10. Sınıf Matematik Permutasyon ve Test Çöz

1. SoruÇoktan Seçmeli

Bir sınıfta $7$ öğrenciden $3$ kişilik bir komite seçilecek ve seçilenler arasından bir başkan belirlenecektir. Kaç farklı seçim yapılabilir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Önce başkan seçimi olmadan, sınıftan üç kişilik komiteyi seçelim. Komite sayısı = ( 7 3 ) ( 7 3 ) = 7! 3! ⁢ 4! = 7 ⁢ 6 ⁢ 5 3 ⁢ 2 ⁢ $1 = 35$ Komite seçildikten sonra, komitedeki üç kişiden biri başkan seçilir. Başkan seçimi sayısı = 3 Toplam seçim sayısı, komite sayısı ile başkan seçimi sayısının çarpımıdır. $Toplam = 35$ ⁢ $3 = 105$ Sonuç olarak doğru cevap B şıkkıdır.

Çözüm: Önce başkan seçimi olmadan, sınıftan üç kişilik komiteyi seçelim. Komite sayısı = ( 7 3 ) ( 7 3 ) = 7! 3! ⁢ 4! = 7 ⁢ 6 ⁢ 5 3 ⁢ 2 ⁢ $1 = 35$ Komite seçildikten sonra, komitedeki üç kişiden biri başkan seçilir. Başkan seçimi sayısı = 3 Toplam seçim sayısı, komite sayısı ile başkan seçimi sayısının çarpımıdır. $Toplam = 35$ ⁢ $3 = 105$ Sonuç olarak doğru cevap B şıkkıdır.

Önce başkan seçimi olmadan, sınıftan üç kişilik komiteyi seçelim.

</mo><mtable><mtr><mtd><mn>7</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>3</mn></mtd></mtr></mtable><mo>

</mo><mtable><mtr><mtd><mn>7</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>3</mn></mtd></mtr></mtable><mo>

Komite seçildikten sonra, komitedeki üç kişiden biri başkan seçilir.

Başkan seçimi sayısı = 3

Toplam seçim sayısı, komite sayısı ile başkan seçimi sayısının çarpımıdır.

Toplam = 35 3 = 105

Sonuç olarak doğru cevap B şıkkıdır.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Dairesel bir masada toplam sekiz kişi oturacaktır; bunların üçü birbirleriyle evli üç çifttir ve ayrıca iki kişi tek başınadır.
Hiçbir çift yan yana oturmayacak şekilde kaç farklı oturma düzeni vardır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Şık B’nin doğru olup olmadığını sayarak kontrol edelim. Sekiz farklı kişi dairesel masaya oturuyor. Dairesel oturuşlarda dönmeler aynı kabul edilir. N 0 = ( 8 − 1 )! = 7! = 5040 Şimdi “en az bir çift yan yana” olanları çıkaracağız. Bunun için dahil etme–hariç tutma kullanacağız. Bir belirli çift (örneğin birinci çift) yan yana olsun. Bu çifti bir blok kabul edersek toplam yedi birim olur (blok + diğer altı kişi). Dairesel diziliş sayısı altı faktöriyeldir, ayrıca blok içinde iki farklı sıralama vardır. N $1 = 2$ · ( 7 − 1 )! = 2 · 6! = 1440 Böyle üç çift olduğuna göre, “en az bir belirli çift yan yana” sayılarının toplamı: ( 3, 1 ) · N $1 = 3$ · $1440 = 4320$ İki belirli çift aynı anda yan yana olsun. İki çifti iki blok yaparsak toplam altı birim olur (iki blok + kalan dört kişi). Dairesel diziliş beş faktöriyeldir, her blok içinde ikişer sıralama vardır. N $2 = 2$ 2 · ( 6 − 1 )! = 4 · 5! = 480 Bu durum üç farklı çift seçimiyle oluşur: ( 3, 2 ) · N $2 = 3$ · $480 = 1440$ Üç çiftin de yan yana olması durumunda üç blok + iki bekar kişi vardır, yani beş birim. Dairesel diziliş dört faktöriyeldir ve her blok için iki iç sıralama vardır. N $3 = 2$ 3 · ( 5 − 1 )! = 8 · 4! = 192 Dahil etme–hariç tutma ile “hiçbir çift yan yana değil” sayısı: $N = N$ 0 − ( 3, 1 ) · N 1 + ( 3, 2 ) · N 2 − ( 3, 3 ) · N 3 $N = 5040$ − 4320 + 1440 − $192 = 1968$ Sonuç bin dokuz yüz altmış sekiz olduğundan doğru seçenek B ’dir.

