Karekök, sayının kendisiyle çarpıldığında o sayıyı veren pozitif sayıdır.

Bu yüzden şu eşitlik doğrudur:

$$\sqrt{2}$$

Karekök ile üs arasında temel bir ilişki vardır: Bir sayının karekökü, o sayının $$\frac{1}{2}$$ üssüdür.

Yani:

$$\sqrt{2}$$

ifadesinin eşiti:

$$2^{\frac{1}{2}}$$

Verilen ifade karekök olduğu için, kök ile üslü ifade arasındaki temel kuralı kullanacağız:

$$\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}$$

Burada $$a$$ yerine $$3$$ yazarsak:

$$\sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}}$$

Sonuç: ifade $$3^{\frac{1}{2}}$$ şeklindedir.

Verilen ifade:

$$\sqrt{27}$$

Kök içindeki sayıyı, içinde tam kare olan bir çarpım şeklinde yazalım:

$$\sqrt{27=\sqrt{9\cdot 3}}$$

Kökün çarpım özelliğini kullanalım. 9 tam kare olduğu için kökten dışarı 3 diye çıkar:

$$\sqrt{9\cdot 3}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{3}=3\cdot \sqrt{3}$$

Şimdi bunu üs şeklinde yazalım. Önce 27 sayısını 3’ün kuvveti olarak yazabiliriz:

$$27=3^3$$

Karekök almak, $$\frac{1}{2}$$ kuvvetini almak demektir. O yüzden:

$$\sqrt{27}={27}^{\frac{1}{2}}$$

Şimdi $$27$$ yerine $$3^3$$ yazalım:

$${27}^{\frac{1}{2}}={\left(3^3\right)}^{\frac{1}{2}}$$

Üslerin kuralına göre kuvvetin kuvveti alınırken üsler çarpılır:

$${\left(3^3\right)}^{\frac{1}{2}}=3^{3\cdot \frac{1}{2}}=3^{\frac{3}{2}}$$

Sonuç:

$$\sqrt{27}=3^{\frac{3}{2}}$$

Verilen ifade küpköktür (3. dereceden kök):

$$\sqrt[3]{16}$$

Kural: n. dereceden kök, üs olarak 1/n şeklinde yazılır. Bu yüzden:

$${16}^{\frac{1}{3}}$$

Şimdi 16 sayısını 2’nin kuvveti olarak yazalım:

$$16=2^4$$

Bunu köklü ifadenin yerine koyarsak:

$${\left(2^4\right)}^{\frac{1}{3}}$$

Kural: (a^m)ⁿ = a^m·n. Yani üsler çarpılır:

$$2^{4·\left(\frac{1}{3}\right)}$$

Çarpınca 4·(1/3) = 4/3 olur. Sonuç:

$$2^{\frac{4}{3}}$$

İfade şudur:

$$\sqrt{3}·\sqrt{\sqrt{16}+\sqrt{25}}$$

Önce içteki karekökleri hesaplayalım:

$$\sqrt{16}=4$$

$$\sqrt{25}=5$$

Şimdi bunları yerine yazalım:

$$\sqrt{3}·\sqrt{4+5}$$

Toplamı bulalım:

$$4+5=9$$

Bu yüzden ifade:

$$\sqrt{3}·\sqrt{9}$$

Karekök dokuz üçtür:

$$\sqrt{9}=3$$

Sonuç:

$$\sqrt{3}·3=3\sqrt{3}$$

İfadeyi yazalım:

$$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{3}}{\sqrt{27}+\sqrt{27}+\sqrt{27}}$$

Payda ve payda aynı tür terimler var. Üç tane aynı köklü sayı toplanınca, $$3$$ katı olur.

$$\frac{3\sqrt{3}}{3\sqrt{27}}$$

Şimdi pay ve paydada ortak olan $$3$$ sadeleşir:

$$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{27}}$$

Şimdi $$\sqrt{27}$$ kökünü sadeleştirelim. Çünkü $$27$$ sayısı $$9\times 3$$ tür:

$$\sqrt{27}=\sqrt{9\times 3}=3\sqrt{3}$$

Bunu kesirde yerine yazalım:

$$\frac{\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}$$

Payda ve payda ortak olan $$\sqrt{3}$$ sadeleşir:

$$\frac{1}{3}$$

Verilen ifade:

Üstte aynı köklü ifade 2 tane var, bu yüzden 2 katını alırız:

Altta aynı köklü ifade 4 tane var, bu yüzden 4 katını alırız:

Şimdi √18 ifadesini sadeleştirelim. 18 = 9·2 olduğu için:

Bunu üstteki yere yazalım:

Artık kesir şu hale gelir. Üstte ve altta aynı kök olduğu için sadeleşir:

Son olarak 6/4 kesrini sadeleştiririz (ikisini de 2’ye böleriz):

Verilen ifade:

$$\frac{\sqrt{10}+\sqrt{10}}{2\sqrt{5}}$$

Önce paydaki benzer köklü ifadeleri toplayalım:

$$\sqrt{10}+\sqrt{10}=2\sqrt{10}$$

Şimdi bunu kesirde yerine yazalım:

$$\frac{2\sqrt{10}}{2\sqrt{5}}$$

Pay ve paydadaki $$2$$ ortak çarpanını sadeleştirelim:

$$\frac{2\sqrt{10}}{2\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}$$

Köklerin bölünmesi kuralını kullanalım:

$$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{10}{5}}$$

Şimdi kesri sadeleştirelim ve sonucu kökün içine yazalım:

$$\sqrt{\frac{10}{5}}=\sqrt{2}$$

Verilen ifade:

İlk kökü, iki kökün toplamı şeklinde yazmaya çalışalım:

Her iki tarafın karesini alalım. (Toplamın karesi kuralı: $${(a+b)}^2=a^2+b^2+2ab$$ )

Buradan, köksüz kısımlar ve köklü kısımlar ayrı ayrı eşit olmalıdır:

$$x+y=10$$ ve $$xy=21$$ koşullarını sağlayan iki sayı $$7$$ ve $$3$$ olur. O zaman:

Şimdi ikinci kök için aynı yöntemi yapalım:

Karesini alalım:

Buradan:

Toplamı $$9$$, çarpımı $$14$$ olan sayılar $$7$$ ve $$2$$’dir. O zaman:

Şimdi tamamını yerine yazıp çıkaralım:

Aynı olan $$\sqrt{7}$$ terimleri birbirini götürür:

Sonuç:

Verilen ifade:

$$\frac{\sqrt{\sqrt{5}-2}·\sqrt{\sqrt{5}+2}}{\sqrt{2}-1}$$

Üstte iki karekök çarpımı var. Kural: Aynı çarpımda $$\sqrt{a}$$ ile $$\sqrt{b}$$ çarpılırsa, $$\sqrt{a·b}$$ olur.

$$\frac{\sqrt{\left(\sqrt{5}-2\right)·\left(\sqrt{5}+2\right)}}{\sqrt{2}-1}$$

Şimdi parantezleri çarpalım. Kural: $$\left(x-y\right)\left(x+y\right)=x^2-y^2$$.

$$\left(\sqrt{5}-2\right)\left(\sqrt{5}+2\right)={\sqrt{5}}^2-2^2=5-4=1$$

O zaman üst taraf:

$$\sqrt{1}=1$$

İfade şimdi şuna dönüştü:

$$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$$

Paydada kök var. Paydayı kökten kurtarmak için, eşleniği ile çarparız (işaret değiştiririz): $$\sqrt{2}+1$$.

$$\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{1·\left(\sqrt{2}+1\right)}{\left(\sqrt{2}-1\right)·\left(\sqrt{2}+1\right)}$$

Payda çarpımı yine farkların çarpımıdır:

$$\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)={\sqrt{2}}^2-1^2=2-1=1$$

Böylece:

$$\frac{\sqrt{2}+1}{1}=\sqrt{2}+1$$

Verilen denklem:

Kural: kök içleri çarpılıyorsa tek kök altında toplayabiliriz. Yani:

Önce kökün içindeki çarpmayı yapalım:

Bu yüzden:

Aynısını ikinci kısım için yapalım:

Şimdi denklemi bu sonuçlarla tekrar yazalım:

Benzer terimleri (ikisi de √x içeriyor) çıkaralım:

Buradan:

Şimdi 6,4 sayısını 0,64·10 şeklinde yazalım (çünkü 0,64·10 = 6,4):

Çünkü:

Bu yüzden √0,64 = 0,8 olur ve:

Denklemimiz şimdi:

Her iki tarafı 2'ye bölelim:

Kökten kurtulmak için iki tarafın karesini alalım:

Kural: (a·√b)² = a²·b. Bu yüzden:

Çünkü:

Sonuç: