12. Sınıf Matematik

12. Sınıf Matematik Türev Testleri

Türev konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

Türevi değişim hızı ve grafik yorumu üzerinden öğren

Türev, bir fonksiyonun değişim hızını ve grafiğin belirli bir noktadaki eğimini yorumlamayı sağlar. 12. Sınıf’de türev soruları işlem bilgisini grafik ve yorum becerisiyle birleştirir.

Bu çalışma; temel türev kurallarını, çarpım-bölüm-zincir kuralını, teğet denklemini, artan-azalan aralıkları ve ekstremum analizini pekiştirir.

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

Temel fonksiyonların türevlerini doğru alır.
Çarpım, bölüm ve zincir kuralını uygun fonksiyonlarda uygular.
Türevi teğet eğimi ve anlık değişim hızı olarak yorumlar.
Artan-azalan aralıklar ile maksimum-minimum noktalarını belirler.

Sık karıştırılan noktalar

Zincir kuralında iç fonksiyonun türevini çarpmayı unutmak ve kritik noktaları işaret tablosunda test etmeden maksimum-minimum kararı vermek yaygın hatalardır.

Verimli çalışma yolu

Önce fonksiyonu sadeleştirilebilir biçime getir, sonra hangi türev kuralının gerektiğini belirle. Grafik yorumlu sorularda türevin işaretini ve sıfır olduğu noktaları ayrı ayrı incele. Yanlış yaptığın sorularda doğru cevabı işaretlemekle yetinme; hangi bilgi veya yorum adımında zorlandığını belirle.

Test seç

6 Test

1. Test 2. Test 3. Test 4. Test 5. Test 6. Test

6. Test

12. Sınıf Matematik Türev Testleri

Türev konusu 6. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru

0/10 Soru0 %

Doğru 0

Yanlış 0

Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki fonksiyon için
$y = {x + 1}^{x - 1}$
ifadesinin değerini bulunuz:
$y'' (1)$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

Fonksiyon: y = x + 1 x - 1 İkinci türevi bulmak için logaritmik türev yaklaşımıyla üstel biçime geçelim. Önce yardımcı fonksiyon tanımlayalım: f ( x ) = ( x - 1 ) ln ⁡ ( x + 1 ) Böylece fonksiyon: y = e f ( x ) Üstel fonksiyonun türev kuralıyla birinci türev: y ′ = y ⋅ f ′ Bir kez daha türev alırsak (çarpım kuralı): y ′ ′ = y ⋅ ( f ′ ′ + f ′ 2 ) Şimdi f fonksiyonunun türevlerini bulalım. Birinci türev: f ′ ( x ) = ln ⁡ ( x + 1 ) + x - 1 x + 1 İkinci türev: f ′ ′ ( x ) = 1 x + 1 + 2 x + 1 2 Şimdi x yerine 1 yazalım. Önce fonksiyon değeri: y ( 1 ) = 2 0 = 1 Birinci türev katsayısı: f ′ ( 1 ) = ln ⁡ ( 2 ) İkinci türev katsayısı: f ′ ′ ( 1 ) = 1 2 + 2 4 = 1 Bunları ikinci türev formülünde yerine koyarsak: y ′ ′ ( 1 ) = y ( 1 ) ⋅ ( f ′ ′ ( 1 ) + f ′ ( 1 ) 2 ) Sonuç: y ′ ′ ( 1 ) = 1 + ln ⁡ 2 2 Bu değer şıklarla karşılaştırıldığında doğru cevap C1027 ’dır.

Çözüm: Fonksiyon: y = x + 1 x - 1 İkinci türevi bulmak için logaritmik türev yaklaşımıyla üstel biçime geçelim. Önce yardımcı fonksiyon tanımlayalım: f ( x ) = ( x - 1 ) ln ⁡ ( x + 1 ) Böylece fonksiyon: y = e f ( x ) Üstel fonksiyonun türev kuralıyla birinci türev: y ′ = y ⋅ f ′ Bir kez daha türev alırsak (çarpım kuralı): y ′ ′ = y ⋅ ( f ′ ′ + f ′ 2 ) Şimdi f fonksiyonunun türevlerini bulalım. Birinci türev: f ′ ( x ) = ln ⁡ ( x + 1 ) + x - 1 x + 1 İkinci türev: f ′ ′ ( x ) = 1 x + 1 + 2 x + 1 2 Şimdi x yerine 1 yazalım. Önce fonksiyon değeri: y ( 1 ) = 2 0 = 1 Birinci türev katsayısı: f ′ ( 1 ) = ln ⁡ ( 2 ) İkinci türev katsayısı: f ′ ′ ( 1 ) = 1 2 + 2 4 = 1 Bunları ikinci türev formülünde yerine koyarsak: y ′ ′ ( 1 ) = y ( 1 ) ⋅ ( f ′ ′ ( 1 ) + f ′ ( 1 ) 2 ) Sonuç: y ′ ′ ( 1 ) = 1 + ln ⁡ 2 2 Bu değer şıklarla karşılaştırıldığında doğru cevap C1027 ’dır.