Çözüm: Şık B’nin doğru olup olmadığını sayarak kontrol edelim. Sekiz farklı kişi dairesel masaya oturuyor. Dairesel oturuşlarda dönmeler aynı kabul edilir. N 0 = ( 8 − 1 )! = 7! = 5040 Şimdi “en az bir çift yan yana” olanları çıkaracağız. Bunun için dahil etme–hariç tutma kullanacağız. Bir belirli çift (örneğin birinci çift) yan yana olsun. Bu çifti bir blok kabul edersek toplam yedi birim olur (blok + diğer altı kişi). Dairesel diziliş sayısı altı faktöriyeldir, ayrıca blok içinde iki farklı sıralama vardır. N $1 = 2$ · ( 7 − 1 )! = 2 · 6! = 1440 Böyle üç çift olduğuna göre, “en az bir belirli çift yan yana” sayılarının toplamı: ( 3, 1 ) · N $1 = 3$ · $1440 = 4320$ İki belirli çift aynı anda yan yana olsun. İki çifti iki blok yaparsak toplam altı birim olur (iki blok + kalan dört kişi). Dairesel diziliş beş faktöriyeldir, her blok içinde ikişer sıralama vardır. N $2 = 2$ 2 · ( 6 − 1 )! = 4 · 5! = 480 Bu durum üç farklı çift seçimiyle oluşur: ( 3, 2 ) · N $2 = 3$ · $480 = 1440$ Üç çiftin de yan yana olması durumunda üç blok + iki bekar kişi vardır, yani beş birim. Dairesel diziliş dört faktöriyeldir ve her blok için iki iç sıralama vardır. N $3 = 2$ 3 · ( 5 − 1 )! = 8 · 4! = 192 Dahil etme–hariç tutma ile “hiçbir çift yan yana değil” sayısı: $N = N$ 0 − ( 3, 1 ) · N 1 + ( 3, 2 ) · N 2 − ( 3, 3 ) · N 3 $N = 5040$ − 4320 + 1440 − $192 = 1968$ Sonuç bin dokuz yüz altmış sekiz olduğundan doğru seçenek B ’dir.

Şık B’nin doğru olup olmadığını sayarak kontrol edelim.

Sekiz farklı kişi dairesel masaya oturuyor. Dairesel oturuşlarda dönmeler aynı kabul edilir.

</mo><mn>8</mn><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>

Şimdi “en az bir çift yan yana” olanları çıkaracağız. Bunun için dahil etme–hariç tutma kullanacağız.

Bir belirli çift (örneğin birinci çift) yan yana olsun. Bu çifti bir blok kabul edersek toplam yedi birim olur (blok + diğer altı kişi). Dairesel diziliş sayısı altı faktöriyeldir, ayrıca blok içinde iki farklı sıralama vardır.

</mo><mn>7</mn><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>

Böyle üç çift olduğuna göre, “en az bir belirli çift yan yana” sayılarının toplamı:

</mo><mn>3</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>

İki belirli çift aynı anda yan yana olsun. İki çifti iki blok yaparsak toplam altı birim olur (iki blok + kalan dört kişi). Dairesel diziliş beş faktöriyeldir, her blok içinde ikişer sıralama vardır.

</mo><mn>6</mn><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>

Bu durum üç farklı çift seçimiyle oluşur:

</mo><mn>3</mn><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>

Üç çiftin de yan yana olması durumunda üç blok + iki bekar kişi vardır, yani beş birim. Dairesel diziliş dört faktöriyeldir ve her blok için iki iç sıralama vardır.

</mo><mn>5</mn><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>

Dahil etme–hariç tutma ile “hiçbir çift yan yana değil” sayısı:

</mo><mn>3</mn><mo>,</mo><mn>1</mn><mo>

N = 5040 - 4320 + 1440 - 192 = 1968

Sonuç bin dokuz yüz altmış sekiz olduğundan doğru seçenek B’dir.

3. SoruÇoktan Seçmeli

$8$ farklı öğrenciden $3$ kişilik bir komite kaç farklı şekilde seçilebilir?

