10. Sınıf Matematik Permutasyon ve Kombinasyon Testleri

Doğru cevap: D

Önce 6 kişilik ekip seçilir, sonra seçilen ekip içinden kaptan ve yardımcı kaptan (sıralı) seçilir. Kaptan ve yardımcı kaptan seçimi (sıralı) her 6 kişilik ekip için: P 6 2 = 6 ⋅ 5 = 30 Ekipte en az 3 kız olacağı için kız sayısı olasılıkları: g ∈ { 3, 4, 5 } 1) Ekipte 3 kız, 3 erkek olsun: C 5 3 ⋅ C 7 3 = 10 ⋅ 35 = 350 350 ⋅ 30 = 10500 2) Ekipte 4 kız, 2 erkek olsun: C 5 4 ⋅ C 7 2 = 5 ⋅ 21 = 105 105 ⋅ 30 = 3150 3) Ekipte 5 kız, 1 erkek olsun: C 5 5 ⋅ C 7 1 = 1 ⋅ 7 = 7 7 ⋅ 30 = 210 Toplam seçim sayısı: 10500 + 3150 + 210 = 13860 Sonuç: Doğru cevap D618 ’dir.

1. Çözüm: Önce 6 kişilik ekip seçilir, sonra seçilen ekip içinden kaptan ve yardımcı kaptan (sıralı) seçilir. Kaptan ve yardımcı kaptan seçimi (sıralı) her 6 kişilik ekip için: P 6 2 = 6 ⋅ 5 = 30 Ekipte en az 3 kız olacağı için kız sayısı olasılıkları: g ∈ { 3, 4, 5 } 1) Ekipte 3 kız, 3 erkek olsun: C 5 3 ⋅ C 7 3 = 10 ⋅ 35 = 350 350 ⋅ 30 = 10500 2) Ekipte 4 kız, 2 erkek olsun: C 5 4 ⋅ C 7 2 = 5 ⋅ 21 = 105 105 ⋅ 30 = 3150 3) Ekipte 5 kız, 1 erkek olsun: C 5 5 ⋅ C 7 1 = 1 ⋅ 7 = 7 7 ⋅ 30 = 210 Toplam seçim sayısı: 10500 + 3150 + 210 = 13860 Sonuç: Doğru cevap D618 ’dir.

Doğru cevap: A

Verilenler: k = 6 e = 4 n = 3 İstenen: En az 2 kız içeren 3 kişilik komite sayısı. Koşul “en az 2 kız” olduğundan iki durum vardır: (1) 2 kız, 1 erkek (2) 3 kız, 0 erkek Durum (1): 2 kız seçimi ve 1 erkek seçimi çarpılır. C 6 2 × C 4 1 C 6 2 = 15 C 4 1 = 4 15 × 4 = 60 Durum (2): 3 kız seçilir. C 6 3 C 6 3 = 20 Toplam komite sayısı: 60 + 20 = 80 Sonuç: 80 Doğru cevap A371 şıkkıdır.

1. Çözüm: Verilenler: k = 6 e = 4 n = 3 İstenen: En az 2 kız içeren 3 kişilik komite sayısı. Koşul “en az 2 kız” olduğundan iki durum vardır: (1) 2 kız, 1 erkek (2) 3 kız, 0 erkek Durum (1): 2 kız seçimi ve 1 erkek seçimi çarpılır. C 6 2 × C 4 1 C 6 2 = 15 C 4 1 = 4 15 × 4 = 60 Durum (2): 3 kız seçilir. C 6 3 C 6 3 = 20 Toplam komite sayısı: 60 + 20 = 80 Sonuç: 80 Doğru cevap A371 şıkkıdır.

Doğru cevap: B

Ali, Bora ve Cem yan yana (ardışık) oturacak; ayrıca Bora bu üçlünün ortasında olmayacak. Deniz ise en başta ya da en sonda olacak. 1) Ali–Bora–Cem üçlüsünün kendi iç sıralanışı: Toplam farklı sıralama sayısı: 6 Bora ortada olan (yasak) sıralamalar: 2 O hâlde izinli sıralamalar: 6 − 2 = 4 2) Deniz başta veya sonda olma şartı: Deniz’in yeri için seçenek sayısı: 2 Simetriden dolayı önce Deniz en başta sabitlenip sayılır, sonra baş-son çarpanı uygulanır. 3) Deniz en başta iken (baş koltuk sabit): Geriye kalan koltuk sayısı: 8 Bu 8 koltuk içinde ardışık 3 koltukluk blok için başlangıç konumu sayısı: 8 − 3 + 1 = 6 Her başlangıç konumu için üçlü içi izinli diziliş: 4 Kalan diğer kişi sayısı: 5 Bu kişilerin yerleşimi: 5! Deniz başta iken toplam: 6 × 4 × 5! = 2880 4) Deniz sonda olma durumu da aynı sayıda düzen verir. Bu yüzden toplam: 2 × 2880 = 5760 Sonuç olduğundan doğru seçenek B ’dir.

