12. Sınıf Matematik

12. Sınıf Matematik Limit Testleri

Limit konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

Limiti değişim ve süreklilik ilişkisiyle öğren

Limit, bir fonksiyonun değişken belirli bir değere yaklaşırken hangi değere yaklaştığını açıklar. Bu kavram türev, süreklilik ve grafik yorumunun temelini oluşturur.

Bu çalışma; sağdan ve soldan limitleri, belirsiz ifadeleri, sonsuzdaki limitleri ve süreklilik koşullarını grafik ve cebirsel ifadeler üzerinden anlamana yardımcı olur.

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

Bir fonksiyonun noktadaki limitini grafik üzerinden yorumlar.
Sağdan ve soldan limitleri karşılaştırır.
Belirsiz limit ifadelerini uygun cebirsel yöntemlerle çözer.
Limit ile süreklilik arasındaki koşulları açıklar.

Sık karıştırılan noktalar

Fonksiyonun bir noktadaki değeri ile o noktadaki limitini aynı kabul etmek yanlıştır. Limit, fonksiyonun noktaya yaklaşırkenki davranışını gösterir; fonksiyonun o noktadaki değeri farklı olabilir.

Verimli çalışma yolu

Önce yaklaşım yönünü ve limitin hangi değere doğru alındığını belirle. Sonra yerine koyma, çarpanlara ayırma, eşlenikle çarpma veya grafik yorumundan uygun olanı seç. Yanlış yaptığın sorularda doğru cevabı işaretlemekle yetinme; hangi bilgi veya işlem adımında zorlandığını belirle.

Test seç

6 Test

1. Test 2. Test 3. Test 4. Test 5. Test 6. Test

4. Test

12. Sınıf Matematik Limit Testleri

Limit konusu 4. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru

0/10 Soru0 %

Doğru 0

Yanlış 0

Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz:
$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$

Lütfen önce bir cevap seç.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki limiti bulunuz.
$lim_{x \to 0} \frac{{(1 + x)}^{\frac{1}{x}} - {(1 - x)}^{- \frac{1}{x}}}{x}$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: A

İstenen limit: L = lim x → 0 ( 1 + x ) 1 x - ( 1 - x ) - 1 x x İfadeleri fonksiyon gibi adlandıralım: f ( x ) = ( 1 + x ) 1 x g ( x ) = ( 1 - x ) - 1 x O hâlde: L = lim x → 0 f ( x ) - g ( x ) x Önce logaritma alıp seri açılımı kullanalım. Bilinen açılımlar: ln ( 1 + x ) = x - x 2 2 + x 3 3 - ⋯ ln ( 1 - x ) = - x - x 2 2 - x 3 3 - ⋯ f ( x ) için: ln ( f ( x ) ) = 1 x ln ( 1 + x ) ln ( f ( x ) ) = 1 x ( x - x 2 2 + x 3 3 - ⋯ ) ln ( f ( x ) ) = 1 - x 2 + x 2 3 - ⋯ g ( x ) için: ln ( g ( x ) ) = - 1 x ln ( 1 - x ) ln ( g ( x ) ) = - 1 x ( - x - x 2 2 - x 3 3 - ⋯ ) ln ( g ( x ) ) = 1 + x 2 + x 2 3 + ⋯ Şimdi üstel forma geri dönelim. Küçük x için birinci mertebeye kadar yeterli: f ( x ) = exp ( 1 - x 2 + O ( x 2 ) ) g ( x ) = exp ( 1 + x 2 + O ( x 2 ) ) exp ( 1 + u ) = e ⋅ exp ( u ) olduğundan: f ( x ) = e ⋅ exp ( - x 2 + O ( x 2 ) ) g ( x ) = e ⋅ exp ( x 2 + O ( x 2 ) ) Birinci mertebede exp ( t ) = 1 + t + O ( t 2 ) kullanılır: f ( x ) = e ( 1 - x 2 + O ( x 2 ) ) g ( x ) = e ( 1 + x 2 + O ( x 2 ) ) Farkı alalım: f ( x ) - g ( x ) = e [ ( 1 - x 2 + O ( x 2 ) ) - ( 1 + x 2 + O ( x 2 ) ) ] f ( x ) - g ( x ) = e ( - x + O ( x 2 ) ) Şimdi x ile bölelim: f ( x ) - g ( x ) x = e ( - 1 + O ( x ) ) Limit: L = lim x → 0 e ( - 1 + O ( x ) ) = - e Dolayısıyla doğru şık - e olduğundan A şıkkı doğrudur.