Lütfen önce bir cevap seç.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Bir sınıfta $6$ erkek ve $5$ kız öğrenci vardır.
Bu öğrencilerden $5$ kişilik bir komite seçiliyor ve komite içinden sırasıyla başkan ve sekreter belirleniyor.
Komitede en az $2$ kız olması ve başkan-sekreter ikilisinden en az birinin kız olması koşuluyla kaç farklı seçim yapılabilir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Komitedeki kız sayısı g, erkek sayısı b olsun. g + $b = 5$ 2 ≤ g ≤ 5 Her (g,b) dağılımı için önce komiteyi seçip sonra komite içinden sırasıyla başkan ve sekreter atayacağız. Sabit bir g için komite seçme sayısı: C ( 5, g ) × C ( 6, 5 - g ) Komitede toplam 5 kişi olduğundan başkan-sekreter ikilisi (sıralı) seçimi: P ( 5, 2 ) = 20 Koşul: Başkan-sekreter ikilisinden en az biri kız olmalı. Bunun tersi “ikisi de erkek” durumudur. Komitede b erkek varsa “ikisi de erkek” seçim sayısı: P ( b, 2 ) Dolayısıyla, sabit b için geçerli başkan-sekreter atama sayısı: 20 - P ( b, 2 ) Şimdi olası g değerlerini tek tek hesaplayalım. 1) $g=2$ ise $b=3$ : C ( 5, 2 ) × C ( 6, 3 ) = 10 × $20 = 200$ 20 - P ( 3, 2 ) = $20 - 6 = 14$ 200 × $14 = 2800$ 2) $g=3$ ise $b=2$ : C ( 5, 3 ) × C ( 6, 2 ) = 10 × $15 = 150$ 20 - P ( 2, 2 ) = $20 - 2 = 18$ 150 × $18 = 2700$ 3) $g=4$ ise $b=1$ : C ( 5, 4 ) × C ( 6, 1 ) = 5 × $6 = 30$ 20 - P ( 1, 2 ) = 20 30 × $20 = 600$ 4) $g=5$ ise $b=0$ : C ( 5, 5 ) × C ( 6, 0 ) = 1 20 - P ( 0, 2 ) = 20 1 × $20 = 20$ Hepsini toplayalım: $2800 + 2700 + 600 + 20 = 6120$ Sonuç 6120 olduğundan doğru seçenek A ’dır.

Çözüm: Komitedeki kız sayısı g, erkek sayısı b olsun. g + $b = 5$ 2 ≤ g ≤ 5 Her (g,b) dağılımı için önce komiteyi seçip sonra komite içinden sırasıyla başkan ve sekreter atayacağız. Sabit bir g için komite seçme sayısı: C ( 5, g ) × C ( 6, 5 - g ) Komitede toplam 5 kişi olduğundan başkan-sekreter ikilisi (sıralı) seçimi: P ( 5, 2 ) = 20 Koşul: Başkan-sekreter ikilisinden en az biri kız olmalı. Bunun tersi “ikisi de erkek” durumudur. Komitede b erkek varsa “ikisi de erkek” seçim sayısı: P ( b, 2 ) Dolayısıyla, sabit b için geçerli başkan-sekreter atama sayısı: 20 - P ( b, 2 ) Şimdi olası g değerlerini tek tek hesaplayalım. 1) $g=2$ ise $b=3$ : C ( 5, 2 ) × C ( 6, 3 ) = 10 × $20 = 200$ 20 - P ( 3, 2 ) = $20 - 6 = 14$ 200 × $14 = 2800$ 2) $g=3$ ise $b=2$ : C ( 5, 3 ) × C ( 6, 2 ) = 10 × $15 = 150$ 20 - P ( 2, 2 ) = $20 - 2 = 18$ 150 × $18 = 2700$ 3) $g=4$ ise $b=1$ : C ( 5, 4 ) × C ( 6, 1 ) = 5 × $6 = 30$ 20 - P ( 1, 2 ) = 20 30 × $20 = 600$ 4) $g=5$ ise $b=0$ : C ( 5, 5 ) × C ( 6, 0 ) = 1 20 - P ( 0, 2 ) = 20 1 × $20 = 20$ Hepsini toplayalım: $2800 + 2700 + 600 + 20 = 6120$ Sonuç 6120 olduğundan doğru seçenek A ’dır.

Komitedeki kız sayısı g, erkek sayısı b olsun.

g + b = 5

2 \leq g \leq 5

Her (g,b) dağılımı için önce komiteyi seçip sonra komite içinden sırasıyla başkan ve sekreter atayacağız.

Sabit bir g için komite seçme sayısı:

</mo><mn>5</mn><mo>,</mo><mi>g</mi><mo>

Komitede toplam 5 kişi olduğundan başkan-sekreter ikilisi (sıralı) seçimi:

</mo><mn>5</mn><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>

Koşul: Başkan-sekreter ikilisinden en az biri kız olmalı. Bunun tersi “ikisi de erkek” durumudur. Komitede b erkek varsa “ikisi de erkek” seçim sayısı:

</mo><mi>b</mi><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>

Dolayısıyla, sabit b için geçerli başkan-sekreter atama sayısı:

</mo><mi>b</mi><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>

Şimdi olası g değerlerini tek tek hesaplayalım.

