9. Sınıf Matematik Mantik Testleri

Doğru cevap: B

Verilen önerme: ¬ ( p ↔ q ) Önce çift yönlü koşulun açılımını yazalım: p ↔ q ≡ ( p → q ) ∧ ( q → p ) Bu eşdeğerliği verilen ifadenin içine koyup De Morgan uygulayalım: ¬ ( p ↔ q ) ≡ ¬ ( ( p → q ) ∧ ( q → p ) ) ≡ ¬ ( p → q ) ∨ ¬ ( q → p ) Şimdi koşullu önermenin değili kuralını kullanalım: ¬ ( p → q ) ≡ p ∧ ¬ q ¬ ( q → p ) ≡ q ∧ ¬ p Yerine yazıp (değişme özelliği ile) düzenleyelim: ¬ ( p ↔ q ) ≡ ( p ∧ ¬ q ) ∨ ( q ∧ ¬ p ) ≡ ( p ∧ ¬ q ) ∨ ( ¬ p ∧ q ) Sonuç: Elde edilen ifade şık A ile aynıdır. Doğru cevap B496.

1. Çözüm: Verilen önerme: ¬ ( p ↔ q ) Önce çift yönlü koşulun açılımını yazalım: p ↔ q ≡ ( p → q ) ∧ ( q → p ) Bu eşdeğerliği verilen ifadenin içine koyup De Morgan uygulayalım: ¬ ( p ↔ q ) ≡ ¬ ( ( p → q ) ∧ ( q → p ) ) ≡ ¬ ( p → q ) ∨ ¬ ( q → p ) Şimdi koşullu önermenin değili kuralını kullanalım: ¬ ( p → q ) ≡ p ∧ ¬ q ¬ ( q → p ) ≡ q ∧ ¬ p Yerine yazıp (değişme özelliği ile) düzenleyelim: ¬ ( p ↔ q ) ≡ ( p ∧ ¬ q ) ∨ ( q ∧ ¬ p ) ≡ ( p ∧ ¬ q ) ∨ ( ¬ p ∧ q ) Sonuç: Elde edilen ifade şık A ile aynıdır. Doğru cevap B496.

Doğru cevap: C

Verilen doğruluk değerleri: p = 1 q = 0 r = 1 İstenen önerme: ( p ∧ ¬ q ) → r 1. adım: Önce değillemeyi bulalım. ¬ q = ¬ 0 = 1 2. adım: Sonra parantez içindeki “ve” işlemini hesaplayalım. p ∧ ¬ q = 1 ∧ 1 = 1 3. adım: Şimdi koşullu önermeyi hesaplayalım. ( p ∧ ¬ q ) → r = 1 → 1 = 1 Sonuç: Önerme Doğru çıkar. Bu yüzden doğru seçenek C319 ’dır.

1. Çözüm: Verilen doğruluk değerleri: p = 1 q = 0 r = 1 İstenen önerme: ( p ∧ ¬ q ) → r 1. adım: Önce değillemeyi bulalım. ¬ q = ¬ 0 = 1 2. adım: Sonra parantez içindeki “ve” işlemini hesaplayalım. p ∧ ¬ q = 1 ∧ 1 = 1 3. adım: Şimdi koşullu önermeyi hesaplayalım. ( p ∧ ¬ q ) → r = 1 → 1 = 1 Sonuç: Önerme Doğru çıkar. Bu yüzden doğru seçenek C319 ’dır.

Doğru cevap: D

İncelenen ifade: ¬ ( P → ( Q ∧ R ) ) 1) Önce şartlı önermeyi açalım: P → ( Q ∧ R ) ≡ ¬ P ∨ ( Q ∧ R ) 2) Bunu ana ifadede yerine yazalım: ¬ ( P → ( Q ∧ R ) ) ≡ ¬ ( ¬ P ∨ ( Q ∧ R ) ) 3) De Morgan uygulayalım: ¬ ( ¬ P ∨ ( Q ∧ R ) ) ≡ ¬ ( ¬ P ) ∧ ¬ ( Q ∧ R ) 4) Çift değilleme ve tekrar De Morgan: ¬ ( ¬ P ) ∧ ¬ ( Q ∧ R ) ≡ P ∧ ( ¬ Q ∨ ¬ R ) Sonuç ifadesi: P ∧ ( ¬ Q ∨ ¬ R ) Bu ifade şıklar içinde A ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap D421 ve “A mı?” kontrolü: Evet.