Fonksiyon:

y = {x + 1}^{x - 1}

İkinci türevi bulmak için logaritmik türev yaklaşımıyla üstel biçime geçelim. Önce yardımcı fonksiyon tanımlayalım:

f (x) = (x - 1) \ln (x + 1)

Böylece fonksiyon:

y = e^{f (x)}

Üstel fonksiyonun türev kuralıyla birinci türev:

y' = y \cdot f'

Bir kez daha türev alırsak (çarpım kuralı):

y'' = y \cdot (f'' + {f'}^{2})

Şimdi f fonksiyonunun türevlerini bulalım. Birinci türev:

f' (x) = \ln (x + 1) + \frac{x - 1}{x + 1}

İkinci türev:

f'' (x) = \frac{1}{x + 1} + \frac{2}{{x + 1}^{2}}

Şimdi x yerine 1 yazalım. Önce fonksiyon değeri:

y (1) = 2^{0} = 1

Birinci türev katsayısı:

f' (1) = \ln (2)

İkinci türev katsayısı:

f'' (1) = \frac{1}{2} + \frac{2}{4} = 1

Bunları ikinci türev formülünde yerine koyarsak:

y'' (1) = y (1) \cdot (f'' (1) + {f' (1)}^{2})

Sonuç:

y'' (1) = 1 + {\ln 2}^{2}

Bu değer şıklarla karşılaştırıldığında doğru cevap A’dır.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki denklem ile örtük tanımlanan fonksiyon için, verilen başlangıç koşulunu kullanarak istenen değeri bulunuz.
$y e^{x} + x y^{2} = x$
$y (0) = 0$
İstenen:
$y^{″} (0)$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Verilen örtük denklem: y e x + x y 2 = x Başlangıç koşulu: y ( 0 ) = 0 İstenen: y ″ ( 0 ) Her iki tarafın türevini alalım. Önce şu eşitlik üzerinden gidelim: y e x + x y 2 - x = 0 Birinci türev: d d x ( y e x ) + d d x ( x y 2 ) - d d x ( x ) = 0 Çarpım ve zincir kuralı ile: y ′ e x + y e x + y 2 + 2 x y y ′ - 1 = 0 Şimdi başlangıç değerlerini yerine koyalım: x = 0, y ( 0 ) = 0, e 0 = 1 Birinci türev denkleminden: y ′ ( 0 ) + 0 + 0 + 0 - 1 = 0 Buradan: y ′ ( 0 ) = 1 Aynı denklemin bir kez daha türevini alalım: y ′ e x + y e x + y 2 + 2 x y y ′ - 1 = 0 İkinci türev (terim terim): 1) d d x ( y ′ e x ) = y ″ e x + y ′ e x 2) d d x ( y e x ) = y ′ e x + y e x 3) d d x ( y 2 ) = 2 y y ′ 4) d d x ( 2 x y y ′ ) = 2 y y ′ + 2 x ( y ′ y ′ + y y ″ ) Hepsini birleştirince: y ″ e x + 2 y ′ e x + y e x + 4 y y ′ + 2 x ( y ′ y ′ + y y ″ ) = 0 Şimdi yine başlangıç değerlerini kullanalım: x = 0, y ( 0 ) = 0, y ′ ( 0 ) = 1, e 0 = 1 Denklem: y ″ ( 0 ) + 2 ⋅ 1 + 0 + 0 + 0 = 0 Buradan: y ″ ( 0 ) = - 2 Şık kontrolü: Bulunan değer: - 2 Bu nedenle doğru cevap D1230 şıkkıdır.

Çözüm: Verilen örtük denklem: y e x + x y 2 = x Başlangıç koşulu: y ( 0 ) = 0 İstenen: y ″ ( 0 ) Her iki tarafın türevini alalım. Önce şu eşitlik üzerinden gidelim: y e x + x y 2 - x = 0 Birinci türev: d d x ( y e x ) + d d x ( x y 2 ) - d d x ( x ) = 0 Çarpım ve zincir kuralı ile: y ′ e x + y e x + y 2 + 2 x y y ′ - 1 = 0 Şimdi başlangıç değerlerini yerine koyalım: x = 0, y ( 0 ) = 0, e 0 = 1 Birinci türev denkleminden: y ′ ( 0 ) + 0 + 0 + 0 - 1 = 0 Buradan: y ′ ( 0 ) = 1 Aynı denklemin bir kez daha türevini alalım: y ′ e x + y e x + y 2 + 2 x y y ′ - 1 = 0 İkinci türev (terim terim): 1) d d x ( y ′ e x ) = y ″ e x + y ′ e x 2) d d x ( y e x ) = y ′ e x + y e x 3) d d x ( y 2 ) = 2 y y ′ 4) d d x ( 2 x y y ′ ) = 2 y y ′ + 2 x ( y ′ y ′ + y y ″ ) Hepsini birleştirince: y ″ e x + 2 y ′ e x + y e x + 4 y y ′ + 2 x ( y ′ y ′ + y y ″ ) = 0 Şimdi yine başlangıç değerlerini kullanalım: x = 0, y ( 0 ) = 0, y ′ ( 0 ) = 1, e 0 = 1 Denklem: y ″ ( 0 ) + 2 ⋅ 1 + 0 + 0 + 0 = 0 Buradan: y ″ ( 0 ) = - 2 Şık kontrolü: Bulunan değer: - 2 Bu nedenle doğru cevap D1230 şıkkıdır.