1) $g=2$ ise $b=3$ :

</mo><mn>5</mn><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>

</mo><mn>3</mn><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>

200 \times 14 = 2800

2) $g=3$ ise $b=2$ :

</mo><mn>5</mn><mo>,</mo><mn>3</mn><mo>

</mo><mn>2</mn><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>

150 \times 18 = 2700

3) $g=4$ ise $b=1$ :

</mo><mn>5</mn><mo>,</mo><mn>4</mn><mo>

</mo><mn>1</mn><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>

30 \times 20 = 600

4) $g=5$ ise $b=0$ :

</mo><mn>5</mn><mo>,</mo><mn>5</mn><mo>

</mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mn>2</mn><mo>

1 \times 20 = 20

Hepsini toplayalım:

2800 + 2700 + 600 + 20 = 6120

Sonuç 6120 olduğundan doğru seçenek A’dır.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Beş kız ve dört erkekten oluşan bir gruptan üç kişilik bir komite seçilecektir.
Komitede en az iki kız olması şartıyla kaç farklı seçim yapılabilir?

Lütfen önce bir cevap seç.

6. SoruÇoktan Seçmeli

$8$ kişilik bir gruptan, Ayşe ve Bora aynı komitede bulunmayacak şekilde $3$ kişilik komite kaç farklı şekilde seçilir?

Lütfen önce bir cevap seç.

7. SoruÇoktan Seçmeli

$8$ farklı öğrenci $A, B, C, D, E, F, G, H$ bir sıraya dizilecektir.
$A$ , $B$ , $C$ öğrencilerinin kendi aralarındaki sıralaması soldan sağa $A < B < C$ olacak ve $D$ ile $E$ yan yana gelmeyecektir.
Bu koşulları sağlayan kaç farklı diziliş vardır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Önce sadece “ilk üç öğrencinin soldan sağa sırası sabit” koşulunu sayalım. Toplam diziliş sayısı 8! 3! çünkü bu üç öğrencinin kendi aralarındaki tüm sıralamaları ( 3! adet) içinden yalnızca 1 tanesi kabul ediliyor. Bu değeri hesaplayalım: 8! 3! 40320 6 6720 Şimdi “iki belirli öğrencinin yan yana gelmesi” durumunu bulup çıkaracağız (ters sayma). Yan yana gelmesi istenmeyen iki öğrenci bir “blok” gibi düşünülür. Böylece toplam nesne sayısı 7 olur (blok + diğer 6 öğrenci). Bu 7 nesnenin dizilişinde yine “ilk üç öğrencinin soldan sağa sırası sabit” olmalıdır. Bu yüzden sayı 7! 3! olur. Blok içindeki iki öğrencinin kendi aralarında yer değiştirmesi de mümkündür, bu da 2 kat çarpan getirir. Yan yana olma durumlarının sayısı: 2 × 7! 3! 2 × 5040 6 2 × 840 1680 İstenen (yan yana gelmeyen) diziliş sayısı: 6720 - 1680 5040 Sonuç: Doğru cevap C şıkkıdır. 5040

Çözüm: Önce sadece “ilk üç öğrencinin soldan sağa sırası sabit” koşulunu sayalım. Toplam diziliş sayısı 8! 3! çünkü bu üç öğrencinin kendi aralarındaki tüm sıralamaları ( 3! adet) içinden yalnızca 1 tanesi kabul ediliyor. Bu değeri hesaplayalım: 8! 3! 40320 6 6720 Şimdi “iki belirli öğrencinin yan yana gelmesi” durumunu bulup çıkaracağız (ters sayma). Yan yana gelmesi istenmeyen iki öğrenci bir “blok” gibi düşünülür. Böylece toplam nesne sayısı 7 olur (blok + diğer 6 öğrenci). Bu 7 nesnenin dizilişinde yine “ilk üç öğrencinin soldan sağa sırası sabit” olmalıdır. Bu yüzden sayı 7! 3! olur. Blok içindeki iki öğrencinin kendi aralarında yer değiştirmesi de mümkündür, bu da 2 kat çarpan getirir. Yan yana olma durumlarının sayısı: 2 × 7! 3! 2 × 5040 6 2 × 840 1680 İstenen (yan yana gelmeyen) diziliş sayısı: 6720 - 1680 5040 Sonuç: Doğru cevap C şıkkıdır. 5040

Önce sadece “ilk üç öğrencinin soldan sağa sırası sabit” koşulunu sayalım.

Toplam diziliş sayısı

\frac{8!}{3!}

çünkü bu üç öğrencinin kendi aralarındaki tüm sıralamaları (

3!

adet) içinden yalnızca 1 tanesi kabul ediliyor.

Bu değeri hesaplayalım:

\frac{8!}{3!}

\frac{40320}{6}

6720

Şimdi “iki belirli öğrencinin yan yana gelmesi” durumunu bulup çıkaracağız (ters sayma).

