10. Sınıf Matematik Fonksiyonlar Test Çöz

1. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki fonksiyon veriliyor.
$f (x) = \frac{a x - 1}{x - a}$
Fonksiyonun tersinin kendisine eşit olduğu ve $f (0) = 2$ olduğu biliniyor.
$f (2)$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Verilen fonksiyon: f ( x ) = a x − 1 x − a Koşul: Fonksiyon tersinin kendisine eşit (yani kendi tersi) ve ayrıca: f ( 0 ) = 2 Önce Şimdi doğrudan yerine koyup parametreyi bulalım: f ( 0 ) = a ⋅ 0 − 1 0 − a = − 1 − a = 1 a Bu değer koşula göre şuna eşit: 1 a = 2 Buradan parametre: a = 1 2 Şimdi fonksiyonu bu değerle yazalım: f ( x ) = 1 2 x − 1 x − 1 2 Pay ve paydayı sadeleştirmek için 2 ile çarpalım (aynı ifade kalır): f ( x ) = x − 2 2 x − 1 İstenen: f ( 2 ) Hesaplayalım: f ( 2 ) = 2 − 2 2 ⋅ 2 − 1 = 0 4 − 1 = 0 Sonuç: f ( 2 ) = 0 Dolayısıyla doğru şık A ’dır.

Çözüm: Verilen fonksiyon: f ( x ) = a x − 1 x − a Koşul: Fonksiyon tersinin kendisine eşit (yani kendi tersi) ve ayrıca: f ( 0 ) = 2 Önce Şimdi doğrudan yerine koyup parametreyi bulalım: f ( 0 ) = a ⋅ 0 − 1 0 − a = − 1 − a = 1 a Bu değer koşula göre şuna eşit: 1 a = 2 Buradan parametre: a = 1 2 Şimdi fonksiyonu bu değerle yazalım: f ( x ) = 1 2 x − 1 x − 1 2 Pay ve paydayı sadeleştirmek için 2 ile çarpalım (aynı ifade kalır): f ( x ) = x − 2 2 x − 1 İstenen: f ( 2 ) Hesaplayalım: f ( 2 ) = 2 − 2 2 ⋅ 2 − 1 = 0 4 − 1 = 0 Sonuç: f ( 2 ) = 0 Dolayısıyla doğru şık A ’dır.

Verilen fonksiyon:

f (x) = \frac{a x - 1}{x - a}

Koşul: Fonksiyon tersinin kendisine eşit (yani kendi tersi) ve ayrıca:

f (0) = 2

Önce

Şimdi doğrudan yerine koyup parametreyi bulalım:

f (0) = \frac{a \cdot 0 - 1}{0 - a} = \frac{- 1}{- a} = \frac{1}{a}

Bu değer koşula göre şuna eşit:

\frac{1}{a} = 2

Buradan parametre:

a = \frac{1}{2}

Şimdi fonksiyonu bu değerle yazalım:

f (x) = \frac{\frac{1}{2} x - 1}{x - \frac{1}{2}}

Pay ve paydayı sadeleştirmek için 2 ile çarpalım (aynı ifade kalır):

f (x) = \frac{x - 2}{2 x - 1}

İstenen:

f (2)

Hesaplayalım:

f (2) = \frac{2 - 2}{2 \cdot 2 - 1} = \frac{0}{4 - 1} = 0

Sonuç:

f (2) = 0

Dolayısıyla doğru şık A’dır.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki fonksiyonlar veriliyor:
$f (x) = \frac{x - 1}{x + 2}$
$g (x) = \frac{2 x + 1}{x - 3}$
$f^{- 1} (g (x)) = 3$ koşulunu sağlayan $x$ değeri kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Gerçel sayılarda tanımlı
$f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$
biçimindeki $f$ fonksiyonu için
$f (f (x)) = x$
ve
$f (0) = 2, f (3) = 1$
olduğuna göre $f (1)$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Verilen fonksiyon f ( x ) = a x + b c x + d şeklindedir ve f ( f ( x ) ) = x koşulu sağlanıyor. Kesirli doğrusal fonksiyonları matrisle gösterelim: M = a b c d Bu tip dönüşümlerde bileşke, matris çarpımına karşılık gelir. Dolayısıyla f ( f ( x ) ) = x ⇔ M 2 = k I olacak şekilde ( k ≠ 0 ) bir sabit vardır. Önce M 2 = a 2 + b c b ( a + d ) c ( a + d ) d 2 + b c olur. M 2 = k I olduğundan köşegen dışı elemanlar sıfır olmalıdır: b ( a + d ) = 0 c ( a + d ) = 0 Verilen f ( 0 ) = 2 eşitliğinden b d = 2 olur, yani b ≠ 0 kesindir. Bu yüzden a + d = 0 ve dolayısıyla d = - a bulunur. Şimdi f ( 0 ) = 2 koşulunu d = - a ile kullanalım: b d = 2 ⇒ b - a = 2 ⇒ b = - 2 a Diğer koşul: f ( 3 ) = 1 yani 3 a + b 3 c + d = 1 Burada b = - 2 a, d = - a yazalım: 3 a - 2 a 3 c - a = 1 ⇒ a 3 c - a = 1 Buradan a = 3 c - a ⇒ 2 a = 3 c ⇒ c = 2 a 3 Artık f ( 1 ) = a + b c + d hesaplayalım: f ( 1 ) = a + ( - 2 a ) 2 a 3 + ( - a ) = - a 2 a - 3 a 3 = - a - a 3 = 3 Sonuç: f ( 1 ) = 3 Doğru seçenek D1022 şıkkıdır.