Verilen örtük denklem:

y e^{x} + x y^{2} = x

Başlangıç koşulu:

y (0) = 0

İstenen:

y^{″} (0)

Her iki tarafın türevini alalım.

Önce şu eşitlik üzerinden gidelim:

y e^{x} + x y^{2} - x = 0

Birinci türev:

\frac{d}{d x} (y e^{x}) + \frac{d}{d x} (x y^{2}) - \frac{d}{d x} (x) = 0

Çarpım ve zincir kuralı ile:

y^{'} e^{x} + y e^{x} + y^{2} + 2 x y y^{'} - 1 = 0

Şimdi başlangıç değerlerini yerine koyalım:

x = 0, y (0) = 0, e^{0} = 1

Birinci türev denkleminden:

y^{'} (0) + 0 + 0 + 0 - 1 = 0

Buradan:

y^{'} (0) = 1

Aynı denklemin bir kez daha türevini alalım:

y^{'} e^{x} + y e^{x} + y^{2} + 2 x y y^{'} - 1 = 0

İkinci türev (terim terim):

\frac{d}{d x} (y^{'} e^{x}) = y^{″} e^{x} + y^{'} e^{x}

\frac{d}{d x} (y e^{x}) = y^{'} e^{x} + y e^{x}

\frac{d}{d x} (y^{2}) = 2 y y^{'}

\frac{d}{d x} (2 x y y^{'}) = 2 y y^{'} + 2 x (y^{'} y^{'} + y y^{″})

Hepsini birleştirince:

y^{″} e^{x} + 2 y^{'} e^{x} + y e^{x} + 4 y y^{'} + 2 x (y^{'} y^{'} + y y^{″}) = 0

Şimdi yine başlangıç değerlerini kullanalım:

x = 0, y (0) = 0, y^{'} (0) = 1, e^{0} = 1

Denklem:

y^{″} (0) + 2 \cdot 1 + 0 + 0 + 0 = 0

Buradan:

y^{″} (0) = - 2

Şık kontrolü:

Bulunan değer:

- 2

Bu nedenle doğru cevap A şıkkıdır.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki koşullar altında limitin değerini bulun.
$Koşullar: f türevlenebilir, f (1) = 0, f^{'} (1) = 2$
$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} f (x)}{f (x) + x - 1}$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Verilen koşullar: f ( 1 ) = 0 f ′ ( 1 ) = 2 İstenen limit: lim x → 1 x 2 f ( x ) f ( x ) + x − 1 Önce pay ve paydanın limitteki değerlerini kontrol edelim: lim x → 1 x 2 = 1 lim x → 1 f ( x ) = f ( 1 ) = 0 lim x → 1 f ( x ) + x − 1 = 0 + 0 = 0 Dolayısıyla limit belirsizdir: 0 0 Türevlenebilirlikten, 1 noktasında doğrusal yaklaşım (açılım) yazılır: f ( x ) = f ( 1 ) + f ′ ( 1 ) ( x − 1 ) + o ( x − 1 ) Verilen değerleri yerine yazalım: f ( x ) = 0 + 2 ( x − 1 ) + o ( x − 1 ) Bu ifadeyi limitte pay ve paydaya uygulayalım. Pay: x 2 f ( x ) = x 2 ( 2 ( x − 1 ) + o ( x − 1 ) ) Payda: f ( x ) + x − 1 = ( 2 ( x − 1 ) + o ( x − 1 ) ) + ( x − 1 ) Paydada benzer terimleri toplayalım: f ( x ) + x − 1 = 3 ( x − 1 ) + o ( x − 1 ) Şimdi oranı yazıp (x−1) ortak çarpanını sadeleştirelim: x 2 ( 2 ( x − 1 ) + o ( x − 1 ) ) 3 ( x − 1 ) + o ( x − 1 ) → x 2 ⋅ 2 3 Son adım: x → 1 iken x² → 1. lim x → 1 x 2 ⋅ 2 3 = 2 3 Sonuç: Doğru seçenek A.