Yan yana gelmesi istenmeyen iki öğrenci bir “blok” gibi düşünülür. Böylece toplam nesne sayısı

7

olur (blok + diğer 6 öğrenci).

Bu 7 nesnenin dizilişinde yine “ilk üç öğrencinin soldan sağa sırası sabit” olmalıdır. Bu yüzden sayı

\frac{7!}{3!}

olur.

Blok içindeki iki öğrencinin kendi aralarında yer değiştirmesi de mümkündür, bu da

2

kat çarpan getirir.

Yan yana olma durumlarının sayısı:

2 \times \frac{7!}{3!}

2 \times \frac{5040}{6}

2 \times 840

1680

İstenen (yan yana gelmeyen) diziliş sayısı:

6720 - 1680

5040

Sonuç:

Doğru cevap C şıkkıdır.

5040

8. SoruÇoktan Seçmeli

$6$ farklı kitaptan $3$ tanesi seçilip bir rafa yan yana dizilecektir. Kaç farklı diziliş elde edilir?

Lütfen önce bir cevap seç.

9. SoruÇoktan Seçmeli

$8$ farklı öğrenci bir sıraya dizilecektir. $A$ ile $B$ yan yana, $C$ ile $D$ yan yana olmak zorundadır; ayrıca $A B$ ikilisi ile $C D$ ikilisi yan yana gelmemelidir. Buna göre kaç farklı diziliş vardır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

İstenen: yan yana olmak zorunda olan iki ikili var ve bu iki ikili ayrıca yan yana gelmeyecek. Yan yana olma şartı için ikilileri birer “blok” gibi düşünelim: X = ( A B ), Y = ( C D ) Geriye kalan diğer dört öğrenciyle birlikte dizilecek “öğe” sayısı: X, Y, E, F, G, H Yani toplam altı farklı öğe var. Önce hiç kısıt yokmuş gibi (yalnızca blok şartı varmış gibi) diziliş sayısı: 6! Şimdi istenmeyen durum: iki blok yan yana gelsin (yani X ile Y komşu olsun). Bu durumda X ve Y yi tek bir süper blok gibi düşünelim: Z = ( X Y ) veya Z = ( Y X ) Bu süper blokla birlikte toplam beş öğe dizilir; ayrıca blok içi sıra iki farklıdır. 2 × 5! O hâlde blokların yan yana gelmediği (istenen) dış diziliş sayısı: 6! − 2 × 5! Şimdi sayısal değerini bulalım: 6! = 720 5! = 120 6! − 2 × 5! = 720 − 2 × 120 = 720 − 240 = 480 Son olarak blokların kendi iç düzenleri de değişebilir: ( A B ) için 2 düzen ( A B ) ve ( B A ) ( C D ) için 2 düzen ( C D ) ve ( D C ) Dolayısıyla toplam çarpan: 2 × 2 = 4 Toplam istenen diziliş sayısı: 480 × 4 = 1920 Sonuç: 1920 Bu değer şıklar içinde A seçeneğidir; yani doğru cevap A.

Çözüm: İstenen: yan yana olmak zorunda olan iki ikili var ve bu iki ikili ayrıca yan yana gelmeyecek. Yan yana olma şartı için ikilileri birer “blok” gibi düşünelim: X = ( A B ), Y = ( C D ) Geriye kalan diğer dört öğrenciyle birlikte dizilecek “öğe” sayısı: X, Y, E, F, G, H Yani toplam altı farklı öğe var. Önce hiç kısıt yokmuş gibi (yalnızca blok şartı varmış gibi) diziliş sayısı: 6! Şimdi istenmeyen durum: iki blok yan yana gelsin (yani X ile Y komşu olsun). Bu durumda X ve Y yi tek bir süper blok gibi düşünelim: Z = ( X Y ) veya Z = ( Y X ) Bu süper blokla birlikte toplam beş öğe dizilir; ayrıca blok içi sıra iki farklıdır. 2 × 5! O hâlde blokların yan yana gelmediği (istenen) dış diziliş sayısı: 6! − 2 × 5! Şimdi sayısal değerini bulalım: 6! = 720 5! = 120 6! − 2 × 5! = 720 − 2 × 120 = 720 − 240 = 480 Son olarak blokların kendi iç düzenleri de değişebilir: ( A B ) için 2 düzen ( A B ) ve ( B A ) ( C D ) için 2 düzen ( C D ) ve ( D C ) Dolayısıyla toplam çarpan: 2 × 2 = 4 Toplam istenen diziliş sayısı: 480 × 4 = 1920 Sonuç: 1920 Bu değer şıklar içinde A seçeneğidir; yani doğru cevap A.