Çözüm: Verilen fonksiyon f ( x ) = a x + b c x + d şeklindedir ve f ( f ( x ) ) = x koşulu sağlanıyor. Kesirli doğrusal fonksiyonları matrisle gösterelim: M = a b c d Bu tip dönüşümlerde bileşke, matris çarpımına karşılık gelir. Dolayısıyla f ( f ( x ) ) = x ⇔ M 2 = k I olacak şekilde ( k ≠ 0 ) bir sabit vardır. Önce M 2 = a 2 + b c b ( a + d ) c ( a + d ) d 2 + b c olur. M 2 = k I olduğundan köşegen dışı elemanlar sıfır olmalıdır: b ( a + d ) = 0 c ( a + d ) = 0 Verilen f ( 0 ) = 2 eşitliğinden b d = 2 olur, yani b ≠ 0 kesindir. Bu yüzden a + d = 0 ve dolayısıyla d = - a bulunur. Şimdi f ( 0 ) = 2 koşulunu d = - a ile kullanalım: b d = 2 ⇒ b - a = 2 ⇒ b = - 2 a Diğer koşul: f ( 3 ) = 1 yani 3 a + b 3 c + d = 1 Burada b = - 2 a, d = - a yazalım: 3 a - 2 a 3 c - a = 1 ⇒ a 3 c - a = 1 Buradan a = 3 c - a ⇒ 2 a = 3 c ⇒ c = 2 a 3 Artık f ( 1 ) = a + b c + d hesaplayalım: f ( 1 ) = a + ( - 2 a ) 2 a 3 + ( - a ) = - a 2 a - 3 a 3 = - a - a 3 = 3 Sonuç: f ( 1 ) = 3 Doğru seçenek D1022 şıkkıdır.

Verilen fonksiyon

f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}

şeklindedir ve

f (f (x)) = x

koşulu sağlanıyor.

Kesirli doğrusal fonksiyonları matrisle gösterelim:

M = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]

Bu tip dönüşümlerde bileşke, matris çarpımına karşılık gelir. Dolayısıyla

f (f (x)) = x \Leftrightarrow M^{2} = k I

olacak şekilde (

k \neq 0

) bir sabit vardır.

Önce

M^{2} = [\begin{matrix} a^{2} + b c & b (a + d) \\ c (a + d) & d^{2} + b c \end{matrix}]

olur.

$M^{2} = k I$ olduğundan köşegen dışı elemanlar sıfır olmalıdır:

b (a + d) = 0

c (a + d) = 0

Verilen

f (0) = 2

eşitliğinden

\frac{b}{d} = 2

olur, yani

b \neq 0

kesindir. Bu yüzden

a + d = 0

ve dolayısıyla

d = - a

bulunur.

Şimdi

f (0) = 2

koşulunu

d = - a

ile kullanalım:

\frac{b}{d} = 2 \Rightarrow \frac{b}{- a} = 2 \Rightarrow b = - 2 a

Diğer koşul:

f (3) = 1

yani

\frac{3 a + b}{3 c + d} = 1

Burada

b = - 2 a, d = - a

yazalım:

\frac{3 a - 2 a}{3 c - a} = 1 \Rightarrow \frac{a}{3 c - a} = 1

Buradan

a = 3 c - a \Rightarrow 2 a = 3 c \Rightarrow c = \frac{2}{a}

Artık

f (1) = \frac{a + b}{c + d}

hesaplayalım:

f (1) = \frac{a + (- 2 a)}{\frac{2}{a} + (- a)} = \frac{- a}{\frac{2 a - 3 a}{3}} = \frac{- a}{- \frac{a}{3}} = 3

