9. Sınıf Matematik

9. Sınıf Matematik Mantik Testleri

Mantık konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

9. Sınıf Mantık Testleri

Mantık testleri; önerme kavramını, doğruluk değerlerini, ve, veya, değil bağlaçlarını, koşullu önermeleri ve denk önermeleri pekiştirir. Sorularda doğruluk tablosu kurmak hataları azaltır.

Önerme ve Bağlaçlar

Doğru ya da yanlış kesin hüküm bildiren ifadelere önerme denir. Değil bağlacı doğruluk değerini tersine çevirir; ve bağlacı iki önerme de doğruyken doğru olur; veya bağlacı en az bir önerme doğruyken doğrudur.

Koşullu Önermeler

p ise q biçimindeki koşullu önermelerde yalnız p doğru, q yanlış olduğunda önerme yanlıştır. Denk önermeleri anlamak için doğruluk değerlerini karşılaştırmak gerekir.

Test seç

6 Test

1. Test 2. Test 3. Test 4. Test 5. Test 6. Test

5. Test

9. Sınıf Matematik Mantik Testleri

Mantık konusu 5. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru

0/10 Soru0 %

Doğru 0

Yanlış 0

Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki önermeye denk olan ifade hangisidir?
$\neg (p \to q)$

Lütfen önce bir cevap seç.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki ifadelerden hangisi
$\neg (p \leftrightarrow q)$
ifadesi ile mantıksal olarak denktir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

1) Doğru şık kontrolü İfade, iki önermenin denkliğinin değili olduğundan, doğru cevap D74 olmalıdır. Aşağıda mantıksal eşdeğerliklerle gösterelim. 2) Başlangıç ifadesi ¬ ( p ↔ q ) 3) Çift yönlü koşulun tanımı p ↔ q ≡ ( p → q ) ∧ ( q → p ) Buradan, D şıkkındaki ifadenin p ↔ q ile denk olduğu görülür. 4) Yerine yazma ¬ ( p ↔ q ) ≡ ¬ ( ( p → q ) ∧ ( q → p ) ) 5) De Morgan kuralı ¬ ( A ∧ B ) ≡ ( ¬ A ) ∨ ( ¬ B ) Bu kuralı uygularsak: ¬ ( ( p → q ) ∧ ( q → p ) ) ≡ ¬ ( p → q ) ∨ ¬ ( q → p ) 6) Koşullu önermeyi açma ve değilleme ( p → q ) ≡ ( ¬ p ∨ q ) ¬ ( p → q ) ≡ ¬ ( ¬ p ∨ q ) ≡ ( p ∧ ¬ q ) ¬ ( q → p ) ≡ ¬ ( ¬ q ∨ p ) ≡ ( q ∧ ¬ p ) 7) Sonuç (birleştirme) ¬ ( p ↔ q ) ≡ ( p ∧ ¬ q ) ∨ ( ¬ p ∧ q ) Bu ifade şıkkıD707yla aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap D737.

Çözüm: 1) Doğru şık kontrolü İfade, iki önermenin denkliğinin değili olduğundan, doğru cevap D74 olmalıdır. Aşağıda mantıksal eşdeğerliklerle gösterelim. 2) Başlangıç ifadesi ¬ ( p ↔ q ) 3) Çift yönlü koşulun tanımı p ↔ q ≡ ( p → q ) ∧ ( q → p ) Buradan, D şıkkındaki ifadenin p ↔ q ile denk olduğu görülür. 4) Yerine yazma ¬ ( p ↔ q ) ≡ ¬ ( ( p → q ) ∧ ( q → p ) ) 5) De Morgan kuralı ¬ ( A ∧ B ) ≡ ( ¬ A ) ∨ ( ¬ B ) Bu kuralı uygularsak: ¬ ( ( p → q ) ∧ ( q → p ) ) ≡ ¬ ( p → q ) ∨ ¬ ( q → p ) 6) Koşullu önermeyi açma ve değilleme ( p → q ) ≡ ( ¬ p ∨ q ) ¬ ( p → q ) ≡ ¬ ( ¬ p ∨ q ) ≡ ( p ∧ ¬ q ) ¬ ( q → p ) ≡ ¬ ( ¬ q ∨ p ) ≡ ( q ∧ ¬ p ) 7) Sonuç (birleştirme) ¬ ( p ↔ q ) ≡ ( p ∧ ¬ q ) ∨ ( ¬ p ∧ q ) Bu ifade şıkkıD707yla aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap D737.

1) Doğru şık kontrolü

İfade, iki önermenin denkliğinin değili olduğundan, doğru cevap A olmalıdır. Aşağıda mantıksal eşdeğerliklerle gösterelim.

2) Başlangıç ifadesi

\neg (p \leftrightarrow q)

3) Çift yönlü koşulun tanımı

p \leftrightarrow q \equiv (p \to q) \land (q \to p)

Buradan, D şıkkındaki ifadenin

p \leftrightarrow q

ile denk olduğu görülür.

