10. Sınıf Matematik

10. Sınıf Matematik İstatistik Testleri

İstatistik konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

İstatistiği veri toplama ve yorumlamayla öğren

İstatistik, verileri toplama, düzenleme, özetleme ve anlamlı sonuçlara dönüştürme sürecidir.

Bu çalışma; sıklık tablolarını, grafik türlerini, aritmetik ortalamayı, medyanı, modu ve veri dağılımını yorumlamayı pekiştirir.

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

Verileri tablo ve grafiklerle düzenler.
Aritmetik ortalama, medyan ve modu hesaplar.
Grafiklerden doğru bilgi çıkarır.
Veri grubunu merkezi eğilim ölçüleriyle yorumlar.

Sık karıştırılan noktalar

Ortalama, medyan ve mod her zaman aynı sonucu vermez. Veri grubunun yapısına göre hangi ölçünün daha anlamlı olduğunu düşünmek gerekir.

Verimli çalışma yolu

Önce verileri sırala ve toplam sayıyı belirle; sonra sorunun istediği merkezi eğilim ölçüsünü seç.

Test seç

6 Test

1. Test 2. Test 3. Test 4. Test 5. Test 6. Test

6. Test

10. Sınıf Matematik İstatistik Testleri

İstatistik konusu 6. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru

0/10 Soru0 %

Doğru 0

Yanlış 0

Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

İki farklı sınıfın matematik notları için özet bilgiler aşağıdaki gibidir.
Sınıf Öğrenci sayısı Aritmetik ortalama Varyans
A $20$ $55$ $9$
B $30$ $65$ $16$
Bu iki sınıf birleştirildiğinde oluşan veri grubunun varyansı kaçtır?
Not: Varyans, sapmaların karelerinin aritmetik ortalamasıdır.

Sınıf	Öğrenci sayısı	Aritmetik ortalama	Varyans
A	$20$	$55$	$9$
B	$30$	$65$	$16$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Doğru seçenek D ’dir. 1) Birleştirilmiş grubun öğrenci sayısı: N = n 1 + n 2 = 20 + 30 = 50 2) Birleştirilmiş grubun aritmetik ortalaması (ağırlıklı ortalama): x ¯ = n 1 x ¯ 1 + n 2 x ¯ 2 n 1 + n 2 x ¯ = 20 · 55 + 30 · 65 50 = 1100 + 1950 50 = 3050 50 = 61 3) Varyans tanımı gereği, toplam kareli sapmaların ortalaması alınır. Birleştirilmiş varyans için: σ 2 = n 1 σ 1 2 + n 2 σ 2 2 + n 1 x ¯ 1 - x ¯ 2 + n 2 x ¯ 2 - x ¯ 2 N 4) Sınıf içi kareli sapmaların toplamı: n 1 σ 1 2 + n 2 σ 2 2 = 20 · 9 + 30 · 16 = 180 + 480 = 660 5) Sınıf ortalamalarının genel ortalamadan sapmalarının katkısı: n 1 x ¯ 1 - x ¯ 2 = 20 · 55 - 61 2 = 20 · - 6 2 = 20 · 36 = 720 n 2 x ¯ 2 - x ¯ 2 = 30 · 65 - 61 2 = 30 · 4 2 = 30 · 16 = 480 6) Toplam kareli sapma ve varyans: SS = 660 + 720 + 480 = 1860 σ 2 = SS N = 1860 50 = 186 5 Sonuç: Birleştirilmiş veri grubunun varyansı şıkkıD999ndaki değerdir.

Çözüm: Doğru seçenek D ’dir. 1) Birleştirilmiş grubun öğrenci sayısı: N = n 1 + n 2 = 20 + 30 = 50 2) Birleştirilmiş grubun aritmetik ortalaması (ağırlıklı ortalama): x ¯ = n 1 x ¯ 1 + n 2 x ¯ 2 n 1 + n 2 x ¯ = 20 · 55 + 30 · 65 50 = 1100 + 1950 50 = 3050 50 = 61 3) Varyans tanımı gereği, toplam kareli sapmaların ortalaması alınır. Birleştirilmiş varyans için: σ 2 = n 1 σ 1 2 + n 2 σ 2 2 + n 1 x ¯ 1 - x ¯ 2 + n 2 x ¯ 2 - x ¯ 2 N 4) Sınıf içi kareli sapmaların toplamı: n 1 σ 1 2 + n 2 σ 2 2 = 20 · 9 + 30 · 16 = 180 + 480 = 660 5) Sınıf ortalamalarının genel ortalamadan sapmalarının katkısı: n 1 x ¯ 1 - x ¯ 2 = 20 · 55 - 61 2 = 20 · - 6 2 = 20 · 36 = 720 n 2 x ¯ 2 - x ¯ 2 = 30 · 65 - 61 2 = 30 · 4 2 = 30 · 16 = 480 6) Toplam kareli sapma ve varyans: SS = 660 + 720 + 480 = 1860 σ 2 = SS N = 1860 50 = 186 5 Sonuç: Birleştirilmiş veri grubunun varyansı şıkkıD999ndaki değerdir.

Doğru seçenek C’dir.

