10. Sınıf Matematik Permutasyon ve Kombinasyon Testleri

Doğru cevap: B

Koşul: Seçilecek ekip beş kişilik olacak; en fazla üç erkek ve en az iki kız bulunacak. Toplam kişi sayısı beş olduğundan, “en fazla üç erkek” şartı zaten “en az iki kız” şartını sağlar. Bu yüzden mümkün dağılımları (erkek, kız) olarak yazalım. ( E, K ) ∈ { ( 0, 5 ), ( 1, 4 ), ( 2, 3 ), ( 3, 2 ) } Her bir durumda, erkekler arasından seçme sayısı ile kızlar arasından seçme sayısını çarpıp hepsini toplayacağız. Toplam = C 8 0 ⋅ C 6 5 + C 8 1 ⋅ C 6 4 + C 8 2 ⋅ C 6 3 + C 8 3 ⋅ C 6 2 Şimdi bu kombinasyonları hesaplayalım. C 8 0 ⋅ C 6 5 = 1 ⋅ 6 = 6 C 8 1 ⋅ C 6 4 = 8 ⋅ 15 = 120 C 8 2 ⋅ C 6 3 = 28 ⋅ 20 = 560 C 8 3 ⋅ C 6 2 = 56 ⋅ 15 = 840 Hepsini toplayalım. Toplam = 6 + 120 + 560 + 840 = 1526 Bulunan sonuç şık A ile aynıdır; doğru cevap B818’dır.

1. Çözüm: Koşul: Seçilecek ekip beş kişilik olacak; en fazla üç erkek ve en az iki kız bulunacak. Toplam kişi sayısı beş olduğundan, “en fazla üç erkek” şartı zaten “en az iki kız” şartını sağlar. Bu yüzden mümkün dağılımları (erkek, kız) olarak yazalım. ( E, K ) ∈ { ( 0, 5 ), ( 1, 4 ), ( 2, 3 ), ( 3, 2 ) } Her bir durumda, erkekler arasından seçme sayısı ile kızlar arasından seçme sayısını çarpıp hepsini toplayacağız. Toplam = C 8 0 ⋅ C 6 5 + C 8 1 ⋅ C 6 4 + C 8 2 ⋅ C 6 3 + C 8 3 ⋅ C 6 2 Şimdi bu kombinasyonları hesaplayalım. C 8 0 ⋅ C 6 5 = 1 ⋅ 6 = 6 C 8 1 ⋅ C 6 4 = 8 ⋅ 15 = 120 C 8 2 ⋅ C 6 3 = 28 ⋅ 20 = 560 C 8 3 ⋅ C 6 2 = 56 ⋅ 15 = 840 Hepsini toplayalım. Toplam = 6 + 120 + 560 + 840 = 1526 Bulunan sonuç şık A ile aynıdır; doğru cevap B818’dır.

Doğru cevap: C

Bu soruda iki aşama vardır: önce üç kişilik ekip seçilir, sonra bu ekibin içinden başkan ve yardımcı belirlenir. 1) Yedi öğrenciden üç kişilik ekip seçme sayısı: ( 7 ) ( 3 ) = 7! 3! · 4! = 35 2) Seçilen üç kişilik ekip içinden başkan ve yardımcı belirleme sayısı (sıralama önemlidir): 3 · 2 = 6 3) Toplam seçim sayısı (aşamalar çarpılır): 35 · 6 = 210 Sonuç 210 olduğundan doğru seçenek C ’dir.

1. Çözüm: Bu soruda iki aşama vardır: önce üç kişilik ekip seçilir, sonra bu ekibin içinden başkan ve yardımcı belirlenir. 1) Yedi öğrenciden üç kişilik ekip seçme sayısı: ( 7 ) ( 3 ) = 7! 3! · 4! = 35 2) Seçilen üç kişilik ekip içinden başkan ve yardımcı belirleme sayısı (sıralama önemlidir): 3 · 2 = 6 3) Toplam seçim sayısı (aşamalar çarpılır): 35 · 6 = 210 Sonuç 210 olduğundan doğru seçenek C ’dir.