1. Çözüm: Ali, Bora ve Cem yan yana (ardışık) oturacak; ayrıca Bora bu üçlünün ortasında olmayacak. Deniz ise en başta ya da en sonda olacak. 1) Ali–Bora–Cem üçlüsünün kendi iç sıralanışı: Toplam farklı sıralama sayısı: 6 Bora ortada olan (yasak) sıralamalar: 2 O hâlde izinli sıralamalar: 6 − 2 = 4 2) Deniz başta veya sonda olma şartı: Deniz’in yeri için seçenek sayısı: 2 Simetriden dolayı önce Deniz en başta sabitlenip sayılır, sonra baş-son çarpanı uygulanır. 3) Deniz en başta iken (baş koltuk sabit): Geriye kalan koltuk sayısı: 8 Bu 8 koltuk içinde ardışık 3 koltukluk blok için başlangıç konumu sayısı: 8 − 3 + 1 = 6 Her başlangıç konumu için üçlü içi izinli diziliş: 4 Kalan diğer kişi sayısı: 5 Bu kişilerin yerleşimi: 5! Deniz başta iken toplam: 6 × 4 × 5! = 2880 4) Deniz sonda olma durumu da aynı sayıda düzen verir. Bu yüzden toplam: 2 × 2880 = 5760 Sonuç olduğundan doğru seçenek B ’dir.

Doğru cevap: C

İstenen: en az iki kız içeren üç kişilik ekip sayısı. Durumları kız sayısına göre ayıralım: - İki kız + bir erkek - Üç kız İki kız ve bir erkek seçme: Kız seçimi = ( 6 2 ) Erkek seçimi = ( 4 1 ) Toplam = ( 6 2 ) × ( 4 1 ) Kombinasyonları hesaplayalım: ( 6 2 ) = 15 ( 4 1 ) = 4 15 × 4 = 60 Üç kız seçme: ( 6 3 ) = 20 En az iki kız şartını sağlayan toplam ekip sayısı: 60 + 20 = 80 Sonuç şıkkıC400 mı? 80 = 80 Evet, doğru cevap C426 şıkkıdır.

1. Çözüm: İstenen: en az iki kız içeren üç kişilik ekip sayısı. Durumları kız sayısına göre ayıralım: - İki kız + bir erkek - Üç kız İki kız ve bir erkek seçme: Kız seçimi = ( 6 2 ) Erkek seçimi = ( 4 1 ) Toplam = ( 6 2 ) × ( 4 1 ) Kombinasyonları hesaplayalım: ( 6 2 ) = 15 ( 4 1 ) = 4 15 × 4 = 60 Üç kız seçme: ( 6 3 ) = 20 En az iki kız şartını sağlayan toplam ekip sayısı: 60 + 20 = 80 Sonuç şıkkıC400 mı? 80 = 80 Evet, doğru cevap C426 şıkkıdır.