1. Çözüm: İncelenen ifade: ¬ ( P → ( Q ∧ R ) ) 1) Önce şartlı önermeyi açalım: P → ( Q ∧ R ) ≡ ¬ P ∨ ( Q ∧ R ) 2) Bunu ana ifadede yerine yazalım: ¬ ( P → ( Q ∧ R ) ) ≡ ¬ ( ¬ P ∨ ( Q ∧ R ) ) 3) De Morgan uygulayalım: ¬ ( ¬ P ∨ ( Q ∧ R ) ) ≡ ¬ ( ¬ P ) ∧ ¬ ( Q ∧ R ) 4) Çift değilleme ve tekrar De Morgan: ¬ ( ¬ P ) ∧ ¬ ( Q ∧ R ) ≡ P ∧ ( ¬ Q ∨ ¬ R ) Sonuç ifadesi: P ∧ ( ¬ Q ∨ ¬ R ) Bu ifade şıklar içinde A ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap D421 ve “A mı?” kontrolü: Evet.

Doğru cevap: A

1) Önce doğru seçeneğin A olup olmadığını kontrol edelim. Bilinen mantık eşdeğeri: p → q ≡ ¬ p ∨ q Bu ifade, şıklardan A’daki önermedir. Yani doğru cevap A’dır. 2) Adım adım gerekçelendirelim: İmplikasyonun (çıkarımın) yanlış olduğu tek durum, öncül doğruyken sonucun yanlış olmasıdır: ( p doğru, q yanlış) 3) Aynı durumun ¬p ∨ q için de tek “yanlış” durum olup olmadığını kontrol edelim. Bir “veya” ifadesi ancak her iki tarafı da yanlışsa yanlıştır. Yani: ¬ p ∨ q ifadesi ancak ¬ p yanlış ve q yanlışken yanlıştır. 4) ¬p yanlış ise p doğrudur. Dolayısıyla “ ¬p ∨ q yanlıştır” durumu şu anlama gelir: p doğru ve q yanlış Bu da tam olarak p → q önermesinin yanlış olduğu tek durumdur. Yani iki önerme her durumda aynı doğruluk değerini alır. 5) İstersen doğruluk tablosu ile netleştirelim: p q p → q ¬ p ∨ q T T T T T F F F F T T T F F T T Sonuç: Tabloda iki sütun her satırda aynı olduğundan denk önerme A şıkkıdır.

1. Çözüm: 1) Önce doğru seçeneğin A olup olmadığını kontrol edelim. Bilinen mantık eşdeğeri: p → q ≡ ¬ p ∨ q Bu ifade, şıklardan A’daki önermedir. Yani doğru cevap A’dır. 2) Adım adım gerekçelendirelim: İmplikasyonun (çıkarımın) yanlış olduğu tek durum, öncül doğruyken sonucun yanlış olmasıdır: ( p doğru, q yanlış) 3) Aynı durumun ¬p ∨ q için de tek “yanlış” durum olup olmadığını kontrol edelim. Bir “veya” ifadesi ancak her iki tarafı da yanlışsa yanlıştır. Yani: ¬ p ∨ q ifadesi ancak ¬ p yanlış ve q yanlışken yanlıştır. 4) ¬p yanlış ise p doğrudur. Dolayısıyla “ ¬p ∨ q yanlıştır” durumu şu anlama gelir: p doğru ve q yanlış Bu da tam olarak p → q önermesinin yanlış olduğu tek durumdur. Yani iki önerme her durumda aynı doğruluk değerini alır. 5) İstersen doğruluk tablosu ile netleştirelim: p q p → q ¬ p ∨ q T T T T T F F F F T T T F F T T Sonuç: Tabloda iki sütun her satırda aynı olduğundan denk önerme A şıkkıdır.

Doğru cevap: B

Önce verilen önermeyi blok olarak yazalım: p → q Koşullu önermenin temel eşdeğerliği (yalnızca bir durumda yanlış olur) şu şekilde yazılır: p → q ≡ ¬ ( p ∧ ¬ q ) Parantez dışına olumsuzluğu dağıtalım (De Morgan): ¬ ( p ∧ ¬ q ) ≡ ¬ p ∨ ¬ ¬ q Çift olumsuzluğu sadeleştirelim: ¬ p ∨ q Sonuç olarak elde ettiğimiz ifade, şıklardan aşağıdakiyle aynıdır: ¬ p ∨ q Bu nedenle doğru cevap B368 şıkkıdır.

1. Çözüm: Önce verilen önermeyi blok olarak yazalım: p → q Koşullu önermenin temel eşdeğerliği (yalnızca bir durumda yanlış olur) şu şekilde yazılır: p → q ≡ ¬ ( p ∧ ¬ q ) Parantez dışına olumsuzluğu dağıtalım (De Morgan): ¬ ( p ∧ ¬ q ) ≡ ¬ p ∨ ¬ ¬ q Çift olumsuzluğu sadeleştirelim: ¬ p ∨ q Sonuç olarak elde ettiğimiz ifade, şıklardan aşağıdakiyle aynıdır: ¬ p ∨ q Bu nedenle doğru cevap B368 şıkkıdır.

Doğru cevap: C

Önermeyi iki parçaya ayıralım. Dış yapı bir koşullu önermedir. ( ( ( p → q ) ∧ ( ¬ p → r ) ) → ( q ∨ r ) ) Genel kural: Bir koşullu önermenin değili, ön kısmın doğru; sonuç kısmın yanlış olmasıdır. ¬ ( X → Y ) ≡ X ∧ ¬ Y Burada ön kısım ve sonuç kısmı şunlardır. X = ( ( p → q ) ∧ ( ¬ p → r ) ) Y = ( q ∨ r ) Kuralı uygularsak önermenin değili elde edilir. ¬ ( ( ( p → q ) ∧ ( ¬ p → r ) ) → ( q ∨ r ) ) = ( ( ( p → q ) ∧ ( ¬ p → r ) ) ∧ ¬ ( q ∨ r ) ) Bu ifade şıklardan seçeneğiC679 ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap C715’dır.

1. Çözüm: Önermeyi iki parçaya ayıralım. Dış yapı bir koşullu önermedir. ( ( ( p → q ) ∧ ( ¬ p → r ) ) → ( q ∨ r ) ) Genel kural: Bir koşullu önermenin değili, ön kısmın doğru; sonuç kısmın yanlış olmasıdır. ¬ ( X → Y ) ≡ X ∧ ¬ Y Burada ön kısım ve sonuç kısmı şunlardır. X = ( ( p → q ) ∧ ( ¬ p → r ) ) Y = ( q ∨ r ) Kuralı uygularsak önermenin değili elde edilir. ¬ ( ( ( p → q ) ∧ ( ¬ p → r ) ) → ( q ∨ r ) ) = ( ( ( p → q ) ∧ ( ¬ p → r ) ) ∧ ¬ ( q ∨ r ) ) Bu ifade şıklardan seçeneğiC679 ile aynıdır. Dolayısıyla doğru cevap C715’dır.

Doğru cevap: D

Soruda istenen bileşik önerme: ( p → q ) Koşullu önerme tanımı gereği, doğruluk değeri yalnızca öncül doğruyken sonuç yanlış olursa yanlıştır; bunun dışındaki tüm durumlarda doğrudur. Bu tanım, aşağıdaki denkliği verir: ( p → q ) ≡ ( ¬ p ∨ q ) Denkliği doğrulamak için doğruluk tablosu ile iki ifadenin her durumda aynı değer aldığını gösterelim: p q ( p → q ) ( ¬ p ∨ q ) 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 Tabloda her satırda iki sütunun aynı çıktıyı verdiği görülür. Bu nedenle denk ifade: ( ¬ p ∨ q ) Dolayısıyla doğru seçenek D514 ’dır; verilen cevap A ise doğrudur.