İstenen: yan yana olmak zorunda olan iki ikili var ve bu iki ikili ayrıca yan yana gelmeyecek.

Yan yana olma şartı için ikilileri birer “blok” gibi düşünelim:

X = (A B), Y = (C D)

Geriye kalan diğer dört öğrenciyle birlikte dizilecek “öğe” sayısı:

X, Y, E, F, G, H

Yani toplam altı farklı öğe var.

Önce hiç kısıt yokmuş gibi (yalnızca blok şartı varmış gibi) diziliş sayısı:

6!

Şimdi istenmeyen durum: iki blok yan yana gelsin (yani $X$ ile $Y$ komşu olsun). Bu durumda $X$ ve $Y$ yi tek bir süper blok gibi düşünelim:

Z = (X Y) veya Z = (Y X)

Bu süper blokla birlikte toplam beş öğe dizilir; ayrıca blok içi sıra iki farklıdır.

2 \times 5!

O hâlde blokların yan yana gelmediği (istenen) dış diziliş sayısı:

6! - 2 \times 5!

Şimdi sayısal değerini bulalım:

6! = 720

5! = 120

6! - 2 \times 5! = 720 - 2 \times 120 = 720 - 240 = 480

Son olarak blokların kendi iç düzenleri de değişebilir:

(A B) için 2 düzen (A B) ve (B A)

(C D) için 2 düzen (C D) ve (D C)

Dolayısıyla toplam çarpan:

2 \times 2 = 4

Toplam istenen diziliş sayısı:

480 \times 4 = 1920

Sonuç:

1920

Bu değer şıklar içinde A seçeneğidir; yani doğru cevap A.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Bir sıraya $10$ farklı öğrenci oturtulacaktır. Ali, Bora, Ceren ve Deniz adlı $4$ öğrenciden hiçbiri yan yana gelmeyecek ve Ali, Bora'nun solunda olacaktır. Kaç farklı oturma düzeni vardır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Cevap şıkkı kontrolü: Sonuç C şıkkındaki değer çıkıyor. Önce Ali, Bora, Ceren, Deniz dışındaki öğrencileri sıraya yerleştirelim. Bu öğrenci sayısı 10 − 4 = 6 olduğu için yerleştirme sayısı 6! şekildedir. Bu 6 öğrenciyi yerleştirdikten sonra oluşan boşluk (aralık) sayısı, baş ve son dahil 7 tane olur. (Amaç: Ali, Bora, Ceren, Deniz’den hiçbiri yan yana gelmesin diye her birini farklı aralığa koymak.) Bu 7 aralıktan, bu dört öğrencinin oturacağı 4 aralığı seçme sayısı 7 4 olur. Seçilen aralıklara Ali, Bora, Ceren, Deniz’i yerleştirme sayısı (hepsi farklı olduğu için) 4! kadardır. Şimdi “Ali, Bora’nun solunda olacak” şartını kullanalım. Seçilen aralıklarda Ali ile Bora iki farklı konumda olacağından, Ali ve Bora’nun yer değiştirmesi toplam düzenlerin tam yarısında şartı sağlar. Bu nedenle 1 2 çarpanı gelir. Toplam oturma düzeni sayısı: 6! ⋅ 7 4 ⋅ 4! ⋅ 1 2 Hesaplayalım: 6! = 720 7 4 = 35 4! = 24 720 ⋅ 35 ⋅ 24 ÷ 2 = 302400 Sonuç C şıkkıdır.

Çözüm: Cevap şıkkı kontrolü: Sonuç C şıkkındaki değer çıkıyor. Önce Ali, Bora, Ceren, Deniz dışındaki öğrencileri sıraya yerleştirelim. Bu öğrenci sayısı 10 − 4 = 6 olduğu için yerleştirme sayısı 6! şekildedir. Bu 6 öğrenciyi yerleştirdikten sonra oluşan boşluk (aralık) sayısı, baş ve son dahil 7 tane olur. (Amaç: Ali, Bora, Ceren, Deniz’den hiçbiri yan yana gelmesin diye her birini farklı aralığa koymak.) Bu 7 aralıktan, bu dört öğrencinin oturacağı 4 aralığı seçme sayısı 7 4 olur. Seçilen aralıklara Ali, Bora, Ceren, Deniz’i yerleştirme sayısı (hepsi farklı olduğu için) 4! kadardır. Şimdi “Ali, Bora’nun solunda olacak” şartını kullanalım. Seçilen aralıklarda Ali ile Bora iki farklı konumda olacağından, Ali ve Bora’nun yer değiştirmesi toplam düzenlerin tam yarısında şartı sağlar. Bu nedenle 1 2 çarpanı gelir. Toplam oturma düzeni sayısı: 6! ⋅ 7 4 ⋅ 4! ⋅ 1 2 Hesaplayalım: 6! = 720 7 4 = 35 4! = 24 720 ⋅ 35 ⋅ 24 ÷ 2 = 302400 Sonuç C şıkkıdır.

