Rasyonel Sayılar

1. Sayfa: Tanım, gösterimler ve temel örnekler

---

1) Rasyonel sayı nedir?

Rasyonel sayılar, iki tam sayının oranı olarak yazılabilen sayılardır. Yani bir sayı, $\frac{a}{b}$ biçiminde gösterilebiliyorsa (burada a ve b tam sayıdır, b ≠ 0) o sayı rasyoneldir.

Rasyonel sayı kümesi Q ile gösterilir.

$Q=\left\{\frac{a}{b}\right|a,b\in Z,b\ne 0\}$

2) Kesir gösterimi ve işaret

Rasyonel sayılar genellikle kesir şeklinde yazılır. Payda sıfır olamaz. Bir rasyonel sayının negatif olması için tek bir yerde eksi işareti bulunması yeterlidir: ya pay negatiftir ya da payda negatiftir.

Örnek gösterimler:

Pozitif rasyonel: $\frac{3}{5}$

Negatif rasyonel (eksi işareti kesrin dışında): $-\frac{2}{7}$

Aynı değer farklı yazılabilir: $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}=\frac{50}{100}$

Buradaki fikir şudur: Payı ve paydayı aynı sıfırdan farklı sayı ile çarpmak kesrin değerini değiştirmez.

3) Tam sayılar rasyonel midir?

Evet. Her tam sayı bir rasyonel sayıdır; çünkü paydası 1 olan bir kesir gibi yazılabilir.

Örnek: $6=\frac{6}{1}$

Negatif örnek: $-9=-\frac{9}{1}$

4) Sıfır ve payda kuralı

Sıfır da rasyoneldir; çünkü $0=\frac{0}{5}$ gibi yazılabilir (payda sıfır değil). Ancak paydası 0 olan bir kesir tanımsızdır ve rasyonel sayı değildir.

Önemli:

Payda 0 olduğunda “bölme” işlemi anlamını kaybeder. Bu yüzden “... / 0” biçimindeki ifadeler sayı olarak kabul edilmez.

5) Kesri sadeleştirme fikri

Aynı rasyonel sayıyı temsil eden farklı kesirler olabilir. Bu kesirleri daha “basit” yazmak için pay ve paydayı ortak bölenlerle sadeleştiririz.

Örnek:

$\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$

Çünkü 12 ve 18’in ortak böleni 6’dır; her ikisini de 6’ya bölünce değer değişmeden daha sade bir kesir elde edilir.

İlerleyen sayfalarda rasyonel sayılarla karşılaştırma, dört işlem, ondalık gösterim ve problem çözümleri adım adım ele alınacaktır.

Rasyonel Sayılar

2. Sayfa: Sayı doğrusu ve sıralama

1) Rasyonel sayılar sayı doğrusunda

Rasyonel sayılar sayı doğrusu üzerinde bir noktaya karşılık gelir. Sıfır referans noktasıdır. Sıfırın sağında yer alan sayılar pozitif, solunda yer alan sayılar negatiftir.

Bir rasyonel sayıyı sayı doğrusu üzerinde göstermek için, paydanın aralığı kaç eş parçaya böldüğünü ve payın bu parçalardan kaç tanesini temsil ettiğini düşünürüz.

Örneğin $\frac{1}{4}$ sayısı, 0 ile 1 arasının 4 eş parçaya bölünmesiyle elde edilen ilk noktayı ifade eder.

2) Pozitif ve negatif rasyonellerin konumu

Pozitif rasyonel sayılar sayı doğrusunda sıfırın sağında bulunur. Negatif rasyonel sayılar ise sıfırın solunda yer alır.

Örnek olarak $\frac{3}{5}$ sıfırın sağındadır. Buna karşılık $-\frac{3}{5}$ sıfırın solunda yer alır.

3) Rasyonel sayıların karşılaştırılması

İki rasyonel sayıyı karşılaştırırken sayı doğrusu üzerindeki konumları dikkate alınır. Sağda bulunan sayı, solda bulunandan büyüktür.

Pozitif bir rasyonel sayı, her zaman negatif bir rasyonel sayıdan büyüktür. Ayrıca her pozitif rasyonel sayı sıfırdan büyüktür.

Örneğin $-\frac{1}{2}<0<\frac{1}{2}$ sıralaması her zaman doğrudur.

4) Aynı işaretli rasyonel sayıların sıralanması

İki rasyonel sayı da pozitifse, sayı doğrusunda daha sağda olan sayı daha büyüktür.

İki rasyonel sayı da negatifse, sıfıra daha yakın olan sayı daha büyüktür.

Bu nedenle $-\frac{1}{3}>-\frac{2}{3}$ eşitsizliği doğrudur.

5) Farklı işaretli rasyonel sayıların sıralanması

Biri pozitif, diğeri negatif olan iki rasyonel sayıdan pozitif olan her zaman daha büyüktür.

Bu yüzden $-\frac{7}{8}<\frac{1}{8}$ ifadesi her zaman doğrudur.

Bir sonraki sayfada rasyonel sayıların eşitliği ile genişletme ve sadeleştirme mantığı ele alınacaktır.

Rasyonel Sayılar

3. Sayfa: Rasyonel sayıların eşitliği

1) Rasyonel sayıların eşitliği

İki rasyonel sayı, sayı doğrusunda aynı noktaya karşılık geliyorsa bu sayılar birbirine eşittir.

