içinde kaç farklı dizilebileceğini bulalım (kitaplar kendi içinde serbest): M   bloğu: 4! F   bloğu: 3! E   bloğu: 3! Toplam diziliş sayısı, blok sıralaması ile blok içi permütasyonların çarpımıdır: Toplam = 2 × 4! × 3! × 3! = 2 × 24 × 6 × 6 = 2 × 864 = 1728 Sonuç: Doğru   cevap = 1728 Bu nedenle doğru seçenek C ’dir; C mi? Evet, C doğrudur.

Doğru cevap: C

Ali ile Ayşe’nin yan yana oturma şartını önce sağlayıp, sonra Can ile Deniz’in yan yana olmama şartını bu sonuçtan çıkarma (tümleyen) yöntemiyle uygulayacağız. Adım 1: Ali–Ayşe yan yana olsun (blok yöntemi) Ali ve Ayşe’yi tek bir “blok” gibi düşünelim. Böylece masada şu birimler olur: (Ali–Ayşe) bloğu + diğer altı kişi. Toplam birim sayısı yedi olur. Yuvarlak masada yedi birimin dairesel dizilişi: ( 7 − 1 )! = 6! Blok içindeki sıralama iki türlüdür (Ali–Ayşe veya Ayşe–Ali): 2 Bu şartı sağlayan toplam düzen: 2 · 6! = 2 · 720 = 1440 Adım 2: Bu düzenler içinde Can–Deniz yan yana olanları sayalım Şimdi hem (Ali–Ayşe) bloğu yan yana olacak, hem de (Can–Deniz) bloğu yan yana olacak. Bu durumda birimler: (Ali–Ayşe) + (Can–Deniz) + kalan dört kişi. Toplam birim sayısı altı olur. Yuvarlak masada altı birimin dairesel dizilişi: ( 6 − 1 )! = 5! Her iki bloğun kendi içinde sıralanışı ikişer türlü olduğundan çarpan gelir: 2 · 2 = 4 Dolayısıyla hem Ali–Ayşe yan yana hem de Can–Deniz yan yana olan düzen sayısı: 4 · 5! = 4 · 120 = 480 Adım 3: İsteneni bulma (yan yana olanları çıkarma) İstenen: Ali–Ayşe yan yana ve Can–Deniz yan yana değil. O halde, Ali–Ayşe yan yana olanlardan (Can–Deniz de yan yana olanları) çıkarırız: 1440 − 480 = 960 Sonuç: 960 Bu değer C şıkkıdır. Yani doğru cevap gerçekten C.

1. Çözüm: Ali ile Ayşe’nin yan yana oturma şartını önce sağlayıp, sonra Can ile Deniz’in yan yana olmama şartını bu sonuçtan çıkarma (tümleyen) yöntemiyle uygulayacağız. Adım 1: Ali–Ayşe yan yana olsun (blok yöntemi) Ali ve Ayşe’yi tek bir “blok” gibi düşünelim. Böylece masada şu birimler olur: (Ali–Ayşe) bloğu + diğer altı kişi. Toplam birim sayısı yedi olur. Yuvarlak masada yedi birimin dairesel dizilişi: ( 7 − 1 )! = 6! Blok içindeki sıralama iki türlüdür (Ali–Ayşe veya Ayşe–Ali): 2 Bu şartı sağlayan toplam düzen: 2 · 6! = 2 · 720 = 1440 Adım 2: Bu düzenler içinde Can–Deniz yan yana olanları sayalım Şimdi hem (Ali–Ayşe) bloğu yan yana olacak, hem de (Can–Deniz) bloğu yan yana olacak. Bu durumda birimler: (Ali–Ayşe) + (Can–Deniz) + kalan dört kişi. Toplam birim sayısı altı olur. Yuvarlak masada altı birimin dairesel dizilişi: ( 6 − 1 )! = 5! Her iki bloğun kendi içinde sıralanışı ikişer türlü olduğundan çarpan gelir: 2 · 2 = 4 Dolayısıyla hem Ali–Ayşe yan yana hem de Can–Deniz yan yana olan düzen sayısı: 4 · 5! = 4 · 120 = 480 Adım 3: İsteneni bulma (yan yana olanları çıkarma) İstenen: Ali–Ayşe yan yana ve Can–Deniz yan yana değil. O halde, Ali–Ayşe yan yana olanlardan (Can–Deniz de yan yana olanları) çıkarırız: 1440 − 480 = 960 Sonuç: 960 Bu değer C şıkkıdır. Yani doğru cevap gerçekten C.

Doğru cevap: A

Üç belirli öğrenciyi (birlikte oturması gerekenleri) tek bir blok gibi düşünelim. Bu bloğun kendi içinde sıralanışı da önemlidir. Bu durumda dairesel masada yerleştirilecek “birim” sayısı: (üçlü blok) + (kalan yedi kişi) olmak üzere toplam sekiz birimdir. Dairesel diziliş sayısı: ( 8 − 1 )! = 7! Üçlü bloğun kendi içindeki sıralanışı: 3! İki koşuldan sadece “üç kişi yan yana” şartını sağlayan toplam diziliş: 7! × 3! = 30240 Şimdi, ayrıca “yan yana oturamaz” denilen iki belirli kişinin yan yana oturduğu (istenmeyen) durumları çıkaralım. Bu iki kişiyi de bir blok yaparsak birimler: (üçlü blok) + (ikili blok) + (kalan beş kişi) olmak üzere toplam yedi birim olur. Bu yedi birimin dairesel dizilişi: ( 7 − 1 )! = 6! Blok içi sıralamalar: üçlü blok için 3! ikili blok için 2! Yan yana oturmaları (yasak olan) durumların sayısı: 6! × 3! × 2! = 8640 İstenen (yasaklı komşuluk olmayacak şekilde) oturma düzeni sayısı: 30240 − 8640 = 21600 Sonuç olarak doğru cevap A şıkkıdır.

1. Çözüm: Üç belirli öğrenciyi (birlikte oturması gerekenleri) tek bir blok gibi düşünelim. Bu bloğun kendi içinde sıralanışı da önemlidir. Bu durumda dairesel masada yerleştirilecek “birim” sayısı: (üçlü blok) + (kalan yedi kişi) olmak üzere toplam sekiz birimdir. Dairesel diziliş sayısı: ( 8 − 1 )! = 7! Üçlü bloğun kendi içindeki sıralanışı: 3! İki koşuldan sadece “üç kişi yan yana” şartını sağlayan toplam diziliş: 7! × 3! = 30240 Şimdi, ayrıca “yan yana oturamaz” denilen iki belirli kişinin yan yana oturduğu (istenmeyen) durumları çıkaralım. Bu iki kişiyi de bir blok yaparsak birimler: (üçlü blok) + (ikili blok) + (kalan beş kişi) olmak üzere toplam yedi birim olur. Bu yedi birimin dairesel dizilişi: ( 7 − 1 )! = 6! Blok içi sıralamalar: üçlü blok için 3! ikili blok için 2! Yan yana oturmaları (yasak olan) durumların sayısı: 6! × 3! × 2! = 8640 İstenen (yasaklı komşuluk olmayacak şekilde) oturma düzeni sayısı: 30240 − 8640 = 21600 Sonuç olarak doğru cevap A şıkkıdır.