4) Yerine yazma

\neg (p \leftrightarrow q) \equiv \neg ((p \to q) \land (q \to p))

5) De Morgan kuralı

\neg (A \land B) \equiv (\neg A) \lor (\neg B)

Bu kuralı uygularsak:

\neg ((p \to q) \land (q \to p)) \equiv \neg (p \to q) \lor \neg (q \to p)

6) Koşullu önermeyi açma ve değilleme

(p \to q) \equiv (\neg p \lor q)

\neg (p \to q) \equiv \neg (\neg p \lor q) \equiv (p \land \neg q)

\neg (q \to p) \equiv \neg (\neg q \lor p) \equiv (q \land \neg p)

7) Sonuç (birleştirme)

\neg (p \leftrightarrow q) \equiv (p \land \neg q) \lor (\neg p \land q)

Bu ifade A şıkkıyla aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap A.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdakilerden hangisi $p \to q$ önermesine denktir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

1) Kontrol: Verilen koşullu önerme, mantıkta eşdeğerlik dönüşümüyle “ancak ve ancak” şu biçime indirgenir: Önermenin doğru olmaması durumu sadece öncül doğru iken sonuç yanlış olduğunda gerçekleşir. Bu nedenle doğru seçenek A’dır. 2) Koşullu önermenin tanımıyla başlayalım. Koşullu önerme, yalnızca aşağıdaki durumda yanlıştır: p = D, q = Y 3) Bir önerme, “yalnızca şu durumda yanlış” ise; onunla aynı doğruluk tablosuna sahip eşdeğer ifade, bu “yanlışlık durumunun değili” şeklinde yazılabilir. Yanlışlık durumu “öncül doğru ve sonuç yanlış” olduğuna göre: ¬ ( p ∧ ¬ q ) 4) Şimdi De Morgan kuralını uygulayalım. Bir “ve” bağlacının değili, “değillerin veya’sı” olur: ¬ ( p ∧ ¬ q ) ≡ ( ¬ p ) ∨ ( ¬ ( ¬ q ) ) 5) Çift değillemeyi sadeleştirelim: ¬ p ∨ q 6) Bu ifade şıklardan A seçeneğiyle aynıdır: ¬ p ∨ q Sonuç: Doğru cevap A’dır.

Çözüm: 1) Kontrol: Verilen koşullu önerme, mantıkta eşdeğerlik dönüşümüyle “ancak ve ancak” şu biçime indirgenir: Önermenin doğru olmaması durumu sadece öncül doğru iken sonuç yanlış olduğunda gerçekleşir. Bu nedenle doğru seçenek A’dır. 2) Koşullu önermenin tanımıyla başlayalım. Koşullu önerme, yalnızca aşağıdaki durumda yanlıştır: p = D, q = Y 3) Bir önerme, “yalnızca şu durumda yanlış” ise; onunla aynı doğruluk tablosuna sahip eşdeğer ifade, bu “yanlışlık durumunun değili” şeklinde yazılabilir. Yanlışlık durumu “öncül doğru ve sonuç yanlış” olduğuna göre: ¬ ( p ∧ ¬ q ) 4) Şimdi De Morgan kuralını uygulayalım. Bir “ve” bağlacının değili, “değillerin veya’sı” olur: ¬ ( p ∧ ¬ q ) ≡ ( ¬ p ) ∨ ( ¬ ( ¬ q ) ) 5) Çift değillemeyi sadeleştirelim: ¬ p ∨ q 6) Bu ifade şıklardan A seçeneğiyle aynıdır: ¬ p ∨ q Sonuç: Doğru cevap A’dır.

2) Koşullu önermenin tanımıyla başlayalım. Koşullu önerme, yalnızca aşağıdaki durumda yanlıştır:

p = D, q = Y

3) Bir önerme, “yalnızca şu durumda yanlış” ise; onunla aynı doğruluk tablosuna sahip eşdeğer ifade, bu “yanlışlık durumunun değili” şeklinde yazılabilir. Yanlışlık durumu “öncül doğru ve sonuç yanlış” olduğuna göre:

\neg (p \land \neg q)

4) Şimdi De Morgan kuralını uygulayalım. Bir “ve” bağlacının değili, “değillerin veya’sı” olur:

\neg (p \land \neg q) \equiv (\neg p) \lor (\neg (\neg q))

5) Çift değillemeyi sadeleştirelim:

\neg p \lor q

6) Bu ifade şıklardan A seçeneğiyle aynıdır:

\neg p \lor q

Sonuç: Doğru cevap A’dır.

4. SoruÇoktan Seçmeli

$p$ ve $q$ önermeleri için aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi bir çelişkidir (her durumda yanlıştır)?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Soru, hangi bileşik önermenin her durumda yanlış (çelişki) olduğunu soruyor. Şık A’nın çelişki olup olmadığını denetleyelim. Şık A ifadesi: ( p ∨ q ) ∧ ( ¬ p ∧ ¬ q ) İkinci parantezdeki kısmı De Morgan kuralıyla dönüştürelim: ( ¬ p ∧ ¬ q ) ≡ ¬ ( p ∨ q ) Bu eşdeğerliği Şık A’da yerine yazalım: ( p ∨ q ) ∧ ¬ ( p ∨ q ) Bir önerme ile onun değili aynı anda doğru olamaz. Bu yapı her zaman yanlıştır: r ∧ ¬ r ≡ F Burada r = ( p ∨ q ) olduğundan Şık A kesinlikle çelişkidir. Dolayısıyla “doğru cevap B484 mı?” kontrolü: Evet, doğrudur. Kısa kontrol (diğer şıkların neden çelişki olmadığı): Şık B’de en az bir yönlü çıkarım her durumda doğrudur; bu yüzden her zaman yanlış olamaz: ( p → q ) ∨ ( q → p ) Şık C bir totolojidir (her durumda doğru): ( p ∧ q ) → p Şık D ise iki taraf eşdeğer olduğu için çelişki olamaz (bazı durumlarda doğru, bazı durumlarda yanlış): ( p ↔ q ) ≡ ( ¬ p ↔ ¬ q ) Sonuç: Çelişki olan ifade Şık A’dır.