Sonuç:

f (1) = 3

Doğru seçenek

şıkkıD6283dır.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Fonksiyon $f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ şeklinde tanımlı olsun. $x \in R ∖ {- 1, 0, 1}$ için $f^{2025} (x)$ ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Verilen fonksiyon: f ( x ) = x − 1 x + 1 İterasyon (bileşke) yaparak önce ikinci iterasyonu bulalım. Bunun için y = f ( x ) = x − 1 x + 1 Şimdi ifadesini yazalım: f ( y ) = y − 1 y + 1 Pay ve paydayı ayrı ayrı sadeleştirelim: y − 1 = x − 1 x + 1 − 1 = x − 1 − ( x + 1 ) x + 1 = − 2 x + 1 y + 1 = x − 1 x + 1 + 1 = x − 1 + ( x + 1 ) x + 1 = 2 x x + 1 Bunları yerine koyarsak: f 2 ( x ) = f ( f ( x ) ) = − 2 x + 1 2 x x + 1 = − 1 x Yani ikinci iterasyon şu basit dönüşüme eşit: f 2 ( x ) = − 1 x Dördüncü iterasyonu bulmak için bu sonucu bir kez daha iki kez uygularız: f 4 ( x ) = f 2 ( f 2 ( x ) ) = − 1 − 1 x = x Demek ki fonksiyonun iterasyon periyodu dört: her dört adımda bir tekrar elde edilir. İki bin yirmi beş sayısı dörde göre kalan bir verdiği için: f 2025 ( x ) = f ( x ) = x − 1 x + 1 Sonuç: Doğru seçenek A ’dır.

Çözüm: Verilen fonksiyon: f ( x ) = x − 1 x + 1 İterasyon (bileşke) yaparak önce ikinci iterasyonu bulalım. Bunun için y = f ( x ) = x − 1 x + 1 Şimdi ifadesini yazalım: f ( y ) = y − 1 y + 1 Pay ve paydayı ayrı ayrı sadeleştirelim: y − 1 = x − 1 x + 1 − 1 = x − 1 − ( x + 1 ) x + 1 = − 2 x + 1 y + 1 = x − 1 x + 1 + 1 = x − 1 + ( x + 1 ) x + 1 = 2 x x + 1 Bunları yerine koyarsak: f 2 ( x ) = f ( f ( x ) ) = − 2 x + 1 2 x x + 1 = − 1 x Yani ikinci iterasyon şu basit dönüşüme eşit: f 2 ( x ) = − 1 x Dördüncü iterasyonu bulmak için bu sonucu bir kez daha iki kez uygularız: f 4 ( x ) = f 2 ( f 2 ( x ) ) = − 1 − 1 x = x Demek ki fonksiyonun iterasyon periyodu dört: her dört adımda bir tekrar elde edilir. İki bin yirmi beş sayısı dörde göre kalan bir verdiği için: f 2025 ( x ) = f ( x ) = x − 1 x + 1 Sonuç: Doğru seçenek A ’dır.

Verilen fonksiyon:

f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}

İterasyon (bileşke) yaparak önce ikinci iterasyonu bulalım. Bunun için

y = f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}

Şimdi ifadesini yazalım:

f (y) = \frac{y - 1}{y + 1}

Pay ve paydayı ayrı ayrı sadeleştirelim:

y - 1 = \frac{x - 1}{x + 1} - 1 = \frac{x - 1 - (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2}{x + 1}

y + 1 = \frac{x - 1}{x + 1} + 1 = \frac{x - 1 + (x + 1)}{x + 1} = \frac{2 x}{x + 1}

Bunları yerine koyarsak:

f^{2} (x) = f (f (x)) = \frac{\frac{- 2}{x + 1}}{\frac{2 x}{x + 1}} = - \frac{1}{x}

Yani ikinci iterasyon şu basit dönüşüme eşit:

f^{2} (x) = - \frac{1}{x}

Dördüncü iterasyonu bulmak için bu sonucu bir kez daha iki kez uygularız:

f^{4} (x) = f^{2} (f^{2} (x)) = - \frac{1}{- \frac{1}{x}} = x

Demek ki fonksiyonun iterasyon periyodu dört: her dört adımda bir tekrar elde edilir. İki bin yirmi beş sayısı dörde göre kalan bir verdiği için:

f^{2025} (x) = f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}

Sonuç: Doğru seçenek A’dır.

5. SoruÇoktan Seçmeli

$x \neq - 1$ için $f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ tanımlı olsun.
$f (f (f (f (x))))$ ifadesinin sadeleşmiş hali nedir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Verilen fonksiyon: f ( x ) = x − 1 x + 1 (Tanım gereği x ≠ − 1 ) 1. adım: f ( f ( x ) ) ifadesini bulalım. Önce y = f ( x ) = x − 1 x + 1 diyelim. O halde f ( f ( x ) ) = f ( y ) = y − 1 y + 1 Şimdi y − 1 ve y + 1 ifadelerini açalım: y − 1 = x − 1 x + 1 − 1 = x − 1 − ( x + 1 ) x + 1 = − 2 x + 1 y + 1 = x − 1 x + 1 + 1 = x − 1 + ( x + 1 ) x + 1 = 2 x x + 1 Bunları oranlayalım: f ( f ( x ) ) = − 2 x + 1 2 x x + 1 = − 1 x Yani f ( f ( x ) ) = − 1 x 2. adım: f ( f ( f ( x ) ) ) ifadesini bulalım. f ( f ( f ( x ) ) ) = f ( − 1 x ) = − 1 x − 1 − 1 x + 1 Pay ve paydayı düzenleyelim ( x ortak payda yapılır): − 1 x − 1 − 1 x + 1 = − 1 − x x − 1 + x x = − ( x + 1 ) x − 1 = x + 1 1 − x Dolayısıyla f ( f ( f ( x ) ) ) = x + 1 1 − x 3. adım: 4 kez uygulayalım: f ( f ( f ( f ( x ) ) ) ) = f ( x + 1 1 − x ) = x + 1 1 − x − 1 x + 1 1 − x + 1 Pay ve paydayı düzenleyelim: x + 1 1 − x − 1 x + 1 1 − x + 1 = x + 1 − ( 1 − x ) 1 − x x + 1 + ( 1 − x ) 1 − x = 2 x 1 − x 2 1 − x = x Sonuç: f ( f ( f ( f ( x ) ) ) ) = x Doğru şık kontrolü: Sonuç x olduğundan cevap şıkkıB1055dır.