Bu durum, kesirlerin farklı yazılmasına rağmen aynı değeri temsil edebilmesiyle ortaya çıkar.

Örneğin $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$ eşitliği doğrudur. Çünkü her iki kesir de sayı doğrusunda aynı noktayı gösterir.

2) Genişletme kavramı

Bir rasyonel sayının payı ve paydası aynı sıfırdan farklı sayı ile çarpılırsa, kesrin değeri değişmez. Bu işleme genişletme denir.

Genişletme işlemi, rasyonel sayının değerini büyütmez ya da küçültmez, sadece yazılış biçimini değiştirir.

Örnek: $\frac{3}{5}=\frac{6}{10}$

Burada pay ve payda 2 ile çarpılmıştır. Sonuçta elde edilen kesir, ilk kesirle tamamen aynı değere sahiptir.

3) Sadeleştirme kavramı

Pay ve paydanın ortak böleni varsa, her ikisi de bu ortak bölenle bölünebilir. Bu işleme sadeleştirme denir.

Sadeleştirme işlemi de rasyonel sayının değerini değiştirmez. Ama kesir daha basit bir hâle gelir.

Örnek: $\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$

Çünkü 8 ve 12 sayılarının ortak böleni 4’tür. Her ikisi de 4’e bölünerek daha sade bir kesir elde edilir.

4) Eşit rasyonel sayıların genel kuralı

Pay ve paydası aynı oranda değişen tüm kesirler aynı rasyonel sayıyı temsil eder.

Bu nedenle bir rasyonel sayının sonsuz tane farklı kesir gösterimi vardır.

Bir sonraki sayfada rasyonel sayıların toplama ve çıkarma işlemleri adım adım ele alınacaktır.

Rasyonel Sayılar

4. Sayfa: Rasyonel sayılarda toplama

1) Rasyonel sayılarda toplama işlemi

Rasyonel sayılarda toplama işlemi yapılırken kesirlerin paydalarına dikkat edilir. Paydalar eşitse işlem daha kolaydır.

2) Paydaları eşit olan rasyonel sayıların toplanması

Paydaları eşit olan iki rasyonel sayı toplanırken paylar kendi aralarında toplanır, payda aynen korunur.

Örnek: $\frac{2}{7}+\frac{3}{7}=\frac{5}{7}$

Burada paydalar aynı olduğu için sadece paylar toplanmıştır.

3) Farklı işaretli rasyonel sayıların toplanması

İşaretleri farklı olan rasyonel sayılar toplanırken, mutlak değeri büyük olan sayının işareti sonuca yazılır.

Örnek: $-\frac{3}{5}+\frac{1}{5}=-\frac{2}{5}$

Çünkü negatif sayının mutlak değeri daha büyüktür.

4) Paydaları farklı rasyonel sayıların toplanması

Paydaları farklı olan rasyonel sayılar toplanmadan önce paydalar eşitlenmelidir. Bunun için paydaların ortak bir katı seçilir.

Paydalar eşitlendikten sonra toplama işlemi, paydalar eşitmiş gibi yapılır.

Örnek: $\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=\frac{3}{6}$

Sonuç sadeleştirildiğinde daha basit bir kesir elde edilebilir.

Bir sonraki sayfada rasyonel sayılarda çıkarma işlemi ayrıntılı olarak incelenecektir.

Rasyonel Sayılar

5. Sayfa: Rasyonel sayılarda çıkarma

1) Rasyonel sayılarda çıkarma işlemi

Rasyonel sayılarda çıkarma işlemi, çıkarılacak sayının işaretinin değiştirilip toplama işlemi yapılmasıyla gerçekleştirilir.

Yani bir rasyonel sayıdan başka bir rasyonel sayı çıkarmak, o sayının ters işaretlisi ile toplamaktır.

2) Aynı paydalı rasyonel sayıların çıkarılması

Paydaları eşit olan iki rasyonel sayı çıkarılırken paylar kendi aralarında çıkarılır, payda aynen korunur.

Örnek: $\frac{5}{9}-\frac{2}{9}=\frac{3}{9}$

Paydalar eşit olduğu için işlem sadece paylar arasında yapılmıştır.

3) Çıkarma işlemini toplama şeklinde düşünme

Çıkarma işlemi, çıkarılacak sayının işareti değiştirilerek toplama işlemine dönüştürülebilir.

Örneğin $\frac{1}{4}-\frac{3}{4}$ işlemi, $\frac{1}{4}+-\frac{3}{4}$ şeklinde düşünülebilir.

4) Farklı paydalı rasyonel sayıların çıkarılması

Paydaları farklı olan rasyonel sayılar çıkarılırken önce paydalar eşitlenir. Daha sonra çıkarma işlemi yapılır.

Örnek: $\frac{2}{3}-\frac{1}{6}=\frac{3}{6}$

Paydalar eşitlendikten sonra paylar çıkarılmıştır.

5) Çıkarma işlemiyle ilgili genel yorum

Rasyonel sayılarda çıkarma işlemi, doğru işaretlendirme yapıldığında toplama işlemiyle aynı kurallara dayanır.

Bir sonraki sayfada rasyonel sayılarda çarpma işlemi ayrıntılı olarak ele alınacaktır.