Çözüm: Soru, hangi bileşik önermenin her durumda yanlış (çelişki) olduğunu soruyor. Şık A’nın çelişki olup olmadığını denetleyelim. Şık A ifadesi: ( p ∨ q ) ∧ ( ¬ p ∧ ¬ q ) İkinci parantezdeki kısmı De Morgan kuralıyla dönüştürelim: ( ¬ p ∧ ¬ q ) ≡ ¬ ( p ∨ q ) Bu eşdeğerliği Şık A’da yerine yazalım: ( p ∨ q ) ∧ ¬ ( p ∨ q ) Bir önerme ile onun değili aynı anda doğru olamaz. Bu yapı her zaman yanlıştır: r ∧ ¬ r ≡ F Burada r = ( p ∨ q ) olduğundan Şık A kesinlikle çelişkidir. Dolayısıyla “doğru cevap B484 mı?” kontrolü: Evet, doğrudur. Kısa kontrol (diğer şıkların neden çelişki olmadığı): Şık B’de en az bir yönlü çıkarım her durumda doğrudur; bu yüzden her zaman yanlış olamaz: ( p → q ) ∨ ( q → p ) Şık C bir totolojidir (her durumda doğru): ( p ∧ q ) → p Şık D ise iki taraf eşdeğer olduğu için çelişki olamaz (bazı durumlarda doğru, bazı durumlarda yanlış): ( p ↔ q ) ≡ ( ¬ p ↔ ¬ q ) Sonuç: Çelişki olan ifade Şık A’dır.

Soru, hangi bileşik önermenin her durumda yanlış (çelişki) olduğunu soruyor. Şık A’nın çelişki olup olmadığını denetleyelim.

Şık A ifadesi:

(p \lor q) \land (\neg p \land \neg q)

İkinci parantezdeki kısmı De Morgan kuralıyla dönüştürelim:

(\neg p \land \neg q) \equiv \neg (p \lor q)

Bu eşdeğerliği Şık A’da yerine yazalım:

(p \lor q) \land \neg (p \lor q)

Bir önerme ile onun değili aynı anda doğru olamaz. Bu yapı her zaman yanlıştır:

r \land \neg r \equiv F

Burada

r = (p \lor q)

olduğundan Şık A kesinlikle çelişkidir. Dolayısıyla “doğru cevap B1947 mı?” kontrolü: Evet, doğrudur.

Kısa kontrol (diğer şıkların neden çelişki olmadığı):

Şık B’de en az bir yönlü çıkarım her durumda doğrudur; bu yüzden her zaman yanlış olamaz:

(p \to q) \lor (q \to p)

Şık C bir totolojidir (her durumda doğru):

(p \land q) \to p

Şık D ise iki taraf eşdeğer olduğu için çelişki olamaz (bazı durumlarda doğru, bazı durumlarda yanlış):

(p \leftrightarrow q) \equiv (\neg p \leftrightarrow \neg q)

Sonuç: Çelişki olan ifade Şık A’dır.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki bileşik önerme ile mantıksal olarak denk olan seçenek hangisidir?
$((p \to q) \land (q \to r) \land \neg r)$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Verilen bileşik önerme aşağıdaki gibidir: ( ( p → q ) ∧ ( q → r ) ∧ ¬ r ) İlk adım olarak, koşullu önermeyi açalım: ( ( ( ¬ p ∨ q ) ∧ ( ¬ q ∨ r ) ∧ ¬ r ) ) Şimdi ikinci parantezi, üçüncü terimdeki değilleme ile birlikte sadeleştirelim (dağıtma özelliği): ( ( ¬ q ∨ r ) ∧ ¬ r ) = ( ( ¬ q ∧ ¬ r ) ∨ ( r ∧ ¬ r ) ) = ¬ q ∧ ¬ r Bu sadeleştirmeyi tüm ifadeye yerleştirelim: ( ( ¬ p ∨ q ) ∧ ¬ q ∧ ¬ r ) Şimdi ilk parantezi, yanındaki değilleme ile sadeleştirelim (yine dağıtma ile): ( ( ¬ p ∨ q ) ∧ ¬ q ) = ( ( ¬ p ∧ ¬ q ) ∨ ( q ∧ ¬ q ) ) = ¬ p ∧ ¬ q Sonuç olarak tüm ifade şu hale gelir: ¬ p ∧ ¬ q ∧ ¬ r Bu ifade seçeneklerle karşılaştırıldığında, verilen bileşik önerme ile mantıksal olarak denk olan seçenek şıkkıC704dır. Yani doğru cevap C721’dır.

Çözüm: Verilen bileşik önerme aşağıdaki gibidir: ( ( p → q ) ∧ ( q → r ) ∧ ¬ r ) İlk adım olarak, koşullu önermeyi açalım: ( ( ( ¬ p ∨ q ) ∧ ( ¬ q ∨ r ) ∧ ¬ r ) ) Şimdi ikinci parantezi, üçüncü terimdeki değilleme ile birlikte sadeleştirelim (dağıtma özelliği): ( ( ¬ q ∨ r ) ∧ ¬ r ) = ( ( ¬ q ∧ ¬ r ) ∨ ( r ∧ ¬ r ) ) = ¬ q ∧ ¬ r Bu sadeleştirmeyi tüm ifadeye yerleştirelim: ( ( ¬ p ∨ q ) ∧ ¬ q ∧ ¬ r ) Şimdi ilk parantezi, yanındaki değilleme ile sadeleştirelim (yine dağıtma ile): ( ( ¬ p ∨ q ) ∧ ¬ q ) = ( ( ¬ p ∧ ¬ q ) ∨ ( q ∧ ¬ q ) ) = ¬ p ∧ ¬ q Sonuç olarak tüm ifade şu hale gelir: ¬ p ∧ ¬ q ∧ ¬ r Bu ifade seçeneklerle karşılaştırıldığında, verilen bileşik önerme ile mantıksal olarak denk olan seçenek şıkkıC704dır. Yani doğru cevap C721’dır.