1) Birleştirilmiş grubun öğrenci sayısı:

N = n_{1} + n_{2} = 20 + 30 = 50

2) Birleştirilmiş grubun aritmetik ortalaması (ağırlıklı ortalama):

\bar{x} = \frac{n_{1} {\bar{x}}_{1} + n_{2} {\bar{x}}_{2}}{n_{1} + n_{2}}

\bar{x} = \frac{20 \cdot 55 + 30 \cdot 65}{50} = \frac{1100 + 1950}{50} = \frac{3050}{50} = 61

3) Varyans tanımı gereği, toplam kareli sapmaların ortalaması alınır. Birleştirilmiş varyans için:

σ^{2} = \frac{n_{1} σ_{1}^{2} + n_{2} σ_{2}^{2} + n_{1} {\bar{x}}_{1} - \bar{x}^{2} + n_{2} {\bar{x}}_{2} - \bar{x}^{2}}{N}

4) Sınıf içi kareli sapmaların toplamı:

n_{1} σ_{1}^{2} + n_{2} σ_{2}^{2} = 20 \cdot 9 + 30 \cdot 16 = 180 + 480 = 660

5) Sınıf ortalamalarının genel ortalamadan sapmalarının katkısı:

n_{1} {\bar{x}}_{1} - \bar{x}^{2} = 20 \cdot {55 - 61}^{2} = 20 \cdot {- 6}^{2} = 20 \cdot 36 = 720

n_{2} {\bar{x}}_{2} - \bar{x}^{2} = 30 \cdot {65 - 61}^{2} = 30 \cdot 4^{2} = 30 \cdot 16 = 480

6) Toplam kareli sapma ve varyans:

SS = 660 + 720 + 480 = 1860

σ^{2} = \frac{SS}{N} = \frac{1860}{50} = \frac{186}{5}

Sonuç: Birleştirilmiş veri grubunun varyansı C şıkkındaki değerdir.

2. SoruÇoktan Seçmeli

İki farklı sınıfın matematik sınavı puanları için aşağıdakiler biliniyor:
Birinci sınıf: $n_{1} = 20$ , ${\bar{x}}_{1} = 70$ , $σ_{1}^{2} = 16$
İkinci sınıf: $n_{2} = 30$ , ${\bar{x}}_{2} = 74$ , $σ_{2}^{2} = 25$
Bu iki sınıf birleştirildiğinde oluşan grubun varyansı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Verilen özet istatistikler: n 1 = 20, x ¯ 1 = 70, σ 1 2 = 16 n 2 = 30, x ¯ 2 = 74, σ 2 2 = 25 Birleştirilmiş grubun aritmetik ortalaması: x ¯ = n 1 ⁢ x ¯ 1 + n 2 ⁢ x ¯ 2 n 1 + n 2 x ¯ = 20 ⁢ 70 + 30 ⁢ 74 50 = 3620 50 = 362 5 Sınıf ortalamalarının, birleşik ortalamadan sapmalarının kareleri: x ¯ 1 - x ¯ 2 = 70 - 362 5 2 = 350 5 - 362 5 2 = - 12 5 2 = 144 25 x ¯ 2 - x ¯ 2 = 74 - 362 5 2 = 370 5 - 362 5 2 = 8 5 2 = 64 25 Birleştirilmiş varyans (grup içi varyans + grup ortalamalarının yayılımı): σ 2 = n 1 ⁢ σ 1 2 + x ¯ 1 - x ¯ 2 + n 2 ⁢ σ 2 2 + x ¯ 2 - x ¯ 2 n 1 + n 2 Sayısal yerine koyma: σ 2 = 20 ⁢ 16 + 144 25 + 30 ⁢ 25 + 64 25 50 σ 2 = 20 ⁢ 544 25 + 30 ⁢ 689 25 50 σ 2 = 20 ⁢ 544 25 + 30 ⁢ 689 25 50 = 10880 25 + 20670 25 50 σ 2 = 31550 25 50 = 31550 25 ⁢ 50 = 631 25 Bulunan varyans: σ 2 = 631 25 Bu değer seçeneklerdeki A şıkkı ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap A ’dır.

Çözüm: Verilen özet istatistikler: n 1 = 20, x ¯ 1 = 70, σ 1 2 = 16 n 2 = 30, x ¯ 2 = 74, σ 2 2 = 25 Birleştirilmiş grubun aritmetik ortalaması: x ¯ = n 1 ⁢ x ¯ 1 + n 2 ⁢ x ¯ 2 n 1 + n 2 x ¯ = 20 ⁢ 70 + 30 ⁢ 74 50 = 3620 50 = 362 5 Sınıf ortalamalarının, birleşik ortalamadan sapmalarının kareleri: x ¯ 1 - x ¯ 2 = 70 - 362 5 2 = 350 5 - 362 5 2 = - 12 5 2 = 144 25 x ¯ 2 - x ¯ 2 = 74 - 362 5 2 = 370 5 - 362 5 2 = 8 5 2 = 64 25 Birleştirilmiş varyans (grup içi varyans + grup ortalamalarının yayılımı): σ 2 = n 1 ⁢ σ 1 2 + x ¯ 1 - x ¯ 2 + n 2 ⁢ σ 2 2 + x ¯ 2 - x ¯ 2 n 1 + n 2 Sayısal yerine koyma: σ 2 = 20 ⁢ 16 + 144 25 + 30 ⁢ 25 + 64 25 50 σ 2 = 20 ⁢ 544 25 + 30 ⁢ 689 25 50 σ 2 = 20 ⁢ 544 25 + 30 ⁢ 689 25 50 = 10880 25 + 20670 25 50 σ 2 = 31550 25 50 = 31550 25 ⁢ 50 = 631 25 Bulunan varyans: σ 2 = 631 25 Bu değer seçeneklerdeki A şıkkı ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap A ’dır.