Çözüm: Verilen fonksiyon: f ( x ) = x − 1 x + 1 (Tanım gereği x ≠ − 1 ) 1. adım: f ( f ( x ) ) ifadesini bulalım. Önce y = f ( x ) = x − 1 x + 1 diyelim. O halde f ( f ( x ) ) = f ( y ) = y − 1 y + 1 Şimdi y − 1 ve y + 1 ifadelerini açalım: y − 1 = x − 1 x + 1 − 1 = x − 1 − ( x + 1 ) x + 1 = − 2 x + 1 y + 1 = x − 1 x + 1 + 1 = x − 1 + ( x + 1 ) x + 1 = 2 x x + 1 Bunları oranlayalım: f ( f ( x ) ) = − 2 x + 1 2 x x + 1 = − 1 x Yani f ( f ( x ) ) = − 1 x 2. adım: f ( f ( f ( x ) ) ) ifadesini bulalım. f ( f ( f ( x ) ) ) = f ( − 1 x ) = − 1 x − 1 − 1 x + 1 Pay ve paydayı düzenleyelim ( x ortak payda yapılır): − 1 x − 1 − 1 x + 1 = − 1 − x x − 1 + x x = − ( x + 1 ) x − 1 = x + 1 1 − x Dolayısıyla f ( f ( f ( x ) ) ) = x + 1 1 − x 3. adım: 4 kez uygulayalım: f ( f ( f ( f ( x ) ) ) ) = f ( x + 1 1 − x ) = x + 1 1 − x − 1 x + 1 1 − x + 1 Pay ve paydayı düzenleyelim: x + 1 1 − x − 1 x + 1 1 − x + 1 = x + 1 − ( 1 − x ) 1 − x x + 1 + ( 1 − x ) 1 − x = 2 x 1 − x 2 1 − x = x Sonuç: f ( f ( f ( f ( x ) ) ) ) = x Doğru şık kontrolü: Sonuç x olduğundan cevap şıkkıB1055dır.

$Verilen fonksiyon:$

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$

$(Tanım gereği x \neq - 1)$

$1. adım: f (f (x)) ifadesini bulalım.$

$Önce y = f (x) = \frac{x - 1}{x + 1} diyelim. O halde$

$f (f (x)) = f (y) = \frac{y - 1}{y + 1}$

$Şimdi y - 1 ve y + 1 ifadelerini açalım:$

$y - 1 = \frac{x - 1}{x + 1} - 1 = \frac{x - 1 - (x + 1)}{x + 1} = \frac{- 2}{x + 1}$

$y + 1 = \frac{x - 1}{x + 1} + 1 = \frac{x - 1 + (x + 1)}{x + 1} = \frac{2 x}{x + 1}$

$Bunları oranlayalım:$

$f (f (x)) = \frac{\frac{- 2}{x + 1}}{\frac{2 x}{x + 1}} = - \frac{1}{x}$

$Yani f (f (x)) = - \frac{1}{x}$

$2. adım: f (f (f (x))) ifadesini bulalım.$

$f (f (f (x))) = f (- \frac{1}{x}) = \frac{- \frac{1}{x} - 1}{- \frac{1}{x} + 1}$

$Pay ve paydayı düzenleyelim (x ortak payda yapılır):$

$\frac{- \frac{1}{x} - 1}{- \frac{1}{x} + 1} = \frac{\frac{- 1 - x}{x}}{\frac{- 1 + x}{x}} = \frac{- (x + 1)}{x - 1} = \frac{x + 1}{1 - x}$

$Dolayısıyla$

$f (f (f (x))) = \frac{x + 1}{1 - x}$

$3. adım: 4 kez uygulayalım:$

$f (f (f (f (x)))) = f (\frac{x + 1}{1 - x}) = \frac{\frac{x + 1}{1 - x} - 1}{\frac{x + 1}{1 - x} + 1}$