Çözüm: İstenen limit: L = lim x → 0 ( 1 + x ) 1 x - ( 1 - x ) - 1 x x İfadeleri fonksiyon gibi adlandıralım: f ( x ) = ( 1 + x ) 1 x g ( x ) = ( 1 - x ) - 1 x O hâlde: L = lim x → 0 f ( x ) - g ( x ) x Önce logaritma alıp seri açılımı kullanalım. Bilinen açılımlar: ln ( 1 + x ) = x - x 2 2 + x 3 3 - ⋯ ln ( 1 - x ) = - x - x 2 2 - x 3 3 - ⋯ f ( x ) için: ln ( f ( x ) ) = 1 x ln ( 1 + x ) ln ( f ( x ) ) = 1 x ( x - x 2 2 + x 3 3 - ⋯ ) ln ( f ( x ) ) = 1 - x 2 + x 2 3 - ⋯ g ( x ) için: ln ( g ( x ) ) = - 1 x ln ( 1 - x ) ln ( g ( x ) ) = - 1 x ( - x - x 2 2 - x 3 3 - ⋯ ) ln ( g ( x ) ) = 1 + x 2 + x 2 3 + ⋯ Şimdi üstel forma geri dönelim. Küçük x için birinci mertebeye kadar yeterli: f ( x ) = exp ( 1 - x 2 + O ( x 2 ) ) g ( x ) = exp ( 1 + x 2 + O ( x 2 ) ) exp ( 1 + u ) = e ⋅ exp ( u ) olduğundan: f ( x ) = e ⋅ exp ( - x 2 + O ( x 2 ) ) g ( x ) = e ⋅ exp ( x 2 + O ( x 2 ) ) Birinci mertebede exp ( t ) = 1 + t + O ( t 2 ) kullanılır: f ( x ) = e ( 1 - x 2 + O ( x 2 ) ) g ( x ) = e ( 1 + x 2 + O ( x 2 ) ) Farkı alalım: f ( x ) - g ( x ) = e [ ( 1 - x 2 + O ( x 2 ) ) - ( 1 + x 2 + O ( x 2 ) ) ] f ( x ) - g ( x ) = e ( - x + O ( x 2 ) ) Şimdi x ile bölelim: f ( x ) - g ( x ) x = e ( - 1 + O ( x ) ) Limit: L = lim x → 0 e ( - 1 + O ( x ) ) = - e Dolayısıyla doğru şık - e olduğundan A şıkkı doğrudur.

İstenen limit:

L = lim_{x \to 0} \frac{{(1 + x)}^{\frac{1}{x}} - {(1 - x)}^{- \frac{1}{x}}}{x}

İfadeleri fonksiyon gibi adlandıralım:

f (x) = {(1 + x)}^{\frac{1}{x}}

g (x) = {(1 - x)}^{- \frac{1}{x}}

O hâlde:

L = lim_{x \to 0} \frac{f (x) - g (x)}{x}

Önce logaritma alıp seri açılımı kullanalım. Bilinen açılımlar:

\ln (1 + x) = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \dots

\ln (1 - x) = - x - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} - \dots

$f (x)$ için:

\ln (f (x)) = \frac{1}{x} \ln (1 + x)

\ln (f (x)) = \frac{1}{x} (x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \dots)

\ln (f (x)) = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{3} - \dots

$g (x)$ için:

\ln (g (x)) = - \frac{1}{x} \ln (1 - x)

\ln (g (x)) = - \frac{1}{x} (- x - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3} - \dots)

\ln (g (x)) = 1 + \frac{x}{2} + \frac{x^{2}}{3} + \dots

Şimdi üstel forma geri dönelim. Küçük $x$ için birinci mertebeye kadar yeterli:

f (x) = \exp (1 - \frac{x}{2} + O (x^{2}))

g (x) = \exp (1 + \frac{x}{2} + O (x^{2}))