Verilen özet istatistikler:

n_{1} = 20, {\bar{x}}_{1} = 70, σ_{1}^{2} = 16

n_{2} = 30, {\bar{x}}_{2} = 74, σ_{2}^{2} = 25

Birleştirilmiş grubun aritmetik ortalaması:

\bar{x} = \frac{n_{1} {\bar{x}}_{1} + n_{2} {\bar{x}}_{2}}{n_{1} + n_{2}}

\bar{x} = \frac{20 70 + 30 74}{50} = \frac{3620}{50} = \frac{362}{5}

Sınıf ortalamalarının, birleşik ortalamadan sapmalarının kareleri:

{({\bar{x}}_{1} - \bar{x})}^{2} = {(70 - \frac{362}{5})}^{2} = {(\frac{350}{5} - \frac{362}{5})}^{2} = {(\frac{- 12}{5})}^{2} = \frac{144}{25}

{({\bar{x}}_{2} - \bar{x})}^{2} = {(74 - \frac{362}{5})}^{2} = {(\frac{370}{5} - \frac{362}{5})}^{2} = {(\frac{8}{5})}^{2} = \frac{64}{25}

Birleştirilmiş varyans (grup içi varyans + grup ortalamalarının yayılımı):

σ^{2} = \frac{n_{1} (σ_{1}^{2} + {({\bar{x}}_{1} - \bar{x})}^{2}) + n_{2} (σ_{2}^{2} + {({\bar{x}}_{2} - \bar{x})}^{2})}{n_{1} + n_{2}}

Sayısal yerine koyma:

σ^{2} = \frac{20 (16 + \frac{144}{25}) + 30 (25 + \frac{64}{25})}{50}

σ^{2} = \frac{20 \frac{544}{25} + 30 \frac{689}{25}}{50}

σ^{2} = \frac{\frac{20 544}{25} + \frac{30 689}{25}}{50} = \frac{\frac{10880}{25} + \frac{20670}{25}}{50}

σ^{2} = \frac{\frac{31550}{25}}{50} = \frac{31550}{25 50} = \frac{631}{25}

Bulunan varyans:

σ^{2} = \frac{631}{25}

Bu değer seçeneklerdeki A şıkkı ile aynıdır; dolayısıyla doğru cevap A’dır.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki örneklem için
$n = 8$
$\sum_{i = 1}^{8} x_{i} = 24$
$\sum_{i = 1}^{8} {x_{i}}^{2} = 92$
Dönüşüm
$y_{i} = 3 x_{i} - 2$
olduğuna göre, $y_{i}$ değerlerinin örneklem standart sapması $s_{y}$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki frekans tablosunda $x$ değerleri ve frekansları verilmiştir.
Değer Frekans
$2$ $3$
$4$ $a$
$6$ $b$
$8$ $5$
Bu veri grubunun aritmetik ortalaması $5.6$ ve (popülasyon) varyansı $3.84$ olduğuna göre $b$ kaçtır?

Değer	Frekans
$2$	$3$
$4$	$a$
$6$	$b$
$8$	$5$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Toplam gözlem sayısını tanımlayalım: N = 3 + a + b + 5 = 8 + a + b Aritmetik ortalama koşulunu yazalım: 2 ⋅ 3 + 4 ⋅ a + 6 ⋅ b + 8 ⋅ 5 N = 28 5 Payı sadeleştirelim: 46 + 4 a + 6 b 8 + a + b = 28 5 İçler-dışlar çarpımı: 5 ( 46 + 4 a + 6 b ) = 28 ( 8 + a + b ) Düzenleyelim: 230 + 20 a + 30 b = 224 + 28 a + 28 b 6 - 8 a + 2 b = 0 b = 4 a - 3 Varyans (popülasyon) için σ 2 = E ( X 2 ) - μ 2 Verilenler: μ = 28 5 σ 2 = 96 25 Buradan E ( X 2 ) = μ 2 + σ 2 E ( X 2 ) = 784 25 + 96 25 = 880 25 = 176 5 Şimdi E ( X 2 ) = 2 2 ⋅ 3 + 4 2 ⋅ a + 6 2 ⋅ b + 8 2 ⋅ 5 N Payı sadeleştirelim: 332 + 16 a + 36 b 8 + a + b = 176 5 İçler-dışlar çarpımı: 5 ( 332 + 16 a + 36 b ) = 176 ( 8 + a + b ) Düzenleyelim: 1660 + 80 a + 180 b = 1408 + 176 a + 176 b 252 - 96 a + 4 b = 0 b = 24 a - 63 İki ifadeyi eşitleyelim: 4 a - 3 = 24 a - 63 60 = 20 a a = 3 Bunu b = 4 a - 3 içinde kullanalım: b = 4 ⋅ 3 - 3 = 9 Sonuç: Doğru cevap Şık C’dir. b = 9

Çözüm: Toplam gözlem sayısını tanımlayalım: N = 3 + a + b + 5 = 8 + a + b Aritmetik ortalama koşulunu yazalım: 2 ⋅ 3 + 4 ⋅ a + 6 ⋅ b + 8 ⋅ 5 N = 28 5 Payı sadeleştirelim: 46 + 4 a + 6 b 8 + a + b = 28 5 İçler-dışlar çarpımı: 5 ( 46 + 4 a + 6 b ) = 28 ( 8 + a + b ) Düzenleyelim: 230 + 20 a + 30 b = 224 + 28 a + 28 b 6 - 8 a + 2 b = 0 b = 4 a - 3 Varyans (popülasyon) için σ 2 = E ( X 2 ) - μ 2 Verilenler: μ = 28 5 σ 2 = 96 25 Buradan E ( X 2 ) = μ 2 + σ 2 E ( X 2 ) = 784 25 + 96 25 = 880 25 = 176 5 Şimdi E ( X 2 ) = 2 2 ⋅ 3 + 4 2 ⋅ a + 6 2 ⋅ b + 8 2 ⋅ 5 N Payı sadeleştirelim: 332 + 16 a + 36 b 8 + a + b = 176 5 İçler-dışlar çarpımı: 5 ( 332 + 16 a + 36 b ) = 176 ( 8 + a + b ) Düzenleyelim: 1660 + 80 a + 180 b = 1408 + 176 a + 176 b 252 - 96 a + 4 b = 0 b = 24 a - 63 İki ifadeyi eşitleyelim: 4 a - 3 = 24 a - 63 60 = 20 a a = 3 Bunu b = 4 a - 3 içinde kullanalım: b = 4 ⋅ 3 - 3 = 9 Sonuç: Doğru cevap Şık C’dir. b = 9