$Pay ve paydayı düzenleyelim:$

$\frac{\frac{x + 1}{1 - x} - 1}{\frac{x + 1}{1 - x} + 1} = \frac{\frac{x + 1 - (1 - x)}{1 - x}}{\frac{x + 1 + (1 - x)}{1 - x}} = \frac{\frac{2 x}{1 - x}}{\frac{2}{1 - x}} = x$

$Sonuç:$

$f (f (f (f (x)))) = x$

$Doğru şık kontrolü: Sonuç x olduğundan cevap A şıkkıdır.$

6. SoruÇoktan Seçmeli

Doğrusal bir fonksiyon olan $f$ için
$f (f (x)) = 9 x + 8$ ve $f (1) = 5$ veriliyor.
$f^{- 1} (11)$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Doğru şıkkın A olup olmadığını kontrol etmek için doğrusal fonksiyonu genel biçimde yazalım. f ( x ) = a x + b Verilen bileşke eşitliğinde yerine yazalım. f ( f ( x ) ) = a ( a x + b ) + b f ( f ( x ) ) = a 2 x + a b + b Bu ifade 9 x + 8 ifadesine eşit olduğundan katsayıları eşitleyelim. a 2 = 9 a b + b = 8 b ( a + 1 ) = 8 Diğer verilen koşulu da kullanalım. f ( 1 ) = a + b = 5 Şimdi a 2 = 9 olduğundan iki olasılık vardır. a = 3 a = - 3 Birinci olasılık için: a = 3 b ( 3 + 1 ) = 8 4 b = 8 b = 2 Kontrol: a + b = 3 + 2 = 5 sağlanır. İkinci olasılık için: a = - 3 b ( - 3 + 1 ) = 8 - 2 b = 8 b = - 4 Bu durumda: a + b = - 3 + - 4 = - 7 olur ve verilen koşulu sağlamaz. Bu nedenle bu olasılık elenir. Dolayısıyla fonksiyon: f ( x ) = 3 x + 2 Şimdi ters fonksiyon değerini bulmak için f - 1 ( 11 ) ifadesini hesaplayalım. Bunun anlamı: f ( x ) = 11 denkleminin çözümüdür. 3 x + 2 = 11 3 x = 9 x = 3 Sonuç: f - 1 ( 11 ) = 3 Bu değer şıkkıC933yla uyumludur; yani doğru cevap C960 şıkkıdır.

Çözüm: Doğru şıkkın A olup olmadığını kontrol etmek için doğrusal fonksiyonu genel biçimde yazalım. f ( x ) = a x + b Verilen bileşke eşitliğinde yerine yazalım. f ( f ( x ) ) = a ( a x + b ) + b f ( f ( x ) ) = a 2 x + a b + b Bu ifade 9 x + 8 ifadesine eşit olduğundan katsayıları eşitleyelim. a 2 = 9 a b + b = 8 b ( a + 1 ) = 8 Diğer verilen koşulu da kullanalım. f ( 1 ) = a + b = 5 Şimdi a 2 = 9 olduğundan iki olasılık vardır. a = 3 a = - 3 Birinci olasılık için: a = 3 b ( 3 + 1 ) = 8 4 b = 8 b = 2 Kontrol: a + b = 3 + 2 = 5 sağlanır. İkinci olasılık için: a = - 3 b ( - 3 + 1 ) = 8 - 2 b = 8 b = - 4 Bu durumda: a + b = - 3 + - 4 = - 7 olur ve verilen koşulu sağlamaz. Bu nedenle bu olasılık elenir. Dolayısıyla fonksiyon: f ( x ) = 3 x + 2 Şimdi ters fonksiyon değerini bulmak için f - 1 ( 11 ) ifadesini hesaplayalım. Bunun anlamı: f ( x ) = 11 denkleminin çözümüdür. 3 x + 2 = 11 3 x = 9 x = 3 Sonuç: f - 1 ( 11 ) = 3 Bu değer şıkkıC933yla uyumludur; yani doğru cevap C960 şıkkıdır.

Doğru şıkkın A olup olmadığını kontrol etmek için doğrusal fonksiyonu genel biçimde yazalım.

f (x) = a x + b

Verilen bileşke eşitliğinde yerine yazalım.

f (f (x)) = a (a x + b) + b

f (f (x)) = a^{2} x + a b + b

Bu ifade

9 x + 8

ifadesine eşit olduğundan katsayıları eşitleyelim.

a^{2} = 9

a b + b = 8

b (a + 1) = 8

Diğer verilen koşulu da kullanalım.

f (1) = a + b = 5

Şimdi

a^{2} = 9

olduğundan iki olasılık vardır.

a = 3

a = - 3

Birinci olasılık için:

a = 3

b (3 + 1) = 8

4 b = 8

b = 2

Kontrol:

a + b = 3 + 2 = 5

sağlanır.

İkinci olasılık için:

a = - 3

b (- 3 + 1) = 8

- 2 b = 8

b = - 4

Bu durumda:

a + b = - 3 + - 4 = - 7

olur ve verilen koşulu sağlamaz. Bu nedenle bu olasılık elenir.

