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Quadratische Gleichungen sicher lösen

Quadratische Gleichungen enthalten x² und können je nach Diskriminante zwei, eine doppelte oder keine reelle Lösung besitzen. Mit Faktorisieren, der pq-Formel oder der abc-Formel findest du die Nullstellen systematisch.

Auf dieser Seite übst du Normalform, Faktorisieren, Nullproduktregel, pq-Formel, Diskriminante, Sachaufgaben und die Verbindung zu Parabeln.

Die wichtigsten Regeln

  • Normalform: ax²+bx+c=0.
  • pq-Formel für x²+px+q=0: x1,2=−p/2±√((p/2)²−q).
  • Diskriminante: Δ=b²−4ac.
  • Δ>0 liefert zwei, Δ=0 eine doppelte und Δ<0 keine reelle Lösung.
  • Bei einem Produkt von Faktoren hilft die Nullproduktregel.

So löst du quadratische Gleichungen

  1. Bringe alle Terme auf eine Seite und ordne nach Potenzen.
  2. Wähle Faktorisieren, pq-Formel oder abc-Formel.
  3. Setze die Lösungen in die Ausgangsgleichung ein und prüfe die Anzahl der reellen Lösungen.

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Quadratische Gleichungen mit Lösungsformel online üben

Test 6 zu quadratischen Gleichungen mit 5 Aufgaben und verständlichen Lösungen.

Wähle pro Aufgabe eine Antwort aus. Öffne danach die Lösung, um Form, Verfahren und Probe zu prüfen.

5 Fragen
0/5 Fragen0 %
Richtig 0
Falsch 0
Offen 5
1. FrageMultiple Choice

Ein Rechteck hat Seitenlängen x und x+3 und die Fläche 40 cm². Welche positive Länge hat x?

Bitte wähle zuerst eine Antwort aus.

Richtige Antwort: D

Die richtige Antwort ist: x=5 cm.

  1. Quadratische Gleichung einordnen: Bringe die Gleichung möglichst in die Normalform ax²+bx+c=0 und prüfe, ob Faktorisieren, pq- oder abc-Formel passt.
  2. Lösungsverfahren anwenden: x(x+3)=40 führt zu x²+3x−40=0=(x−5)(x+8). Die positive Länge ist 5 cm.
  3. Lösungen prüfen: Das Ergebnis lautet x=5 cm.. Setze die gefundenen Werte in die Ausgangsgleichung ein und prüfe die Anzahl der Lösungen.

x(x+3)=40 führt zu x²+3x−40=0=(x−5)(x+8). Die positive Länge ist 5 cm.

2. FrageMultiple Choice

Ein Quadrat hat die Fläche 49 cm². Wie lang ist seine Seitenlänge?

Bitte wähle zuerst eine Antwort aus.

Richtige Antwort: C

Die richtige Antwort ist: 7 cm.

  1. Quadratische Gleichung einordnen: Bringe die Gleichung möglichst in die Normalform ax²+bx+c=0 und prüfe, ob Faktorisieren, pq- oder abc-Formel passt.
  2. Lösungsverfahren anwenden: Für ein Quadrat gilt a²=49. Eine Seitenlänge ist positiv, daher a=7 cm.
  3. Lösungen prüfen: Das Ergebnis lautet 7 cm.. Setze die gefundenen Werte in die Ausgangsgleichung ein und prüfe die Anzahl der Lösungen.

Für ein Quadrat gilt a²=49. Eine Seitenlänge ist positiv, daher a=7 cm.

3. FrageMultiple Choice

Das Produkt einer natürlichen Zahl und der folgenden Zahl ist 72. Welche natürliche Zahl ist die kleinere?

Bitte wähle zuerst eine Antwort aus.

Richtige Antwort: B

Die richtige Antwort ist: 8.

  1. Quadratische Gleichung einordnen: Bringe die Gleichung möglichst in die Normalform ax²+bx+c=0 und prüfe, ob Faktorisieren, pq- oder abc-Formel passt.
  2. Lösungsverfahren anwenden: x(x+1)=72. x²+x−72=(x−8)(x+9), daher ist die natürliche Lösung x=8.
  3. Lösungen prüfen: Das Ergebnis lautet 8.. Setze die gefundenen Werte in die Ausgangsgleichung ein und prüfe die Anzahl der Lösungen.

x(x+1)=72. x²+x−72=(x−8)(x+9), daher ist die natürliche Lösung x=8.

4. FrageMultiple Choice

Ein Rechteck hat die Seiten x und x+2 und die Fläche 48 cm². Wie groß ist die positive Seitenlänge x?

Bitte wähle zuerst eine Antwort aus.

Richtige Antwort: A

Die richtige Antwort ist: 6 cm.

  1. Quadratische Gleichung einordnen: Bringe die Gleichung möglichst in die Normalform ax²+bx+c=0 und prüfe, ob Faktorisieren, pq- oder abc-Formel passt.
  2. Lösungsverfahren anwenden: x(x+2)=48 führt zu x²+2x−48=0=(x−6)(x+8). Positiv ist x=6 cm.
  3. Lösungen prüfen: Das Ergebnis lautet 6 cm.. Setze die gefundenen Werte in die Ausgangsgleichung ein und prüfe die Anzahl der Lösungen.

x(x+2)=48 führt zu x²+2x−48=0=(x−6)(x+8). Positiv ist x=6 cm.

5. FrageMultiple Choice

Welche Gleichung beschreibt ein Quadrat mit Seitenlänge x und Fläche 81 cm²?

Bitte wähle zuerst eine Antwort aus.

Richtige Antwort: D

Die richtige Antwort ist: x²=81.

  1. Quadratische Gleichung einordnen: Bringe die Gleichung möglichst in die Normalform ax²+bx+c=0 und prüfe, ob Faktorisieren, pq- oder abc-Formel passt.
  2. Lösungsverfahren anwenden: Die Quadratfläche ist Seitenlänge zum Quadrat: A=x²=81.
  3. Lösungen prüfen: Das Ergebnis lautet x²=81.. Setze die gefundenen Werte in die Ausgangsgleichung ein und prüfe die Anzahl der Lösungen.

Die Quadratfläche ist Seitenlänge zum Quadrat: A=x²=81.

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Quadratische Gleichungen mit Lösungsformel FAQ

Wann verwendet man die pq-Formel?

Die pq-Formel gilt für die normierte Form x²+px+q=0. Ist der Koeffizient vor x² nicht 1, musst du zuerst durch ihn teilen oder die abc-Formel verwenden.

Was sagt die Diskriminante aus?

Bei Δ>0 gibt es zwei reelle Lösungen, bei Δ=0 eine doppelte Lösung und bei Δ<0 keine reelle Lösung.

Warum gibt es bei x²=25 zwei Lösungen?

Sowohl 5² als auch (−5)² ergeben 25. Deshalb gilt bei positiven Quadraten x=±√25.