1. Çözüm: Soruda istenen bileşik önerme: ( p → q ) Koşullu önerme tanımı gereği, doğruluk değeri yalnızca öncül doğruyken sonuç yanlış olursa yanlıştır; bunun dışındaki tüm durumlarda doğrudur. Bu tanım, aşağıdaki denkliği verir: ( p → q ) ≡ ( ¬ p ∨ q ) Denkliği doğrulamak için doğruluk tablosu ile iki ifadenin her durumda aynı değer aldığını gösterelim: p q ( p → q ) ( ¬ p ∨ q ) 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 Tabloda her satırda iki sütunun aynı çıktıyı verdiği görülür. Bu nedenle denk ifade: ( ¬ p ∨ q ) Dolayısıyla doğru seçenek D514 ’dır; verilen cevap A ise doğrudur.

Doğru cevap: A

Doğru cevap kontrolü: Seçenek A her doğruluk değeri için özdeştir (daima doğrudur). İncelenen önerme (A): ( p → q ) ∨ ( q → p ) Koşullu önerme dönüşümü kullanılır: a → b ≡ ¬ a ∨ b Bu dönüşümü iki kez uygularız: ( p → q ) ∨ ( q → p ) ≡ ( ( ¬ p ∨ q ) ∨ ( ¬ q ∨ p ) ) Bağlaçların değişme ve birleşme özellikleriyle terimleri gruplayalım: ( ¬ p ∨ q ∨ ¬ q ∨ p ) ≡ ( ( ¬ p ∨ p ) ∨ ( q ∨ ¬ q ) ) Çelişmezlik (tamamlayıcılık) kuralı: ( ¬ p ∨ p ) ≡ ⊤ ( q ∨ ¬ q ) ≡ ⊤ Yerine yazıp sonuca gidersek: ( ( ¬ p ∨ p ) ∨ ( q ∨ ¬ q ) ) ≡ ( ⊤ ∨ ⊤ ) ≡ ⊤ Sonuç: A seçeneğindeki önerme her durumda doğru olduğundan özdeştir; doğru cevap A’dır.

1. Çözüm: Doğru cevap kontrolü: Seçenek A her doğruluk değeri için özdeştir (daima doğrudur). İncelenen önerme (A): ( p → q ) ∨ ( q → p ) Koşullu önerme dönüşümü kullanılır: a → b ≡ ¬ a ∨ b Bu dönüşümü iki kez uygularız: ( p → q ) ∨ ( q → p ) ≡ ( ( ¬ p ∨ q ) ∨ ( ¬ q ∨ p ) ) Bağlaçların değişme ve birleşme özellikleriyle terimleri gruplayalım: ( ¬ p ∨ q ∨ ¬ q ∨ p ) ≡ ( ( ¬ p ∨ p ) ∨ ( q ∨ ¬ q ) ) Çelişmezlik (tamamlayıcılık) kuralı: ( ¬ p ∨ p ) ≡ ⊤ ( q ∨ ¬ q ) ≡ ⊤ Yerine yazıp sonuca gidersek: ( ( ¬ p ∨ p ) ∨ ( q ∨ ¬ q ) ) ≡ ( ⊤ ∨ ⊤ ) ≡ ⊤ Sonuç: A seçeneğindeki önerme her durumda doğru olduğundan özdeştir; doğru cevap A’dır.