Doğru cevap: D

Aranan sayılar hem 5 hem de 3 ile tam bölünebildiği için 15 ile tam bölünebilmelidir. 5 ile bölünebilme şartından son basamak 0   veya   5 olmalıdır. 3 ile bölünebilme için rakamlar toplamı 3 ’ün katı olmalıdır. Verilen kümedeki tüm rakamların toplamı 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 olur. 7 basamaklı sayı oluştururken bu 8 rakamdan tam 1 tanesi kullanılmayacaktır. Kullanılmayan rakam d olsun. O zaman kullanılan rakamların toplamı 28 - d olur ve bunun 3 ’ün katı olması gerekir: 28 - d ≡ 0   (mod   3 ) Buradan d ≡ 28 ≡ 1   (mod   3 ) olur. Buna uyan rakamlar { 1, 4, 7 } olduğundan, kullanılmayan rakam için 3 farklı seçim vardır. Şimdi her bir seçimde (yani her bir 7 rakamlı kümede) sayının son basamağını sayalım. Dikkat: Kullanılmayan rakam 1, 4, 7 olduğundan hem 0 hem de 5 mutlaka kullanılacaktır. Durum 1: Son basamak 0 olsun. Geriye kalan 6 rakamın hiçbiri 0 değildir; bu nedenle ilk basamak için 6 seçim, kalanlar için 5! permütasyon vardır: 6 × 5! = 6 × 120 = 720 Durum 2: Son basamak 5 olsun. Kalan 6 rakam arasında 0 vardır; başta 0 olamaz. Önce tüm dizilişleri sayalım: 6! = 720 Başı 0 olanları çıkaralım; bu durumda kalan 5 rakam 5! = 120 şekilde dizilir: 6! - 5! = 720 - 120 = 600 Dolayısıyla, her uygun rakam kümesi için toplam sayı adedi 720 + 600 = 1320 olur. Uygun küme sayısı 3 olduğundan toplam 3 × 1320 = 3960 sayı vardır. Sonuç: Doğru cevap D1425 şıkkıdır ve değer 3960 dır.

1. Çözüm: Aranan sayılar hem 5 hem de 3 ile tam bölünebildiği için 15 ile tam bölünebilmelidir. 5 ile bölünebilme şartından son basamak 0   veya   5 olmalıdır. 3 ile bölünebilme için rakamlar toplamı 3 ’ün katı olmalıdır. Verilen kümedeki tüm rakamların toplamı 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 olur. 7 basamaklı sayı oluştururken bu 8 rakamdan tam 1 tanesi kullanılmayacaktır. Kullanılmayan rakam d olsun. O zaman kullanılan rakamların toplamı 28 - d olur ve bunun 3 ’ün katı olması gerekir: 28 - d ≡ 0   (mod   3 ) Buradan d ≡ 28 ≡ 1   (mod   3 ) olur. Buna uyan rakamlar { 1, 4, 7 } olduğundan, kullanılmayan rakam için 3 farklı seçim vardır. Şimdi her bir seçimde (yani her bir 7 rakamlı kümede) sayının son basamağını sayalım. Dikkat: Kullanılmayan rakam 1, 4, 7 olduğundan hem 0 hem de 5 mutlaka kullanılacaktır. Durum 1: Son basamak 0 olsun. Geriye kalan 6 rakamın hiçbiri 0 değildir; bu nedenle ilk basamak için 6 seçim, kalanlar için 5! permütasyon vardır: 6 × 5! = 6 × 120 = 720 Durum 2: Son basamak 5 olsun. Kalan 6 rakam arasında 0 vardır; başta 0 olamaz. Önce tüm dizilişleri sayalım: 6! = 720 Başı 0 olanları çıkaralım; bu durumda kalan 5 rakam 5! = 120 şekilde dizilir: 6! - 5! = 720 - 120 = 600 Dolayısıyla, her uygun rakam kümesi için toplam sayı adedi 720 + 600 = 1320 olur. Uygun küme sayısı 3 olduğundan toplam 3 × 1320 = 3960 sayı vardır. Sonuç: Doğru cevap D1425 şıkkıdır ve değer 3960 dır.

Doğru cevap: A

Önce kısıt olmadan tüm takımların sayısını bulalım: C 8, 4 = 70 Ali ve Ayşe’nin aynı takımda olduğu (yasak) durumları sayalım. Ali ve Ayşe’yi takıma sabitleyince geriye seçilecek kişi sayısı: 4 − 2 = 2 Ali ve Ayşe dışında kalan öğrenci sayısı: 8 − 2 = 6 Yasak takım sayısı (Ali ve Ayşe ile birlikte kalanlardan iki kişi seçilir): C 6, 2 = 15 İstenen (geçerli) takım sayısı, toplamdan yasak durumların çıkarılmasıyla bulunur: 70 − 15 = 55 Sonuç: 55 Doğru seçenek A’dır.

1. Çözüm: Önce kısıt olmadan tüm takımların sayısını bulalım: C 8, 4 = 70 Ali ve Ayşe’nin aynı takımda olduğu (yasak) durumları sayalım. Ali ve Ayşe’yi takıma sabitleyince geriye seçilecek kişi sayısı: 4 − 2 = 2 Ali ve Ayşe dışında kalan öğrenci sayısı: 8 − 2 = 6 Yasak takım sayısı (Ali ve Ayşe ile birlikte kalanlardan iki kişi seçilir): C 6, 2 = 15 İstenen (geçerli) takım sayısı, toplamdan yasak durumların çıkarılmasıyla bulunur: 70 − 15 = 55 Sonuç: 55 Doğru seçenek A’dır.