Dolayısıyla fonksiyon:

f (x) = 3 x + 2

Şimdi ters fonksiyon değerini bulmak için

f^{- 1} (11)

ifadesini hesaplayalım. Bunun anlamı:

f (x) = 11

denkleminin çözümüdür.

3 x + 2 = 11

3 x = 9

x = 3

Sonuç:

f^{- 1} (11) = 3

Bu değer A şıkkıyla uyumludur; yani doğru cevap A şıkkıdır.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Parametresi $a$ olan $f$ fonksiyonu
$f (x) = \frac{a x - 1}{x - a}$
şeklinde tanımlanıyor ve $x \neq a$ kabul ediliyor.
$f$ fonksiyonunun kendi tersi olması için $f (f (x)) = x$ koşulunu sağlayan $a$ değerleri aşağıdakilerden hangisidir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Verilen fonksiyon: f ( x ) = a x − 1 x − a Tanım gereği: x ≠ a İstenen koşul: Fonksiyonun kendi tersi olması f ( f ( x ) ) = x olması demektir (uygun tanım koşullarıyla). Önce y = f ( x ) = a x − 1 x − a yazalım. O hâlde f ( y ) = a y − 1 y − a olur. Şimdi pay ve paydayı ayrı ayrı sadeleştirelim. 1) Pay: a y − 1 = a a x − 1 x − a − 1 a y − 1 = a ( a x − 1 ) − ( x − a ) x − a a y − 1 = a 2 x − a − x + a x − a = ( a 2 − 1 ) x x − a 2) Payda: y − a = a x − 1 x − a − a y − a = a x − 1 − a ( x − a ) x − a y − a = a x − 1 − a x + a 2 x − a = a 2 − 1 x − a Bunları f ( y ) = a y − 1 y − a ifadesinde kullanırsak: f ( f ( x ) ) = ( a 2 − 1 ) x x − a a 2 − 1 x − a Burada ortak çarpanlar sadeleşir ve f ( f ( x ) ) = x elde edilir; ancak bu sadeleştirme için a 2 − 1 ≠ 0 olmalıdır. Dolayısıyla koşul: a 2 − 1 ≠ 0 a ≠ 1, a ≠ − 1 Uç durum kontrolü (neden dışlanıyor?): 1) Eğer a = 1 ise f ( x ) = x − 1 x − 1 = 1 ( x ≠ 1 ) sabit fonksiyon olur ve f ( f ( x ) ) = f ( 1 ) ifadesi tanımsız kalır (çünkü x ≠ a koşulundan f ( 1 ) yoktur). 2) Benzer şekilde a = − 1 ise f ( x ) = − 1 olur ve yine f ( f ( x ) ) tanımsız kalır. Sonuç: a ∈ ℝ ∖ { − 1, 1 } Doğru seçenek D1143 ’dır.

Çözüm: Verilen fonksiyon: f ( x ) = a x − 1 x − a Tanım gereği: x ≠ a İstenen koşul: Fonksiyonun kendi tersi olması f ( f ( x ) ) = x olması demektir (uygun tanım koşullarıyla). Önce y = f ( x ) = a x − 1 x − a yazalım. O hâlde f ( y ) = a y − 1 y − a olur. Şimdi pay ve paydayı ayrı ayrı sadeleştirelim. 1) Pay: a y − 1 = a a x − 1 x − a − 1 a y − 1 = a ( a x − 1 ) − ( x − a ) x − a a y − 1 = a 2 x − a − x + a x − a = ( a 2 − 1 ) x x − a 2) Payda: y − a = a x − 1 x − a − a y − a = a x − 1 − a ( x − a ) x − a y − a = a x − 1 − a x + a 2 x − a = a 2 − 1 x − a Bunları f ( y ) = a y − 1 y − a ifadesinde kullanırsak: f ( f ( x ) ) = ( a 2 − 1 ) x x − a a 2 − 1 x − a Burada ortak çarpanlar sadeleşir ve f ( f ( x ) ) = x elde edilir; ancak bu sadeleştirme için a 2 − 1 ≠ 0 olmalıdır. Dolayısıyla koşul: a 2 − 1 ≠ 0 a ≠ 1, a ≠ − 1 Uç durum kontrolü (neden dışlanıyor?): 1) Eğer a = 1 ise f ( x ) = x − 1 x − 1 = 1 ( x ≠ 1 ) sabit fonksiyon olur ve f ( f ( x ) ) = f ( 1 ) ifadesi tanımsız kalır (çünkü x ≠ a koşulundan f ( 1 ) yoktur). 2) Benzer şekilde a = − 1 ise f ( x ) = − 1 olur ve yine f ( f ( x ) ) tanımsız kalır. Sonuç: a ∈ ℝ ∖ { − 1, 1 } Doğru seçenek D1143 ’dır.