Çözüm: Verilen koşullar: f ( 1 ) = 0 f ′ ( 1 ) = 2 İstenen limit: lim x → 1 x 2 f ( x ) f ( x ) + x − 1 Önce pay ve paydanın limitteki değerlerini kontrol edelim: lim x → 1 x 2 = 1 lim x → 1 f ( x ) = f ( 1 ) = 0 lim x → 1 f ( x ) + x − 1 = 0 + 0 = 0 Dolayısıyla limit belirsizdir: 0 0 Türevlenebilirlikten, 1 noktasında doğrusal yaklaşım (açılım) yazılır: f ( x ) = f ( 1 ) + f ′ ( 1 ) ( x − 1 ) + o ( x − 1 ) Verilen değerleri yerine yazalım: f ( x ) = 0 + 2 ( x − 1 ) + o ( x − 1 ) Bu ifadeyi limitte pay ve paydaya uygulayalım. Pay: x 2 f ( x ) = x 2 ( 2 ( x − 1 ) + o ( x − 1 ) ) Payda: f ( x ) + x − 1 = ( 2 ( x − 1 ) + o ( x − 1 ) ) + ( x − 1 ) Paydada benzer terimleri toplayalım: f ( x ) + x − 1 = 3 ( x − 1 ) + o ( x − 1 ) Şimdi oranı yazıp (x−1) ortak çarpanını sadeleştirelim: x 2 ( 2 ( x − 1 ) + o ( x − 1 ) ) 3 ( x − 1 ) + o ( x − 1 ) → x 2 ⋅ 2 3 Son adım: x → 1 iken x² → 1. lim x → 1 x 2 ⋅ 2 3 = 2 3 Sonuç: Doğru seçenek A.

Verilen koşullar:

f (1) = 0

f^{'} (1) = 2

İstenen limit:

lim_{x \to 1} \frac{x^{2} f (x)}{f (x) + x - 1}

Önce pay ve paydanın limitteki değerlerini kontrol edelim:

lim_{x \to 1} x^{2} = 1

lim_{x \to 1} f (x) = f (1) = 0

lim_{x \to 1} f (x) + x - 1 = 0 + 0 = 0

Dolayısıyla limit belirsizdir:

\frac{0}{0}

Türevlenebilirlikten, 1 noktasında doğrusal yaklaşım (açılım) yazılır:

f (x) = f (1) + f^{'} (1) (x - 1) + o (x - 1)

Verilen değerleri yerine yazalım:

f (x) = 0 + 2 (x - 1) + o (x - 1)

Bu ifadeyi limitte pay ve paydaya uygulayalım.

Pay:

x^{2} f (x) = x^{2} (2 (x - 1) + o (x - 1))

Payda:

f (x) + x - 1 = (2 (x - 1) + o (x - 1)) + (x - 1)

Paydada benzer terimleri toplayalım:

f (x) + x - 1 = 3 (x - 1) + o (x - 1)

Şimdi oranı yazıp (x−1) ortak çarpanını sadeleştirelim:

\frac{x^{2} (2 (x - 1) + o (x - 1))}{3 (x - 1) + o (x - 1)} \to \frac{x^{2} \cdot 2}{3}

Son adım: x → 1 iken x² → 1.

lim_{x \to 1} \frac{x^{2} \cdot 2}{3} = \frac{2}{3}

Sonuç: Doğru seçenek A.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki fonksiyonun türevini bulun:
$g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{x}}$

Lütfen önce bir cevap seç.

5. SoruÇoktan Seçmeli

$x > 0$ için $x e^{y} + y \ln (x) = 1$ denklemini sağlayan türevlenebilir $y$ fonksiyonu veriliyor.
$y^{'} (1)$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki fonksiyonun $x = 1$ noktasında türevlenebilir olması için $a - b$ kaçtır?
$f (x) = {\begin{cases} a x^{3} + b x^{2} + 1 & x \leq 1 \\ x^{2} \ln (x) & x > 1 \end{cases}$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

1) Cevabın şıkkıD11 olup olmadığını kontrol edelim: Türevlenebilirlik için önce süreklilik, sonra sağ ve sol türevlerin eşitliği gerekir. 2) Süreklilik koşulu (soldan değer = sağdan değer): Sol taraftaki parça için fonksiyon değeri: f ( 1 ) = a + b + 1 Sağ taraftaki parça için limit değeri: lim x → 1 + x 2 ln ( x ) = 1 2 ln ( 1 ) = 0 Süreklilikten: a + b + 1 = 0 a + b = - 1 3) Türevlerin eşitliği koşulu: Sol parçanın türevi: d d x ( a x 3 + b x 2 + 1 ) = 3 a x 2 + 2 b x Soldan türev değeri: f ' ( 1 - ) = 3 a + 2 b Sağ parçanın türevi: d d x ( x 2 ln ( x ) ) = 2 x ln ( x ) + x Sağdan türev değeri: f ' ( 1 + ) = 2 · 1 · ln ( 1 ) + 1 = 1 Türevlenebilirlik için: 3 a + 2 b = 1 4) Denklem sistemini çözelim: { a + b = - 1 3 a + 2 b = 1 Birinci denklemi iki ile çarpalım: 2 a + 2 b = - 2 İkinci denklemden çıkaralım: ( 3 a + 2 b ) - ( 2 a + 2 b ) = 1 - ( - 2 ) a = 3 Birinci denklemde yerine yazalım: 3 + b = - 1 b = - 4 5) İstenen ifade: a - b = 3 - ( - 4 ) = 7 Sonuç: Doğru cevap D992 şıkkıdır.