Verilen bileşik önerme aşağıdaki gibidir:

((p \to q) \land (q \to r) \land \neg r)

İlk adım olarak, koşullu önermeyi açalım:

(((\neg p \lor q) \land (\neg q \lor r) \land \neg r))

Şimdi ikinci parantezi, üçüncü terimdeki değilleme ile birlikte sadeleştirelim (dağıtma özelliği):

((\neg q \lor r) \land \neg r)

= ((\neg q \land \neg r) \lor (r \land \neg r))

= \neg q \land \neg r

Bu sadeleştirmeyi tüm ifadeye yerleştirelim:

((\neg p \lor q) \land \neg q \land \neg r)

Şimdi ilk parantezi, yanındaki değilleme ile sadeleştirelim (yine dağıtma ile):

((\neg p \lor q) \land \neg q)

= ((\neg p \land \neg q) \lor (q \land \neg q))

= \neg p \land \neg q

Sonuç olarak tüm ifade şu hale gelir:

\neg p \land \neg q \land \neg r

Bu ifade seçeneklerle karşılaştırıldığında, verilen bileşik önerme ile mantıksal olarak denk olan seçenek A şıkkıdır. Yani doğru cevap C3825’dır.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki ifadenin doğru olduğu biliniyor:
$(P \to Q) \land (Q \to R) \land \neg R$
Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Lütfen önce bir cevap seç.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki önermelerden hangisi totoloji değildir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

İstenen: Aşağıdaki önermelerden hangisi totoloji değildir? (Totoloji: her durumda doğru olan önerme) 1) A şıkkını kontrol edelim Önermeyi açalım: ( p → q ) ↔ ( ¬ q → ¬ p ) Bilinen eşdeğerlik: p → q ≡ ¬ p ∨ q Benzer şekilde: ¬ q → ¬ p ≡ ¬ ( ¬ q ) ∨ ¬ p ≡ q ∨ ¬ p Böylece iki taraf da aynı ifadeye (sadece yer değiştirmiş hâline) dönüşür: ¬ p ∨ q ↔ q ∨ ¬ p Bu nedenle A şıkkı totolojidir. 2) B şıkkını kontrol edelim ( ( ( p → q ) ∧ ( q → r ) ) → ( p → r ) ) Durum analiziyle gösterelim: Eğer p = F ise p → r zaten doğrudur; dolayısıyla tüm ifade doğru olur. Eğer p = T ise ve öncül doğru kabul edilirse p → q ∧ q → r buradan sırasıyla q = T ve r = T olur. Böylece p → r doğru çıkar. O hâlde B şıkkı totolojidir. 3) D şıkkını kontrol edelim ¬ ( p ∧ q ) ↔ ( ¬ p ∨ ¬ q ) Bu, De Morgan kuralıdır ve her zaman doğrudur. D şıkkı totolojidir. 4) şıkkıA838nı kontrol edelim (totoloji değil mi?) ( p ∨ q ) → ( p ∧ q ) Totoloji olmadığını göstermek için tek bir karşı örnek yeterlidir. Şu değerleri seçelim: p = T, q = F Bu durumda: p ∨ q = T ∨ F = T p ∧ q = T ∧ F = F Dolayısıyla: ( p ∨ q ) → ( p ∧ q ) = T → F = F Bir durumda yanlış çıktığı için şıkkıA1135 totoloji değildir. Sonuç Doğru cevap A1168 ’dir. (Yani “C mi?” kontrolü: Evet, C.)

Çözüm: İstenen: Aşağıdaki önermelerden hangisi totoloji değildir? (Totoloji: her durumda doğru olan önerme) 1) A şıkkını kontrol edelim Önermeyi açalım: ( p → q ) ↔ ( ¬ q → ¬ p ) Bilinen eşdeğerlik: p → q ≡ ¬ p ∨ q Benzer şekilde: ¬ q → ¬ p ≡ ¬ ( ¬ q ) ∨ ¬ p ≡ q ∨ ¬ p Böylece iki taraf da aynı ifadeye (sadece yer değiştirmiş hâline) dönüşür: ¬ p ∨ q ↔ q ∨ ¬ p Bu nedenle A şıkkı totolojidir. 2) B şıkkını kontrol edelim ( ( ( p → q ) ∧ ( q → r ) ) → ( p → r ) ) Durum analiziyle gösterelim: Eğer p = F ise p → r zaten doğrudur; dolayısıyla tüm ifade doğru olur. Eğer p = T ise ve öncül doğru kabul edilirse p → q ∧ q → r buradan sırasıyla q = T ve r = T olur. Böylece p → r doğru çıkar. O hâlde B şıkkı totolojidir. 3) D şıkkını kontrol edelim ¬ ( p ∧ q ) ↔ ( ¬ p ∨ ¬ q ) Bu, De Morgan kuralıdır ve her zaman doğrudur. D şıkkı totolojidir. 4) şıkkıA838nı kontrol edelim (totoloji değil mi?) ( p ∨ q ) → ( p ∧ q ) Totoloji olmadığını göstermek için tek bir karşı örnek yeterlidir. Şu değerleri seçelim: p = T, q = F Bu durumda: p ∨ q = T ∨ F = T p ∧ q = T ∧ F = F Dolayısıyla: ( p ∨ q ) → ( p ∧ q ) = T → F = F Bir durumda yanlış çıktığı için şıkkıA1135 totoloji değildir. Sonuç Doğru cevap A1168 ’dir. (Yani “C mi?” kontrolü: Evet, C.)