Toplam gözlem sayısını tanımlayalım:

N = 3 + a + b + 5 = 8 + a + b

Aritmetik ortalama koşulunu yazalım:

\frac{2 \cdot 3 + 4 \cdot a + 6 \cdot b + 8 \cdot 5}{N} = \frac{28}{5}

Payı sadeleştirelim:

\frac{46 + 4 a + 6 b}{8 + a + b} = \frac{28}{5}

İçler-dışlar çarpımı:

5 (46 + 4 a + 6 b) = 28 (8 + a + b)

Düzenleyelim:

230 + 20 a + 30 b = 224 + 28 a + 28 b

6 - 8 a + 2 b = 0

b = 4 a - 3

Varyans (popülasyon) için

σ^{2} = E (X^{2}) - μ^{2}

Verilenler:

μ = \frac{28}{5}

σ^{2} = \frac{96}{25}

Buradan

E (X^{2}) = μ^{2} + σ^{2}

E (X^{2}) = \frac{784}{25} + \frac{96}{25} = \frac{880}{25} = \frac{176}{5}

Şimdi

E (X^{2}) = \frac{2^{2} \cdot 3 + 4^{2} \cdot a + 6^{2} \cdot b + 8^{2} \cdot 5}{N}

Payı sadeleştirelim:

\frac{332 + 16 a + 36 b}{8 + a + b} = \frac{176}{5}

İçler-dışlar çarpımı:

5 (332 + 16 a + 36 b) = 176 (8 + a + b)

Düzenleyelim:

1660 + 80 a + 180 b = 1408 + 176 a + 176 b

252 - 96 a + 4 b = 0

b = 24 a - 63

İki ifadeyi eşitleyelim:

4 a - 3 = 24 a - 63

60 = 20 a

a = 3

Bunu

b = 4 a - 3

içinde kullanalım:

b = 4 \cdot 3 - 3 = 9

Sonuç: Doğru cevap Şık C’dir.

b = 9

5. SoruÇoktan Seçmeli

Eleman sayısı $9$ olan bir veri grubunun aritmetik ortalaması $10$ ve varyansı $10$ olsun.
Bu gruba bir sayı eklendiğinde yeni aritmetik ortalama $11$ ve yeni varyans $18$ oluyor.
Eklenen sayı $x$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Birinci veri grubunda gözlem sayısı $40$ , aritmetik ortalama $70$ , anakütle varyansı $16$ olsun.
İkinci veri grubunda gözlem sayısı $60$ , aritmetik ortalama $74$ , anakütle varyansı $25$ olsun.
Bu iki grup birleştirildiğinde oluşan yeni grubun anakütle varyansı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

1) Birleştirilen grubun toplam gözlem sayısını bulalım. N = N 1 + N 2 = 40 + 60 = 100 2) Birleştirilmiş grubun aritmetik ortalamasını bulalım. μ = N 1 μ 1 + N 2 μ 2 N 1 + N 2 μ = 40 · 70 + 60 · 74 100 = 2800 + 4440 100 = 7240 100 = 72.4 3) Anakütle varyansı için birleştirme formülünü kullanalım (grup içi + grup ortalamaları arası). σ 2 = N 1 σ 1 2 + N 2 σ 2 2 + N 1 ( μ 1 − μ ) 2 + N 2 ( μ 2 − μ ) 2 N 4) Grup içi katkıları hesaplayalım. N 1 σ 1 2 = 40 · 16 = 640 N 2 σ 2 2 = 60 · 25 = 1500 N 1 σ 1 2 + N 2 σ 2 2 = 640 + 1500 = 2140 5) Grup ortalamaları arası (merkezler arası) katkıyı hesaplayalım. μ 1 − μ = 70 − 72.4 = −2.4 μ 2 − μ = 74 − 72.4 = 1.6 N 1 ( μ 1 − μ ) 2 = 40 · ( −2.4 ) 2 = 40 · 5.76 = 230.4 N 2 ( μ 2 − μ ) 2 = 60 · ( 1.6 ) 2 = 60 · 2.56 = 153.6 230.4 + 153.6 = 384 6) Toplam kareler toplamını ve yeni anakütle varyansını bulalım. S = 2140 + 384 = 2524 σ 2 = S N = 2524 100 = 25.24 7) Sonuç: Yeni grubun anakütle varyansı şıklardan C ile aynıdır. σ 2 = 25.24

