10. Sınıf Matematik Fonksiyonlar Testleri

Doğru cevap: C

Önce iç fonksiyonu hesaplayalım: f ( 2 ) = 2 · 2 - 3 f ( 2 ) = 4 - 3 f ( 2 ) = 1 Şimdi bu sonucu dış fonksiyonda yerine yazalım: ( g ∘ f ) ( 2 ) = g ( f ( 2 ) ) ( g ∘ f ) ( 2 ) = g ( 1 ) g ( 1 ) = 1 2 + 1 g ( 1 ) = 1 + 1 g ( 1 ) = 2 Sonuç: ( g ∘ f ) ( 2 ) = 2 Dolayısıyla doğru seçenek C295 'dır.

1. Çözüm: Önce iç fonksiyonu hesaplayalım: f ( 2 ) = 2 · 2 - 3 f ( 2 ) = 4 - 3 f ( 2 ) = 1 Şimdi bu sonucu dış fonksiyonda yerine yazalım: ( g ∘ f ) ( 2 ) = g ( f ( 2 ) ) ( g ∘ f ) ( 2 ) = g ( 1 ) g ( 1 ) = 1 2 + 1 g ( 1 ) = 1 + 1 g ( 1 ) = 2 Sonuç: ( g ∘ f ) ( 2 ) = 2 Dolayısıyla doğru seçenek C295 'dır.

Doğru cevap: D

Verilen fonksiyon: f ( x ) = x + 1 x - 1 İstenen değer: f ( 2025 ) ( 2 ) Önce ardışık uygulamanın ilk adımlarını hesaplayalım. Birinci uygulama: f ( 1 ) ( 2 ) = f ( 2 ) = 2 + 1 $2 - 1 = 3$ İkinci uygulama: f ( 2 ) ( 2 ) = f ( f ( 2 ) ) = f ( 3 ) = 3 + 1 $3 - 1 = 4$ $2 = 2$ Buradan şu döngü oluşur: 2 → 3 → 2 → 3 → ⋯ Dolayısıyla uygulama sayısı tek ise sonuç: f ( tek ) ( 2 ) = 3 Uygulama sayısı çift ise sonuç: f ( çift ) ( 2 ) = 2 Şimdi istenen uygulama sayısı: 2025 Bu sayı tek olduğundan: f ( 2025 ) ( 2 ) = 3 Sonuç 3 olduğu için doğru seçenek D570 'dir.

1. Çözüm: Verilen fonksiyon: f ( x ) = x + 1 x - 1 İstenen değer: f ( 2025 ) ( 2 ) Önce ardışık uygulamanın ilk adımlarını hesaplayalım. Birinci uygulama: f ( 1 ) ( 2 ) = f ( 2 ) = 2 + 1 $2 - 1 = 3$ İkinci uygulama: f ( 2 ) ( 2 ) = f ( f ( 2 ) ) = f ( 3 ) = 3 + 1 $3 - 1 = 4$ $2 = 2$ Buradan şu döngü oluşur: 2 → 3 → 2 → 3 → ⋯ Dolayısıyla uygulama sayısı tek ise sonuç: f ( tek ) ( 2 ) = 3 Uygulama sayısı çift ise sonuç: f ( çift ) ( 2 ) = 2 Şimdi istenen uygulama sayısı: 2025 Bu sayı tek olduğundan: f ( 2025 ) ( 2 ) = 3 Sonuç 3 olduğu için doğru seçenek D570 'dir.

Doğru cevap: A

Önce bileşke fonksiyonu yazalım: ( g ∘ f ) ( 2 ) = g ( f ( 2 ) ) Şimdi önce içteki fonksiyonu hesaplayalım: f ( 2 ) = 2 · 2 − 3 f ( 2 ) = 1 Bulduğumuz değeri g fonksiyonunda yerine yazalım: g ( f ( 2 ) ) = g ( 1 ) g ( 1 ) = 1 2 + 1 g ( 1 ) = 2 Sonuç: ( g ∘ f ) ( 2 ) = 2 Bu değer A şıkkı ile aynıdır; yani doğru cevap A ’dır.

1. Çözüm: Önce bileşke fonksiyonu yazalım: ( g ∘ f ) ( 2 ) = g ( f ( 2 ) ) Şimdi önce içteki fonksiyonu hesaplayalım: f ( 2 ) = 2 · 2 − 3 f ( 2 ) = 1 Bulduğumuz değeri g fonksiyonunda yerine yazalım: g ( f ( 2 ) ) = g ( 1 ) g ( 1 ) = 1 2 + 1 g ( 1 ) = 2 Sonuç: ( g ∘ f ) ( 2 ) = 2 Bu değer A şıkkı ile aynıdır; yani doğru cevap A ’dır.