Cevap şıkkı kontrolü: Sonuç C şıkkındaki değer çıkıyor.

Önce Ali, Bora, Ceren, Deniz dışındaki öğrencileri sıraya yerleştirelim. Bu öğrenci sayısı

10 - 4 = 6

olduğu için yerleştirme sayısı

6!

şekildedir.

Bu $6$ öğrenciyi yerleştirdikten sonra oluşan boşluk (aralık) sayısı, baş ve son dahil

7

tane olur. (Amaç: Ali, Bora, Ceren, Deniz’den hiçbiri yan yana gelmesin diye her birini farklı aralığa koymak.)

Bu $7$ aralıktan, bu dört öğrencinin oturacağı $4$ aralığı seçme sayısı

(\begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix})

olur.

Seçilen aralıklara Ali, Bora, Ceren, Deniz’i yerleştirme sayısı (hepsi farklı olduğu için)

4!

kadardır.

Şimdi “Ali, Bora’nun solunda olacak” şartını kullanalım. Seçilen aralıklarda Ali ile Bora iki farklı konumda olacağından, Ali ve Bora’nun yer değiştirmesi toplam düzenlerin tam yarısında şartı sağlar. Bu nedenle

\frac{1}{2}

çarpanı gelir.

Toplam oturma düzeni sayısı:

6! \cdot (\begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix}) \cdot 4! \cdot \frac{1}{2}

Hesaplayalım:

6! = 720

(\begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix}) = 35

4! = 24

720 \cdot 35 \cdot 24 \div 2 = 302400

Sonuç C şıkkıdır.

10. Sınıf Matematik Permutasyon ve Kombinasyon Testleri

Permütasyon ve kombinasyonu sıralama-seçme ayrımıyla öğren

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

Sık karıştırılan noktalar

Verimli çalışma yolu

Günlük Liderler

10. Sınıf Matematik Permutasyon ve Kombinasyon Testleri

Bir sınıfta $7$ öğrenciden $3$ kişilik bir komite seçilecek ve seçilenler arasından bir başkan belirlenecektir. Kaç farklı seçim yapılabilir?

Dairesel bir masada toplam sekiz kişi oturacaktır; bunların üçü birbirleriyle evli üç çifttir ve ayrıca iki kişi tek başınadır.
Hiçbir çift yan yana oturmayacak şekilde kaç farklı oturma düzeni vardır?

$8$ farklı öğrenciden $3$ kişilik bir komite kaç farklı şekilde seçilebilir?

Beş kız ve dört erkekten oluşan bir gruptan üç kişilik bir komite seçilecektir.
Komitede en az iki kız olması şartıyla kaç farklı seçim yapılabilir?

$8$ kişilik bir gruptan, Ayşe ve Bora aynı komitede bulunmayacak şekilde $3$ kişilik komite kaç farklı şekilde seçilir?

$8$ farklı öğrenci $A, B, C, D, E, F, G, H$ bir sıraya dizilecektir.
$A$ , $B$ , $C$ öğrencilerinin kendi aralarındaki sıralaması soldan sağa $A < B < C$ olacak ve $D$ ile $E$ yan yana gelmeyecektir.
Bu koşulları sağlayan kaç farklı diziliş vardır?

$6$ farklı kitaptan $3$ tanesi seçilip bir rafa yan yana dizilecektir. Kaç farklı diziliş elde edilir?

$8$ farklı öğrenci bir sıraya dizilecektir. $A$ ile $B$ yan yana, $C$ ile $D$ yan yana olmak zorundadır; ayrıca $A B$ ikilisi ile $C D$ ikilisi yan yana gelmemelidir. Buna göre kaç farklı diziliş vardır?

Bir sıraya $10$ farklı öğrenci oturtulacaktır. Ali, Bora, Ceren ve Deniz adlı $4$ öğrenciden hiçbiri yan yana gelmeyecek ve Ali, Bora'nun solunda olacaktır. Kaç farklı oturma düzeni vardır?

Test çözümleri

İlgili yazılı sınavlar

10. Sınıf Matematik 2. Dönem 1. Yazılı Soruları

10. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Soruları

Permütasyon ve Kombinasyon Sık Sorulan Sorular

10. Sınıf Matematik Permutasyon ve Kombinasyon Testleri

Permütasyon ve kombinasyonu sıralama-seçme ayrımıyla öğren

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

Sık karıştırılan noktalar

Verimli çalışma yolu

Günlük Liderler

10. Sınıf Matematik Permutasyon ve Kombinasyon Testleri

Bir sınıfta 7 öğrenciden 3 kişilik bir komite seçilecek ve seçilenler arasından bir başkan belirlenecektir. Kaç farklı seçim yapılabilir?

