12. Sınıf Matematik

12. Sınıf Matematik Limit Testleri

Limit konusundaki soruları çözümlü testlerle pekiştir.

Limiti değişim ve süreklilik ilişkisiyle öğren

Limit, bir fonksiyonun değişken belirli bir değere yaklaşırken hangi değere yaklaştığını açıklar. Bu kavram türev, süreklilik ve grafik yorumunun temelini oluşturur.

Bu çalışma; sağdan ve soldan limitleri, belirsiz ifadeleri, sonsuzdaki limitleri ve süreklilik koşullarını grafik ve cebirsel ifadeler üzerinden anlamana yardımcı olur.

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

Bir fonksiyonun noktadaki limitini grafik üzerinden yorumlar.
Sağdan ve soldan limitleri karşılaştırır.
Belirsiz limit ifadelerini uygun cebirsel yöntemlerle çözer.
Limit ile süreklilik arasındaki koşulları açıklar.

Sık karıştırılan noktalar

Fonksiyonun bir noktadaki değeri ile o noktadaki limitini aynı kabul etmek yanlıştır. Limit, fonksiyonun noktaya yaklaşırkenki davranışını gösterir; fonksiyonun o noktadaki değeri farklı olabilir.

Verimli çalışma yolu

Önce yaklaşım yönünü ve limitin hangi değere doğru alındığını belirle. Sonra yerine koyma, çarpanlara ayırma, eşlenikle çarpma veya grafik yorumundan uygun olanı seç. Yanlış yaptığın sorularda doğru cevabı işaretlemekle yetinme; hangi bilgi veya işlem adımında zorlandığını belirle.

Test seç

6 Test

1. Test 2. Test 3. Test 4. Test 5. Test 6. Test

2. Test

12. Sınıf Matematik Limit Testleri

Limit konusu 2. test.

Her soruda doğru seçeneği işaretle.

10 Soru

0/10 Soru0 %

Doğru 0

Yanlış 0

Boş 10

1. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki limitin değeri kaçtır?
$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$

Lütfen önce bir cevap seç.

2. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki limitin değerini bulun.
$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 x} - 1}{x}$

Lütfen önce bir cevap seç.

3. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz.
$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \sin x} - \sqrt{1 - x}}{x}$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: D

Önce doğru şıkkı kontrol edelim: limit değeri seçeneğiD46 olan 1 çıkacaktır. Verilen limit: lim x → 0 1 + sin x − 1 − x x Karekök içeren çıkarma olduğu için eşlenik ile çarpalım: lim x → 0 1 + sin x − 1 − x x ⋅ 1 + sin x + 1 − x 1 + sin x + 1 − x Üst taraf farkların çarpımı olduğundan kareler farkına dönüşür: lim x → 0 ( 1 + sin x ) − ( 1 − x ) x ( 1 + sin x + 1 − x ) Payı sadeleştirelim: lim x → 0 sin x + x x ( 1 + sin x + 1 − x ) Payı iki parçaya ayıralım (limit kuralları): lim x → 0 sin x x ( 1 + sin x + 1 − x ) + x x ( 1 + sin x + 1 − x ) Buradan sadeleşenleri yazalım: lim x → 0 sin x x 1 + sin x + 1 − x + 1 1 + sin x + 1 − x Şimdi limit değerlerini kullanalım: 1) Standart limit: lim x → 0 sin x x = 1 2) Süreklilik: lim x → 0 1 + sin x = 1 lim x → 0 1 − x = 1 Dolayısıyla paydadaki toplamın limiti: lim x → 0 1 + sin x + 1 − x = 2 Sonuç: lim x → 0 1 2 + 1 2 = 1 Doğru cevap: D1071.

Çözüm: Önce doğru şıkkı kontrol edelim: limit değeri seçeneğiD46 olan 1 çıkacaktır. Verilen limit: lim x → 0 1 + sin x − 1 − x x Karekök içeren çıkarma olduğu için eşlenik ile çarpalım: lim x → 0 1 + sin x − 1 − x x ⋅ 1 + sin x + 1 − x 1 + sin x + 1 − x Üst taraf farkların çarpımı olduğundan kareler farkına dönüşür: lim x → 0 ( 1 + sin x ) − ( 1 − x ) x ( 1 + sin x + 1 − x ) Payı sadeleştirelim: lim x → 0 sin x + x x ( 1 + sin x + 1 − x ) Payı iki parçaya ayıralım (limit kuralları): lim x → 0 sin x x ( 1 + sin x + 1 − x ) + x x ( 1 + sin x + 1 − x ) Buradan sadeleşenleri yazalım: lim x → 0 sin x x 1 + sin x + 1 − x + 1 1 + sin x + 1 − x Şimdi limit değerlerini kullanalım: 1) Standart limit: lim x → 0 sin x x = 1 2) Süreklilik: lim x → 0 1 + sin x = 1 lim x → 0 1 − x = 1 Dolayısıyla paydadaki toplamın limiti: lim x → 0 1 + sin x + 1 − x = 2 Sonuç: lim x → 0 1 2 + 1 2 = 1 Doğru cevap: D1071.