Doğru cevap: B

Verilen fonksiyon: f ( x ) = 3 x + 2 x - 1 İstenen değer: f - 1 ( 2 ) Bunun anlamı, aşağıdaki denklemi sağlayan x değerini bulmaktır: f ( x ) = 2 Fonksiyonu yerine yazalım: 3 x + 2 x - $1 = 2$ Paydadan kurtarmak için içler-dışlar çarpımı yapalım: 3 x + $2 = 2$ ( x - 1 ) Sağ tarafı dağıtalım: 3 x + $2 = 2$ x - 2 Bilinmeyeni yalnız bırakalım: 3 x - 2 x = - 2 - 2 Sonuç: x = - 4 Dolayısıyla: f - 1 ( 2 ) = - 4 Bu değer şıkkıB412 ile aynıdır; yani doğru cevap B438 dır.

1. Çözüm: Verilen fonksiyon: f ( x ) = 3 x + 2 x - 1 İstenen değer: f - 1 ( 2 ) Bunun anlamı, aşağıdaki denklemi sağlayan x değerini bulmaktır: f ( x ) = 2 Fonksiyonu yerine yazalım: 3 x + 2 x - $1 = 2$ Paydadan kurtarmak için içler-dışlar çarpımı yapalım: 3 x + $2 = 2$ ( x - 1 ) Sağ tarafı dağıtalım: 3 x + $2 = 2$ x - 2 Bilinmeyeni yalnız bırakalım: 3 x - 2 x = - 2 - 2 Sonuç: x = - 4 Dolayısıyla: f - 1 ( 2 ) = - 4 Bu değer şıkkıB412 ile aynıdır; yani doğru cevap B438 dır.

Doğru cevap: C

Verilen koşul: f ( f ( x ) ) = 3 x + 2 Fonksiyon artan olduğundan birebirdir. Bu sayede bazı adımlarda eşitliklerden güvenle sonuç çıkarabiliriz. Önce sabit (değişmeyen) noktayı bulalım. f(a)=a olsun. O zaman: f ( f ( a ) ) = f ( a ) = a Diğer taraftan verilen eşitliğe göre: f ( f ( a ) ) = 3 a + 2 Dolayısıyla: $a = 3$a + 2 Buradan: a = - 1 Yani: f ( - 1 ) = - 1 Sabit noktayı kullanarak kaydırma yapalım. Aşağıdaki yardımcı fonksiyonu tanımlayalım: F ( u ) = f ( u - 1 ) + 1 Bu tanım ile (yerine koyarak) şu elde edilir: F ( F ( u ) ) = 3 u Özellikle: F ( F ( 0 ) ) = 0 Artan olduğundan birebirlikten: F ( 0 ) = 0 Şimdi sadece u>0 için çalışacağız (çünkü sonunda $u=2$kullanacağız). u>0 iken F(u)>0 olur, bu sayede logaritma dönüşümü yapabiliriz. $u=e$^t yazalım ve: $u = e$t Şu fonksiyonu tanımlayalım: g ( t ) = ln ( F ( e t ) ) O zaman: g ( g ( t ) ) = ln ( F ( F ( e t ) ) ) = ln ( 3 e t ) Sağ taraf: ln ( 3 e t ) = t + ln ( 3 ) Yani: g ( g ( t ) ) = t + ln ( 3 ) Artan bir fonksiyon için g(g(t))=t+c tipinde standart çözüm g(t)=t+c/2 olur. Burada: g ( t ) = t + 1 2 ln ( 3 ) Tanıma geri dönersek, $t=ln$(u) $u>0$ için: ln ( F ( u ) ) = ln ( u ) + 1 2 ln ( 3 ) Üstel alırsak $u>0$: F ( u ) = 3 u Şimdi istenen değere gelelim. Tanımdan: F ( 2 ) = f ( 1 ) + 1 Ayrıca F(2)=√3·2 olduğundan: f ( 1 ) + $1 = 2$ 3 Sonuç: f ( 1 ) = 2 3 - 1 Bu değer şıklardan A ile aynıdır; doğru cevap C1364.