Doğru cevap: B

Önce başkan seçilir. Sekiz kişiden bir başkan seçmenin yolu: 8 Başkan seçildikten sonra geriye yedi kişi kalır. Bu yedi kişiden iki temsilci seçilir (temsilciler arasında görev farkı yok, yani sıralama önemli değil): ( Temsilci seçimi ) = ( 7! 2! ⁢ 5! ) Kombinasyonu hesaplayalım: 7! 2! ⁢ 5! = 7 × 6 × 5! 2 × 1 × 5! = 7 × 6 2 = 21 Toplam seçim sayısı, “başkan seçimi” ile “temsilci seçimi”nin çarpımıdır: 8 × 21 = 168 Sonuç: Doğru cevap B481 seçeneğidir.

1. Çözüm: Önce başkan seçilir. Sekiz kişiden bir başkan seçmenin yolu: 8 Başkan seçildikten sonra geriye yedi kişi kalır. Bu yedi kişiden iki temsilci seçilir (temsilciler arasında görev farkı yok, yani sıralama önemli değil): ( Temsilci seçimi ) = ( 7! 2! ⁢ 5! ) Kombinasyonu hesaplayalım: 7! 2! ⁢ 5! = 7 × 6 × 5! 2 × 1 × 5! = 7 × 6 2 = 21 Toplam seçim sayısı, “başkan seçimi” ile “temsilci seçimi”nin çarpımıdır: 8 × 21 = 168 Sonuç: Doğru cevap B481 seçeneğidir.

Doğru cevap: C

Komite, sınıftaki öğrenciler arasından seçiliyor ve şart “en az bir kız” olmasıdır. Bu nedenle “tüm olası komiteler”den “tamamı erkek olan komiteleri” çıkaracağız. Önce sınıftaki toplam öğrenci sayısını bulalım. 5 + 4 = 9 Şartsız (herhangi bir koşul olmadan) seçilebilecek komite sayısı: ( Toplam ) = ( 9 'dan 3 seçim ) = 9! 3! ( 9 - 3 )! 9 × 8 × 7 3 × 2 × 1 = 84 Şimdi tamamı erkek olan (hiç kız içermeyen) komiteleri sayalım. Erkek sayısı: 4 Tamamı erkek komite sayısı: ( Tamamı erkek ) = ( 4 'den 3 seçim ) = 4! 3! ( 4 - 3 )! = 4 İstenen (en az bir kız içeren) komite sayısı: ( En az bir kız ) = ( Toplam ) - ( Tamamı erkek ) = 84 - 4 = 80 Sonuç şıkkıC677dır; yani doğru cevap C694 ve değer: 80

1. Çözüm: Komite, sınıftaki öğrenciler arasından seçiliyor ve şart “en az bir kız” olmasıdır. Bu nedenle “tüm olası komiteler”den “tamamı erkek olan komiteleri” çıkaracağız. Önce sınıftaki toplam öğrenci sayısını bulalım. 5 + 4 = 9 Şartsız (herhangi bir koşul olmadan) seçilebilecek komite sayısı: ( Toplam ) = ( 9 'dan 3 seçim ) = 9! 3! ( 9 - 3 )! 9 × 8 × 7 3 × 2 × 1 = 84 Şimdi tamamı erkek olan (hiç kız içermeyen) komiteleri sayalım. Erkek sayısı: 4 Tamamı erkek komite sayısı: ( Tamamı erkek ) = ( 4 'den 3 seçim ) = 4! 3! ( 4 - 3 )! = 4 İstenen (en az bir kız içeren) komite sayısı: ( En az bir kız ) = ( Toplam ) - ( Tamamı erkek ) = 84 - 4 = 80 Sonuç şıkkıC677dır; yani doğru cevap C694 ve değer: 80