Doğru cevap: B

Verilen doğruluk değerleri: p = doğru q = yanlış İncelenen önerme: ( p → q ) ∨ ( q → p ) Önce koşullu önermeyi hatırlayalım: yalnızca öncül doğru ve sonuç yanlışken yanlış olur. Koşul: ( doğru → yanlış ) yanlıştır 1) İlk kısmı hesaplayalım: p → q ( doğru → yanlış ) = yanlış 2) İkinci kısmı hesaplayalım: q → p ( yanlış → doğru ) = doğru 3) Şimdi “veya” ile birleştirelim: ( p → q ) ∨ ( q → p ) ( yanlış ) ∨ ( doğru ) = doğru Sonuç: Önerme doğru çıkar. Bu nedenle doğru seçenek B464 ’dır.

1. Çözüm: Verilen doğruluk değerleri: p = doğru q = yanlış İncelenen önerme: ( p → q ) ∨ ( q → p ) Önce koşullu önermeyi hatırlayalım: yalnızca öncül doğru ve sonuç yanlışken yanlış olur. Koşul: ( doğru → yanlış ) yanlıştır 1) İlk kısmı hesaplayalım: p → q ( doğru → yanlış ) = yanlış 2) İkinci kısmı hesaplayalım: q → p ( yanlış → doğru ) = doğru 3) Şimdi “veya” ile birleştirelim: ( p → q ) ∨ ( q → p ) ( yanlış ) ∨ ( doğru ) = doğru Sonuç: Önerme doğru çıkar. Bu nedenle doğru seçenek B464 ’dır.

Doğru cevap: C

Verilen önerme: ¬ ( p → ( q ∧ r ) ) 1) Önce koşullu önermeyi eşdeğer biçime çevir: p → ( q ∧ r ) ≡ ¬ p ∨ ( q ∧ r ) 2) Bu eşdeğerliği başlangıçtaki ifadenin içine yaz: ¬ ( p → ( q ∧ r ) ) ≡ ¬ ( ¬ p ∨ ( q ∧ r ) ) 3) De Morgan kuralını uygula (bir “veya”nın değili): ¬ ( ¬ p ∨ ( q ∧ r ) ) ≡ ( ¬ ( ¬ p ) ) ∧ ¬ ( q ∧ r ) ) 4) Çift değili sadeleştir: ¬ ( ¬ p ) ≡ p Bu durumda ifade: ¬ ( p → ( q ∧ r ) ) ≡ p ∧ ¬ ( q ∧ r ) 5) De Morgan kuralını tekrar uygula (bir “ve”nin değili): ¬ ( q ∧ r ) ≡ ¬ q ∨ ¬ r Sonuç: ¬ ( p → ( q ∧ r ) ) ≡ p ∧ ( ¬ q ∨ ¬ r ) Bu ifade şıklardan seçeneğiC563 ile aynıdır. Dolayısıyla “A doğru mu?” kontrolü: Evet, doğru cevap C629.

1. Çözüm: Verilen önerme: ¬ ( p → ( q ∧ r ) ) 1) Önce koşullu önermeyi eşdeğer biçime çevir: p → ( q ∧ r ) ≡ ¬ p ∨ ( q ∧ r ) 2) Bu eşdeğerliği başlangıçtaki ifadenin içine yaz: ¬ ( p → ( q ∧ r ) ) ≡ ¬ ( ¬ p ∨ ( q ∧ r ) ) 3) De Morgan kuralını uygula (bir “veya”nın değili): ¬ ( ¬ p ∨ ( q ∧ r ) ) ≡ ( ¬ ( ¬ p ) ) ∧ ¬ ( q ∧ r ) ) 4) Çift değili sadeleştir: ¬ ( ¬ p ) ≡ p Bu durumda ifade: ¬ ( p → ( q ∧ r ) ) ≡ p ∧ ¬ ( q ∧ r ) 5) De Morgan kuralını tekrar uygula (bir “ve”nin değili): ¬ ( q ∧ r ) ≡ ¬ q ∨ ¬ r Sonuç: ¬ ( p → ( q ∧ r ) ) ≡ p ∧ ( ¬ q ∨ ¬ r ) Bu ifade şıklardan seçeneğiC563 ile aynıdır. Dolayısıyla “A doğru mu?” kontrolü: Evet, doğru cevap C629.