1. Çözüm: Verilen koşul: f ( f ( x ) ) = 3 x + 2 Fonksiyon artan olduğundan birebirdir. Bu sayede bazı adımlarda eşitliklerden güvenle sonuç çıkarabiliriz. Önce sabit (değişmeyen) noktayı bulalım. f(a)=a olsun. O zaman: f ( f ( a ) ) = f ( a ) = a Diğer taraftan verilen eşitliğe göre: f ( f ( a ) ) = 3 a + 2 Dolayısıyla: $a = 3$a + 2 Buradan: a = - 1 Yani: f ( - 1 ) = - 1 Sabit noktayı kullanarak kaydırma yapalım. Aşağıdaki yardımcı fonksiyonu tanımlayalım: F ( u ) = f ( u - 1 ) + 1 Bu tanım ile (yerine koyarak) şu elde edilir: F ( F ( u ) ) = 3 u Özellikle: F ( F ( 0 ) ) = 0 Artan olduğundan birebirlikten: F ( 0 ) = 0 Şimdi sadece u>0 için çalışacağız (çünkü sonunda $u=2$kullanacağız). u>0 iken F(u)>0 olur, bu sayede logaritma dönüşümü yapabiliriz. $u=e$^t yazalım ve: $u = e$t Şu fonksiyonu tanımlayalım: g ( t ) = ln ( F ( e t ) ) O zaman: g ( g ( t ) ) = ln ( F ( F ( e t ) ) ) = ln ( 3 e t ) Sağ taraf: ln ( 3 e t ) = t + ln ( 3 ) Yani: g ( g ( t ) ) = t + ln ( 3 ) Artan bir fonksiyon için g(g(t))=t+c tipinde standart çözüm g(t)=t+c/2 olur. Burada: g ( t ) = t + 1 2 ln ( 3 ) Tanıma geri dönersek, $t=ln$(u) $u>0$ için: ln ( F ( u ) ) = ln ( u ) + 1 2 ln ( 3 ) Üstel alırsak $u>0$: F ( u ) = 3 u Şimdi istenen değere gelelim. Tanımdan: F ( 2 ) = f ( 1 ) + 1 Ayrıca F(2)=√3·2 olduğundan: f ( 1 ) + $1 = 2$ 3 Sonuç: f ( 1 ) = 2 3 - 1 Bu değer şıklardan A ile aynıdır; doğru cevap C1364.

Doğru cevap: D

Verilen fonksiyon: f ( x ) = 3 x + 2 İstenen değer: f - 1 ( 11 ) Ters fonksiyon mantığı: Ters fonksiyonda çıktıyı verip girdiyi buluruz. Bu yüzden aşağıdaki denklemi kurarız: f ( x ) = 11 Fonksiyonu yerine yazalım: 3 x + $2 = 11$ Her iki taraftan 2 çıkaralım: 3 $x = 9$Her iki tarafı 3 'e bölelim: $x = 3$Demek ki: f - 1 ( 11 ) = 3 Sonuç: Doğru cevap D335 şıkkıdır.

1. Çözüm: Verilen fonksiyon: f ( x ) = 3 x + 2 İstenen değer: f - 1 ( 11 ) Ters fonksiyon mantığı: Ters fonksiyonda çıktıyı verip girdiyi buluruz. Bu yüzden aşağıdaki denklemi kurarız: f ( x ) = 11 Fonksiyonu yerine yazalım: 3 x + $2 = 11$ Her iki taraftan 2 çıkaralım: 3 $x = 9$Her iki tarafı 3 'e bölelim: $x = 3$Demek ki: f - 1 ( 11 ) = 3 Sonuç: Doğru cevap D335 şıkkıdır.

Doğru cevap: A

Önce bileşke fonksiyonu tanımını kullanacağız: Önce f uygulanır, çıkan sonuç g ’ye sokulur. ( g ∘ f ) ( − 1 ) = g ( f ( − 1 ) ) Şimdi f fonksiyonunda yerine koyarak f değerini bulalım. f ( − 1 ) = 3 ( − 1 ) − 1 f ( − 1 ) = − 3 − 1 = − 4 Bulduğumuz sonucu şimdi g fonksiyonunda kullanalım. g ( f ( − 1 ) ) = g ( − 4 ) g ( − 4 ) = ( − 4 ) $2 = 16$ Sonuç olarak doğru değer 16 olduğundan, verilen şıklarda doğru seçenek A499 ’dir.

1. Çözüm: Önce bileşke fonksiyonu tanımını kullanacağız: Önce f uygulanır, çıkan sonuç g ’ye sokulur. ( g ∘ f ) ( − 1 ) = g ( f ( − 1 ) ) Şimdi f fonksiyonunda yerine koyarak f değerini bulalım. f ( − 1 ) = 3 ( − 1 ) − 1 f ( − 1 ) = − 3 − 1 = − 4 Bulduğumuz sonucu şimdi g fonksiyonunda kullanalım. g ( f ( − 1 ) ) = g ( − 4 ) g ( − 4 ) = ( − 4 ) $2 = 16$ Sonuç olarak doğru değer 16 olduğundan, verilen şıklarda doğru seçenek A499 ’dir.

Doğru cevap: B

Önce bileşke fonksiyonu yorumlayalım: ( g ∘ f ) ( 3 ) = g ( f ( 3 ) ) Önce f ( 3 ) değerini bulalım. f ( x ) = 2 x − 1 f ( 3 ) = 2 · 3 − 1 f ( 3 ) = 6 − $1 = 5$ Şimdi bu sonucu g ( x ) içinde yerine koyalım. g ( x ) = x 2 − 4 g ( 5 ) = 5 2 − 4 g ( 5 ) = 25 − $4 = 21$ Sonuç: ( g ∘ f ) ( 3 ) = 21 Bu nedenle doğru şık A ’dır.

