Kümeler

1. Sayfa: Küme kavramı ve gösterimi

1) Küme nedir?

Küme, iyi tanımlanmış (yani “hangi elemanlar var, hangileri yok” net olan) nesneler topluluğudur. Kümedeki her bir nesneye eleman denir.

Bir elemanın kümeye ait olduğunu göstermek için “aittir” sembolü kullanılır. Matematiksel olarak:

2) Kümeler nasıl gösterilir?

Kümeler genellikle büyük harflerle adlandırılır: A, B, C gibi. Gösterimde iki temel yöntem sık kullanılır:

A) Liste (sayma) yöntemi

Elemanlar tek tek yazılır ve süslü parantez içine alınır. Örneğin:

Bu gösterim “A kümesi 1, 3, 5, 7 elemanlarından oluşur” anlamına gelir.

B) Ortak özellik (kural) yöntemi

Elemanları tek tek yazmak yerine, elemanların ortak özelliği belirtilir. Örneğin “10’dan küçük pozitif çift sayılar” kümesi şöyle gösterilebilir:

Buradaki | sembolü “öyle ki / şartı sağlayan” anlamına gelir.

3) Sık kullanılan sayı kümeleri (temel)

Kümeler konusunda en sık karşılaşılan bazı sayı kümeleri vardır:

4) Küme–eleman dili ile kısa örnekler

Aşağıdaki küme verilsin:

Bu durumda:

---

Sonraki sayfada: Alt küme kavramı, semboller ve temel örnekler.

Kümeler

2. Sayfa: Alt küme kavramı

1) Alt küme nedir?

Bir kümenin tüm elemanları başka bir kümenin içinde yer alıyorsa, birinci küme ikinci kümenin alt kümesi olarak adlandırılır.

“A, B’nin alt kümesidir” ifadesi matematikte şu sembolle gösterilir:

2) Alt küme olma şartı

Bir kümenin alt küme olabilmesi için:

Alt kümenin her elemanı, ana kümenin de elemanı olmalıdır.

Tek bir eleman bile ana kümede yoksa, alt küme ilişkisi sağlanmaz.

3) Alt küme örnekleri

Aşağıdaki kümeler verilsin:

Bu durumda A kümesinin tüm elemanları B kümesinde bulunduğu için:

4) Alt küme olmayan durum

Şimdi şu kümeleri inceleyelim:

C kümesindeki 6 elemanı D kümesinde olmadığı için:

5) Her kümenin kendisinin alt kümesi olması

Bir kümedeki tüm elemanlar zaten kendisi içinde bulunduğundan, her küme kendisinin alt kümesidir.

6) Gerçek hayattan alt küme örneği

“Tüm öğrenciler” kümesi içinde yer alan “9. sınıf öğrencileri” kümesi, tüm öğrencilerin alt kümesidir. Ancak “tüm öğrenciler” kümesi, “9. sınıf öğrencileri” kümesinin alt kümesi değildir.

---

Sonraki sayfada: Boş küme, sembolü ve temel özellikleri.

Kümeler

3. Sayfa: Boş küme

1) Boş küme nedir?

Hiç elemanı olmayan kümeye boş küme denir. Boş kümede tek bir eleman bile bulunmaz.

Boş küme genellikle şu sembolle gösterilir:

2) Boş kümenin farklı gösterimleri

Aşağıdaki gösterimlerin tamamı boş kümeyi ifade eder:

Süslü parantez içinde hiçbir eleman olmaması, kümenin boş olduğunu gösterir.

3) Boş küme ile ilgili önemli özellikler

Boş küme ile ilgili bilinmesi gereken bazı temel özellikler vardır:

• Boş küme, her kümenin alt kümesidir.

• Boş kümenin eleman sayısı 0’dır.

4) Boş küme örnekleri

“0’dan küçük doğal sayılar” ifadesiyle tanımlanan kümenin hiç elemanı yoktur. Bu nedenle bu küme boş kümedir.

“Bir haftada 8. gün” ifadesiyle tanımlanan küme de boş kümedir.

5) Boş küme ile {0} farkı

Boş küme ile {0} kümesi sıkça karıştırılır. Ancak bunlar farklıdır.

Boş kümenin hiç elemanı yoktur. {0} kümesinin ise bir tane elemanı vardır ve bu eleman 0’dır.

---

Sonraki sayfada: Kümenin eleman sayısı ve gösterimi.

Kümeler

4. Sayfa: Kümenin eleman sayısı

1) Eleman sayısı nedir?

Bir kümede bulunan elemanların toplam sayısına kümenin eleman sayısı denir. Eleman sayısı genellikle küme adının yanına dikey çizgi konularak gösterilir.

2) Eleman sayısının bulunması

Eleman sayısını bulmak için kümedeki elemanlar tek tek sayılır. Aynı eleman birden fazla kez sayılmaz.

Aşağıdaki küme verilsin:

Bu kümede 4 farklı eleman vardır. Bu nedenle:

3) Boş kümenin eleman sayısı

Boş kümede hiç eleman bulunmadığı için, boş kümenin eleman sayısı 0’dır.

4) Aynı elemanların tekrarı

Bir kümede aynı eleman birden fazla kez yazılsa bile, eleman sayısında bir kez sayılır.

Örneğin:

Bu kümede farklı elemanlar yalnızca 1 ve 2 olduğu için:

5) Günlük hayattan örnek

“Haftanın günleri” kümesinde Pazartesi, Salı, Çarşamba, Perşembe, Cuma, Cumartesi ve Pazar olmak üzere 7 farklı gün vardır. Bu nedenle bu kümenin eleman sayısı 7’dir.

---

Sonraki sayfada: Eşit kümeler ve denk kümeler.

Kümeler

5. Sayfa: Eşit kümeler ve denk kümeler

1) Eşit kümeler

Elemanları tamamen aynı olan kümelere eşit kümeler denir. Eşit kümelerde elemanların sırası önemli değildir.

Eşit kümeler matematikte şu şekilde gösterilir:

2) Eşit kümelere örnek

Aşağıdaki kümeleri inceleyelim:

Elemanlar aynı olduğu için:

3) Denk kümeler

Elemanları aynı olmasa bile, eleman sayıları eşit olan kümelere denk kümeler denir.

Denk kümeler matematikte şu sembolle gösterilir:

4) Denk kümelere örnek

Aşağıdaki kümeler verilsin:

C ve D kümelerinin elemanları farklıdır. Ancak her iki kümede de 3 eleman bulunduğu için bu kümeler denktir.

5) Eşit küme ile denk küme farkı

Eşit kümelerde hem elemanlar hem de eleman sayıları aynıdır. Denk kümelerde ise yalnızca eleman sayıları aynıdır.

Bu nedenle her eşit küme aynı zamanda denk kümedir, ancak her denk küme eşit küme değildir.

---

Sonraki sayfada: Birleşim kümesi ve gösterimi.