Verilen fonksiyon:

f (x) = \frac{a x - 1}{x - a}

Tanım gereği:

x \neq a

İstenen koşul: Fonksiyonun kendi tersi olması

f (f (x)) = x

olması demektir (uygun tanım koşullarıyla).

Önce

y = f (x) = \frac{a x - 1}{x - a}

yazalım. O hâlde

f (y) = \frac{a y - 1}{y - a}

olur.

Şimdi pay ve paydayı ayrı ayrı sadeleştirelim.

1) Pay:

a y - 1 = a \frac{a x - 1}{x - a} - 1

a y - 1 = \frac{a (a x - 1) - (x - a)}{x - a}

a y - 1 = \frac{a 2 x - a - x + a}{x - a} = \frac{(a 2 - 1) x}{x - a}

2) Payda:

y - a = \frac{a x - 1}{x - a} - a

y - a = \frac{a x - 1 - a (x - a)}{x - a}

y - a = \frac{a x - 1 - a x + a 2}{x - a} = \frac{a 2 - 1}{x - a}

Bunları

f (y) = \frac{a y - 1}{y - a}

ifadesinde kullanırsak:

f (f (x)) = \frac{\frac{(a 2 - 1) x}{x - a}}{\frac{a 2 - 1}{x - a}}

Burada ortak çarpanlar sadeleşir ve

f (f (x)) = x

elde edilir; ancak bu sadeleştirme için

a 2 - 1 \neq 0

olmalıdır.

Dolayısıyla koşul:

a 2 - 1 \neq 0

a \neq 1, a \neq - 1

Uç durum kontrolü (neden dışlanıyor?):

1) Eğer

a = 1

ise

f (x) = \frac{x - 1}{x - 1} = 1

(

x \neq 1

) sabit fonksiyon olur ve

f (f (x)) = f (1)

ifadesi tanımsız kalır (çünkü

x \neq a

koşulundan

f (1)

yoktur).

2) Benzer şekilde

a = - 1

ise

f (x) = - 1

olur ve yine

f (f (x))

tanımsız kalır.

Sonuç:

a \in ℝ ∖ {- 1, 1}

Doğru seçenek A’dır.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki fonksiyonlar için
$f (x) = 2 x - 3$
$g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$
değerini bulunuz:
${(f \circ g)}^{- 1} (1)$

Lütfen önce bir cevap seç.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki fonksiyon için
$f : [1, \infty) \to ℝ, f (x) = x + \frac{1}{x}$
$f^{- 1} (\frac{5}{2})$ değeri kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

10. SoruÇoktan Seçmeli

$f (x) = \frac{a x + b}{c x - a}$ fonksiyonu için $a \neq 0$ , $f (f (x)) = x$ , $f (0) = 2$ ve $f (3) = 1$ veriliyor.
Buna göre $f (1)$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

10. Sınıf Matematik Fonksiyonlar Testleri

Fonksiyonları tanım, değer ve grafik ilişkisiyle öğren

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

Sık karıştırılan noktalar

Verimli çalışma yolu

10. Sınıf Matematik Fonksiyonlar Testleri

Aşağıdaki fonksiyon veriliyor.
$f (x) = \frac{a x - 1}{x - a}$
Fonksiyonun tersinin kendisine eşit olduğu ve $f (0) = 2$ olduğu biliniyor.
$f (2)$ kaçtır?

Aşağıdaki fonksiyonlar veriliyor:
$f (x) = \frac{x - 1}{x + 2}$
$g (x) = \frac{2 x + 1}{x - 3}$
$f^{- 1} (g (x)) = 3$ koşulunu sağlayan $x$ değeri kaçtır?

Gerçel sayılarda tanımlı
$f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$
biçimindeki $f$ fonksiyonu için
$f (f (x)) = x$
ve
$f (0) = 2, f (3) = 1$
olduğuna göre $f (1)$ kaçtır?

Fonksiyon $f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ şeklinde tanımlı olsun. $x \in R ∖ {- 1, 0, 1}$ için $f^{2025} (x)$ ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

$x \neq - 1$ için $f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ tanımlı olsun.
$f (f (f (f (x))))$ ifadesinin sadeleşmiş hali nedir?

Doğrusal bir fonksiyon olan $f$ için
$f (f (x)) = 9 x + 8$ ve $f (1) = 5$ veriliyor.
$f^{- 1} (11)$ kaçtır?

Parametresi $a$ olan $f$ fonksiyonu
$f (x) = \frac{a x - 1}{x - a}$
şeklinde tanımlanıyor ve $x \neq a$ kabul ediliyor.
$f$ fonksiyonunun kendi tersi olması için $f (f (x)) = x$ koşulunu sağlayan $a$ değerleri aşağıdakilerden hangisidir?

Aşağıdaki fonksiyonlar için
$f (x) = 2 x - 3$
$g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$
değerini bulunuz:
${(f \circ g)}^{- 1} (1)$

Aşağıdaki fonksiyon için
$f : [1, \infty) \to ℝ, f (x) = x + \frac{1}{x}$
$f^{- 1} (\frac{5}{2})$ değeri kaçtır?