Doğru cevap: D

1) Seçenek kontrolü: A ve B yan yana, C ise A veya B ile yan yana olmayacak şekilde oturma sayısını bulacağız ve şıklardaki seçeneğiD124 ile karşılaştıracağız. 2) A ve B yan yana şartı: A ve B’yi tek bir “blok” gibi düşünelim. Böylece yuvarlak masada toplam 7 birim (AB bloğu + diğer 6 kişi) yerleştirilecek. Toplam birim sayısı = 7 3) Yuvarlak masada 7 farklı birimi dizme sayısı: Dönmeler aynı sayıldığı için dairesel permütasyon kullanırız. Dairesel diziliş sayısı = ( 7 − 1 )! = 6! = 720 4) AB bloğunun kendi iç sırası: AB ya da BA olabilir. Blok içi sıra sayısı = 2 5) Sadece “A ve B yan yana” şartını sağlayan toplam diziliş: 720 × 2 = 1440 6) C’nin A veya B ile yan yana olmaması ne demektir? A ve B yan yana olduğunda, A ve B’nin “dıştaki” iki komşu koltuğu vardır. C bu iki komşu koltuktan birine oturursa A veya B ile yan yana olur. Yani C, AB bloğunun yanına gelmemelidir. 7) Dairesel saymayı kolaylaştırmak için AB bloğunu yuvarlak masada sabit bir referans noktası gibi düşünelim (dönme belirsizliğini kaldırır). AB bloğunun etrafında kalan kişi sayısı: 8 − 2 = 6 8) AB bloğu sabitken, geriye kalan 6 yerin içinde C’nin oturabileceği yer sayısı: AB bloğuna komşu olan 2 yer yasak, geri kalan 4 yer serbesttir. 6 − 2 = 4 9) C yerleşince geriye kalan 5 kişi kalan 5 yere serbestçe oturur: 5! = 120 10) AB bloğu sabitken ve C, AB’ye komşu değilken toplam yerleşim: 4 × 120 = 480 11) Son olarak AB’nin kendi iç sırası yine 2 şekilde olduğundan çarparız: 480 × 2 = 960 12) Sonuç: Doğru cevap D1528 ’dir.

1. Çözüm: 1) Seçenek kontrolü: A ve B yan yana, C ise A veya B ile yan yana olmayacak şekilde oturma sayısını bulacağız ve şıklardaki seçeneğiD124 ile karşılaştıracağız. 2) A ve B yan yana şartı: A ve B’yi tek bir “blok” gibi düşünelim. Böylece yuvarlak masada toplam 7 birim (AB bloğu + diğer 6 kişi) yerleştirilecek. Toplam birim sayısı = 7 3) Yuvarlak masada 7 farklı birimi dizme sayısı: Dönmeler aynı sayıldığı için dairesel permütasyon kullanırız. Dairesel diziliş sayısı = ( 7 − 1 )! = 6! = 720 4) AB bloğunun kendi iç sırası: AB ya da BA olabilir. Blok içi sıra sayısı = 2 5) Sadece “A ve B yan yana” şartını sağlayan toplam diziliş: 720 × 2 = 1440 6) C’nin A veya B ile yan yana olmaması ne demektir? A ve B yan yana olduğunda, A ve B’nin “dıştaki” iki komşu koltuğu vardır. C bu iki komşu koltuktan birine oturursa A veya B ile yan yana olur. Yani C, AB bloğunun yanına gelmemelidir. 7) Dairesel saymayı kolaylaştırmak için AB bloğunu yuvarlak masada sabit bir referans noktası gibi düşünelim (dönme belirsizliğini kaldırır). AB bloğunun etrafında kalan kişi sayısı: 8 − 2 = 6 8) AB bloğu sabitken, geriye kalan 6 yerin içinde C’nin oturabileceği yer sayısı: AB bloğuna komşu olan 2 yer yasak, geri kalan 4 yer serbesttir. 6 − 2 = 4 9) C yerleşince geriye kalan 5 kişi kalan 5 yere serbestçe oturur: 5! = 120 10) AB bloğu sabitken ve C, AB’ye komşu değilken toplam yerleşim: 4 × 120 = 480 11) Son olarak AB’nin kendi iç sırası yine 2 şekilde olduğundan çarparız: 480 × 2 = 960 12) Sonuç: Doğru cevap D1528 ’dir.

Doğru cevap: A

1) Şık A kontrolü Önce 6 öğrenciden 3 kişilik komite seçilir, sonra bu 3 kişiden 1 kişi başkan seçilir. Bu nedenle toplam sayı: ( Komite seçimi ) · ( Başkan seçimi ) 2) Komiteyi seçme 6 kişiden 3 kişi seçme sayısı kombinasyondur: C ( 6, 3 ) Kombinasyonun faktöriyel açılımı: C ( 6, 3 ) = 6! 3! · 3! Hesaplayalım: C ( 6, 3 ) = 6 · 5 · 4 · 3! 3! · 3! = 6 · 5 · 4 3 · 2 · 1 = 20 3) Komiteden başkanı seçme Komite 3 kişidir; başkan bu 3 kişiden biri olur: 3 4) Toplam seçim sayısı Çarpma kuralı ile: C ( 6, 3 ) · 3 = 20 · 3 = 60 Sonuç Toplam 60 farklı şekilde seçim yapılır. Doğru cevap A şıkkıdır. 60