İstenen: Aşağıdaki önermelerden hangisi totoloji değildir? (Totoloji: her durumda doğru olan önerme)

1) A şıkkını kontrol edelim

Önermeyi açalım:

(p \to q) \leftrightarrow (\neg q \to \neg p)

Bilinen eşdeğerlik:

p \to q \equiv \neg p \lor q

Benzer şekilde:

\neg q \to \neg p \equiv \neg (\neg q) \lor \neg p \equiv q \lor \neg p

Böylece iki taraf da aynı ifadeye (sadece yer değiştirmiş hâline) dönüşür:

\neg p \lor q \leftrightarrow q \lor \neg p

Bu nedenle A şıkkı totolojidir.

2) B şıkkını kontrol edelim

(((p \to q) \land (q \to r)) \to (p \to r))

Durum analiziyle gösterelim:

Eğer

p = F

ise

p \to r

zaten doğrudur; dolayısıyla tüm ifade doğru olur.

Eğer

p = T

ise ve öncül doğru kabul edilirse

p \to q \land q \to r

buradan sırasıyla

q = T

r = T

olur. Böylece

p \to r

doğru çıkar. O hâlde B şıkkı totolojidir.

3) D şıkkını kontrol edelim

\neg (p \land q) \leftrightarrow (\neg p \lor \neg q)

Bu, De Morgan kuralıdır ve her zaman doğrudur. D şıkkı totolojidir.

4) şıkkıA3953nı kontrol edelim (totoloji değil mi?)

(p \lor q) \to (p \land q)

Totoloji olmadığını göstermek için tek bir karşı örnek yeterlidir. Şu değerleri seçelim:

p = T, q = F

Bu durumda:

p \lor q = T \lor F = T

p \land q = T \land F = F

Dolayısıyla:

(p \lor q) \to (p \land q) = T \to F = F

Bir durumda yanlış çıktığı için şıkkıA5330 totoloji değildir.

Sonuç

Doğru cevap C’dir. (Yani “C mi?” kontrolü: Evet, C.)

8. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi, $p$ ve $q$ önermeleri için her zaman yanlıştır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: B

Doğru cevabın A olup olmadığını kontrol edelim. şıkkıB48ndaki ifade: ¬ ( ( p → q ) ↔ ( ( ¬ q ) → ( ¬ p ) ) ) ) 1) Önce iki şartlı önermeyi aynı biçime dönüştürelim. Şartlı önerme açılımı: p → q ≡ ¬ p ∨ q 2) Karşıt-ters (kontrpozitif) tarafı da açalım: ( ¬ q ) → ( ¬ p ) ≡ ¬ ( ¬ q ) ∨ ( ¬ p ) ¬ ( ¬ q ) ∨ ( ¬ p ) ≡ q ∨ ¬ p q ∨ ¬ p ≡ ¬ p ∨ q 3) Böylece iki ifade aynı sonuca indirgeniyor: p → q ≡ ( ¬ q ) → ( ¬ p ) Bu yüzden aralarındaki çift yönlü koşul her zaman doğrudur: ( p → q ) ↔ ( ( ¬ q ) → ( ¬ p ) ) ≡ 1 4) şıkkıB513nda bunun değili alınmıştı. Doğru olan bir önermenin değili her zaman yanlıştır: ¬ ( ( p → q ) ↔ ( ( ¬ q ) → ( ¬ p ) ) ) ) ≡ 0 Sonuç: şıkkıB654ndaki bileşik önerme her zaman yanlıştır. Dolayısıyla doğru cevap B715 ’dır.

Çözüm: Doğru cevabın A olup olmadığını kontrol edelim. şıkkıB48ndaki ifade: ¬ ( ( p → q ) ↔ ( ( ¬ q ) → ( ¬ p ) ) ) ) 1) Önce iki şartlı önermeyi aynı biçime dönüştürelim. Şartlı önerme açılımı: p → q ≡ ¬ p ∨ q 2) Karşıt-ters (kontrpozitif) tarafı da açalım: ( ¬ q ) → ( ¬ p ) ≡ ¬ ( ¬ q ) ∨ ( ¬ p ) ¬ ( ¬ q ) ∨ ( ¬ p ) ≡ q ∨ ¬ p q ∨ ¬ p ≡ ¬ p ∨ q 3) Böylece iki ifade aynı sonuca indirgeniyor: p → q ≡ ( ¬ q ) → ( ¬ p ) Bu yüzden aralarındaki çift yönlü koşul her zaman doğrudur: ( p → q ) ↔ ( ( ¬ q ) → ( ¬ p ) ) ≡ 1 4) şıkkıB513nda bunun değili alınmıştı. Doğru olan bir önermenin değili her zaman yanlıştır: ¬ ( ( p → q ) ↔ ( ( ¬ q ) → ( ¬ p ) ) ) ) ≡ 0 Sonuç: şıkkıB654ndaki bileşik önerme her zaman yanlıştır. Dolayısıyla doğru cevap B715 ’dır.