Çözüm: 1) Birleştirilen grubun toplam gözlem sayısını bulalım. N = N 1 + N 2 = 40 + 60 = 100 2) Birleştirilmiş grubun aritmetik ortalamasını bulalım. μ = N 1 μ 1 + N 2 μ 2 N 1 + N 2 μ = 40 · 70 + 60 · 74 100 = 2800 + 4440 100 = 7240 100 = 72.4 3) Anakütle varyansı için birleştirme formülünü kullanalım (grup içi + grup ortalamaları arası). σ 2 = N 1 σ 1 2 + N 2 σ 2 2 + N 1 ( μ 1 − μ ) 2 + N 2 ( μ 2 − μ ) 2 N 4) Grup içi katkıları hesaplayalım. N 1 σ 1 2 = 40 · 16 = 640 N 2 σ 2 2 = 60 · 25 = 1500 N 1 σ 1 2 + N 2 σ 2 2 = 640 + 1500 = 2140 5) Grup ortalamaları arası (merkezler arası) katkıyı hesaplayalım. μ 1 − μ = 70 − 72.4 = −2.4 μ 2 − μ = 74 − 72.4 = 1.6 N 1 ( μ 1 − μ ) 2 = 40 · ( −2.4 ) 2 = 40 · 5.76 = 230.4 N 2 ( μ 2 − μ ) 2 = 60 · ( 1.6 ) 2 = 60 · 2.56 = 153.6 230.4 + 153.6 = 384 6) Toplam kareler toplamını ve yeni anakütle varyansını bulalım. S = 2140 + 384 = 2524 σ 2 = S N = 2524 100 = 25.24 7) Sonuç: Yeni grubun anakütle varyansı şıklardan C ile aynıdır. σ 2 = 25.24

1) Birleştirilen grubun toplam gözlem sayısını bulalım.

N = N_{1} + N_{2} = 40 + 60 = 100

2) Birleştirilmiş grubun aritmetik ortalamasını bulalım.

μ = \frac{N_{1} μ_{1} + N_{2} μ_{2}}{N_{1} + N_{2}}

μ = \frac{40 \cdot 70 + 60 \cdot 74}{100} = \frac{2800 + 4440}{100} = \frac{7240}{100} = 72.4

3) Anakütle varyansı için birleştirme formülünü kullanalım (grup içi + grup ortalamaları arası).

σ^{2} = \frac{N_{1} σ_{1}^{2} + N_{2} σ_{2}^{2} + N_{1} {(μ_{1} - μ)}^{2} + N_{2} {(μ_{2} - μ)}^{2}}{N}

4) Grup içi katkıları hesaplayalım.

N_{1} σ_{1}^{2} = 40 \cdot 16 = 640

N_{2} σ_{2}^{2} = 60 \cdot 25 = 1500

N_{1} σ_{1}^{2} + N_{2} σ_{2}^{2} = 640 + 1500 = 2140

5) Grup ortalamaları arası (merkezler arası) katkıyı hesaplayalım.

μ_{1} - μ = 70 - 72.4 = −2.4

μ_{2} - μ = 74 - 72.4 = 1.6

N_{1} {(μ_{1} - μ)}^{2} = 40 \cdot {(−2.4)}^{2} = 40 \cdot 5.76 = 230.4

N_{2} {(μ_{2} - μ)}^{2} = 60 \cdot {(1.6)}^{2} = 60 \cdot 2.56 = 153.6

230.4 + 153.6 = 384

6) Toplam kareler toplamını ve yeni anakütle varyansını bulalım.

S = 2140 + 384 = 2524

σ^{2} = \frac{S}{N} = \frac{2524}{100} = 25.24

7) Sonuç: Yeni grubun anakütle varyansı şıklardan C ile aynıdır.

σ^{2} = 25.24

7. SoruÇoktan Seçmeli

İki sınıfın matematik sınavı notları için standart sapma aşağıdaki tanıma göre hesaplanmaktadır:
$σ = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}{n}}$
Sınıf $A$ için $n = 12$ , $\bar{x} = 70$ , $σ = 10$ ; Sınıf $B$ için $n = 8$ , $\bar{x} = 90$ , $σ = 5$ verilmiştir.
Bu iki sınıf birleştirildiğinde oluşan grubun varyansı $σ^{2}$ kaç olur?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

1) Şık kontrolü: Birleşik grubun varyansını hesaplayalım ve sonuçla şıkları karşılaştıralım. Verilenler: n 1 = 12 x ¯ 1 = 70 σ 1 = 10 n 2 = 8 x ¯ 2 = 90 σ 2 = 5 2) Önce sınıf varyanslarını bulalım. σ 1 2 = 10 2 = 100 σ 2 2 = 5 2 = 25 3) Birleşik grubun toplam kişi sayısı ve ortalaması: N = n 1 + n 2 = 12 + 8 = 20 x ¯ = n 1 x ¯ 1 + n 2 x ¯ 2 N x ¯ = 12 ⋅ 70 + 8 ⋅ 90 20 = 1560 20 = 78 4) Birleşik varyans için (paydası toplam kişi sayısı olan) toplam kareler toplamı yaklaşımı: σ 2 = S 1 + S 2 N S 1 = n 1 ⋅ σ 1 2 + n 1 ⋅ ( x ¯ 1 - x ¯ ) 2 S 2 = n 2 ⋅ σ 2 2 + n 2 ⋅ ( x ¯ 2 - x ¯ ) 2 5) Sapma karelerini hesaplayalım: x ¯ 1 - x ¯ = 70 - 78 = - 8 ( - 8 ) 2 = 64 x ¯ 2 - x ¯ = 90 - 78 = 12 ( 12 ) 2 = 144 6) Kareler toplamlarını bulalım: S 1 = 12 ⋅ 100 + 12 ⋅ 64 = 12 ⋅ 164 = 1968 S 2 = 8 ⋅ 25 + 8 ⋅ 144 = 8 ⋅ 169 = 1352 S 1 + S 2 = 1968 + 1352 = 3320 7) Birleşik varyans: σ 2 = 3320 20 = 166 Sonuç: Doğru seçenek B899.