Dairesel bir masada toplam sekiz kişi oturacaktır; bunların üçü birbirleriyle evli üç çifttir ve ayrıca iki kişi tek başınadır.Hiçbir çift yan yana oturmayacak şekilde kaç farklı oturma düzeni vardır?

8 farklı öğrenciden 3 kişilik bir komite kaç farklı şekilde seçilebilir?

Bir sınıfta 6 erkek ve 5 kız öğrenci vardır.Bu öğrencilerden 5 kişilik bir komite seçiliyor ve komite içinden sırasıyla başkan ve sekreter belirleniyor.Komitede en az 2 kız olması ve başkan-sekreter ikilisinden en az birinin kız olması koşuluyla kaç farklı seçim yapılabilir?

Beş kız ve dört erkekten oluşan bir gruptan üç kişilik bir komite seçilecektir.Komitede en az iki kız olması şartıyla kaç farklı seçim yapılabilir?

8 kişilik bir gruptan, Ayşe ve Bora aynı komitede bulunmayacak şekilde 3 kişilik komite kaç farklı şekilde seçilir?

8 farklı öğrenci A,B,C,D,E,F,G,H bir sıraya dizilecektir.A, B, C öğrencilerinin kendi aralarındaki sıralaması soldan sağa A<B<C olacak ve D ile E yan yana gelmeyecektir.Bu koşulları sağlayan kaç farklı diziliş vardır?

6 farklı kitaptan 3 tanesi seçilip bir rafa yan yana dizilecektir. Kaç farklı diziliş elde edilir?

8 farklı öğrenci bir sıraya dizilecektir. A ile B yan yana, C ile D yan yana olmak zorundadır; ayrıca AB ikilisi ile CD ikilisi yan yana gelmemelidir. Buna göre kaç farklı diziliş vardır?

Bir sıraya 10 farklı öğrenci oturtulacaktır. Ali, Bora, Ceren ve Deniz adlı 4 öğrenciden hiçbiri yan yana gelmeyecek ve Ali, Bora'nun solunda olacaktır. Kaç farklı oturma düzeni vardır?

Test çözümleri

İlgili yazılı sınavlar

10. Sınıf Matematik 2. Dönem 1. Yazılı Soruları

10. Sınıf Matematik 2. Dönem 2. Yazılı Soruları

Permütasyon ve Kombinasyon Sık Sorulan Sorular

Bir sınıfta $7$ öğrenciden $3$ kişilik bir komite seçilecek ve seçilenler arasından bir başkan belirlenecektir. Kaç farklı seçim yapılabilir?

Dairesel bir masada toplam sekiz kişi oturacaktır; bunların üçü birbirleriyle evli üç çifttir ve ayrıca iki kişi tek başınadır.
Hiçbir çift yan yana oturmayacak şekilde kaç farklı oturma düzeni vardır?

$8$ farklı öğrenciden $3$ kişilik bir komite kaç farklı şekilde seçilebilir?

Beş kız ve dört erkekten oluşan bir gruptan üç kişilik bir komite seçilecektir.
Komitede en az iki kız olması şartıyla kaç farklı seçim yapılabilir?

$8$ kişilik bir gruptan, Ayşe ve Bora aynı komitede bulunmayacak şekilde $3$ kişilik komite kaç farklı şekilde seçilir?

$8$ farklı öğrenci $A, B, C, D, E, F, G, H$ bir sıraya dizilecektir.
$A$ , $B$ , $C$ öğrencilerinin kendi aralarındaki sıralaması soldan sağa $A < B < C$ olacak ve $D$ ile $E$ yan yana gelmeyecektir.
Bu koşulları sağlayan kaç farklı diziliş vardır?

$6$ farklı kitaptan $3$ tanesi seçilip bir rafa yan yana dizilecektir. Kaç farklı diziliş elde edilir?

$8$ farklı öğrenci bir sıraya dizilecektir. $A$ ile $B$ yan yana, $C$ ile $D$ yan yana olmak zorundadır; ayrıca $A B$ ikilisi ile $C D$ ikilisi yan yana gelmemelidir. Buna göre kaç farklı diziliş vardır?

Bir sıraya $10$ farklı öğrenci oturtulacaktır. Ali, Bora, Ceren ve Deniz adlı $4$ öğrenciden hiçbiri yan yana gelmeyecek ve Ali, Bora'nun solunda olacaktır. Kaç farklı oturma düzeni vardır?