Rasyonel Sayılar

1. Sayfa: Tanım, gösterimler ve temel örnekler

---

1) Rasyonel sayı nedir?

Rasyonel sayılar, iki tam sayının oranı olarak yazılabilen sayılardır. Yani bir sayı, $\frac{a}{b}$ biçiminde gösterilebiliyorsa (burada a ve b tam sayıdır, b ≠ 0) o sayı rasyoneldir.

Rasyonel sayı kümesi Q ile gösterilir.

$Q=\left\{\frac{a}{b}\right|a,b\in Z,b\ne 0\}$

2) Kesir gösterimi ve işaret

Rasyonel sayılar genellikle kesir şeklinde yazılır. Payda sıfır olamaz. Bir rasyonel sayının negatif olması için tek bir yerde eksi işareti bulunması yeterlidir: ya pay negatiftir ya da payda negatiftir.

Örnek gösterimler:

Pozitif rasyonel: $\frac{3}{5}$

Negatif rasyonel (eksi işareti kesrin dışında): $-\frac{2}{7}$

Aynı değer farklı yazılabilir: $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{50}{100}$

Buradaki fikir şudur: Payı ve paydayı aynı sıfırdan farklı sayı ile çarpmak kesrin değerini değiştirmez.

3) Tam sayılar rasyonel midir?

Evet. Her tam sayı bir rasyonel sayıdır; çünkü paydası 1 olan bir kesir gibi yazılabilir.

Örnek: $6=\frac{6}{1}$

Negatif örnek: $-9=-\frac{9}{1}$

4) Sıfır ve payda kuralı

Sıfır da rasyoneldir; çünkü $0=\frac{0}{5}$ gibi yazılabilir (payda sıfır değil). Ancak paydası 0 olan bir kesir tanımsızdır ve rasyonel sayı değildir.

Önemli:

Payda 0 olduğunda “bölme” işlemi anlamını kaybeder. Bu yüzden “... / 0” biçimindeki ifadeler sayı olarak kabul edilmez.

5) Kesri sadeleştirme fikri

Aynı rasyonel sayıyı temsil eden farklı kesirler olabilir. Bu kesirleri daha “basit” yazmak için pay ve paydayı ortak bölenlerle sadeleştiririz.

Örnek:

$\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$

Çünkü 12 ve 18’in ortak böleni 6’dır; her ikisini de 6’ya bölünce değer değişmeden daha sade bir kesir elde edilir.

İlerleyen sayfalarda rasyonel sayılarla karşılaştırma, dört işlem, ondalık gösterim ve problem çözümleri adım adım ele alınacaktır.

Rasyonel Sayılar

2. Sayfa: Sayı doğrusu ve sıralama

1) Rasyonel sayılar sayı doğrusunda

Rasyonel sayılar sayı doğrusu üzerinde bir noktaya karşılık gelir. Sıfır referans noktasıdır. Sıfırın sağında yer alan sayılar pozitif, solunda yer alan sayılar negatiftir.

Bir rasyonel sayıyı sayı doğrusu üzerinde göstermek için, paydanın aralığı kaç eş parçaya böldüğünü ve payın bu parçalardan kaç tanesini temsil ettiğini düşünürüz.

Örneğin $\frac{1}{4}$ sayısı, 0 ile 1 arasının 4 eş parçaya bölünmesiyle elde edilen ilk noktayı ifade eder.

2) Pozitif ve negatif rasyonellerin konumu

Pozitif rasyonel sayılar sayı doğrusunda sıfırın sağında bulunur. Negatif rasyonel sayılar ise sıfırın solunda yer alır.

Örnek olarak $\frac{3}{5}$ sıfırın sağındadır. Buna karşılık $-\frac{3}{5}$ sıfırın solunda yer alır.

3) Rasyonel sayıların karşılaştırılması

İki rasyonel sayıyı karşılaştırırken sayı doğrusu üzerindeki konumları dikkate alınır. Sağda bulunan sayı, solda bulunandan büyüktür.

Pozitif bir rasyonel sayı, her zaman negatif bir rasyonel sayıdan büyüktür. Ayrıca her pozitif rasyonel sayı sıfırdan büyüktür.

Örneğin $-\frac{1}{2}<0<\frac{1}{2}$ sıralaması her zaman doğrudur.

4) Aynı işaretli rasyonel sayıların sıralanması

İki rasyonel sayı da pozitifse, sayı doğrusunda daha sağda olan sayı daha büyüktür.

İki rasyonel sayı da negatifse, sıfıra daha yakın olan sayı daha büyüktür.

Bu nedenle $-\frac{1}{3}>-\frac{2}{3}$ eşitsizliği doğrudur.

5) Farklı işaretli rasyonel sayıların sıralanması

Biri pozitif, diğeri negatif olan iki rasyonel sayıdan pozitif olan her zaman daha büyüktür.

Bu yüzden $-\frac{7}{8}<\frac{1}{8}$ ifadesi her zaman doğrudur.

Bir sonraki sayfada rasyonel sayıların eşitliği ile genişletme ve sadeleştirme mantığı ele alınacaktır.