$f (x) = \frac{a x + b}{c x - a}$ fonksiyonu için $a \neq 0$ , $f (f (x)) = x$ , $f (0) = 2$ ve $f (3) = 1$ veriliyor.
Buna göre $f (1)$ kaçtır?

Fonksiyonlar Sık Sorulan Sorular

10. Sınıf Matematik Fonksiyonlar Testleri

Fonksiyonları tanım, değer ve grafik ilişkisiyle öğren

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

Sık karıştırılan noktalar

Verimli çalışma yolu

10. Sınıf Matematik Fonksiyonlar Testleri

Aşağıdaki fonksiyon veriliyor.f(x)=a⁢x-1x-aFonksiyonun tersinin kendisine eşit olduğu ve f(0)=2 olduğu biliniyor.f(2) kaçtır?

Aşağıdaki fonksiyonlar veriliyor:f(x)=x-1x+2g(x)=2x+1x-3f-1(g(x))=3 koşulunu sağlayan x değeri kaçtır?

Gerçel sayılarda tanımlıf(x)=ax+bcx+dbiçimindeki f fonksiyonu içinf(f(x))=xvef(0)=2,f(3)=1olduğuna göre f(1) kaçtır?

Fonksiyon f(x)=x−1x+1 şeklinde tanımlı olsun. x∈R∖{−1,0,1} için f2025(x) ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

x≠−1 için f(x)=x−1x+1 tanımlı olsun.f(f(f(f(x)))) ifadesinin sadeleşmiş hali nedir?

Doğrusal bir fonksiyon olan f içinf(f(x))=9x+8 ve f(1)=5 veriliyor.f-1(11) kaçtır?

Parametresi a olan f fonksiyonuf(x)=ax−1x−aşeklinde tanımlanıyor ve x≠a kabul ediliyor.f fonksiyonunun kendi tersi olması için f(f(x))=x koşulunu sağlayan a değerleri aşağıdakilerden hangisidir?

Aşağıdaki fonksiyonlar içinf(x)=2x-3g(x)=x+1x-1değerini bulunuz:(f∘g)-1(1)

Aşağıdaki fonksiyon içinf:[1,∞)→ℝ,f(x)=x+1xf-1(52) değeri kaçtır?

f(x)=ax+bcx-afonksiyonu içina≠0,f(f(x))=x,f(0)=2vef(3)=1veriliyor.Buna göref(1)kaçtır?

Fonksiyonlar Sık Sorulan Sorular

Aşağıdaki fonksiyon veriliyor.
$f (x) = \frac{a x - 1}{x - a}$
Fonksiyonun tersinin kendisine eşit olduğu ve $f (0) = 2$ olduğu biliniyor.
$f (2)$ kaçtır?

Aşağıdaki fonksiyonlar veriliyor:
$f (x) = \frac{x - 1}{x + 2}$
$g (x) = \frac{2 x + 1}{x - 3}$
$f^{- 1} (g (x)) = 3$ koşulunu sağlayan $x$ değeri kaçtır?

Gerçel sayılarda tanımlı
$f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}$
biçimindeki $f$ fonksiyonu için
$f (f (x)) = x$
ve
$f (0) = 2, f (3) = 1$
olduğuna göre $f (1)$ kaçtır?

Fonksiyon $f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ şeklinde tanımlı olsun. $x \in R ∖ {- 1, 0, 1}$ için $f^{2025} (x)$ ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?

$x \neq - 1$ için $f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ tanımlı olsun.
$f (f (f (f (x))))$ ifadesinin sadeleşmiş hali nedir?

Doğrusal bir fonksiyon olan $f$ için
$f (f (x)) = 9 x + 8$ ve $f (1) = 5$ veriliyor.
$f^{- 1} (11)$ kaçtır?

Parametresi $a$ olan $f$ fonksiyonu
$f (x) = \frac{a x - 1}{x - a}$
şeklinde tanımlanıyor ve $x \neq a$ kabul ediliyor.
$f$ fonksiyonunun kendi tersi olması için $f (f (x)) = x$ koşulunu sağlayan $a$ değerleri aşağıdakilerden hangisidir?

Aşağıdaki fonksiyonlar için
$f (x) = 2 x - 3$
$g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$
değerini bulunuz:
${(f \circ g)}^{- 1} (1)$

Aşağıdaki fonksiyon için
$f : [1, \infty) \to ℝ, f (x) = x + \frac{1}{x}$
$f^{- 1} (\frac{5}{2})$ değeri kaçtır?

$f (x) = \frac{a x + b}{c x - a}$ fonksiyonu için $a \neq 0$ , $f (f (x)) = x$ , $f (0) = 2$ ve $f (3) = 1$ veriliyor.
Buna göre $f (1)$ kaçtır?