1. Çözüm: 1) Şık A kontrolü Önce 6 öğrenciden 3 kişilik komite seçilir, sonra bu 3 kişiden 1 kişi başkan seçilir. Bu nedenle toplam sayı: ( Komite seçimi ) · ( Başkan seçimi ) 2) Komiteyi seçme 6 kişiden 3 kişi seçme sayısı kombinasyondur: C ( 6, 3 ) Kombinasyonun faktöriyel açılımı: C ( 6, 3 ) = 6! 3! · 3! Hesaplayalım: C ( 6, 3 ) = 6 · 5 · 4 · 3! 3! · 3! = 6 · 5 · 4 3 · 2 · 1 = 20 3) Komiteden başkanı seçme Komite 3 kişidir; başkan bu 3 kişiden biri olur: 3 4) Toplam seçim sayısı Çarpma kuralı ile: C ( 6, 3 ) · 3 = 20 · 3 = 60 Sonuç Toplam 60 farklı şekilde seçim yapılır. Doğru cevap A şıkkıdır. 60

Doğru cevap: B

Doğru şık kontrolü: Komite seçim sayısı 265 çıkarsa cevap B doğrudur. Sınıftaki kız ve erkek sayıları: K = 6 E = 5 Komite kişi sayısı: n = 4 Koşul: En az iki kız olmalı. Bu yüzden olası kız sayıları: iki, üç veya dört. Durum 1: İki kız ve iki erkek seçimi ( 6! 2! 4! ) ⋅ ( 5! 2! 3! ) = 150 Durum 2: Üç kız ve bir erkek seçimi ( 6! 3! 3! ) ⋅ ( 5! 1! 4! ) = 100 Durum 3: Dört kız ve sıfır erkek seçimi ( 6! 4! 2! ) ⋅ ( 5! 0! 5! ) = 15 Toplam komite sayısı (durumların toplamı): 150 + 100 + 15 = 265 Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır.

1. Çözüm: Doğru şık kontrolü: Komite seçim sayısı 265 çıkarsa cevap B doğrudur. Sınıftaki kız ve erkek sayıları: K = 6 E = 5 Komite kişi sayısı: n = 4 Koşul: En az iki kız olmalı. Bu yüzden olası kız sayıları: iki, üç veya dört. Durum 1: İki kız ve iki erkek seçimi ( 6! 2! 4! ) ⋅ ( 5! 2! 3! ) = 150 Durum 2: Üç kız ve bir erkek seçimi ( 6! 3! 3! ) ⋅ ( 5! 1! 4! ) = 100 Durum 3: Dört kız ve sıfır erkek seçimi ( 6! 4! 2! ) ⋅ ( 5! 0! 5! ) = 15 Toplam komite sayısı (durumların toplamı): 150 + 100 + 15 = 265 Sonuç: Doğru cevap B şıkkıdır.

Doğru cevap: C

Komite beş kişilik ve en az üç kız içermeli. Sınıfta altı kız, beş erkek var. Bu yüzden komitedeki kız sayısı şu olasılıklardan biridir: Kız sayısı ∈ { 3, 4, 5 } Her durum için önce komite seçimini sayalım. 1) Üç kız ve iki erkek seçilirse: ( 6 3 ) ⋅ ( 5 2 ) = 20 ⋅ 10 = 200 2) Dört kız ve bir erkek seçilirse: ( 6 4 ) ⋅ ( 5 1 ) = 15 ⋅ 5 = 75 3) Beş kız ve sıfır erkek seçilirse: ( 6 5 ) ⋅ ( 5 0 ) = 6 ⋅ 1 = 6 Bu durumda, şartı sağlayan toplam komite sayısı: 200 + 75 + 6 = 281 Seçilen her komiteden bir başkan ve bir başkan yardımcısı seçileceği için sıralama önemlidir. Bu, beş kişiden iki farklı görev seçmek demektir: Sıralı seçim sayısı = 5 ⋅ 4 = 20 Toplam farklı seçim sayısı: 281 ⋅ 20 = 5620 Bulunan sonuç şıklardaki seçeneğiC787 ile aynıdır; yani doğru cevap C816 dır. Doğru seçenek = C835