Çözüm: 1) Cevabın şıkkıD11 olup olmadığını kontrol edelim: Türevlenebilirlik için önce süreklilik, sonra sağ ve sol türevlerin eşitliği gerekir. 2) Süreklilik koşulu (soldan değer = sağdan değer): Sol taraftaki parça için fonksiyon değeri: f ( 1 ) = a + b + 1 Sağ taraftaki parça için limit değeri: lim x → 1 + x 2 ln ( x ) = 1 2 ln ( 1 ) = 0 Süreklilikten: a + b + 1 = 0 a + b = - 1 3) Türevlerin eşitliği koşulu: Sol parçanın türevi: d d x ( a x 3 + b x 2 + 1 ) = 3 a x 2 + 2 b x Soldan türev değeri: f ' ( 1 - ) = 3 a + 2 b Sağ parçanın türevi: d d x ( x 2 ln ( x ) ) = 2 x ln ( x ) + x Sağdan türev değeri: f ' ( 1 + ) = 2 · 1 · ln ( 1 ) + 1 = 1 Türevlenebilirlik için: 3 a + 2 b = 1 4) Denklem sistemini çözelim: { a + b = - 1 3 a + 2 b = 1 Birinci denklemi iki ile çarpalım: 2 a + 2 b = - 2 İkinci denklemden çıkaralım: ( 3 a + 2 b ) - ( 2 a + 2 b ) = 1 - ( - 2 ) a = 3 Birinci denklemde yerine yazalım: 3 + b = - 1 b = - 4 5) İstenen ifade: a - b = 3 - ( - 4 ) = 7 Sonuç: Doğru cevap D992 şıkkıdır.

1) Cevabın şıkkıD71 olup olmadığını kontrol edelim: Türevlenebilirlik için önce süreklilik, sonra sağ ve sol türevlerin eşitliği gerekir.

2) Süreklilik koşulu (soldan değer = sağdan değer):

Sol taraftaki parça için fonksiyon değeri:

f (1) = a + b + 1

Sağ taraftaki parça için limit değeri:

lim_{x \to 1 +} x^{2} \ln (x) = 1^{2} \ln (1) = 0

Süreklilikten:

a + b + 1 = 0

a + b = - 1

3) Türevlerin eşitliği koşulu:

Sol parçanın türevi:

\frac{d}{d x} (a x^{3} + b x^{2} + 1) = 3 a x^{2} + 2 b x

Soldan türev değeri:

f' (1 -) = 3 a + 2 b

Sağ parçanın türevi:

\frac{d}{d x} (x^{2} \ln (x)) = 2 x \ln (x) + x

Sağdan türev değeri:

f' (1 +) = 2 \cdot 1 \cdot \ln (1) + 1 = 1

Türevlenebilirlik için:

3 a + 2 b = 1

4) Denklem sistemini çözelim:

{\begin{cases} a + b = - 1 \\ 3 a + 2 b = 1 \end{cases}

Birinci denklemi iki ile çarpalım:

2 a + 2 b = - 2

İkinci denklemden çıkaralım:

(3 a + 2 b) - (2 a + 2 b) = 1 - (- 2)

a = 3

Birinci denklemde yerine yazalım:

3 + b = - 1

b = - 4

5) İstenen ifade:

a - b = 3 - (- 4) = 7

Sonuç: Doğru cevap D4108 şıkkıdır.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıda tanımlı fonksiyon için $y^{'} (1)$ değerini bulun.
$y = \frac{{x^{2} + 1}^{x}}{x^{x^{2}}}$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