Önce doğru şıkkı kontrol edelim: limit değeri B seçeneği olan 1 çıkacaktır.

Verilen limit:

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \sin x} - \sqrt{1 - x}}{x}

Karekök içeren çıkarma olduğu için eşlenik ile çarpalım:

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \sin x} - \sqrt{1 - x}}{x} \cdot \frac{\sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 - x}}{\sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 - x}}

Üst taraf farkların çarpımı olduğundan kareler farkına dönüşür:

lim_{x \to 0} \frac{(1 + \sin x) - (1 - x)}{x (\sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 - x})}

Payı sadeleştirelim:

lim_{x \to 0} \frac{\sin x + x}{x (\sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 - x})}

Payı iki parçaya ayıralım (limit kuralları):

lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x (\sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 - x})} + \frac{x}{x (\sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 - x})}

Buradan sadeleşenleri yazalım:

lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{x}}{\sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 - x}} + \frac{1}{\sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 - x}}

Şimdi limit değerlerini kullanalım:

1) Standart limit:

lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1

2) Süreklilik:

lim_{x \to 0} \sqrt{1 + \sin x} = 1

lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x} = 1

Dolayısıyla paydadaki toplamın limiti:

lim_{x \to 0} \sqrt{1 + \sin x} + \sqrt{1 - x} = 2

Sonuç:

lim_{x \to 0} \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1

Doğru cevap: B.

4. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki limitin değerini bulun.
$lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos x - \frac{x^{2}}{2})}{x^{4}}$

Lütfen önce bir cevap seç.

5. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz.
$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1}$

Lütfen önce bir cevap seç.

6. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz.
$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$

Lütfen önce bir cevap seç.

7. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz:
$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) - 3 x}{x^{3}}$

Lütfen önce bir cevap seç.

8. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki limitin değerini bulun:
$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$

Lütfen önce bir cevap seç.

9. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz:
$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$

Lütfen önce bir cevap seç.

10. SoruÇoktan Seçmeli

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz.
$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 x} - \sqrt{1 + x} - \frac{x}{2}}{x^{2}}$

Lütfen önce bir cevap seç.

Doğru cevap: C

İstenen limit: lim x → 0 1 + 2 x - 1 + x - x 2 x 2 Karekök ifadeleri için seri açılımını kullanacağız: 1 + u = 1 + u 2 - u 2 8 + u 3 16 + o ( u 3 ) Buradan birinci karekök için: 1 + 2 x = 1 + x - x 2 2 + x 3 2 + o ( x 3 ) İkinci karekök için: 1 + x = 1 + x 2 - x 2 8 + x 3 16 + o ( x 3 ) Payı (üst kısmı) bu açılımlarla yazalım: 1 + 2 x - 1 + x - x 2 = ( 1 + x - x 2 2 + x 3 2 + o ( x 3 ) ) - ( 1 + x 2 - x 2 8 + x 3 16 + o ( x 3 ) ) - x 2 Benzer terimleri birleştirince sabit ve birinci dereceden terimlerin yok olduğunu görürüz; ikinci dereceden terim kalır: 1 + 2 x - 1 + x - x 2 = - 3 8 x 2 + 7 16 x 3 + o ( x 3 ) Şimdi paydaya bölelim: - 3 8 x 2 + 7 16 x 3 + o ( x 3 ) x 2 = - 3 8 + 7 16 x + o ( x 3 ) x 2 Sıfıra yaklaşırken son iki terim sıfıra gider, limit değeri kalır: lim x → 0 1 + 2 x - 1 + x - x 2 x 2 = - 3 8 Sonuç: Doğru cevap C843 şıkkıdır.