1. Çözüm: Komite beş kişilik ve en az üç kız içermeli. Sınıfta altı kız, beş erkek var. Bu yüzden komitedeki kız sayısı şu olasılıklardan biridir: Kız sayısı ∈ { 3, 4, 5 } Her durum için önce komite seçimini sayalım. 1) Üç kız ve iki erkek seçilirse: ( 6 3 ) ⋅ ( 5 2 ) = 20 ⋅ 10 = 200 2) Dört kız ve bir erkek seçilirse: ( 6 4 ) ⋅ ( 5 1 ) = 15 ⋅ 5 = 75 3) Beş kız ve sıfır erkek seçilirse: ( 6 5 ) ⋅ ( 5 0 ) = 6 ⋅ 1 = 6 Bu durumda, şartı sağlayan toplam komite sayısı: 200 + 75 + 6 = 281 Seçilen her komiteden bir başkan ve bir başkan yardımcısı seçileceği için sıralama önemlidir. Bu, beş kişiden iki farklı görev seçmek demektir: Sıralı seçim sayısı = 5 ⋅ 4 = 20 Toplam farklı seçim sayısı: 281 ⋅ 20 = 5620 Bulunan sonuç şıklardaki seçeneğiC787 ile aynıdır; yani doğru cevap C816 dır. Doğru seçenek = C835

Doğru cevap: D

Komite üç kişilik ve en az iki kız olmalı. Bu yüzden iki durum vardır: (i) iki kız + bir erkek, (ii) üç kız. Durum (i): İki kız seçip bir erkek seçelim. 5 2 · 4 1 = 10 · 4 = 40 Durum (ii): Üç kız seçelim. 5 3 = 10 Toplam seçim sayısı: 40 + 10 = 50 Sonuç 50 olduğundan doğru seçenek D282 ’dir.

1. Çözüm: Komite üç kişilik ve en az iki kız olmalı. Bu yüzden iki durum vardır: (i) iki kız + bir erkek, (ii) üç kız. Durum (i): İki kız seçip bir erkek seçelim. 5 2 · 4 1 = 10 · 4 = 40 Durum (ii): Üç kız seçelim. 5 3 = 10 Toplam seçim sayısı: 40 + 10 = 50 Sonuç 50 olduğundan doğru seçenek D282 ’dir.

Doğru cevap: A

Verilen harfler: A, A, B, B, C, D İstenen: Aynı harfler yan yana gelmeyecek şekilde kaç farklı dizi? 1) Önce tüm dizileri (kısıtsız) sayalım: 6! 2! 2! = 180 2) AA yan yana olanları çıkaralım (AA’yı bir blok düşünelim): Bloklar: [ A A ], B, B, C, D Toplam 5 nesne var, B’ler tekrar ediyor: 5! 2! = 60 3) BB yan yana olanları çıkaralım (BB’yi bir blok düşünelim): Bloklar: [ B B ], A, A, C, D Toplam 5 nesne var, A’lar tekrar ediyor: 5! 2! = 60 4) Ancak hem AA hem BB yan yana olanları iki kez çıkardık; bir kez geri eklemeliyiz (kesişim): Bloklar: [ A A ], [ B B ], C, D Toplam 4 farklı nesne: 4! = 24 5) Dahil et-çıkar (inclusion–exclusion) ile sonuç: 180 - 60 - 60 + 24 = 84 6) Şıklarda 84 değeri şıkkıA698dır. Dolayısıyla doğru cevap A722 ’dir. 84

1. Çözüm: Verilen harfler: A, A, B, B, C, D İstenen: Aynı harfler yan yana gelmeyecek şekilde kaç farklı dizi? 1) Önce tüm dizileri (kısıtsız) sayalım: 6! 2! 2! = 180 2) AA yan yana olanları çıkaralım (AA’yı bir blok düşünelim): Bloklar: [ A A ], B, B, C, D Toplam 5 nesne var, B’ler tekrar ediyor: 5! 2! = 60 3) BB yan yana olanları çıkaralım (BB’yi bir blok düşünelim): Bloklar: [ B B ], A, A, C, D Toplam 5 nesne var, A’lar tekrar ediyor: 5! 2! = 60 4) Ancak hem AA hem BB yan yana olanları iki kez çıkardık; bir kez geri eklemeliyiz (kesişim): Bloklar: [ A A ], [ B B ], C, D Toplam 4 farklı nesne: 4! = 24 5) Dahil et-çıkar (inclusion–exclusion) ile sonuç: 180 - 60 - 60 + 24 = 84 6) Şıklarda 84 değeri şıkkıA698dır. Dolayısıyla doğru cevap A722 ’dir. 84

Doğru cevap: B

Yan yana olması istenen iki belirli kitabı tek bir blok (ikili paket) gibi düşünelim. Bu durumda dizilecek toplam birim sayısı: 7 − 2 + 1 = 6 Bu 6 birimi (blok + kalan 5 kitap) kendi aralarında sıralama sayısı: 6! Blok içindeki iki kitabın kendi aralarındaki sıralanışı da değişebilir: 2! Toplam diziliş sayısı: 6! × 2! = 720 × 2 = 1440 Sonuç 1440 olduğu için doğru seçenek B 'dir.