Verilen fonksiyon: y = x 2 + 1 x x x 2 Logaritmik türev alalım: ln y = ln ( x 2 + 1 x x x 2 ) Logaritma kurallarıyla sadeleştirelim: ln y = ln ( x 2 + 1 x ) - ln ( x x 2 ) ln y = x ln ( x 2 + 1 ) - x 2 ln x Her iki tarafın türevini alalım: y ′ y = d d x [ x ln ( x 2 + 1 ) - x 2 ln x ] Sağ tarafı parçalayalım (çarpım kuralı ve türevler): y ′ y = ln ( x 2 + 1 ) + x ⋅ 2 x x 2 + 1 - ( 2 x ln x + x ) Biraz sadeleştirelim: y ′ y = ln ( x 2 + 1 ) + 2 x 2 x 2 + 1 - 2 x ln x - x y ′ = y ⋅ ( ln ( x 2 + 1 ) + 2 x 2 x 2 + 1 - 2 x ln x - x ) Şimdi değeri 1 için bulalım. Önce fonksiyon değeri: y ( 1 ) = 1 2 + 1 1 1 1 2 = 2 1 1 1 = 2 Parantez içini 1 için hesaplayalım: ln ( 1 2 + 1 ) + 2 1 2 1 2 + 1 - 2 ⋅ 1 ln 1 - 1 ln 2 + 1 - 0 - 1 = ln 2 Sonuç: y ′ ( 1 ) = y ( 1 ) ⋅ ln 2 = 2 ⋅ ln 2 Bulunan değer şıklarla karşılaştırıldığında doğru cevap A şıkkıdır.

Çözüm: Verilen fonksiyon: y = x 2 + 1 x x x 2 Logaritmik türev alalım: ln y = ln ( x 2 + 1 x x x 2 ) Logaritma kurallarıyla sadeleştirelim: ln y = ln ( x 2 + 1 x ) - ln ( x x 2 ) ln y = x ln ( x 2 + 1 ) - x 2 ln x Her iki tarafın türevini alalım: y ′ y = d d x [ x ln ( x 2 + 1 ) - x 2 ln x ] Sağ tarafı parçalayalım (çarpım kuralı ve türevler): y ′ y = ln ( x 2 + 1 ) + x ⋅ 2 x x 2 + 1 - ( 2 x ln x + x ) Biraz sadeleştirelim: y ′ y = ln ( x 2 + 1 ) + 2 x 2 x 2 + 1 - 2 x ln x - x y ′ = y ⋅ ( ln ( x 2 + 1 ) + 2 x 2 x 2 + 1 - 2 x ln x - x ) Şimdi değeri 1 için bulalım. Önce fonksiyon değeri: y ( 1 ) = 1 2 + 1 1 1 1 2 = 2 1 1 1 = 2 Parantez içini 1 için hesaplayalım: ln ( 1 2 + 1 ) + 2 1 2 1 2 + 1 - 2 ⋅ 1 ln 1 - 1 ln 2 + 1 - 0 - 1 = ln 2 Sonuç: y ′ ( 1 ) = y ( 1 ) ⋅ ln 2 = 2 ⋅ ln 2 Bulunan değer şıklarla karşılaştırıldığında doğru cevap A şıkkıdır.

Verilen fonksiyon:

y = \frac{{x^{2} + 1}^{x}}{x^{x^{2}}}

Logaritmik türev alalım:

\ln y = \ln (\frac{{x^{2} + 1}^{x}}{x^{x^{2}}})

Logaritma kurallarıyla sadeleştirelim:

\ln y = \ln ({x^{2} + 1}^{x}) - \ln (x^{x^{2}})

\ln y = x \ln (x^{2} + 1) - x^{2} \ln x

Her iki tarafın türevini alalım:

\frac{y^{'}}{y} = \frac{d}{d x} [x \ln (x^{2} + 1) - x^{2} \ln x]

Sağ tarafı parçalayalım (çarpım kuralı ve türevler):

\frac{y^{'}}{y} = \ln (x^{2} + 1) + x \cdot \frac{2 x}{x^{2} + 1} - (2 x \ln x + x)

Biraz sadeleştirelim:

\frac{y^{'}}{y} = \ln (x^{2} + 1) + \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} - 2 x \ln x - x

y^{'} = y \cdot (\ln (x^{2} + 1) + \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} - 2 x \ln x - x)

Şimdi değeri 1 için bulalım. Önce fonksiyon değeri:

y (1) = \frac{{1^{2} + 1}^{1}}{1^{1^{2}}} = \frac{2^{1}}{1^{1}} = 2

Parantez içini 1 için hesaplayalım:

\ln (1^{2} + 1) + \frac{2 1^{2}}{1^{2} + 1} - 2 \cdot 1 \ln 1 - 1

\ln 2 + 1 - 0 - 1 = \ln 2

Sonuç:

y^{'} (1) = y (1) \cdot \ln 2 = 2 \cdot \ln 2

Bulunan değer şıklarla karşılaştırıldığında doğru cevap A şıkkıdır.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki fonksiyon için istenen türev değerini bulun.
$f (x) = {(x^{2} + 1)}^{\ln x}$
$f^{'} (e) = ?$

Lütfen önce bir cevap seç.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Bir fonksiyon iki kez türevlenebilir ve bire birdir. $f (1) = 2, f^{'} (1) = 3, f^{″} (1) = - 6$ veriliyor. Buna göre ${f^{- 1}}^{″} (2)$ kaçtır?