$\exp (1 + u) = e \cdot \exp (u)$ olduğundan:

f (x) = e \cdot \exp (- \frac{x}{2} + O (x^{2}))

g (x) = e \cdot \exp (\frac{x}{2} + O (x^{2}))

Birinci mertebede $\exp (t) = 1 + t + O (t^{2})$ kullanılır:

f (x) = e (1 - \frac{x}{2} + O (x^{2}))

g (x) = e (1 + \frac{x}{2} + O (x^{2}))

Farkı alalım:

f (x) - g (x) = e [(1 - \frac{x}{2} + O (x^{2})) - (1 + \frac{x}{2} + O (x^{2}))]

f (x) - g (x) = e (- x + O (x^{2}))

Şimdi $x$ ile bölelim:

\frac{f (x) - g (x)}{x} = e (- 1 + O (x))

Limit:

L = lim_{x \to 0} e (- 1 + O (x)) = - e

Dolayısıyla doğru şık $- e$ olduğundan A şıkkı doğrudur.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz.
$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 3 x} - 1}{x}$

Lütfen önce bir cevap seç.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki limiti bulunuz.
$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 x} - 1 - x}{x^{2}}$

Lütfen önce bir cevap seç.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki limiti bulunuz:
$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$

Lütfen önce bir cevap seç.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz.
$lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^{3}}$

Lütfen önce bir cevap seç.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki limitin değeri nedir?
$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}$

Lütfen önce bir cevap seç.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki limiti bulunuz:
$lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos (x)) - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24}}{x^{6}}$

Lütfen önce bir cevap seç.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki limiti bulunuz.
$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$

Lütfen önce bir cevap seç.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki limiti bulunuz.
$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) - x \cos (x)}{x^{3}}$

Lütfen önce bir cevap seç.

Limit Sık Sorulan Sorular

Limit neyi ifade eder?

Değişken belirli bir değere yaklaşırken fonksiyon değerlerinin yaklaştığı değeri ifade eder.

Bir noktada limitin var olması için ne gerekir?

Sağdan ve soldan limitlerin aynı değere yaklaşması gerekir.

Süreklilik için hangi koşullar sağlanmalıdır?

Fonksiyonun o noktada tanımlı olması, limitinin bulunması ve limit değerinin fonksiyon değerine eşit olması gerekir.

12. Sınıf Matematik Limit Testleri

Limiti değişim ve süreklilik ilişkisiyle öğren

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

Sık karıştırılan noktalar

Verimli çalışma yolu

12. Sınıf Matematik Limit Testleri

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz:limx→2x2−4x−2

Aşağıdaki limiti bulunuz.limx→0(1+x)1x-(1-x)-1xx

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz.limx→01+3x−1x

Aşağıdaki limiti bulunuz.limx→01+2x−1−xx2

Aşağıdaki limiti bulunuz:limx→2x2-4x-2

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz.limx→0tan⁡x−sin⁡xx3

Aşağıdaki limitin değeri nedir?limx→01+x-1x

Aşağıdaki limiti bulunuz:limx→0(1−cos(x))−x22+x424x6

Aşağıdaki limiti bulunuz.limx→2x2−4x−2

Aşağıdaki limiti bulunuz.limx→0sin(x)-xcos(x)x3

Limit Sık Sorulan Sorular

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz:
$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$

Aşağıdaki limiti bulunuz.
$lim_{x \to 0} \frac{{(1 + x)}^{\frac{1}{x}} - {(1 - x)}^{- \frac{1}{x}}}{x}$

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz.
$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 3 x} - 1}{x}$

Aşağıdaki limiti bulunuz.
$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 x} - 1 - x}{x^{2}}$

Aşağıdaki limiti bulunuz:
$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz.
$lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^{3}}$

Aşağıdaki limitin değeri nedir?
$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - 1}{x}$

Aşağıdaki limiti bulunuz:
$lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos (x)) - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{24}}{x^{6}}$

Aşağıdaki limiti bulunuz.
$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$

Aşağıdaki limiti bulunuz.
$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) - x \cos (x)}{x^{3}}$