1. Çözüm: Yan yana olması istenen iki belirli kitabı tek bir blok (ikili paket) gibi düşünelim. Bu durumda dizilecek toplam birim sayısı: 7 − 2 + 1 = 6 Bu 6 birimi (blok + kalan 5 kitap) kendi aralarında sıralama sayısı: 6! Blok içindeki iki kitabın kendi aralarındaki sıralanışı da değişebilir: 2! Toplam diziliş sayısı: 6! × 2! = 720 × 2 = 1440 Sonuç 1440 olduğu için doğru seçenek B 'dir.

Doğru cevap: C

Soruda istenen: 4 kişilik ekip seçilecek ve sıralanacak. Koşullar: en az 2 kız, en az 1 erkek ve seçilen kızların tamamı dizilişte yan yana olacak. Bu durumda ekipteki (kız, erkek) sayıları yalnızca şu iki olasılıktır: ( 2, 2 )   ve   ( 3, 1 ) 1. Durum: 2 kız ve 2 erkek seçilsin. Önce seçim sayıları: Kız seçimi: ( 5 2 ) = 10 Erkek seçimi: ( 4 2 ) = 6 Seçilen 2 kız yan yana olacağı için kızları bir blok gibi düşünelim. Böylece dizilecek nesneler: 1 kız bloğu ⏟, 2 farklı erkek ⏟ Yani toplam 3 farklı nesne dizilir: 3! Kız bloğunun kendi içinde sıralanışı: 2! Bu durumda toplam sıralama sayısı: 10 × 6 × 3! × 2! = 10 × 6 × 6 × 2 = 720 2. Durum: 3 kız ve 1 erkek seçilsin. Önce seçim sayıları: Kız seçimi: ( 5 3 ) = 10 Erkek seçimi: ( 4 1 ) = 4 3 kızın tamamı yan yana olacağı için 3 kızı bir blok yapalım. Dizilecek nesneler: kız bloğu ve 1 erkek, yani: 2! Kız bloğunun kendi iç sıralaması: 3! Bu durumda toplam sıralama sayısı: 10 × 4 × 2! × 3! = 10 × 4 × 2 × 6 = 480 İki durum toplanır: 720 + 480 = 1200 Sonuç: Doğru cevap 1200 Yani şıkkıC1135 doğrudur.

1. Çözüm: Soruda istenen: 4 kişilik ekip seçilecek ve sıralanacak. Koşullar: en az 2 kız, en az 1 erkek ve seçilen kızların tamamı dizilişte yan yana olacak. Bu durumda ekipteki (kız, erkek) sayıları yalnızca şu iki olasılıktır: ( 2, 2 )   ve   ( 3, 1 ) 1. Durum: 2 kız ve 2 erkek seçilsin. Önce seçim sayıları: Kız seçimi: ( 5 2 ) = 10 Erkek seçimi: ( 4 2 ) = 6 Seçilen 2 kız yan yana olacağı için kızları bir blok gibi düşünelim. Böylece dizilecek nesneler: 1 kız bloğu ⏟, 2 farklı erkek ⏟ Yani toplam 3 farklı nesne dizilir: 3! Kız bloğunun kendi içinde sıralanışı: 2! Bu durumda toplam sıralama sayısı: 10 × 6 × 3! × 2! = 10 × 6 × 6 × 2 = 720 2. Durum: 3 kız ve 1 erkek seçilsin. Önce seçim sayıları: Kız seçimi: ( 5 3 ) = 10 Erkek seçimi: ( 4 1 ) = 4 3 kızın tamamı yan yana olacağı için 3 kızı bir blok yapalım. Dizilecek nesneler: kız bloğu ve 1 erkek, yani: 2! Kız bloğunun kendi iç sıralaması: 3! Bu durumda toplam sıralama sayısı: 10 × 4 × 2! × 3! = 10 × 4 × 2 × 6 = 480 İki durum toplanır: 720 + 480 = 1200 Sonuç: Doğru cevap 1200 Yani şıkkıC1135 doğrudur.