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

1) Doğru şıkkı kontrol etmek için önce ters fonksiyon değerini bulalım. Verilen f ( 1 ) = 2 ifadesinden f - 1 ( 2 ) = 1 2) Ters fonksiyonun ikinci türevi için temel bağıntıyı yazalım. g ( y ) = f - 1 ( y ) olsun. O zaman bileşke eşitliği f ( g ( y ) ) = y 3) Her iki tarafın türevini alalım: f ′ ( g ( y ) ) ⋅ g ′ ( y ) = 1 Buradan g ′ ( y ) = 1 f ′ ( g ( y ) ) 4) Tekrar türev alalım (ürün ve zincir kuralı): f ″ ( g ( y ) ) ⋅ g ′ ( y ) ⋅ g ′ ( y ) + f ′ ( g ( y ) ) ⋅ g ″ ( y ) = 0 Buradan g ″ ( y ) = - f ″ ( g ( y ) ) ⋅ g ′ ( y ) 2 f ′ ( g ( y ) ) 5) 3. adımdaki ifadeyi yerine yazalım: g ″ ( y ) = - f ″ ( g ( y ) ) f ′ ( g ( y ) ) 3 6) İstenen değer g ″ ( 2 ) olup, 1. adımda bulduğumuz g ( 2 ) = 1 kullanılır. Verilenler: f ′ ( 1 ) = 3 f ″ ( 1 ) = - 6 O halde g ″ ( 2 ) = - f ″ ( 1 ) f ′ ( 1 ) 3 = - - 6 3 3 g ″ ( 2 ) = 6 27 = 2 9 Sonuç: Doğru cevap C1041 şıkkıdır.

Çözüm: 1) Doğru şıkkı kontrol etmek için önce ters fonksiyon değerini bulalım. Verilen f ( 1 ) = 2 ifadesinden f - 1 ( 2 ) = 1 2) Ters fonksiyonun ikinci türevi için temel bağıntıyı yazalım. g ( y ) = f - 1 ( y ) olsun. O zaman bileşke eşitliği f ( g ( y ) ) = y 3) Her iki tarafın türevini alalım: f ′ ( g ( y ) ) ⋅ g ′ ( y ) = 1 Buradan g ′ ( y ) = 1 f ′ ( g ( y ) ) 4) Tekrar türev alalım (ürün ve zincir kuralı): f ″ ( g ( y ) ) ⋅ g ′ ( y ) ⋅ g ′ ( y ) + f ′ ( g ( y ) ) ⋅ g ″ ( y ) = 0 Buradan g ″ ( y ) = - f ″ ( g ( y ) ) ⋅ g ′ ( y ) 2 f ′ ( g ( y ) ) 5) 3. adımdaki ifadeyi yerine yazalım: g ″ ( y ) = - f ″ ( g ( y ) ) f ′ ( g ( y ) ) 3 6) İstenen değer g ″ ( 2 ) olup, 1. adımda bulduğumuz g ( 2 ) = 1 kullanılır. Verilenler: f ′ ( 1 ) = 3 f ″ ( 1 ) = - 6 O halde g ″ ( 2 ) = - f ″ ( 1 ) f ′ ( 1 ) 3 = - - 6 3 3 g ″ ( 2 ) = 6 27 = 2 9 Sonuç: Doğru cevap C1041 şıkkıdır.

1) Doğru şıkkı kontrol etmek için önce ters fonksiyon değerini bulalım. Verilen

f (1) = 2

ifadesinden

f^{- 1} (2) = 1

2) Ters fonksiyonun ikinci türevi için temel bağıntıyı yazalım.

g (y) = f^{- 1} (y)

olsun. O zaman bileşke eşitliği

f (g (y)) = y

3) Her iki tarafın türevini alalım:

f^{'} (g (y)) \cdot g^{'} (y) = 1

Buradan

g^{'} (y) = \frac{1}{f^{'} (g (y))}

4) Tekrar türev alalım (ürün ve zincir kuralı):

f^{″} (g (y)) \cdot g^{'} (y) \cdot g^{'} (y) + f^{'} (g (y)) \cdot g^{″} (y) = 0

Buradan

g^{″} (y) = - \frac{f^{″} (g (y)) \cdot {g^{'} (y)}^{2}}{f^{'} (g (y))}

5) 3. adımdaki ifadeyi yerine yazalım:

g^{″} (y) = - \frac{f^{″} (g (y))}{{f^{'} (g (y))}^{3}}

6) İstenen değer

g^{″} (2)

olup, 1. adımda bulduğumuz

g (2) = 1

kullanılır. Verilenler:

f^{'} (1) = 3

f^{″} (1) = - 6

O halde

g^{″} (2) = - \frac{f^{″} (1)}{{f^{'} (1)}^{3}} = - \frac{- 6}{3^{3}}

g^{″} (2) = \frac{6}{27} = \frac{2}{9}

Sonuç: Doğru cevap C5136 şıkkıdır.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıda tanımlanan fonksiyon için $g^{'} (1)$ değerini bulunuz.
$g (x) = \int_{0}^{x^{2}}$

Lütfen önce bir cevap seç.