Doğru cevabın A olup olmadığını kontrol edelim. şıkkıB135ndaki ifade:

\neg ((p \to q) \leftrightarrow ((\neg q) \to (\neg p))))

1) Önce iki şartlı önermeyi aynı biçime dönüştürelim. Şartlı önerme açılımı:

p \to q \equiv \neg p \lor q

2) Karşıt-ters (kontrpozitif) tarafı da açalım:

(\neg q) \to (\neg p) \equiv \neg (\neg q) \lor (\neg p)

\neg (\neg q) \lor (\neg p) \equiv q \lor \neg p

q \lor \neg p \equiv \neg p \lor q

3) Böylece iki ifade aynı sonuca indirgeniyor:

p \to q \equiv (\neg q) \to (\neg p)

Bu yüzden aralarındaki çift yönlü koşul her zaman doğrudur:

(p \to q) \leftrightarrow ((\neg q) \to (\neg p)) \equiv 1

4) şıkkıB2461nda bunun değili alınmıştı. Doğru olan bir önermenin değili her zaman yanlıştır:

\neg ((p \to q) \leftrightarrow ((\neg q) \to (\neg p)))) \equiv 0

Sonuç: şıkkıB3001ndaki bileşik önerme her zaman yanlıştır. Dolayısıyla doğru cevap A’dır.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki seçeneklerden hangisi
$\neg ((p \lor q) \to (r \land \neg p))$
önermesi ile mantıksal olarak denktir?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Önce verilen önermeyi düzenleyelim: ¬ ( ( p ∨ q ) → ( r ∧ ¬ p ) ) ) İçeride bir koşullu önerme var. Kural: ¬ ( A → B ) ≡ A ∧ ¬ B Burada A = ( p ∨ q ) B = ( r ∧ ¬ p ) O halde: ¬ ( ( p ∨ q ) → ( r ∧ ¬ p ) ) ) ≡ ( p ∨ q ) ∧ ¬ ( r ∧ ¬ p ) Şimdi De Morgan kuralını uygulayalım. Kural: ¬ ( X ∧ Y ) ≡ ( ¬ X ∨ ¬ Y ) Burada X = r Y = ¬ p Bu yüzden: ¬ ( r ∧ ¬ p ) ≡ ( ¬ r ∨ ¬ ( ¬ p ) ) Çift değilleme: ¬ ( ¬ p ) ≡ p Dolayısıyla ifade şuna dönüşür: ( p ∨ q ) ∧ ( ¬ r ∨ p ) Şimdi sıralamayı değiştirip (değişme özelliği) ikinci parantezi şöyle yazalım: ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ ¬ r ) dağıtma/soğurma tipinde bilinen özdeşlik: ( A ∨ B ) ∧ ( A ∨ C ) ≡ A ∨ ( B ∧ C ) Burada A = p B = q C = ¬ r Uygularsak: ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ ¬ r ) ≡ p ∨ ( q ∧ ¬ r ) Bu sonuç seçenek A ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap C770’dır.

Çözüm: Önce verilen önermeyi düzenleyelim: ¬ ( ( p ∨ q ) → ( r ∧ ¬ p ) ) ) İçeride bir koşullu önerme var. Kural: ¬ ( A → B ) ≡ A ∧ ¬ B Burada A = ( p ∨ q ) B = ( r ∧ ¬ p ) O halde: ¬ ( ( p ∨ q ) → ( r ∧ ¬ p ) ) ) ≡ ( p ∨ q ) ∧ ¬ ( r ∧ ¬ p ) Şimdi De Morgan kuralını uygulayalım. Kural: ¬ ( X ∧ Y ) ≡ ( ¬ X ∨ ¬ Y ) Burada X = r Y = ¬ p Bu yüzden: ¬ ( r ∧ ¬ p ) ≡ ( ¬ r ∨ ¬ ( ¬ p ) ) Çift değilleme: ¬ ( ¬ p ) ≡ p Dolayısıyla ifade şuna dönüşür: ( p ∨ q ) ∧ ( ¬ r ∨ p ) Şimdi sıralamayı değiştirip (değişme özelliği) ikinci parantezi şöyle yazalım: ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ ¬ r ) dağıtma/soğurma tipinde bilinen özdeşlik: ( A ∨ B ) ∧ ( A ∨ C ) ≡ A ∨ ( B ∧ C ) Burada A = p B = q C = ¬ r Uygularsak: ( p ∨ q ) ∧ ( p ∨ ¬ r ) ≡ p ∨ ( q ∧ ¬ r ) Bu sonuç seçenek A ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap C770’dır.

Önce verilen önermeyi düzenleyelim:

$\neg ((p \lor q) \to (r \land \neg p)))$

İçeride bir koşullu önerme var. Kural:

$\neg (A \to B) \equiv A \land \neg B$

Burada

$A = (p \lor q)$

$B = (r \land \neg p)$

O halde:

$\neg ((p \lor q) \to (r \land \neg p))) \equiv (p \lor q) \land \neg (r \land \neg p)$

Şimdi De Morgan kuralını uygulayalım. Kural:

$\neg (X \land Y) \equiv (\neg X \lor \neg Y)$

Burada

$X = r$

$Y = \neg p$

Bu yüzden:

$\neg (r \land \neg p) \equiv (\neg r \lor \neg (\neg p))$

Çift değilleme:

$\neg (\neg p) \equiv p$

Dolayısıyla ifade şuna dönüşür:

$(p \lor q) \land (\neg r \lor p)$

Şimdi sıralamayı değiştirip (değişme özelliği) ikinci parantezi şöyle yazalım:

$(p \lor q) \land (p \lor \neg r)$

dağıtma/soğurma tipinde bilinen özdeşlik:

$(A \lor B) \land (A \lor C) \equiv A \lor (B \land C)$

Burada

$A = p$

$B = q$

$C = \neg r$

Uygularsak:

$(p \lor q) \land (p \lor \neg r) \equiv p \lor (q \land \neg r)$

Bu sonuç seçenek A ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap C4597’dır.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki önermelerden hangisi her durumda doğrudur (totolojidir)?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Soru: Hangi önerme her durumda doğrudur (totolojidir)? Şık A’yı inceleyelim: ( ( ( p → q ) ∧ ( q → r ) ) → ( p → r ) ) İlk adım: İse (→) bağlacını kaldırmak için eşdeğerliği kullanalım. ( a → b ) ↔ ( ¬ a ∨ b ) Bu dönüşümü A’daki her “→” için uygulayalım. Önce iç kısımlar: ( p → q ) ↔ ( ¬ p ∨ q ) ( q → r ) ↔ ( ¬ q ∨ r ) ( p → r ) ↔ ( ¬ p ∨ r ) Dolayısıyla A ifadesi şu biçime eşdeğerdir: ( ( ( ¬ p ∨ q ) ∧ ( ¬ q ∨ r ) ) → ( ¬ p ∨ r ) ) Şimdi dıştaki “→” bağlacını da kaldıralım: ( X → Y ) ↔ ( ¬ X ∨ Y ) ( ¬ ( ( ¬ p ∨ q ) ∧ ( ¬ q ∨ r ) ) ) ∨ ( ¬ p ∨ r ) ) De Morgan kuralını uygulayalım: ¬ ( A ∧ B ) ↔ ( ¬ A ∨ ¬ B ) ¬ ( ¬ p ∨ q ) ∨ ¬ ( ¬ q ∨ r ) ∨ ( ¬ p ∨ r ) Parantez içindeki olumsuzlukları da açalım: ¬ ( A ∨ B ) ↔ ( ¬ A ∧ ¬ B ) ¬ ( ¬ p ∨ q ) ↔ ( p ∧ ¬ q ) ¬ ( ¬ q ∨ r ) ↔ ( q ∧ ¬ r ) Bunları yerine yazınca tüm ifade şu hale gelir: ( p ∧ ¬ q ) ∨ ( q ∧ ¬ r ) ∨ ¬ p ∨ r Şimdi sadeleştirelim. Önce ¬ p ∨ ( p ∧ ¬ q ) ifadesini dağıtalım: ( ¬ p ∨ p ) ∧ ( ¬ p ∨ ¬ q ) Burada ¬ p ∨ p her zaman doğrudur; dolayısıyla bu kısım ¬ p ∨ ¬ q olur. İfade şimdi şu biçime indirgenir: ¬ p ∨ ¬ q ∨ ( q ∧ ¬ r ) ∨ r Şimdi r ∨ ( q ∧ ¬ r ) kısmını sadeleştirelim: ( r ∨ q ) ∧ ( r ∨ ¬ r ) Burada r ∨ ¬ r her zaman doğrudur, dolayısıyla bu parça r ∨ q olur. O halde tüm ifade: ¬ p ∨ ¬ q ∨ ( r ∨ q ) olur. Burada ¬ q ∨ q her zaman doğru olduğundan, tüm ifade her zaman doğrudur (totolojidir). Sonuç: Doğru cevap D1379’dır. (Diğer şıklar her durumda doğru değildir.)

Çözüm: Soru: Hangi önerme her durumda doğrudur (totolojidir)? Şık A’yı inceleyelim: ( ( ( p → q ) ∧ ( q → r ) ) → ( p → r ) ) İlk adım: İse (→) bağlacını kaldırmak için eşdeğerliği kullanalım. ( a → b ) ↔ ( ¬ a ∨ b ) Bu dönüşümü A’daki her “→” için uygulayalım. Önce iç kısımlar: ( p → q ) ↔ ( ¬ p ∨ q ) ( q → r ) ↔ ( ¬ q ∨ r ) ( p → r ) ↔ ( ¬ p ∨ r ) Dolayısıyla A ifadesi şu biçime eşdeğerdir: ( ( ( ¬ p ∨ q ) ∧ ( ¬ q ∨ r ) ) → ( ¬ p ∨ r ) ) Şimdi dıştaki “→” bağlacını da kaldıralım: ( X → Y ) ↔ ( ¬ X ∨ Y ) ( ¬ ( ( ¬ p ∨ q ) ∧ ( ¬ q ∨ r ) ) ) ∨ ( ¬ p ∨ r ) ) De Morgan kuralını uygulayalım: ¬ ( A ∧ B ) ↔ ( ¬ A ∨ ¬ B ) ¬ ( ¬ p ∨ q ) ∨ ¬ ( ¬ q ∨ r ) ∨ ( ¬ p ∨ r ) Parantez içindeki olumsuzlukları da açalım: ¬ ( A ∨ B ) ↔ ( ¬ A ∧ ¬ B ) ¬ ( ¬ p ∨ q ) ↔ ( p ∧ ¬ q ) ¬ ( ¬ q ∨ r ) ↔ ( q ∧ ¬ r ) Bunları yerine yazınca tüm ifade şu hale gelir: ( p ∧ ¬ q ) ∨ ( q ∧ ¬ r ) ∨ ¬ p ∨ r Şimdi sadeleştirelim. Önce ¬ p ∨ ( p ∧ ¬ q ) ifadesini dağıtalım: ( ¬ p ∨ p ) ∧ ( ¬ p ∨ ¬ q ) Burada ¬ p ∨ p her zaman doğrudur; dolayısıyla bu kısım ¬ p ∨ ¬ q olur. İfade şimdi şu biçime indirgenir: ¬ p ∨ ¬ q ∨ ( q ∧ ¬ r ) ∨ r Şimdi r ∨ ( q ∧ ¬ r ) kısmını sadeleştirelim: ( r ∨ q ) ∧ ( r ∨ ¬ r ) Burada r ∨ ¬ r her zaman doğrudur, dolayısıyla bu parça r ∨ q olur. O halde tüm ifade: ¬ p ∨ ¬ q ∨ ( r ∨ q ) olur. Burada ¬ q ∨ q her zaman doğru olduğundan, tüm ifade her zaman doğrudur (totolojidir). Sonuç: Doğru cevap D1379’dır. (Diğer şıklar her durumda doğru değildir.)

