Karekök, sayının kendisiyle çarpıldığında o sayıyı veren pozitif sayıdır.

Bu yüzden şu eşitlik doğrudur:

$$\sqrt{2}$$

Karekök ile üs arasında temel bir ilişki vardır: Bir sayının karekökü, o sayının $$\frac{1}{2}$$ üssüdür.

Yani:

$$\sqrt{2}$$

ifadesinin eşiti:

$$2^{\frac{1}{2}}$$

Verilen ifade karekök olduğu için, kök ile üslü ifade arasındaki temel kuralı kullanacağız:

$$\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$$

Burada $$a$$ yerine $$3$$ yazarsak:

$$\sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}}$$

Sonuç: ifade $$3^{\frac{1}{2}}$$ şeklindedir.

Verilen ifade:

$$\sqrt{27}$$

Kök içindeki sayıyı, içinde tam kare olan bir çarpım şeklinde yazalım:

$$\sqrt{27=\sqrt{9\cdot 3}}$$

Kökün çarpım özelliğini kullanalım. 9 tam kare olduğu için kökten dışarı 3 diye çıkar:

$$\sqrt{9\cdot 3}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{3}=3\cdot \sqrt{3}$$

Şimdi bunu üs şeklinde yazalım. Önce 27 sayısını 3’ün kuvveti olarak yazabiliriz:

$$27=3^3$$

Karekök almak, $$\frac{1}{2}$$ kuvvetini almak demektir. O yüzden:

$$\sqrt{27}={27}^{\frac{1}{2}}$$

Şimdi $$27$$ yerine $$3^3$$ yazalım:

$${27}^{\frac{1}{2}}={\left(3^3\right)}^{\frac{1}{2}}$$

Üslerin kuralına göre kuvvetin kuvveti alınırken üsler çarpılır:

$${\left(3^3\right)}^{\frac{1}{2}}=3^{3\cdot \frac{1}{2}}=3^{\frac{3}{2}}$$

Sonuç:

$$\sqrt{27}=3^{\frac{3}{2}}$$

Verilen ifade küpköktür (3. dereceden kök):

$$\sqrt[3]{16}$$

Kural: n. dereceden kök, üs olarak 1/n şeklinde yazılır. Bu yüzden:

$${16}^{\frac{1}{3}}$$

Şimdi 16 sayısını 2’nin kuvveti olarak yazalım:

$$16=2^4$$

Bunu köklü ifadenin yerine koyarsak:

$${\left(2^4\right)}^{\frac{1}{3}}$$

Kural: (a^m)ⁿ = a^m·n. Yani üsler çarpılır:

$$2^{4·\left(\frac{1}{3}\right)}$$

Çarpınca 4·(1/3) = 4/3 olur. Sonuç:

$$2^{\frac{4}{3}}$$

Verilen ifade 4. dereceden köktür:

$$\sqrt[4]{4}$$

Kural: n. dereceden kök, üslü olarak yazılabilir.

$$\sqrt[4]{4}=4^{\frac{1}{4}}$$

Şimdi 4 sayısını 2 tabanında yazalım:

$$4=2^2$$

Yerine yazalım:

$$4^{\frac{1}{4}}={\left(2^2\right)}^{\frac{1}{4}}$$

Kural: Üslünün üssü alınırken üsler çarpılır.

$${\left(2^2\right)}^{\frac{1}{4}}=2^{\frac{2}{4}}$$

Son olarak kesri sadeleştirelim:

$$2^{\frac{2}{4}}=2^{\frac{1}{2}}$$

Verilen ifade:

$$\sqrt[5]{5}$$

Kural: n. dereceden kök, üslü olarak şöyle yazılır:

$$\sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}$$

Burada a = 5 ve n = 5 olduğuna göre kuralı uygularız:

$$\sqrt[5]{5}=5^{\frac{1}{5}}$$