Türev Sık Sorulan Sorular

Türev neyi ifade eder?

Türev, fonksiyonun bir noktadaki anlık değişim hızını ve grafiğe çizilen teğetin eğimini ifade eder.

Maksimum ve minimum noktaları nasıl bulunur?

Türevin sıfır olduğu veya tanımsız olduğu kritik noktalar belirlenir, ardından işaret değişimi incelenir.

Türev sorularında en önemli kural hangisidir?

Tek bir kural yeterli değildir; özellikle zincir kuralı, çarpım ve bölüm kuralları birlikte kullanılabilir.

12. Sınıf Matematik Türev Testleri

Türevi değişim hızı ve grafik yorumu üzerinden öğren

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

Sık karıştırılan noktalar

Verimli çalışma yolu

12. Sınıf Matematik Türev Testleri

Aşağıdaki fonksiyon içiny=x+1x-1ifadesinin değerini bulunuz:y′′(1)

Aşağıdaki denklem ile örtük tanımlanan fonksiyon için, verilen başlangıç koşulunu kullanarak istenen değeri bulunuz.yex+xy2=xy(0)=0İstenen:y″(0)

Aşağıdaki koşullar altında limitin değerini bulun.Koşullar:f türevlenebilir, f(1)=0,f′(1)=2limx→1x2f(x)f(x)+x−1

Aşağıdaki fonksiyonun türevini bulun:g(x)=(x2+1)32⁢e1x

x>0 için xey+ylnx=1 denklemini sağlayan türevlenebilir y fonksiyonu veriliyor.y′(1) kaçtır?

Aşağıdaki fonksiyonun x=1 noktasında türevlenebilir olması için a-b kaçtır?f(x)={ax3+bx2+1x≤1x2ln(x)x>1

Aşağıda tanımlı fonksiyon için y′(1) değerini bulun.y=x2+1xxx2

Aşağıdaki fonksiyon için istenen türev değerini bulun.f(x)=x2+1lnxf′(e)=?

Bir fonksiyon iki kez türevlenebilir ve bire birdir. f(1)=2,f′(1)=3,f″(1)=-6 veriliyor. Buna göre f-1″(2) kaçtır?

Aşağıda tanımlanan fonksiyon için g′(1) değerini bulunuz.g(x)=∫0x2t2+11+t3dt

Türev Sık Sorulan Sorular

Aşağıdaki fonksiyon için
$y = {x + 1}^{x - 1}$
ifadesinin değerini bulunuz:
$y'' (1)$

Aşağıdaki denklem ile örtük tanımlanan fonksiyon için, verilen başlangıç koşulunu kullanarak istenen değeri bulunuz.
$y e^{x} + x y^{2} = x$
$y (0) = 0$
İstenen:
$y^{″} (0)$

Aşağıdaki koşullar altında limitin değerini bulun.
$Koşullar: f türevlenebilir, f (1) = 0, f^{'} (1) = 2$
$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} f (x)}{f (x) + x - 1}$

Aşağıdaki fonksiyonun türevini bulun:
$g (x) = {(x^{2} + 1)}^{\frac{3}{2}} e^{\frac{1}{x}}$

$x > 0$ için $x e^{y} + y \ln (x) = 1$ denklemini sağlayan türevlenebilir $y$ fonksiyonu veriliyor.
$y^{'} (1)$ kaçtır?

Aşağıdaki fonksiyonun $x = 1$ noktasında türevlenebilir olması için $a - b$ kaçtır?
$f (x) = {\begin{cases} a x^{3} + b x^{2} + 1 & x \leq 1 \\ x^{2} \ln (x) & x > 1 \end{cases}$

Aşağıda tanımlı fonksiyon için $y^{'} (1)$ değerini bulun.
$y = \frac{{x^{2} + 1}^{x}}{x^{x^{2}}}$

Aşağıdaki fonksiyon için istenen türev değerini bulun.
$f (x) = {(x^{2} + 1)}^{\ln x}$
$f^{'} (e) = ?$

Bir fonksiyon iki kez türevlenebilir ve bire birdir. $f (1) = 2, f^{'} (1) = 3, f^{″} (1) = - 6$ veriliyor. Buna göre ${f^{- 1}}^{″} (2)$ kaçtır?

Aşağıda tanımlanan fonksiyon için $g^{'} (1)$ değerini bulunuz.
$g (x) = \int_{0}^{x^{2}}$