Doğru cevap: D

Önce A ve B yan yana olacağı için bu ikiliyi bir “blok” gibi düşünelim. Bu bloğun kendi içinde iki farklı sıralanışı vardır (AB veya BA). AB bloğu için iç düzen sayısı 2 Bu durumda sıraya dizilecek “birim” sayısı: (AB bloğu) + C + diğer beş öğrenci olmak üzere toplam yedi birimdir. 1 ( AB ) + 1 ( C ) + 5 = 7 Sadece A ile B yan yana şartını sağlamak için bu yedi birimi sıralar, sonra AB bloğunun iç düzeniyle çarparız. 7! × 2 = 5040 × 2 = 10080 Şimdi C ’nin, A veya B ’nin hemen yanında olmaması isteniyor. A ve B zaten bitişik olduğundan, bu istenmeyen durum “C’nin AB bloğunun hemen sağına veya hemen soluna gelmesi” demektir. Yani C ile AB bloğu yan yana olmamalı. Bu yüzden, C ile AB bloğunun yan yana olduğu dizilişleri çıkaracağız. Yan yana olmaları için (AB) ile C’yi bir süper blok yapalım. Bu süper bloğun iki dizilişi vardır: (AB)C veya C(AB). Ayrıca AB bloğunun kendi içi de iki türlüdür. Yan yana durumda toplam 6! × 2 × 2 = 720 × 4 = 2880 İstenen diziliş sayısı = (AB yan yana olan tüm dizilişler) − (C, AB bloğuna komşu olan dizilişler). 10080 − 2880 = 7200 Sonuç 7200 olduğundan doğru seçenek D1138 ’dir.

1. Çözüm: Önce A ve B yan yana olacağı için bu ikiliyi bir “blok” gibi düşünelim. Bu bloğun kendi içinde iki farklı sıralanışı vardır (AB veya BA). AB bloğu için iç düzen sayısı 2 Bu durumda sıraya dizilecek “birim” sayısı: (AB bloğu) + C + diğer beş öğrenci olmak üzere toplam yedi birimdir. 1 ( AB ) + 1 ( C ) + 5 = 7 Sadece A ile B yan yana şartını sağlamak için bu yedi birimi sıralar, sonra AB bloğunun iç düzeniyle çarparız. 7! × 2 = 5040 × 2 = 10080 Şimdi C ’nin, A veya B ’nin hemen yanında olmaması isteniyor. A ve B zaten bitişik olduğundan, bu istenmeyen durum “C’nin AB bloğunun hemen sağına veya hemen soluna gelmesi” demektir. Yani C ile AB bloğu yan yana olmamalı. Bu yüzden, C ile AB bloğunun yan yana olduğu dizilişleri çıkaracağız. Yan yana olmaları için (AB) ile C’yi bir süper blok yapalım. Bu süper bloğun iki dizilişi vardır: (AB)C veya C(AB). Ayrıca AB bloğunun kendi içi de iki türlüdür. Yan yana durumda toplam 6! × 2 × 2 = 720 × 4 = 2880 İstenen diziliş sayısı = (AB yan yana olan tüm dizilişler) − (C, AB bloğuna komşu olan dizilişler). 10080 − 2880 = 7200 Sonuç 7200 olduğundan doğru seçenek D1138 ’dir.

Doğru cevap: A

Önce işlemin türünü belirleyelim: Farklı kitaplardan bazılarını seçip raf üzerinde yan yana dizmek, yani seçim + sıralama demektir. Bu nedenle permütasyon kullanılır. Seçilecek kitap sayısı ve toplam kitap sayısı: n = 8 r = 3 Permütasyon formülü: P ( n, r ) = n! ( n - r )! Değerleri yerine yazalım: P ( 8, 3 ) = 8! ( 8 - 3 )! Faktöriyeli sadeleştirelim: P ( 8, 3 ) = 8! 5! = 8 × 7 × 6 Çarpımı yapalım: 8 × 7 × 6 = 336 Sonuç: P ( 8, 3 ) = 336 Bu değer şıklarda seçeneğiA489dir. Yani doğru cevap A509 olarak doğrulanır.

1. Çözüm: Önce işlemin türünü belirleyelim: Farklı kitaplardan bazılarını seçip raf üzerinde yan yana dizmek, yani seçim + sıralama demektir. Bu nedenle permütasyon kullanılır. Seçilecek kitap sayısı ve toplam kitap sayısı: n = 8 r = 3 Permütasyon formülü: P ( n, r ) = n! ( n - r )! Değerleri yerine yazalım: P ( 8, 3 ) = 8! ( 8 - 3 )! Faktöriyeli sadeleştirelim: P ( 8, 3 ) = 8! 5! = 8 × 7 × 6 Çarpımı yapalım: 8 × 7 × 6 = 336 Sonuç: P ( 8, 3 ) = 336 Bu değer şıklarda seçeneğiA489dir. Yani doğru cevap A509 olarak doğrulanır.