Çözüm: 1) Şık kontrolü: Birleşik grubun varyansını hesaplayalım ve sonuçla şıkları karşılaştıralım. Verilenler: n 1 = 12 x ¯ 1 = 70 σ 1 = 10 n 2 = 8 x ¯ 2 = 90 σ 2 = 5 2) Önce sınıf varyanslarını bulalım. σ 1 2 = 10 2 = 100 σ 2 2 = 5 2 = 25 3) Birleşik grubun toplam kişi sayısı ve ortalaması: N = n 1 + n 2 = 12 + 8 = 20 x ¯ = n 1 x ¯ 1 + n 2 x ¯ 2 N x ¯ = 12 ⋅ 70 + 8 ⋅ 90 20 = 1560 20 = 78 4) Birleşik varyans için (paydası toplam kişi sayısı olan) toplam kareler toplamı yaklaşımı: σ 2 = S 1 + S 2 N S 1 = n 1 ⋅ σ 1 2 + n 1 ⋅ ( x ¯ 1 - x ¯ ) 2 S 2 = n 2 ⋅ σ 2 2 + n 2 ⋅ ( x ¯ 2 - x ¯ ) 2 5) Sapma karelerini hesaplayalım: x ¯ 1 - x ¯ = 70 - 78 = - 8 ( - 8 ) 2 = 64 x ¯ 2 - x ¯ = 90 - 78 = 12 ( 12 ) 2 = 144 6) Kareler toplamlarını bulalım: S 1 = 12 ⋅ 100 + 12 ⋅ 64 = 12 ⋅ 164 = 1968 S 2 = 8 ⋅ 25 + 8 ⋅ 144 = 8 ⋅ 169 = 1352 S 1 + S 2 = 1968 + 1352 = 3320 7) Birleşik varyans: σ 2 = 3320 20 = 166 Sonuç: Doğru seçenek B899.

1) Şık kontrolü: Birleşik grubun varyansını hesaplayalım ve sonuçla şıkları karşılaştıralım.

Verilenler:

n_{1} = 12

{\bar{x}}_{1} = 70

σ_{1} = 10

n_{2} = 8

{\bar{x}}_{2} = 90

σ_{2} = 5

2) Önce sınıf varyanslarını bulalım.

σ_{1}^{2} = 10^{2} = 100

σ_{2}^{2} = 5^{2} = 25

3) Birleşik grubun toplam kişi sayısı ve ortalaması:

N = n_{1} + n_{2} = 12 + 8 = 20

\bar{x} = \frac{n_{1} {\bar{x}}_{1} + n_{2} {\bar{x}}_{2}}{N}

\bar{x} = \frac{12 \cdot 70 + 8 \cdot 90}{20} = \frac{1560}{20} = 78

4) Birleşik varyans için (paydası toplam kişi sayısı olan) toplam kareler toplamı yaklaşımı:

σ^{2} = \frac{S_{1} + S_{2}}{N}

S_{1} = n_{1} \cdot σ_{1}^{2} + n_{1} \cdot {({\bar{x}}_{1} - \bar{x})}^{2}

S_{2} = n_{2} \cdot σ_{2}^{2} + n_{2} \cdot {({\bar{x}}_{2} - \bar{x})}^{2}

5) Sapma karelerini hesaplayalım:

{\bar{x}}_{1} - \bar{x} = 70 - 78 = - 8

{(- 8)}^{2} = 64

{\bar{x}}_{2} - \bar{x} = 90 - 78 = 12

{(12)}^{2} = 144

6) Kareler toplamlarını bulalım:

S_{1} = 12 \cdot 100 + 12 \cdot 64 = 12 \cdot 164 = 1968

S_{2} = 8 \cdot 25 + 8 \cdot 144 = 8 \cdot 169 = 1352

S_{1} + S_{2} = 1968 + 1352 = 3320

7) Birleşik varyans:

σ^{2} = \frac{3320}{20} = 166

Sonuç: Doğru seçenek B5979.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki veri grubunda $n = 10$ , $\bar{x} = 5$ ve $s^{2} = 4$ olsun.
Her bir gözlem için $y = - 3 x + 2$ dönüşümü uygulanırsa yeni veri grubunun varyansı $s^{2}_y$ kaç olur?

Lütfen önce bir cevap seç.

9. SoruÇoktan Seçmeli

İki gruptan oluşan bir öğrenci topluluğunda; birinci grupta $n = 25$ , aritmetik ortalama $\bar{x} = 70$ , standart sapma $s = 6$ ; ikinci grupta $n = 25$ , aritmetik ortalama $\bar{x} = 80$ , standart sapma $s = 6$ dır. İki grup birleştirildiğinde oluşan topluluğun (anakitle) varyansı kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Aritmetik ortalaması $14$ ve varyansı $9$ olan $10$ gözlemli bir veri grubundan en büyük gözlem çıkarılıyor.
Kalan $9$ gözlemin tamamı birbirine eşit olduğuna göre, çıkarılan gözlem kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Veri sayısı, aritmetik ortalama ve varyanstan toplamları yazalım: n = 10 x ¯ = 14 σ 2 = 9 Toplam gözlem değeri: ∑ x i = n ⋅ x ¯ = 10 ⋅ 14 = 140 Varyans tanımından, kareli sapmalar toplamı: σ 2 = 1 n ⋅ ∑ ( x i − x ¯ ) 2 ∑ ( x i − x ¯ ) 2 = n ⋅ σ 2 = 10 ⋅ 9 = 90 En büyük gözlem çıkarıldıktan sonra kalan gözlemlerin tamamı eşit olsun. Kalan ortak değer a, çıkarılan (en büyük) değer M olsun: a, a, a, a, a, a, a, a, a, M Ortalama denkleminden: 9 a + M 10 = 14 9 a + M = 140 M = 140 − 9 a Varyans (kareli sapmalar) denkleminden: 9 ( a − 14 ) 2 + ( M − 14 ) 2 = 90 Yukarıdaki M ifadesini yerine yazalım: 9 ( a − 14 ) 2 + ( 140 − 9 a − 14 ) 2 = 90 9 ( a − 14 ) 2 + ( 126 − 9 a ) 2 = 90 Kolaylık için değişken dönüşümü yapalım: t = a − 14 Bu durumda: 126 − 9 a = 126 − 9 ( t + 14 ) = − 9 t Denklem şu hale gelir: 9 t 2 + ( − 9 t ) 2 = 90 9 t 2 + 81 t 2 = 90 90 t 2 = 90 t 2 = 1 t = 1 veya t = − 1 Buradan a değerleri: a = 14 + 1 = 15 a = 14 − 1 = 13 Her iki durumda M değerini bulalım: a = 15 ⇒ M = 140 − 9 ⋅ 15 = 5 a = 13 ⇒ M = 140 − 9 ⋅ 13 = 23 Çıkarılan gözlem en büyük gözlem olduğundan, M kalan ortak değerden büyük olmalıdır. Bu nedenle uygun durum: 23 > 13 Sonuç olarak çıkarılan gözlem: M = 23 Bu değer şıklarda seçeneğiA1467dir; yani verilen C cevabı doğrudur.