Soru: Hangi önerme her durumda doğrudur (totolojidir)?

Şık A’yı inceleyelim:

(((p \to q) \land (q \to r)) \to (p \to r))

İlk adım: İse (→) bağlacını kaldırmak için eşdeğerliği kullanalım.

(a \to b) \leftrightarrow (\neg a \lor b)

Bu dönüşümü A’daki her “→” için uygulayalım. Önce iç kısımlar:

(p \to q) \leftrightarrow (\neg p \lor q)

(q \to r) \leftrightarrow (\neg q \lor r)

(p \to r) \leftrightarrow (\neg p \lor r)

Dolayısıyla A ifadesi şu biçime eşdeğerdir:

(((\neg p \lor q) \land (\neg q \lor r)) \to (\neg p \lor r))

Şimdi dıştaki “→” bağlacını da kaldıralım:

(X \to Y) \leftrightarrow (\neg X \lor Y)

(\neg ((\neg p \lor q) \land (\neg q \lor r))) \lor (\neg p \lor r))

De Morgan kuralını uygulayalım:

\neg (A \land B) \leftrightarrow (\neg A \lor \neg B)

\neg (\neg p \lor q) \lor \neg (\neg q \lor r) \lor (\neg p \lor r)

Parantez içindeki olumsuzlukları da açalım:

\neg (A \lor B) \leftrightarrow (\neg A \land \neg B)

\neg (\neg p \lor q) \leftrightarrow (p \land \neg q)

\neg (\neg q \lor r) \leftrightarrow (q \land \neg r)

Bunları yerine yazınca tüm ifade şu hale gelir:

(p \land \neg q) \lor (q \land \neg r) \lor \neg p \lor r

Şimdi sadeleştirelim. Önce

\neg p \lor (p \land \neg q)

ifadesini dağıtalım:

(\neg p \lor p) \land (\neg p \lor \neg q)

Burada

\neg p \lor p

her zaman doğrudur; dolayısıyla bu kısım

\neg p \lor \neg q

olur.

İfade şimdi şu biçime indirgenir:

\neg p \lor \neg q \lor (q \land \neg r) \lor r

Şimdi

r \lor (q \land \neg r)

kısmını sadeleştirelim:

(r \lor q) \land (r \lor \neg r)

Burada

r \lor \neg r

her zaman doğrudur, dolayısıyla bu parça

r \lor q

olur.

O halde tüm ifade:

\neg p \lor \neg q \lor (r \lor q)

olur. Burada

\neg q \lor q

her zaman doğru olduğundan, tüm ifade her zaman doğrudur (totolojidir).

Sonuç: Doğru cevap D8384’dır. (Diğer şıklar her durumda doğru değildir.)

Mantık Testleri Hakkında Sık Sorulanlar

Önerme nedir?

Doğru veya yanlış kesin hüküm bildiren ifadedir.

ve bağlacı ne zaman doğrudur?

Bağlanan iki önerme de doğru olduğunda doğrudur.

Koşullu önerme ne zaman yanlıştır?

p doğru, q yanlış olduğunda p ise q önermesi yanlıştır.

9. Sınıf Matematik Mantik Testleri

9. Sınıf Mantık Testleri

Önerme ve Bağlaçlar

Koşullu Önermeler

9. Sınıf Matematik Mantik Testleri

Aşağıdaki önermeye denk olan ifade hangisidir?¬(p→q)

Aşağıdaki ifadelerden hangisi¬(p↔q)ifadesi ile mantıksal olarak denktir?

Aşağıdakilerden hangisi p→q önermesine denktir?

p ve q önermeleri için aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi bir çelişkidir (her durumda yanlıştır)?

Aşağıdaki bileşik önerme ile mantıksal olarak denk olan seçenek hangisidir?((p→q)∧(q→r)∧¬r)

Aşağıdaki ifadenin doğru olduğu biliniyor:(P→Q)∧(Q→R)∧¬RBuna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Aşağıdaki önermelerden hangisi totoloji değildir?

Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi, p ve q önermeleri için her zaman yanlıştır?

Aşağıdaki seçeneklerden hangisi¬((p∨q)→(r∧¬p))önermesi ile mantıksal olarak denktir?

Aşağıdaki önermelerden hangisi her durumda doğrudur (totolojidir)?

Mantık Testleri Hakkında Sık Sorulanlar

Aşağıdaki önermeye denk olan ifade hangisidir?
$\neg (p \to q)$

Aşağıdaki ifadelerden hangisi
$\neg (p \leftrightarrow q)$
ifadesi ile mantıksal olarak denktir?

Aşağıdakilerden hangisi $p \to q$ önermesine denktir?

$p$ ve $q$ önermeleri için aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi bir çelişkidir (her durumda yanlıştır)?

Aşağıdaki bileşik önerme ile mantıksal olarak denk olan seçenek hangisidir?
$((p \to q) \land (q \to r) \land \neg r)$

Aşağıdaki ifadenin doğru olduğu biliniyor:
$(P \to Q) \land (Q \to R) \land \neg R$
Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?

Aşağıdaki bileşik önermelerden hangisi, $p$ ve $q$ önermeleri için her zaman yanlıştır?

Aşağıdaki seçeneklerden hangisi
$\neg ((p \lor q) \to (r \land \neg p))$
önermesi ile mantıksal olarak denktir?