Fonksiyonlar - 1.Sayfa
Fonksiyonlar
1. Sayfa: Fonksiyon fikrine giriş (bağıntı → fonksiyon)
1) Bağıntı (ilişki) nedir?
Matematikte bağıntı, bir kümenin elemanlarını başka bir kümenin elemanlarıyla eşleştiren bir kuraldır. Örneğin, “öğrenci → okul numarası” eşleştirmesi bir bağıntıdır.
Bağıntılar çoğu zaman sıralı ikililer ile gösterilir: (x, y) biçimindeki her ikili “x ile y eşleşmiştir” anlamına gelir.
2) Fonksiyon nedir?
Bir bağıntının fonksiyon olabilmesi için şu şart zorunludur: Her x değeri tam olarak bir tane y değeriyle eşleşmelidir.
Yani aynı x için iki farklı sonuç üretilemez. Örneğin, “öğrenci → sınıfı” genelde fonksiyondur (bir öğrenci tek sınıfta), ama “kişi → sevdiği film” fonksiyon olmak zorunda değildir (bir kişi birden fazla film sevebilir).
3) Gösterim: f(x) ne demek?
Fonksiyonlar genelde f harfiyle adlandırılır ve f(x) ifadesi “x girilirse fonksiyonun çıktısı” anlamına gelir. Buradaki x bir “girdi”, f(x) ise “çıktı”dır.
Örnek düşünce: “Bir sayının 2 fazlası” kuralını ele alalım. Bu kural bir fonksiyondur çünkü her sayı için tek bir sonuç vardır.
4) Tanım kümesi ve değer kümesi
Bir fonksiyon bir kümeden (girdilerin kümesi) başka bir kümeye (çıktıların bulunduğu küme) gider:
Tanım kümesi: Fonksiyona girebilen x değerlerinin kümesidir.
Değer kümesi: Çıktıların ait olduğu (çıktıların seçildiği) kümedir.
Görüntü kümesi: Gerçekte elde edilen çıktıların kümesidir (değer kümesinin içinde yer alır).
Kısaca: Tanım kümesi “ne girebilirim?”, görüntü kümesi “ne çıktı elde ediyorum?” sorularını cevaplar.
5) Fonksiyon olma şartını sıralı ikililerle kontrol
Sıralı ikililerle verilen bir bağıntıda, aynı x değeri tekrar ediyorsa dikkat edilir: Eğer aynı x birden fazla farklı y ile eşleşmişse fonksiyon değildir.
Örnek kontrol mantığı: (1, 3) ve (1, 5) birlikte varsa aynı girdi 1 iki farklı çıktıya gitmiştir. Bu yüzden bu bağıntı fonksiyon olamaz.
6) Fonksiyon şeması (ok diyagramı) fikri
Ok diyagramında solda tanım kümesi, sağda değer kümesi bulunur. Fonksiyon olması için: soldaki her elemandan sağ tarafa tek ok çıkmalıdır.
Bir elemandan hiç ok çıkmıyorsa da fonksiyon olmaz; çünkü o girdinin bir çıktısı yok demektir.
7) Mini özet
• Bağıntı: Eşleştirme kuralı.
• Fonksiyon: Her x için tam olarak bir y üretir.
• Tanım kümesi: Girdiler.
• Değer kümesi: Çıktıların seçildiği küme.
• Görüntü kümesi: Gerçekte oluşan çıktılar.
Sonraki sayfada fonksiyonun gösterimleri (tablo, grafik, bağıntı, cebirsel ifade) üzerinden örneklerle ilerleyeceğiz.
Fonksiyonlar - 2.Sayfa
Fonksiyonlar
2. Sayfa: Fonksiyonların gösterim biçimleri
1) Fonksiyonlar nasıl gösterilir?
Bir fonksiyon matematikte farklı şekillerde ifade edilebilir. En yaygın kullanılan gösterimler şunlardır:
• Sözlü (kural ile)
• Sıralı ikililerle
• Tablo ile
• Grafik ile
• Cebirsel (formül) ile
2) Sözlü (kural ile) gösterim
Fonksiyon bazen sadece bir cümleyle tanımlanır. Örneğin: “Bir sayının karesini alan fonksiyon.” Bu ifade, her sayıyı kendisiyle çarpıp sonuç veren bir kuralı anlatır.
Bu tür gösterimde önemli olan, kuralın açık ve her x için tek sonuç vermesidir.
3) Sıralı ikililerle gösterim
Fonksiyon, (x, y) biçimindeki sıralı ikililer kümesi olarak da verilebilir. Burada her ikili, bir girdi ile onun çıktısını temsil eder.
Fonksiyon olup olmadığını anlamak için şu kontrol yapılır: Aynı x değeri tekrar ediyor mu ve farklı y’lerle eşleşiyor mu? Eğer eşleşiyorsa bu yapı fonksiyon değildir.
4) Tablo ile gösterim
Fonksiyon bazen bir tablo yardımıyla gösterilir. Tablonun bir sütununda x değerleri, diğer sütununda ise bu değerlere karşılık gelen f(x) değerleri bulunur.
Tabloda her x satırına karşılık yalnızca bir f(x) değeri varsa, bu tablo bir fonksiyonu temsil eder.
5) Grafik ile gösterim
Fonksiyonun grafiği, koordinat düzleminde noktalarla gösterilir. Her (x, f(x)) ikilisi düzlemde bir noktaya karşılık gelir.
Bir grafiğin fonksiyon olup olmadığını anlamak için “dikey doğru testi” fikri kullanılır: Aynı x değerine karşılık grafikte birden fazla nokta varsa, bu grafik fonksiyon değildir.
6) Cebirsel (formül ile) gösterim
Fonksiyonların en sık kullanılan gösterimi cebirsel ifadelerdir. Bu durumda fonksiyon bir matematiksel kural ile yazılır.
Bu ifade, x yerine hangi sayı yazılırsa yazılsın, sonucun o sayının 2 fazlası olacağını söyler.
7) Aynı fonksiyon, farklı gösterimler
Aynı fonksiyon sözlü, tablo, grafik veya formül ile ifade edilebilir. Gösterim değişse bile fonksiyonun kuralı değişmez.
Bu yüzden fonksiyonlar konusunda önemli olan, farklı gösterimler arasında bağlantı kurabilmektir.
Sonraki sayfada tanım kümesi kısıtlamaları ve “hangi x değerleri fonksiyona girebilir?” sorusu ele alınacaktır.