1. Çözüm: Önce bileşke fonksiyonu yorumlayalım: ( g ∘ f ) ( 3 ) = g ( f ( 3 ) ) Önce f ( 3 ) değerini bulalım. f ( x ) = 2 x − 1 f ( 3 ) = 2 · 3 − 1 f ( 3 ) = 6 − $1 = 5$ Şimdi bu sonucu g ( x ) içinde yerine koyalım. g ( x ) = x 2 − 4 g ( 5 ) = 5 2 − 4 g ( 5 ) = 25 − $4 = 21$ Sonuç: ( g ∘ f ) ( 3 ) = 21 Bu nedenle doğru şık A ’dır.

Doğru cevap: C

Önce işlemin sırasını yazalım: ( f ∘ g ∘ f ) ( 3 ) = f ( g ( f ( 3 ) ) ) ) 1. adım: Önce f(3) hesaplayalım. f ( 3 ) = 3 + 1 $3 - 1 = 4$ $2 = 2$ 2. adım: Bulduğumuz değeri g fonksiyonunda kullanalım. g ( 2 ) = 2 - 1 $2 + 1 = 1$ 3 3. adım: Şimdi çıkan sonucu tekrar f fonksiyonuna sokalım. f ( 1 3 ) = 1 3 + 1 1 3 - 1 Pay ve paydayı toplayıp/çıkaralım: 1 3 + 1 1 $3 - 1 = 1$ 3 + 3 3 1 3 - 3 $3 = 4$ 3 - 2 3 Bölmeyi çarpma şeklinde yazıp sadeleştirelim: 4 3 - 2 $3 = 4$ 3 · $3 - 2 = 4$ - 2 = - 2 Sonuç: ( f ∘ g ∘ f ) ( 3 ) = - 2 Dolayısıyla doğru cevap C524 şıkkıdır (A kontrolü: doğrudur).

1. Çözüm: Önce işlemin sırasını yazalım: ( f ∘ g ∘ f ) ( 3 ) = f ( g ( f ( 3 ) ) ) ) 1. adım: Önce f(3) hesaplayalım. f ( 3 ) = 3 + 1 $3 - 1 = 4$ $2 = 2$ 2. adım: Bulduğumuz değeri g fonksiyonunda kullanalım. g ( 2 ) = 2 - 1 $2 + 1 = 1$ 3 3. adım: Şimdi çıkan sonucu tekrar f fonksiyonuna sokalım. f ( 1 3 ) = 1 3 + 1 1 3 - 1 Pay ve paydayı toplayıp/çıkaralım: 1 3 + 1 1 $3 - 1 = 1$ 3 + 3 3 1 3 - 3 $3 = 4$ 3 - 2 3 Bölmeyi çarpma şeklinde yazıp sadeleştirelim: 4 3 - 2 $3 = 4$ 3 · $3 - 2 = 4$ - 2 = - 2 Sonuç: ( f ∘ g ∘ f ) ( 3 ) = - 2 Dolayısıyla doğru cevap C524 şıkkıdır (A kontrolü: doğrudur).

Doğru cevap: D

Önce bileşke fonksiyonun anlamını yazalım: ( g ∘ f ) ( 2 ) = g ( f ( 2 ) ) ) Şimdi önce içteki fonksiyonu hesaplayalım: f ( 2 ) = 2 · 2 − 3 Basitleştirelim: f ( 2 ) = 4 − $3 = 1$ Bulduğumuz değeri şimdi g fonksiyonunda yerine yazalım: g ( f ( 2 ) ) = g ( 1 ) Şimdi g(x)=x²+1 olduğuna göre: g ( 1 ) = 1 2 + 1 Sonucu bulalım: 1 $2 + 1 = 1$ + $1 = 2$ Dolayısıyla: ( g ∘ f ) ( 2 ) = 2 Doğru cevap D389 şıkkıdır.

1. Çözüm: Önce bileşke fonksiyonun anlamını yazalım: ( g ∘ f ) ( 2 ) = g ( f ( 2 ) ) ) Şimdi önce içteki fonksiyonu hesaplayalım: f ( 2 ) = 2 · 2 − 3 Basitleştirelim: f ( 2 ) = 4 − $3 = 1$ Bulduğumuz değeri şimdi g fonksiyonunda yerine yazalım: g ( f ( 2 ) ) = g ( 1 ) Şimdi g(x)=x²+1 olduğuna göre: g ( 1 ) = 1 2 + 1 Sonucu bulalım: 1 $2 + 1 = 1$ + $1 = 2$ Dolayısıyla: ( g ∘ f ) ( 2 ) = 2 Doğru cevap D389 şıkkıdır.