Çözüm: İstenen limit: lim x → 0 1 + 2 x - 1 + x - x 2 x 2 Karekök ifadeleri için seri açılımını kullanacağız: 1 + u = 1 + u 2 - u 2 8 + u 3 16 + o ( u 3 ) Buradan birinci karekök için: 1 + 2 x = 1 + x - x 2 2 + x 3 2 + o ( x 3 ) İkinci karekök için: 1 + x = 1 + x 2 - x 2 8 + x 3 16 + o ( x 3 ) Payı (üst kısmı) bu açılımlarla yazalım: 1 + 2 x - 1 + x - x 2 = ( 1 + x - x 2 2 + x 3 2 + o ( x 3 ) ) - ( 1 + x 2 - x 2 8 + x 3 16 + o ( x 3 ) ) - x 2 Benzer terimleri birleştirince sabit ve birinci dereceden terimlerin yok olduğunu görürüz; ikinci dereceden terim kalır: 1 + 2 x - 1 + x - x 2 = - 3 8 x 2 + 7 16 x 3 + o ( x 3 ) Şimdi paydaya bölelim: - 3 8 x 2 + 7 16 x 3 + o ( x 3 ) x 2 = - 3 8 + 7 16 x + o ( x 3 ) x 2 Sıfıra yaklaşırken son iki terim sıfıra gider, limit değeri kalır: lim x → 0 1 + 2 x - 1 + x - x 2 x 2 = - 3 8 Sonuç: Doğru cevap C843 şıkkıdır.

İstenen limit:

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 x} - \sqrt{1 + x} - \frac{x}{2}}{x^{2}}

Karekök ifadeleri için seri açılımını kullanacağız:

\sqrt{1 + u} = 1 + \frac{u}{2} - \frac{u^{2}}{8} + \frac{u^{3}}{16} + o (u^{3})

Buradan birinci karekök için:

\sqrt{1 + 2 x} = 1 + x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{2} + o (x^{3})

İkinci karekök için:

\sqrt{1 + x} = 1 + \frac{x}{2} - \frac{x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{16} + o (x^{3})

Payı (üst kısmı) bu açılımlarla yazalım:

\sqrt{1 + 2 x} - \sqrt{1 + x} - \frac{x}{2} = (1 + x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{2} + o (x^{3})) - (1 + \frac{x}{2} - \frac{x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{16} + o (x^{3})) - \frac{x}{2}

Benzer terimleri birleştirince sabit ve birinci dereceden terimlerin yok olduğunu görürüz; ikinci dereceden terim kalır:

\sqrt{1 + 2 x} - \sqrt{1 + x} - \frac{x}{2} = - \frac{3}{8} x^{2} + \frac{7}{16} x^{3} + o (x^{3})

Şimdi paydaya bölelim:

\frac{- \frac{3}{8} x^{2} + \frac{7}{16} x^{3} + o (x^{3})}{x^{2}} = - \frac{3}{8} + \frac{7}{16} x + \frac{o}{(x^{3})}

Sıfıra yaklaşırken son iki terim sıfıra gider, limit değeri kalır:

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 x} - \sqrt{1 + x} - \frac{x}{2}}{x^{2}} = - \frac{3}{8}

Sonuç: Doğru cevap A şıkkıdır.

Limit Sık Sorulan Sorular

Limit neyi ifade eder?

Değişken belirli bir değere yaklaşırken fonksiyon değerlerinin yaklaştığı değeri ifade eder.

Bir noktada limitin var olması için ne gerekir?

Sağdan ve soldan limitlerin aynı değere yaklaşması gerekir.

Süreklilik için hangi koşullar sağlanmalıdır?

Fonksiyonun o noktada tanımlı olması, limitinin bulunması ve limit değerinin fonksiyon değerine eşit olması gerekir.

12. Sınıf Matematik Limit Testleri

Limiti değişim ve süreklilik ilişkisiyle öğren

Bu konuyu çalışırken kazanacağın beceriler

Sık karıştırılan noktalar

Verimli çalışma yolu

12. Sınıf Matematik Limit Testleri

Aşağıdaki limitin değeri kaçtır?limx→2x2−4x−2

Aşağıdaki limitin değerini bulun.limx→01+2x−1x

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz.limx→01+sinx−1−xx

Aşağıdaki limitin değerini bulun.limx→0(1-cosx-x22)x4

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz.limx→1x+3-2x-1

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz.limx→2x2−4x−2

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz:limx→0sin(3x)-3xx3

Aşağıdaki limitin değerini bulun:limx→2x2−4x−2

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz:limx→2x2−4x−2

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz.limx→01+2x-1+x-x2x2

Limit Sık Sorulan Sorular

Aşağıdaki limitin değeri kaçtır?
$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$

Aşağıdaki limitin değerini bulun.
$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 x} - 1}{x}$

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz.
$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + \sin x} - \sqrt{1 - x}}{x}$

Aşağıdaki limitin değerini bulun.
$lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos x - \frac{x^{2}}{2})}{x^{4}}$

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz.
$lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1}$

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz.
$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz:
$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) - 3 x}{x^{3}}$

Aşağıdaki limitin değerini bulun:
$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz:
$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x - 2}$

Aşağıdaki limitin değerini bulunuz.
$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 2 x} - \sqrt{1 + x} - \frac{x}{2}}{x^{2}}$