Çözüm: Veri sayısı, aritmetik ortalama ve varyanstan toplamları yazalım: n = 10 x ¯ = 14 σ 2 = 9 Toplam gözlem değeri: ∑ x i = n ⋅ x ¯ = 10 ⋅ 14 = 140 Varyans tanımından, kareli sapmalar toplamı: σ 2 = 1 n ⋅ ∑ ( x i − x ¯ ) 2 ∑ ( x i − x ¯ ) 2 = n ⋅ σ 2 = 10 ⋅ 9 = 90 En büyük gözlem çıkarıldıktan sonra kalan gözlemlerin tamamı eşit olsun. Kalan ortak değer a, çıkarılan (en büyük) değer M olsun: a, a, a, a, a, a, a, a, a, M Ortalama denkleminden: 9 a + M 10 = 14 9 a + M = 140 M = 140 − 9 a Varyans (kareli sapmalar) denkleminden: 9 ( a − 14 ) 2 + ( M − 14 ) 2 = 90 Yukarıdaki M ifadesini yerine yazalım: 9 ( a − 14 ) 2 + ( 140 − 9 a − 14 ) 2 = 90 9 ( a − 14 ) 2 + ( 126 − 9 a ) 2 = 90 Kolaylık için değişken dönüşümü yapalım: t = a − 14 Bu durumda: 126 − 9 a = 126 − 9 ( t + 14 ) = − 9 t Denklem şu hale gelir: 9 t 2 + ( − 9 t ) 2 = 90 9 t 2 + 81 t 2 = 90 90 t 2 = 90 t 2 = 1 t = 1 veya t = − 1 Buradan a değerleri: a = 14 + 1 = 15 a = 14 − 1 = 13 Her iki durumda M değerini bulalım: a = 15 ⇒ M = 140 − 9 ⋅ 15 = 5 a = 13 ⇒ M = 140 − 9 ⋅ 13 = 23 Çıkarılan gözlem en büyük gözlem olduğundan, M kalan ortak değerden büyük olmalıdır. Bu nedenle uygun durum: 23 > 13 Sonuç olarak çıkarılan gözlem: M = 23 Bu değer şıklarda seçeneğiA1467dir; yani verilen C cevabı doğrudur.

Veri sayısı, aritmetik ortalama ve varyanstan toplamları yazalım:

n = 10

\bar{x} = 14

σ^{2} = 9

Toplam gözlem değeri:

\sum x_{i} = n \cdot \bar{x} = 10 \cdot 14 = 140

Varyans tanımından, kareli sapmalar toplamı:

σ^{2} = \frac{1}{n} \cdot \sum {(x_{i} - \bar{x})}^{2}

\sum {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = n \cdot σ^{2} = 10 \cdot 9 = 90

En büyük gözlem çıkarıldıktan sonra kalan gözlemlerin tamamı eşit olsun. Kalan ortak değer a, çıkarılan (en büyük) değer M olsun:

a, a, a, a, a, a, a, a, a, M

Ortalama denkleminden:

\frac{9 a + M}{10} = 14

9 a + M = 140

M = 140 - 9 a

Varyans (kareli sapmalar) denkleminden:

9 {(a - 14)}^{2} + {(M - 14)}^{2} = 90

Yukarıdaki M ifadesini yerine yazalım:

9 {(a - 14)}^{2} + {(140 - 9 a - 14)}^{2} = 90

9 {(a - 14)}^{2} + {(126 - 9 a)}^{2} = 90

Kolaylık için değişken dönüşümü yapalım:

t = a - 14

Bu durumda:

126 - 9 a = 126 - 9 (t + 14) = - 9 t

Denklem şu hale gelir:

9 t^{2} + {(- 9 t)}^{2} = 90

9 t^{2} + 81 t^{2} = 90

90 t^{2} = 90

t^{2} = 1

t = 1 veya t = - 1

Buradan a değerleri:

a = 14 + 1 = 15

a = 14 - 1 = 13

Her iki durumda M değerini bulalım:

a = 15 \Rightarrow M = 140 - 9 \cdot 15 = 5

a = 13 \Rightarrow M = 140 - 9 \cdot 13 = 23

Çıkarılan gözlem en büyük gözlem olduğundan, M kalan ortak değerden büyük olmalıdır. Bu nedenle uygun durum:

23 > 13

Sonuç olarak çıkarılan gözlem:

M = 23

Bu değer şıklarda C seçeneğidir; yani verilen C cevabı doğrudur.

İstatistik Sık Sorulan Sorular

Aritmetik ortalama nasıl bulunur?

Verilerin toplamı veri sayısına bölünür.

Medyan nedir?

Sıralanmış veri grubunun ortasında bulunan değerdir.

Mod nedir?

Bir veri grubunda en çok tekrar eden değerdir.

10. Sınıf Matematik İstatistik Testleri

İstatistiği veri toplama ve yorumlamayla öğren

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

Sık karıştırılan noktalar

Verimli çalışma yolu

10. Sınıf Matematik İstatistik Testleri

İki farklı sınıfın matematik notları için özet bilgiler aşağıdaki gibidir.SınıfÖğrenci sayısıAritmetik ortalamaVaryansA20559B306516Bu iki sınıf birleştirildiğinde oluşan veri grubunun varyansı kaçtır?Not: Varyans, sapmaların karelerinin aritmetik ortalamasıdır.

İki farklı sınıfın matematik sınavı puanları için aşağıdakiler biliniyor:Birinci sınıf: n1=20, x¯1=70, σ12=16İkinci sınıf: n2=30, x¯2=74, σ22=25Bu iki sınıf birleştirildiğinde oluşan grubun varyansı kaçtır?

Aşağıdaki örneklem içinn=8∑i=18xi=24∑i=18xi2=92Dönüşümyi=3xi−2olduğuna göre, yi değerlerinin örneklem standart sapması sy kaçtır?

Aşağıdaki frekans tablosunda x değerleri ve frekansları verilmiştir.DeğerFrekans234a6b85Bu veri grubunun aritmetik ortalaması 5.6 ve (popülasyon) varyansı 3.84 olduğuna göre b kaçtır?

Eleman sayısı 9 olan bir veri grubunun aritmetik ortalaması 10 ve varyansı 10 olsun.Bu gruba bir sayı eklendiğinde yeni aritmetik ortalama 11 ve yeni varyans 18 oluyor.Eklenen sayı x kaçtır?

Birinci veri grubunda gözlem sayısı 40, aritmetik ortalama 70, anakütle varyansı 16 olsun.İkinci veri grubunda gözlem sayısı 60, aritmetik ortalama 74, anakütle varyansı 25 olsun.Bu iki grup birleştirildiğinde oluşan yeni grubun anakütle varyansı kaçtır?

İki sınıfın matematik sınavı notları için standart sapma aşağıdaki tanıma göre hesaplanmaktadır:σ=∑i=1n(xi-x¯)2nSınıfA için n=12, x¯=70, σ=10; SınıfB için n=8, x¯=90, σ=5 verilmiştir.Bu iki sınıf birleştirildiğinde oluşan grubun varyansı σ2 kaç olur?

Aşağıdaki veri grubunda n=10, x¯=5 ve s2=4 olsun.Her bir gözlem için y=−3x+2 dönüşümü uygulanırsa yeni veri grubunun varyansı s2_y kaç olur?

İki gruptan oluşan bir öğrenci topluluğunda; birinci grupta n=25, aritmetik ortalama x¯=70, standart sapma s=6; ikinci grupta n=25, aritmetik ortalama x¯=80, standart sapma s=6dır. İki grup birleştirildiğinde oluşan topluluğun (anakitle) varyansı kaçtır?

Aritmetik ortalaması 14 ve varyansı 9 olan 10 gözlemli bir veri grubundan en büyük gözlem çıkarılıyor.Kalan 9 gözlemin tamamı birbirine eşit olduğuna göre, çıkarılan gözlem kaçtır?

İstatistik Sık Sorulan Sorular

Aşağıdaki örneklem için
$n = 8$
$\sum_{i = 1}^{8} x_{i} = 24$
$\sum_{i = 1}^{8} {x_{i}}^{2} = 92$
Dönüşüm
$y_{i} = 3 x_{i} - 2$
olduğuna göre, $y_{i}$ değerlerinin örneklem standart sapması $s_{y}$ kaçtır?

Aşağıdaki frekans tablosunda $x$ değerleri ve frekansları verilmiştir.
Değer Frekans
$2$ $3$
$4$ $a$
$6$ $b$
$8$ $5$
Bu veri grubunun aritmetik ortalaması $5.6$ ve (popülasyon) varyansı $3.84$ olduğuna göre $b$ kaçtır?

Eleman sayısı $9$ olan bir veri grubunun aritmetik ortalaması $10$ ve varyansı $10$ olsun.
Bu gruba bir sayı eklendiğinde yeni aritmetik ortalama $11$ ve yeni varyans $18$ oluyor.
Eklenen sayı $x$ kaçtır?

Birinci veri grubunda gözlem sayısı $40$ , aritmetik ortalama $70$ , anakütle varyansı $16$ olsun.
İkinci veri grubunda gözlem sayısı $60$ , aritmetik ortalama $74$ , anakütle varyansı $25$ olsun.
Bu iki grup birleştirildiğinde oluşan yeni grubun anakütle varyansı kaçtır?

Aşağıdaki veri grubunda $n = 10$ , $\bar{x} = 5$ ve $s^{2} = 4$ olsun.
Her bir gözlem için $y = - 3 x + 2$ dönüşümü uygulanırsa yeni veri grubunun varyansı $s^{2}_y$ kaç olur?

Aritmetik ortalaması $14$ ve varyansı $9$ olan $10$ gözlemli bir veri grubundan en büyük gözlem çıkarılıyor.
Kalan $9$ gözlemin tamamı birbirine eşit olduğuna göre, çıkarılan gözlem kaçtır?